学文网摘 要: 本文指出,存在不全为零的数k,k,…,k使kα+kα+…kα=0成立,则α,α,…α,线性相关,利用矩阵的秩判别,若向量的个数与维数相同用行列式法判别。
关键词: 线性相关 线性无关 向量的个数与维数 矩阵的秩 向量组
1.定义法
这是判别向量组线性相关性的基本方法,既适用于分量没有具体给出的抽象向量组,又适用于具体给出的向量组。对于向量组α,α,…,α,设kα+kα+…+kα=0,若上式当且仅当k=k=…=k=0时才成立,则α,α,…,α线性无关;否则,存在不全为零的数k,k,…,k使上式成立,则α,α,…,α线性相关。
2.构造法
利用矩阵的秩判别,设有m个n维列向量组α,α,…,α,记A=[α,α,…,α],则可利用矩阵A的秩判别向量组α,α,…,α的线性相关性,即:
(1)当秩(A)=m时向量组,α,α,…,α的线性无关;
(2)当秩(A)
3.行列式法
若向量的个数与维数相同,既有n个n维列向量α,α,…,α,令A=[α,α,…,α],为阶方阵,则:
(1)当|A|≠0时向量组,α,α,…,α的线性无关;
(2)当|A|=0时向量组,α,α,…,α的线性相关。
4.拉长缩短法
若n维向量组α,α,…,α线性相关把每个向量的维数减少后,得到的新向量组仍线性相关。
5.增加减少法
若向量组α,α,…,α线性相关,则增加向量的个数构成新的向量组α,α,…,α,α也线性相关。
6.初等列变换法
利用矩阵的秩判别,设有m个n维列向量组α,α,…,α,记A=[α,α,…,α],对矩阵进行初等列变换,若秩(A)=m,则线性无关;秩(A)
讨论向量组α=(1,0,0,3,1),α=(0,1,0,1,-1),α=(0,0,1,-3,1)的线性相关性。
解法一:定义法。
假定kα+kα+kα=0,即:
kkk3k+k-3kk-k+k=00000,
解得:k=k=k=0。
故:
向量组α,α,α线性无关。
解法二:构造法。
R(A)=3=n(向量的个数)。
故:向量组α,α,α线性无关。
解法三:拉长缩短法。
对向量组α,α,α删去第4第5个分向量后成为的新向量组e,e,e。
由于行列式|e,e,e|=1 0 00 1 00 0 1=1≠0,
向量组e,e,e线性无关,则拉长后的向量组α,α,α也线性无关。
解法四:增加减少法。
在向量组α,α,α的基础上加两个同维的向量α,α,且α=(0,0,0,1,0),α=(0,0,0,0,1),则:
故:向量组α,α,α,α,α线性无关,则减少两个向量α,α以后也线性无关,即向量组α,α,α线性无关。
解法五:初等列变换法。
故向量组α,α,α线性无关。
参考文献:
[1]李正元,李永乐,袁荫棠.数学复习全书.国家行***学院出版社,2007,(2).
[2]孟昭为.线性代数.同济大学出版社,2005,(8).
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[4]胡金德,王飞燕.线性代数辅导.清华大学出版社,2003,(7).
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