学文网【摘 要】 在数学问题的证明中，反证法是一种重要的证明方法，用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”。
【关键词】 反证法 存在性 否定性 唯一性 证明 矛盾
在数学问题证明中，反证法是一种重要的证明方法，反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题。要证命题“若A则B”正确，途径之一是证与其等价的逆否命题正确。即从否定B出发，作出一系列正确、严密、合乎逻辑的推理，最后推出与A矛盾的结论，即原命题得证。用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定-推理-反驳-肯定”四个步骤。
下面通过不同的例题来说明反证法应用。
1 存在性命题
例1：证明任何大于1的整数一定有素因子。
分析：用反证法，首先要找出问题的否定形式，即否命题。本题结论的反面是：至少存在一个大于1的整数没有素因子，我们设法导出矛盾。
证明：假设有一个大于1的整数A没有素因子，则A本身一定不是素数，又A>1，故A为合数，则它一定有一个异于1和A的真因子B，故而A>B>1，且B也不是素数（否则B为A的素因子），同理B又有一个素因子C，满足A>B>C>1，且C亦不为素数，由此我们得到A>B>C>D>…>1，也就是说，在A和1之间有无穷多个正整数，这当然是不可能的，故而假设不成立，原命题获证。
例2：证明：A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1。
分析：这个问题看上去很简单，但是要直接证明却不容易。那么应用反证法，就可以轻松获证。
证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E
所以5个数都小于1不成立，故必有一个数不小于1。
即原命题是正确的。
2 否定性命题
例3：设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部。试证明：平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部。
分析：直接证明某点在哪些圆的内部，在哪些圆的外部，无法办到，故用反证法。
证明：假设平面内有一点M同时在这六个圆的内部。
为了方便，我们把绕M的六个圆心从某个开始按顺时针方向分别记为A、B、C、D、E、F，连结MA、MB、MC、MD、ME、MF（如***1）。
考虑AMB，M在A内，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB，AB大于其他两边。
由“大边对大角”知，
∠AMB>∠ABM，
同理，∠AMB>∠BAM。
所以
3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，
所以∠AMB>60°。
同理，∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°。
所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠EMA>360°。
但是，显然，这六个角围成了一个圆角，它们的和不可能大于360°，出现矛盾，故而假设不正确，所以原命题成立。
例4：已知空间四点A、B、C、D不在同一个平面内（如***2），求证：直线AB和CD既不相交也不平行。
分析：该问题是起始性命题，很难找到直接证明的论据，而否定结论以后却很容易根据定义、公理引出矛盾。
证明：假设直线AB和CD相交或平行，由平面的基本性质中的公理3的推论2、3可知，这两条直线确定一个平面α，则有AB∈α，CD∈α，由平面的基本性质中的公理1和A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，即点A、B、C、D在同一平面α内，这与已知条件矛盾，故直线AB和CD既不相交与不平行。
立体几何中直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的性质定理、平面与平面平行的定理也都是。类似题目也不少，此处不再多述。
3 唯一性命题
例5：求证方程x=sinx+α（α为常数）的解唯一。
分析：直接求解或证明是很难的，象这种唯一性命题常常采用反证法。
证明：设该方程的解不唯一，即至少有两个解x1、x2（x1≠x2），于是x1=sinx1+α，x1=sinx2+α，两式相减再化积得：
例6：试证明：在平面上所有通过点的直线中，至少通过两个有理点（有理点指坐标x、y均为有理数的点）的直线有且只有一条。
证明：（1）存在性：
直线y=0，显然通过点，且直线y=0至少通过两个有理点，例如它通过（0，0）和（1，0）。这说明满足条件的直线有一条。
（2）唯一性：
假设除了直线y=0外还存在一条直线y=kx+b（k≠0或b≠0）通过点，且该直线通过有理点A（x1，y1）与B（x2，y2），其中x1、y1、x2、y2均为有理数。
此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，平面上通过点的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。
综上所述，满足上述条件的直线有且只有一条。
例7：证明过一点和已知平面垂直的直线只有一条（如***-3）。
证明：不论点P在α内或外，设PAα，垂足为A（或P）。如果过点P，除直线PA垂直外，还有一条直线PBα，设PA、PB确定的平面为β，且α∩β=a，于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于α，这是不可能的，所以过点P与α垂直的直线只有一条。
参考文献：
[1]赵雄辉.证明的方法〔M〕.湖南人民出版社.2001.85-92.
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