学文网摘 要：如何比较涡旋电场中各点电势的高低，这是一个让很多同学感到困惑的问题。本文通过对比讨论涡旋电场中的电动势和电势差来解释这一问题。
关键词：涡旋电场；电动势；电势差
中***分类号：G633.7 文献标识码：A文章编号：1003-6148(2007)8(S)-0036-3
1 一个佯谬
我们知道，磁感线是闭合的，它在磁体外部总是由N极指向S极，在磁体内部又从S极指回N极。与磁感线不同，静电场的电场线是不闭合的，它始于正电荷（或无穷远），终于负电荷（或无穷远），沿着电场线电势降低。
不过，并不是所有电场的电场线都不闭合。麦克斯韦从场的观点研究了电磁感应现象，认为变化的电路里能产生感应电流，是因为变化的电场感应产生一个变化的磁场，而变化的磁场又产生了一个电场，这个电场驱使导体中的自由电荷做定向的移动。麦克斯韦还把这种用场来描述电磁感应现象的观点，推广到不存在闭合电路的情形。他认为，在变化的磁场周围产生电场，是一种普遍存在的现象，跟闭合电路是否存在无关（如***1）。这种在变化的磁场周围产生的电场，叫做感应电场或涡旋电场。与静电场不同，涡旋电场的电场线是闭合的。根据麦克斯韦理论，如果磁场的磁感应强度B是随时间均匀变化的，那么，它所产生的电场是恒定的。为简单起见，我们下面仅讨论这样的恒定的涡旋电场。
由于电场线是闭合的，这样就产生一个佯谬，即无法确定涡旋电场电场线上某两点电势的高低。如***2，在涡旋电场电场线上的三点A、B、C，设它们电势分别为φA、φB、φC，沿着电场线方向从A到B，电势降低，故φB〈φA，再沿着电场线方向从B到C，电势继续降低，故φC〈φB，同理可得，φA〈φC，即φA〈φC〈φB，这显然是与前面的φB〈φA自相矛盾。
要解释这一矛盾，必须先明确涡旋电场与静电场的区别。
2 涡旋电场与静电场
静电场是保守场（或叫位场），它的电场线是不闭合的，可以证明，试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，只与试探电荷电量的大小及其起点、终点的位置有关，与路径无关。用公式表为：
即静电场中沿任意闭合环路的线积分恒等于0。这一定理常常被叫做静电场的环路定理。
而涡旋电场的电场线是闭合的，它不是保守场，
在涡旋电场中移动试探电荷时，电场力所做的功与路径有关。既然如此，在涡旋电场就没有电势能（位能）这一概念，同样也无法引入电势这一概念，也就自然没有电势高低之说了。所以，前面关于A、B、C三点电势高低的比较其实是无从谈起的。
3 电势差与电动势
尽管在涡旋电场中无法引入电势、电势差的概念，不过这里倒可以引入电动势的概念。下面，先来谈谈电势差与电动势的区别。
电势差是指在静电场中，把单位正电荷从A点沿任意路径移动到B点静电力所做的功，它的定义为
它是描写静电场本身性质的物理量，在静电场中确定的两点的电势差是一定的，与电势参考点的选取无关。在涡旋电场中，试探电荷受到的电场力是非静电力，在移动试探电荷的过程中没有静电力做功，当然也就没有电势差这一说法了。
电动势表示把单位正电荷从电源负极通过电源内部移到电源正极时非静电力K所做的功，它的定义
它反映电源中非静电力做功的本领，是描写电源本身性质的物理量。电源一定，电动势就一定，与外电路的性质及电路是否接通没有关系。在涡旋电场中将试探电荷q沿电场线移动一周，非静电力K所做的功为
所以得到：感生电动势为
4 电势差与电动势的计算
可能有人会问，既然在涡旋电场中可以引入电动势的的概念，那么，任意两点间的电动势是不是可以求呢？比如，可不可求前面***2中A、B两点间的电动势呢？
提出上述问题的同学还是没有真正理解电动势和电势差的区别。
电动势的定义式
中，非静电力K所做的功Wk是与路径有关的，所以在没有说明路径的情况下，无法求出非静电力的功，自然也就没有办法确定电动势了。
有意思的是，在涡旋电场中铺设导线后，导线中的自由电荷在涡旋电场非静电力的搬运下，会在导线中重新分布，直至达到动态平衡。导线中重新分布的电荷又会在自己周围产生静电场，这样，再移动电荷时，电荷还会受静电力作用，静电力做功必定对应着电势能的变化，于是，就又有了电势和电势差的概念了。实际上，根据闭合电路欧姆定律，我们知道当导线（相当于电源）不闭合时，其两端的电势差（即路端电压）就等于电源电动势。也就是说，上面所讨论的三种情况下，导线两端的电势差 的大小分别为Eθr、E(2π-θ)r和0。
那么，如果电路是闭合的，又会怎么样呢？
如果在***3中，沿着电场线铺设一个均匀的细圆环，其电阻为R，则圆环上两点A、B之间的电势差为多大呢？
由闭合电路欧姆定律，
为了更好地理解这一结果，我们再来看一个类似的问题。
如***4所示，八个完全相同的电池依次首尾相接后，用一电压表测量***中a、b两点的电压，已知每个电池的电动势为ε，内阻为r，电压表理想，对电路的影响不计，则电压表的读数为多大？
此题的答案为0。因为，由于对称性，对于每一个电池，从其负极到正极，由于电源电动势而抬高的电势和由于电池内阻沿着电流方向降落的电势必相等。
其实，在这一问题中，即使电压表不是理想的，其读数也为0。证明如下：
设电压表内阻为RV，并设***中各支路的电流方向如***5所示，电流的大小分别为I1，I2，I3。对I1，I2，I3流经的三个支路分别用欧姆定律，有
由以上各式，可解得，I1= 0。所以电压表内阻上的电势降I1RV=0，即电压表读数为0。
有趣的是，在前面提到的电磁感应电路中，尽管A、B间的电势差为0，但如果也用电压表去测量，则电压表的示数却不一定为零。这是为什么呢？让我们一起来探讨这一问题。
如***6（a），若把电压表放在圆环中心处，连接用的导线沿圆环的半径，这时电压表的读数如何？
如前所述，如果把电压表放在圆环中心处，电压表所在的这一支路感生电动势为零，相当于外电路。与前一题一样，设电压表内阻为RV，并设***中各支路的电流方向如***6（b）所示，电流的大小分别为I1，I2，I3。对I1，I2，I3流经的三个支路分别用欧姆定律，有
由以上各式，同样可解得，I1=0。所以电压表内阻上的电势降I1RV=0，即电压表读数为0。这一求解过程和结果与上一题并无不同。
但是，如果把电压表放在AB弦的中点处，连接用的导线沿着此弦，如***7（a）所示，则此时电压表的读数又为多少？
反思这一现象，可以发现，电压表放置情形不同，读数也就不同的原因是：电压表所在支路可能也有感生电动势，不能简单地将其看作外电路。这其实也再一次说明，电动势与电势差不同，它不只取决于始末两个位置，还与实际路径相关，导线铺设的情形不同，其两端的电动势也就可能不同。
参考文献：
［1］全日制普通高级中学教科书（必修加选修）物理第二册.人民教育出版社.2003
［2］赵凯华,陈熙谋.电磁学.高等教育出版社.1985
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