学文网众所周知,影响二次函数在某区间上最值的是区间和对称轴的位置?郾 本文就区间和对称轴动与静的变化进行分类,探索求最值的方法?郾
一、轴定区间定
这种形式的二次函数的对称轴是固定的,区间也是固定的,因此求它们的最值,只要直接应用单调性即可?郾
例1 求函数f(x)=ax2-2ax+1(a≠0)在[0,2]上的最大值?郾
解析 易知函数f(x)的对称轴是x=1∈[0,2]?郾
当a>0时,其***象开口向上,[f(x)]max=f(0)=f(2)=1;
当a
例2 已知2x2≤3x,求函数f(x)=x2+x+1的最值?郾
解析 易知f(x)是定义在[0,■]上的二次函数,其对称轴是x=-■?埸[0,■],***象开口向上.
故[f(x)]min=f(0)=1,[f(x)]max=f(■)=■?郾
点评 对于二次函数,要结合***象掌握有关性质?郾 如f(x)=ax2+bx+c,不妨设a>0,其***象是顶点为(-■,■),对称轴为x=-■,开口向上的抛物线?郾 当x-■时,f(x)是增函数?郾
结合***象很容易知道f(x)在区间[m,n]上的最大值或最小值:
(1) 当-■∈[m,n]时,f(x)的最小值是f(-■)=■,f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者;
(2) 当-■?埸[m,n]时,若-■
二、轴定区间动
这种形式的二次函数的对称轴是固定的,而区间是变动的,因而求它们的最值必须进行分类讨论才能得出结果?郾
例3 设f(x)=x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1],对于任意t∈R,求函数f(x)的最小值g(t)?郾
解析 易知f(x)的对称轴为x=2?郾
当t-1
当t-2≤2≤t-1,即3≤t≤4时,g(t)=[f(x)]min=f(2)=-8;
当t-2>2,即t>4时,g(t)=[f(x)]min=f(t-2)=t2-8t+8?郾
故g(t)=t2-6t+1 (t4)?郾
三、轴动区间定
这种形式的二次函数的对称轴是变动的,而区间是固定的,要求其最值,需要讨论对称轴在区间端点之间、端点之外时的各种情况才能确定?郾
例4 如***,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b(a>b)?郾 在AB、AD、CB、CD上,分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y?郾
(1) 写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式;
(2) 求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?
解析 (1) 易知AEH≌CFG,BEF≌DHG,则
y=S矩形ABCD-2SAEH-2SBEF
=ab-2・■x2-2・■(a-x)(b-x)
=-2x2+(a+b)x(0
(2) 由(1)知y=-2x2+(a+b)x,其***象的对称轴为x=■(a+b),则
当b≥■(a+b),即0
当0
点评 利用二次函数对称轴的可变性求最值时,一定要时刻关注对称轴在区间上的变化?郾
四、利用二次函数的最值求参数的值
利用二次函数在指定区间上的最值,可以确定函数的表达式或参数的值?郾
例5 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4,1]上的最大值为5,求实数a的值?郾
解析 易知f(x)的对称轴为x=-2∈[-4,1],***象开口方向由a决定?郾
若a
若a>0,则有f(1)=5a+a2-1=5,解得a=1?郾
综上可知a=2-■或a=1?郾
例6 已知y2=4a(x-a)(a>0),则当x≥a时,S=(x-3)2+y2的最小值为4,求实数a的值?郾
解析 将y2=4a(x-a)代入S中,得S=(x-3)2+4a(x-a)=x2-2(3-2a)x+9-4a2=[x-(3-2a)]2+12a-8a2,则S是关于x的二次函数,其定义域为x∈[a,+∞),对称轴为x=3-2a,顶点为(3-2a,12a-8a2),***象开口向上?郾
若3-2a≥a,即0
当x=3-2a时,Smin=12a-8a2=4,解得a=1或a=■;
若3-2a1,则
当x=a时,Smin=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4,解得a=5?郾
综上可知a=1或a=■或a=5?郾
点评 利用二次函数的最值确定参数的值,一定要注意取得最值时的位置,并要加以验证才可以?郾
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