学文网勾股定理证明篇1
【关键词】数学史；勾股定理历史；融入；教学策略
1.勾股定理历史融入教学的意义
1.1 有利于激发兴趣，培养探索精神
勾股定理的证明是一个难点.在数学教学中适时引入数学史中引人入胜和富有启发意义的历史话题或趣闻轶事，消除学生对数学的恐惧感，可使学生明白数学并不是一门枯燥无味的学科，而是一门不断发展的生动有趣的学科，从而激发起学生学习数学的兴趣.
1.2 有利于培养人文精神，加强历史熏陶
学习数学史可以对学生进行爱国主义教育.浙教版新教材对我国勾股定理数学史提得很少，其实中国古代数学家对于勾股定理发现和证明在世界数学史上具有独特的贡献和地位，尤其是其中体现出来的数形结合思想更具有重大意义。
2.勾股定理历史融入教学的策略
在勾股定理教学的过程中，要求我们在教学活动中，注意结合教学实际和学生的经验，依据一定的目的，对勾股定理历史资源进行有效的选择、组合、改造与创造性的加工，使学生容易接受、乐于接受，并能从中得到启发.在实践过程中，发现以下几种途径与方法是颇为适宜的.
2.1在情景创设中融入勾股定理历史
建构主义的学习理论强调情景创设要尽可能的真实，数学史总归是真实的.情景创设可以充分考虑数学知识产生的背景和发展历史，以数学史作为素材创设问题情景，不仅有助于数学知识的学习，也是对学生的一种文化熏陶.
案例1：
师：同学们知道勾股定理吗？
生：勾股定理？地球人都知道！（众笑）
师：要我说，如果有外星人，也许外星人也知道.大家知道世界上许多科学家都在探寻其他星球上的生命，为此向宇宙发射了许多信号：如语言、声音、各种***形等.我国数学家华罗庚曾经建议向宇宙发射勾股定理的***形，并说：如果宇宙人是文明人，他们一定会认识这种“语言”的.（投影显示勾股***）
可以说，禹是世界上有文字记载的第一位与勾股定理有关的人.中国古代数学著作《周髀算经》中记载有商高这样的话：……我们做成一个直角三角形，这形亦称曰[勾股形].它的距边名叫[勾]，长度为三；另一边名叫[股]，长度为四；斜边名叫[弦]，长度为五.勾股弦三边，若各自乘，我们就可由其中任何两边以求出第三边的长……
《周髀算经》卷上还记载西周***时期周公与商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提到“勾广三，股修四，经偶五”，这是勾股定理的特例.卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并儿开方除之，得邪至日.”
由此看来，《周髀算经》中已经利用了勾股定理来量地测天.勾股定理又叫做“商高定理”.毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年.希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了.
2.2在定理证明中融入勾股定理历史
数学史不仅给出了确定的知识，还可以给出知识的创造过程，对这种过程的再现，不仅能使学生体会到数学家的思维过程，还可以形成探索与研究的课堂气氛，使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程.
案例2.：
刘徽（公元263年左右）的证明：
刘徽用了巧妙的“出入相补”原理证明了勾股定理，“出入相补”见于刘徽为《九章算术》勾股数──“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也.”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界比较常见的推测是如下***.
③剪拼法（学生动手验证）
证明方法之特征：数形结合证法，建立在一种不证自明、形象直观的原理上，主要是用拼***的方法证明，使数学问题趣味化.
翻开古今的数学史，不仅勾股定理的历史深厚幽远，所有的数学知识都蕴涵着曲折的道路、闪光的思想、成功的喜悦和失败的教训.将数学史的知识融入数学教学中，发挥数学史料的功能，是数学教育改革的一项有力的措施.正象法国数学家包罗·朗之万所说：“在数学教学中，加入历史具有百利而无一弊.”
参考文献
[1]中华人民共和国***制订.全日制义务教育数学课程标准 （实验稿） 》[S] 北京：北京师范大学出版社
[2]袁银宗.对数学史及其教学的思考与实验[J] .中学数学教学参考（初中）
勾股定理证明篇2
一、定理引入
课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.
在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如***1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？
***1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意***是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.
***2二、定理探索
定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.
1.直角三角形的三边数量关系的猜想
结合***2，若***中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？
2.猜想验证
首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照***3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.
***3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.
三、定理应用
在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理. 以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.
因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.
四、定理证明
***4 当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼***法来说，除了像***3那种方法外，也可以用***4来证明.
这一部分的操作意***是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.
五、习题巩固
针对学生对勾股定理的掌握情况，教师安排一些有针对性的习题进行一系列的巩固练习，这在强化学生应用能力的同时，也加深了他们对该定理的认知，从而让知识变得真实易懂，融入自身.
总之，将这种模式融入勾股定理的教学当中，让勾股定理的教学过程逻辑分明、条理清晰，使学生深刻理解这一定理的内涵，这不仅是教学的最终目标，也是加深学生对这一定理认知的重要途径.
勾股定理证明篇3
在我国所颁布的《数学课程标准》，无论是义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的要求。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。而《普通高中数学课程标准(实验)》认为“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势”“应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。”同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题。
勾股定理是平面几何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中具有普遍的应用性。因此勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。从某种意义上说，勾股定理的教学是数学课程与教学改革的晴雨表。20世纪五六十年代数学课程的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”“告诉结论”“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化内涵，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理的内容出现在八年级，而八年级又是学生学习数学的一个重要发展阶段，由具体思维向形式化思维转变的重要时期，但勾股定理的教学却始终是一个难点，虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是真正能够让学生在思路上比较“自然地”想到的证明方法是困难的，而从让学生体验知识的发现过程的角度来讲，要让学生“再发现”勾股定理更是难上加难。
那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学更为合适。
1. 教学目标
（1）使学生在探索中“发现”勾股定理；
（2）使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股定理；
（3）使学生从不同文化对勾股定理不同的证明方法中感受数学证明的灵活和数学美，感受勾股定理的丰富文化内涵；
（4）使学生运用勾股定理解决实际问题；
2. 课时安排 本节安排三课时，第一课时讲到勾股定理的证明，第二课时讲授证明方法，第三课时讲授勾股定理的应用。
3. 教学过程
3.1 从文化传统入手使学生“发现”勾股定理：
教师在课前需要做好形式多样的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（为方便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数）。将全班学生分若干个小组，发给每个小组两个直角三角形和一个非直角三角形，让每个小组同学利用直尺测量三角形的三边长，并记录数据（教师可利用几何画板进行集体演示）。然后，教师提出问题：
(1) 你手中的直角三角形的三边的平方之间有什么关系？
(2) 这种关系对于非直角三角形是否任然成立？
通过计算，和小组内讨论，每个小组选出一位“发言人”代表本小组陈述本组的结果。教师在一旁进行指导，并根据学生的回答，给出正确的结论：
问题(1)：任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是我们要学习的勾股定理的内容。这里的“勾、股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫做“弦”。
问题(2)：任意非直角三角形都不存在这种关系。
中国传统数学非常重视测量与计算，这是古人发现问题和解决问题的主要方法之一，同时也是学生很熟悉的学习方法。这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学生的学习积极性。
3.2 向学生介绍勾股定理的历史背景：
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关。
大禹在治水的实践中总结出了运用勾股术(也就是勾股的计算方法)来确定两处水位的高低差。可以说，大禹是世界上有确切文字记载的第一位与勾股定理有关的人了。
《周髀算经》是中国历史上最早的一本算术类经书。周就是圆，髀就是股。上面记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的文字记录，即＂勾三股四弦五＂，亦被称作商高定理。卷上另外一处记述了周公后人荣方与陈子(约公元前6、7世纪)的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：
“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并几开方除之，得邪至日。”
可见，在我国西周时期已经开始利用勾股定理来测天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。
而在西方，人们认为勾股定理的第一个证明是毕得格拉斯给出的，因此将勾股定理又叫做“毕得格拉斯”定理。相传毕得格拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，一次就宰杀了一百头牛祭神庆贺，于是也把“毕得格拉斯”定理称为“百牛定理”，不过迄今为止还没有毕得格拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，而且宰牛庆贺一说也与毕得格拉斯学派的素食主义相违背。不过尽管如此，人们任然对毕得格拉斯证明勾股定理的方法给予了种种的猜测，其中最著名的是普鲁塔克(Plutarch,约46-120)所给出的面积分割法。从毕得格拉斯时代到现在，人们对勾股定理给出了各式各样不同的证明方法。在卢米斯(E·S·Loomis)的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了勾股定理的约370种不同的证明方法，并对它们进行了分类。
3.3 向学生展示历史上勾股定理的不同的证明方法：
(1)赵爽(公元3世纪前期)的证明：
勾股定理证明篇4
在现今的课堂教学中，如何培养学生的人本意识、质疑精神和批判精神无疑是教育的最高目标，但囿于现实的教育体制、急功近利的教育观念、桎梏人的教育思想，要实现上述目标无异于缘木求鱼、南辕北辙。“钱学森之问”就是对这种教育现实、教育结果的最直接的反映。教育者只能戴着思想的镣铐在刀刃上跳舞，退而求其次。在课堂教学中培养学生发现问题、提出问题的意识和能力，即对问题意识的培养，是不得已而为之的做法。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”可见培养受教育者问题意识的重要性。
在具体的数学课堂教学上，可以从下列途径培养学生发现问题、提出问题的意识和能力;当然还可以从其他更多的途径进行训练。
1.从建立概念（或命题）的过程中发现问题、提出问题
在苏科版《数学》（八年级上册）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理证明》的教学中，通过画***，用三个正方形面积来验证了直角三角形斜边、直角边之间的关系，得到了一个正确的命题：勾股定理，而后介绍公元前1000多年前《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”的结论。此时可引导学生对勾股定理来思考：对勾股定理可以提出哪些问题？举数例如下：
（1）中国人老早就发现了勾股定理，那么外国人有没有发现勾股定理？如发现了，最早是什么时候、是谁发现的？（这个问题如何解答呢？咨询、查***书资料、网上搜索……）
（2）勾股定理有哪些应用呢？（求边长、计算、证明其他命题、***案设计、列方程……）
（3）如何证明勾股定理？（咨询、查***书资料、网上搜索……几何的、代数的、三角的、面积的、向量的……多种方法）
（4）到目前为止，勾股定理有多少种证明方法？（咨询、查***书资料、网上搜索……）
（5）勾股定理有逆定理吗？如有，如何证明它？
再如，学过勾股定理的逆定理之后，接着就建立勾股数的概念，可以要求学生对勾股数可提出哪些问题呢？举数例如下：
（1）填空：
32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，
72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。
从32+42=52及上面的练习可知：至少有一组勾股数3、4、5，即勾股数是存在的。那么，勾股数是有限的还是无限的？
（2）能不能建立公式求勾股数？
（3）勾股数与直角三角形是什么关系？
（4）古人是怎样发现勾股数的？
2.从问题中发现问题、提出问题
仍然以勾股数概念的建立为例，给出下列问题：
n是大于1的正整数，下列三个数n2-1、2n、n2+1是不是勾股数？
自然，可以让学生自己去判断这三个自然数是不是勾股数，很快就可以得出结论：这三个自然数是勾股数。于是，就可以引导学生思考、去探究、去提出问题：
（1）设自然数k，这三个数的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股数？如何判断呢？（这个问题是引导学生思考：由勾股数的定义去判断出，由一组勾股数就可以得到许多组勾股数）
（2）n取不同的值，就得到不同的勾股数，是不是就求出了所有的勾股数？（这个问题是引导学生思考勾股数是有限的还是无限的，怎样用有限去表达无限）
（3）这三个数是怎样得到的？（这个问题是引导学生思考、探求发现这三个数的途径）
3.从命题的证明过程中发现问题、提出问题
问题：如***：AD为ABC的高，∠B=2∠C，
用轴对称***形说明：CD=AB+BD。
给出如下解答：
（1）如***，在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;ADBE，
AB=AE，∠B=∠AEB，
而∠AEB=∠C+∠CAE，
所以∠B=∠C+∠CAE;
又∠B=2∠C，
2∠C=∠C+∠CAE，
∠C=∠CAE，AE=EC，
AE +BD=DE+EC，
即AB+BD=DC。
（2）上面的证明有没有错误？有没有不完善的地方？有没有漏洞？如果有的话，在哪里？
在进行全方位教育改革、实施素质教育、实现中国梦的21世纪，培养不出有人本意识、质疑精神和批判精神的人就不能造就出具有创新意识、创新精神与创新能力的建设者，是与时代的要求、民族的希望格格不入的。因此，要倡导个性，***思想，自由精神，多元生活，为培养未来的建设者提供自由的空气、精神的土壤。
勾股定理证明篇5
关键词：勾股定理；定理证明；推广应用
1引言
自我国改革开放以来，国内***治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。
2勾股定理的证明方法研究
勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。
第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下***所示：
在两个绘制的***形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个***形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左***当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右***当中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下***形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：
其通常所采用的方法之一具体由上***列示。该***形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接***形进行勾股定理的证明。由上***可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上***当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上***分解为两个***形，并实现勾股定理的证明。
3勾股定理的推广应用研究
勾股定理不但可以在平面***形当中得以应用，更加可以在三维***形，乃至n维***形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用***形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面***形之外的立体多位***形当中可以实现推广与应用。
4结论
通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。
参考文献
勾股定理证明篇6
摘要：勾股定理及其逆定理的证法很多. 笔者运用平面几何中著名的托勒密定理，构造出托勒密定理满足的基本条件，再借助初中几何的圆及四边形等综合知识，对两个定理加以证明. 利用构造的方法，对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效.
关键词：勾股定理；逆定理；另证；方法
勾股定理的证明方法多达四百余种，而它的逆定理的证法却没有那么多，笔者曾用同一法证过其逆定理. 大多数方法都是运用中学数学中常规的数学思想方法加以证明的. 笔者结合多年的教学实践研究，运用高中数学竞赛纲要中所要求的一个重要的著名定理――托勒密定理，对勾股定理及其逆定理加以了证明，让人耳目一新，既拓宽了学生的视野，启迪了学生的思维，又引导了学生如何去拓展书本中的知识，丰富了学生的课外生活，激发了学生课外探究数学的热情，增强了解决数学问题的能力. 下面，笔者将托勒密定理的证明及如何运用它来证明勾股定理及其逆定理提供给同行们.
[⇩]托勒密定理：圆的内接四边形中，四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积
已知：如***1，四边形ABCD内接于O.
[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]
***1
求证：AB・CD+BC・AD=AC・BD.
证明作∠BAG=∠CAD. 因为=，所以∠3=∠4. 因为∠BAG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.
所以AB・CD=AC・BG.①
因为∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因为=，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.
所以BC・AD=AC・DG. ②
①+②得AB・CD+BC・AD=AC・（BG+DG）=AC・BD.
[⇩]运用托勒密定理证明勾股定理及其逆定理
1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
已知：如***2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.
求证：a2+b2=c2.
[B][C][O][A][D]
***2
分析直角三角形ABC有且仅有一个以AB中点O为圆心，为半径的外接圆. 如果再在圆O上找一点D，就可以构造一个圆内接四边形，便可以运用托勒密定理得线段间的关系，从而得到勾股定理.
证明作出直角三角形ABC的外接圆O，连结OC并延长CO交圆O于点D，再连结BD，AD. 因为CD为直径，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因为∠C=90°，所以四边形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.
由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，所以a2+b2=c2.
2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
已知：如***3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.
求证：∠C=90°.
[B][C][O][A][D]
***3
分析三角形ABC有且仅有一个外接圆O，可将∠C放在圆中，得到一个圆周角. 要证明它为直角，只需要证明它所对的弦AB为直径即可. 要证AB为直径仅由a2+b2=c2得出谈何容易？此路不通另寻他途，不妨在圆O上再找一点D，构造出一个圆内接四边形看能否利用托勒密定理得出线段间的关系再结合已知条件a2+b2=c2来进行证明. 那么D点如何找呢？过B点作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD，运用托勒密定理即可达到目的.
证明作出三角形ABC的外接圆O，过B作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD. 因为BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.
所以BC=AD=a . 因为=，所以∠BCD=∠BAD. 因为BD=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因为四边形ACBD是圆O的内接四边形，
由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，
所以a2+b・BD=c2. 因为a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四边形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，从而命题得证.
从以上的证明方法可以看出，利用课外的著名几何定理，再结合我们所学的平面几何知识证明勾股定理及其逆定理时，既要具有构造的想象力，也要具有综合运用所学的知识的能力，从而更新自己的思维，达到创新的目的，这正是新课程标准所要求的.
勾股定理证明篇7
定理
【中***分类号】 G633.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格点”教具，提高学生计算能力，突破勾股定理的导入瓶颈
在小学，格点面积的相关计算是学生能力方面的一个要求，学生通过观察不规则***形在方格中的位置，通过割、补、拼等手段，以及巧算“格点”***形的面积，就可计算出***形的面积。在初中阶段，勾股定理就是在“数”***形面积的过程中发现并引入的，“数”面积也是勾股定理证明、应用的关键。为了达到较好的教学效果，在教具上，重点突出格点***形面积的计算应用。首先用小木质黑板，画好20×20的方格，用皮筋当线段，***钉当顶点，在格点上“钉”出多边形，让学生采取对***形的拼、割以及“格点”计算等不同的方法，计算多边形***形的面积。通过训练，使学生更好地认识***形，突破***形面积的计算障碍，为学习“勾股定理”打下良好的基础。这里，通过运用教具进行数学教学 ，把抽象的数学知识具体形象地呈现给学生，提高了学生的***形感知能力。
二、用“拼盘”教具，加强学生数形结合能力，突破勾股定理的证明障碍
《勾股定理》的证明方法有很多，如何让学生能很好地理解这些方法呢？笔者认为，应用简易的教具去演示其中的奥妙，是教学中最好的方法。
笔者是这样做的：制作底为7cm×7cm，高约0.5cm的正方盒1个以及直角边为3cm×4cm的全等直角三角形4个，在教学中，如果拼摆这四个直角三角形，就可得到我国古代数学家赵爽以及美国总统的关于勾股定理的证明思想。
中国历史上的“青朱出入***”，是古人对勾股定理的无字证明。在教学时，可让学生自己先制作这一学具，通过拼割、移动***形，发现面积的变化，感受并体会勾股定理的奥秘所在。
教学中，运用这个教具，直观形象地使各***形之间的面积凸显出来，帮助学生分析数量关系，抓住其本质要害，从而使抽象的数量关系具体化、形象化，有效地培养了学生的观察、记忆、思维、想象能力。
三、用 “立体”教具，激发学生空间想象能力，解决勾股定理的分析困难
教具有能拼、能折、能拆等特点，利用这一特点，可使教学变得具有操作性和活动变化性。在应用勾股定理解决空间立体***形的问题时，学生总是想象不出***形中各线段之间的关系，无法理解空间问题，但适时利用圆锥、圆柱、长方体等教具，就可以让学生很轻松地解决这一问题。
例如，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆形柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
让学生自己做一个圆柱（圆柱侧面绕一层纸），在圆柱上用铅笔标注出A、B的位置，尝试用铅笔从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？用剪刀将圆柱侧面的纸（沿母线剪开），将圆柱的侧面展开。这时，学生不难发现，刚才用铅笔画的路线就是蚂蚁的走法，哪条线段最短显而易见。
四、用 “折叠”教具，强化学生的动手操作能力，增强学习勾股定理的信心
对于“折叠”类的数学问题，学生抓不住折前与折后数形之间的相互联系，无法将抽象的数学语言与直观的***形结合起来，使“折叠”题成了难题。为了促进学生空间观念的进一步发展，教师可以引导学生动手现场折叠废旧纸片，发现其中的等量关系。
如，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。教学中就地取材，结合问题，让学生去折***形，用铅笔画出折叠痕迹，并标注出已知未知的量，使其关系一目了。这样“以形助数”，通过观察、发现、探究，理解其中的边角数量关系，将实际问题转换成“勾股”问题，从而达到解题的目的，增强了学生学习勾股定理的信心。
勾股定理证明篇8
题目：（2011年浙江省温州市初中学业考试数学试题16）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦***”，后人称其为“赵爽弦***”（如***1）.***2由弦***变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记***中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2,S3,若S1+S2+S3=10，则S2的值是_____.
解：由***知S1+S3=2S2,S2=103.
二、试题中数学文化的探究
赵爽，又名婴，字君卿，东汉末至三国时代人，我国汉代数学家，
天文学家.曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇
《勾股圆方***注》其中一段530余字的“勾股圆方***”注文是数学史上
极有价值的文献.它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为：
“勾股各自乘，并之，为弦实.开方除之，即弦.”证明方法叙述为：
“按弦***，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相
乘为中黄实，加差实，亦成弦实.”（见***1）《勾股圆方***注》中还推导出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式，在《日高***注》中利用几何***形面积关系，给出了“重差术”的证明（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）.赵爽根据弦***，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数学关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言.他是中国最早证明勾股定理的人.记录这一证明的赵爽注《周髀算经》宋刻本，现存上海***书馆.
世界名题是数学大师们的智慧的沉淀，其蕴含的独特的构思、颇具创造性的思维技巧以及精彩的结论都是数学中的瑰宝.课标把“体现数学文化价值”列入新课程的十大基本理念，强调“数学课程应当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对社会发展的推动作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神”,本试题以我国汉代数学家赵爽的“弦***”为背景具有基础、公平、文化性，又有区分度，能激发学生的学习兴趣，体现新课标理念，同时对学生进行了爱国教育，增强学生的爱国热情.
三、勾股定理教学方法探究
在初二几何的《勾股定理》的教学中，我以往讲授新课时，总是照本宣科地将知识传授给学生，学生知其然，却不知其所以然，失去了对知识、技能、方法的领悟过程，教学效果很不理想.现在我先给学生讲“勾股定理”的历史及其一些著名的证明方法，特别是我国古代数学家赵爽用面积法的证明方法，把学生带入勾股定理的教学情境中.并介绍：《九章算术》记载：今有勾三尺，股四尺，问为弦几何.答曰：五尺.我国古代称直角三角形的短直角边为勾，长直角边为股，斜边为弦.又如《周髀算经》称：“勾广三，股修四，径隅五.”课本表述为：勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理作为几何学中一条重要的定理，古往今来，有无数人探索它的证明方法.当我告诉学生它的证明方法有500来种时，更让学生们大吃一惊.接着向学生介绍历史上几种著名的证法.我发挥信息技术的优势，利用现代教育媒体，配合教学课件，为学生展现证明的过程，使学生印象更深刻.
方法1：刘徽以割补术论证这一定理（***1）.
方法2：赵君卿注里记载的证法（***2）：2ab+(b-a)2=c2，化简为 a2+b2=c2.
方法3：利用相似三角形的性质的证法 （***3）：直角三角形ABC，AD为斜边BC上的高.利用相似三角形的性质可得：AB∶BC=BD∶AB，即AB2=BD×BC，AC∶BC=DC∶AC，即AC2=DC×BC，两式相加得：AB2+AC2=BD×BC+DC×BC=（BD+DC）×BC=BC2 .
方法4：如***4：两个正方形边长分别是a，b，它们的面积和为 a2+b2.
如***5，在***4的基础上，构造了以a，b为直角边的直角三角形，斜边为c.在***5的基础上把两个直角三角形顺时针旋转90°，构成了如***6的正方形，且它的边长为c，即面积为c2.定理得证.
在演示课件时，向学生详细介绍这几种证明方法，让学生清楚运用割补法、等比法、代数法等可证明定理.学生们观看了教师所演示的勾股定理的几种证法之后，有了一种豁然开朗的感觉.接着让学生用课前准备的材料，自己动手试一试.
要求：用8个全等的直角三角形，它们的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c；3个边长分别为a，b，c的正方形，用拼***的方法来证明勾股定理，即赵爽的弦***法.
在教师的指导下，学生很快就把勾股定理证出来了（如***7）.由于引入了勾股定理的历史背景，及简明、巧妙的证法，激发了学生的学习动机和好奇心，培养了学生的求知欲望.在教学过程中，教师还要求学生自己动手实践，使学生深入其境，真正作为一个主体去从事研究工作，调动了学生学习的积极性和主动性，提高学生运用知识解决实际问题的能力和动手能力.
四、赵爽弦***试题编制例举
以赵爽弦***为背景材料来命制试题，早已在高考、中考、
普通考试中广泛使用.
【例1】 （2007年，北京高考理，13）2002年在北京召开的国际数学家
大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦***为基础设计的．弦
***是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方
形（如***8）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直
角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____.
【例2】 （2009年，湖北中考，10）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽如***9所示，它由四个相同的直角三角形拼成，若较长直角边为3，较短直角边为2，则***中大正方形与小正方形的面积之比是（ ）.
五、“赵爽弦***”的美学意义
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