学文网求空间角是立体几何中经常考查的问题，空间角指的是两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角． 下面对求空间角的方法技巧作深度剖析，以期对同学们的学习有所帮助．
重点掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角的概念及求法，难点是在不同的问题情境中如何把空间角的问题转化为平面角处理．若用向量法求解空间角，难点是若载体中没有明显的两两垂直关系时，如何建立空间直角坐标系．
一、综合法
1． 异面直线所成的角：取值范围是0，．
（1）平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”作另一条直线的平行线（常通过中位线定理及平行四边形的对边达到目的）．
（2）补形法：把空间***形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线的关系．
2． 直线与平面所成的角：取值范围是0，．
线面角是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂直线段、斜线段及斜线段在平面内的射影，通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键．
3． 二面角： 取值范围是［0，π］．
二面角的大小是用它的平面角来度量的，如何找（或作）出二面角的平面角，并且求出其大小，主要有以下几种方法：①定义法，直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角．
②三垂线法，已知二面角其中一个面内到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角．
注：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后选用上述方法．
总之，空间角的计算方法都是转化为平面角计算．
二、向量法
利用向量法求空间角，其操作只须按步骤进行．
1． 异面直线所成的角：设a，b分别为两条异面直线的方向向量，两条异面直线所成的角为θ，则利用公式cosθ=cos〈a，b〉=来计算．
2． 直线与平面所成的角：设直线l与平面α所成的角为θ，PC?奂l，C∈α，n为平面α的法向量，则由sinθ=cos〈，n〉=求之．
3． 二面角：n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，二面角的大小转化为两个法向量的夹角或它的补角；可由cosθ=cos〈n1，n2〉=求得θ值，再观察二面角是锐角还是钝角．
已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1． 试***段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°．
思索 根据试题特点，建立空间直角坐标系，把问题转化为方程求解．
破解 如***1，建立空间直角坐标系C－xyz，则=（，0，0），F（，，1）． 设P（t，t，0）（0≤t≤），得=（－t，－t，1）． 又PF和CD所成的角是60°，cos60°=，解得t=或t=（舍去），即点P是AC的中点．
点评 采用传统的平移法求异面直线所成角的大小，免不了要作辅助线和几何推理． 这里运用向量法，没有了这些手续，显得便当快捷．
如***2，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．
（1）证明：SD平面SAB；
（2）求AB与平面SBC所成的角的大小．
思索 求直线和平面所成角有综合法和向量法，综合法一般要 “找射影，两足相连”． 由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影． 向量法关键是建立恰当的坐标系．
破解 法1：（1）见《线面平行、垂直的判定与性质》一文．
（2）由《线面平行、垂直的判定与性质》一文知AB平面SDE，平面ABCD平面SDE． 作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，SF＝＝． 作FGBC，垂足为G，则FG＝DC＝1． 连结SG，则SGBC． 又BCFG，SG∩FG＝G，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG． 作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC． FH＝＝，即F到平面SBC的距离为． 由于ED∥BC，所以ED∥平面SBC，故E到平面SBC的距离d也为． 设AB与平面SBC所成的角为α，则sinα＝＝，α＝arcsin．
法2：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如***3所示的空间直角坐标系C－xyz． 设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）． 又设S（x，y，z），则x>0，y>0，z>0．
（1）略．
（2）由《线面平行、垂直的判定与性质》一文知S1，，． 设平面SBC的法向量a＝（m，n，p），则a，a，a•＝0，a•＝0． 又＝1，-，，＝（0，2，0），故m-n+p=0，2n=0.取p＝2得a＝（－，0，2）． 又＝（－2，0，0），所以cos〈，a〉==．故所求角为arcsin．
点评 直线与平面所成的角要“抓住”直线在平面内的射影，然后在直角三角形内求得；利用向量求线面角的关键在于：找到平面的一个法向量，法向量与直线所在的向量夹角的互余的角，即为所求的角．
如***4，在锥体P－ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD＝，PB＝2，E，F分别是BC，PC的中点．求二面角P－AD－B的余弦值．
思索 求二面角的方法很多，概括起来有两类，一类是作平面角，一类是不作平面角． 作平面角又有直接作和间接作两种，形形的方法都是在做一件事：作二面角的棱的垂面；而不作平面角，一般建系用法向量求．
破解 法1：设AD中点为G，连结PG，BG，BD． 因PA＝PD，有PGAD，在ABD中，AB＝AD＝1，∠DAB＝60°，有ABD为等边三角形，因此BGAD，所以∠PGB为二面角P－AD－B的平面角．
在RtPAG中，PG2＝PA2－AG2＝，在RtABG中，BG＝AB•sin60°＝，所以cos∠PGB＝＝＝－．
法2：设AD中点为G，因为PA＝PD，所以PGAD，又AB＝AD，∠DAB＝60°，所以ABD为等边三角形，因此，BGAD，从而AD平面PBG． 延长BG到O且使POOB，又PO?奂平面PBG，所以POAD，又AD∩OB＝G，所以PO平面ABCD．
以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为x轴、z轴，平行于AD的直线为y轴，建立空间直角坐标系．
设P（0，0，m），G（n，0，0），则An，-，0，Dn，，0，Bn+，0，0．
***5
因为＝n，-，-m，＝n+，0，-m，所以＝，＝2，解得m＝1，n＝． 取平面ABD的法向量n1＝（0，0，－1），设平面PAD的法向量n2＝（a，b，c），•n2＝0，•n2＝0，取n2＝1，0，，所以cos〈n1，n2〉＝ －，即所求二面角的余弦值为－．
点评 利用向量法求二面角的大小，关键是求出两平面的法向量．求法向量的方法主要有两种：①求平面的垂线的方向向量；②利用法向量与平面内两个不共线向量数量积为零列方程组求．
空间角的复习要注意下面两点：
1. 正确领会概念，注意角的取值范围；
2.?摇综合法求角关注平面几何知识的运用，向量法求角关注恰当建立坐标系．
求空间角方法可总结为：
线线角，用平移，妙选顶点，
线面角，作射影，二足相连．
二面角，求法多，空间余弦，
用定义，三垂线，射影垂面．
熟化归，解三角，算准结果，
作证求，三环节，环环相扣．