学文网韦达定理,即一元二次方程中根与系数的关系,设x-px+q=0的两个根为x、x,则x+x=p,x•x=q,是初等代数中的重要内容。在实施创新教育的教学中,教师有目的、有意识地运用此知识,不仅能简化、优化解题过程,而且对拓宽学生的思路,发展学生的思维,提高学生的解题能力大有裨益。下面我列举几例说明其巧用:
1.巧求系数
例1:已知关于x的方程x+2(m-3)x+m+7=0有两个实数根,且这两个根的平方和比两根积大40,求m的值。
分析:应用韦达定理求一元二次方程中待定系数是一种常见的方法,但我们应特别注意一元二次方程是否有根的检验,还应注意二次项系数及本身隐含的取值范围。
解:设x+2(m-3)x+m+7=0的两根值为x,x,
则x+x=-2(m-3),xx=m+7,
又(x+x)=x+x+2xx,
x+x=(x+x)-2xx。
由题意得:x+x=xx+40,
[-2(m-3)]-2(m+7)=m+7+40
4(m-3)-3(m+7)-40=0,
m=25,m=-1。
把m=25代入原方程得x+44x+632=0,
方程无实数根,
m=25不合题意,舍去。
把m=-1代入原方程得x-8x+8=0,>0,
m=-1。
2.巧解条件
例2:当m为何值时,方程x+(m+1)x+4m-6=0两根的平方和最小。
分析:若用求根公式x=算出两根显然较为繁琐,若设x,x为此方程二根,则由韦达定理和恒等式:x+x=(x+x)-2xx则能很快求出m的值。
解:设x,x为方程x+(m+1)x+4m-6=0的两个根,
则x+x=-(m+1),xx=4m-6,
x+x=(x+x)-2xx
=[-(m+1)]-2(4m-6)
=(m+3)+4,
当m=-3时,此方程两根的平方和最小,且最小值为4。
3.巧证等式
例3:若实数x、y、m满足x=6-y,2m=xy-9,求证:x=y,并求m的值。
分析:由已知条件知:x+y=6,xy=2m+9可构造出一个一元二次方程,进而解题就可挖掘其潜在的内涵。
证明:将已知二式变形为x+y=6,xy=2m+9。
由韦达定理设x、y是方程t-6t+(2m+9)=0的两个根。
x、y是实数,
=36-8m-36≥0,
则-8m≥0。
又m为任何实数,8m≤0,
m=0,即=0,
方程t-6t+(2m+9)=0有等根,
当m=0时,该方程的两个根x=y。
4.巧解无理方程
例4:解方程+=4。
分析:细心观察此方程,将会发现,若设=m,=n,则m+n=4,且m+n=10,于是由恒等式m+n=(m+n)-2mn,求出mn=3,再代入所设即可求出原方程的解。
解:设=m,=n,
则m+n=4,
又m+n=10,即(m+n)-2mn=10,
mn=3。
由韦达定理可设m,n为方程t-4t+3=0的两个根,
解得:m=1,n=3或m=3,n=1,
代入所设可得:x=-2,x=6。
经检验:x=-2,x=6均为原无理方程的根。
5.巧解集合与不等式
例5:已知关于x的不等式ax+bx+c0的解集为。
解:由题设条件知:-2与1是方程ax+bx+c=0的两根,并且由不等式ax+bx+c
由根与系数的关系知:-2+1=--2×1=,
1=-2=,
b=a,c=-2a。
不等式ax-bx+c>0,
ax-ax-2a>0,即a(x-x-2)>0。
又a
x-x-2
-1
故不等式ax-bx+c>0解集为{x|-1
例6:已知集合A={x|
解:A={x|
又A∪B=R,A∩B={x|1
如***:
B={x|-2≤x≤4}。
由不等式与方程之间的对应关系知:x+px+q=0的两根为x=-2,x=4,
由韦达定理知:x+x=-2+4=-px•x=-2×4=q,解得:p=-2q=-8。
6.巧解解析几何
分析:我们可以利用韦达定理根据条件建立恰当的方程或不等式来确定参数的值或取值范围,巧解圆锥曲线与直线相交中的有关问题。
例7:椭圆的中心在原点O,焦点在轴上,离心率为,它与直线x+y-2=0交于A、B两点,且AOBO,求该椭圆方程。
解:由已知设椭圆方程为+=1,且c=a-b。
e==,
2c=a,则b=a,
又设直线x+y-2=0与椭圆交于A(x,y),B(x,y),
+=1x+y-2=0,
x+2y=ay=2-x,
3x-8x+(8-a)=0,
x+x=,x•x=,
AO BO,
k•k=-1,即•=-1,
x•x+y•y=0,
y•y=(1)
又x+2y=ax=2-y,
3y-4y+4-a=0,由韦达定理得y•y=(2)
由(1)、(2)得=,
a=6,b=3,
所求椭圆方程为+=1。
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