学文网摘要：由极坐标下积分的变量替换公式，我们可以得到单位球面上多项式的积分的显式公式。利用这个显式公式，我们可以给出高斯-博内公式的一个改进的简洁证明。
关键词：单位球面;极坐标;伽马函数;高斯-博内公式
中***分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）45-0151-02
一、单位球面上多项式的积分
设n是一个正整数，S 是欧氏空间R 中的单位球面，P（x）=P（x ，…，x ）是定义在R 上的一个多项式，我们想计算P（x）在S 上的积分 P（x）dσ ，这里dσ 表示S 的体积形式。由积分的线性，我们只需要考虑P（x）是一个单项式的情形，因此以下我们假设P（x）=x =x …x ，这里a=（a ，…a ）∈N 是一个多重指标，N代表全体自然数。单位球面上单项式的积分有以下的显式公式，见文献[1]。
引理 （1）如果某个a 是奇数，则 x …x dσ =0。
（2）如果a ，…，a 都是偶数，则
这里Γ（s）= e t dt是大家熟知的Gamma函数。
推论 单位球面S 的体积为ω = 。
证明 在引理中令a=（a ，…，a ）=（0，…，0）即可。
二、高斯-博内公式及其改进
1.高斯-博内公式。现在设n是一个正偶数，M是R 中的一个紧致的光滑超曲面，它总是可定向的。对于任意的y∈M，可以确定M在y点处的单位外法向量G（y），这样得到的映射G：MS 称为超曲面M的高斯映射。高斯映射在y点处的Jacobian被称为M在y点处的高斯曲率，记为K（y），这等价于说G （dσ ）=KdA，这里dA是超曲面M的体积形式。
高斯-博内公式 设n是一个正偶数，M是R 中的一个紧致的光滑超曲面，则有 KdA= ω ，这里χ（M）是M的欧拉示性数。
我们来简要分析一下这个公式的证明：由微分形式的拉回G （dσ ）=KdA和映射度的定义，我们有 KdA= G （dσ ）=deg（G） dσ = ω ，
最后一个等号用到了等式deg（G）= ，它的证明可见文献[2]的第320页。
2.高斯-博内公式的一个改进及其简证。现在设c=（c ，…，c ）∈R 是一个单位常向量，我们用（c，G）表示c和G的内积。高斯-博内公式有如下的改进，见文献[3]。
定理 设n是一个正偶数，m是一个自然数，M是R 中的一个紧致的光滑超曲面。
（1）如果m是奇数，则 （c，G） KdA=0。
（2）如果m是偶数，则 （c，G） KdA= χ（M）。
下面我们给出一个新的较为简洁的证明。
证明 令f（x）=（c，x） =（c x +…+c ） ，则有
（c，G） KdA= f（G）G （dσ ）= G （f（x）dσ ）=deg（G） f（x）dσ = f（x）dσ ，因此我们只需要计算积分 f（x）dσ 即可。注意到
f（x）=（c x +…+c x ） = x …x
是单项式x =x …x 的线性组合。
（1）如果m是奇数，则至少有一个a 是奇数，由引理的（1）可知 x dσ =0，所以 f（x）dσ =0。
（2）如果m是偶数，由引理的（1）可知，
f（x）dσ = （c x ） …（c x ） dσ
再利用引理的（2）可知，这个积分等于
c …c 。
利用Gamma函数的性质Γ（s+1）=sΓ（s）可知，当s是一个自然数的时候，有Γ（s+ ）=（s- ）… Γ（ ）= Γ（ ），所以
f（x）dσ = c …c
=（c +…+c ）
因为c=（c ，…，c ）∈R 是单位向量，所以c +…+c =1，因此
f（x）dσ = 。
最后，利用ω = 即可得到 （c，G） KdA= χ（M）。证毕。
下面，我们看一个有趣的例子。
例 取m=n=2，此时M是R 中的紧致光滑曲面，我们有
（c，G） KdA= χ（M）= χ（M）.
设G=（G ，G ，G ），我们可以进一步取c=（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），得到
G KdA= χ（M），i=1，2，3
致谢：本文受到中国矿业大学（北京）课程建设项目K140705的支持。
参考文献：
[1]Folland G.B. How to Integrate a Polynomial over a Sphere.Amer. Math. Monthly[J]， 2001，（108）：446-448.
[2]张筑生.微分拓扑新讲[M].北京：北京大学出版社，2002.
[3]Grotemeyer K.P. Uber das Normalenbundel differenzierbarer Mannigfaltigkeiten. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A. I[J]，1963，（336）：1-12.
转载请注明出处学文网 » 单位球面上多项式的积分及高斯―博内公式一个改进的简证