学文网摘要:本文结合相关文献综述了算子方程近似解法的各种稳定性和收敛性理论,在其过程中也渗透了稳定性和收敛性的关系,最后对线性问题与非线性问题算子方程近似解法浅析。
关键词:算子方程 近似解法 稳定性和收敛性
一、线性问题上算子方程近似解法的情况
(一)适定的初值问题
预备知识:
适定问题
在经典的数学物理中,人们只研究适定问题。适定问题是指满足下列三个要求的问题:①解是存在的;②解是惟一的;③解连续依赖于定解条件。
初值问题
如果在自变量的某值给出适当个数的附加条件,用来确定微分方程的特解,则这类问题称为初值问题。
差分格式
数值计算方法中微分以及偏微分导数的一种离散化方法,即用相邻两个或者多个数值点的差分取代偏微分方程中导数或者偏导数的一种算法。
约翰•冯•诺依曼()等研究出初值问题差分方法的稳定性后,并对算子方程的相应问题建立了完整的理论。
设空间,其范数是是实参数,。 是不明显依赖于t的线性算子方程,其定域为 中的已知元素,现在思考如下问题:
……(1)
问题(1)的解是指单参数族,使得对一切,当 时,
……(2)
设a是的一个子集,对于它的任意元素,都存在对t一致满足(2)的唯一元素 。于是存***性算子,使得对一切,是①的解,问题(1)适定的,当且仅当
()a在中是稠密的;
()存在正常数,使得一切 。
根据 可以扩张为定义在整个上线性算子,并且,于是我们就把称为(1)的广义解。
用 的近似解,k是非负整数,并考虑近似问题:
……(3)
其中 连续,并不明显地依赖于t的线性算子。我们假定存在,并记,则(3)变为:
……(4)
现在我们再来讨其稳定性,分别用 的误差。如果存在正常数,使得对一切 则:
……(5)
则称(4)是对初值按范数稳定的。
因为,所以稳定性的充要条件是所以:
……(6)
美国匈裔数学家给出了下列基本结果,是线性泛函分析的基本定理之一,在数学上有着重要应用。
定理1:如果问题(4)是适定的, (4)对(1)的逼近是相容的, 那么稳定性等价于收敛性。
考虑非齐次初值问题 ,……(7)
其中中对t一致连续,L是闭算子,它的任何次幂的定
义域都在中稠密,如果
设的误差,如果存在正常数使得对一切,则:,就称(9)是对f按范数稳定的。
定理可以推广到非齐次问题(9)。
(二)不适定的初值问题
预备知识:
不适定问题
不适定问题()在经典的数学物理中,人们只研究适定问题。如上述适定问题三个要求中,只要有一个不满足,则称之为不适定问题。特别,如果条件③不满足,那么就称为阿达马意义下的不适定问题。如地球物理、连续介质力学、电子聚焦问题等。
在流体力学、天气预报等问题中出现的不适定问题,张关泉等讨论了此类问题的数值方法。
今假定(1)是不适定的,但存在一切(1)的解都满足下列不等式:……(11)
分析以上公式可发现相近似的问题是:
……(12)
于是,我们称(12)对(1)的逼近是相容的,如果对一切,当 。
如果对一切和满足 时,则称(12)对(1)来说是收敛的。
张关泉证明了下列结果:
定理(2):如果(12)对(1)的逼近是相容的且收敛, 则是稳定的。
定理(3):如果 (12)对(1)的逼近是相容的, 并且是可交换的, 那么稳定性等价于收敛性。
(三)线性特征值问题
预备知识:
特征值()问题
又称本征值。设A是向量空间的一个线性变换,如果空间中某一非零向量通过A变换后所得到的向量和A仅差一个常数因子,即 ,则称K为A的特征值,X称为A的属于特征值K的特征向量或特征矢量()。
设是空间,其范数是是从到的紧致算子,是复数,今考虑下列问题……(13)
用表示L的谱,它是可列的,并且仅有聚点零,用表示 L的豫解集,则对一切是有界的。设 小于与其它特征值的距离。那么,是简单或广义特征元素的集合。
现用逼近, 是从到的紧致算子,并考虑下列问题
……(14)
在下文的定理中蕴含了收敛性。
定理7:设a和是任意正数,是(13)的特征值,那么存在正常数,使得当,其中是L的某个特征值,并且。
定理8:假设定理的条件满足,那么
(),
()对一切,有下式成立:
定理9:设 是满足下列条件的最小整数 ,那么存在正常数,使得,其中的基。
二、非线性问题近似解法的情况
(一)非线性问题近似解法的稳定性
设空间,其范数是的算子是已知的,今考虑下列问题……(15)
用逼近,算子的定义同第一部分,它们满足条件(7)和(8),但它们可能是非线性的,用,相应的近似问题是……(16)
逼近误差是,在本节中假定 是可逆的。
郭本瑜在自己文章中提出如果存在正常数使得对一切,由 推出 ,则称(17)在是广义的弱稳定的。
定理11:设是在(16)的解,并且满足下列条件:
()中有定义且连续的,
()(17)是在点是一致广义弱稳定的,
()。
那么,(17)具有唯一解。
定理12:设分别是(26)和(27)的唯一解,并且满足下列条件
()中有定义且连续的,
()(16)是在点是广义弱稳定的,
()则 。
(二) 非线性问题局部稳定性的研究
预备知识:
边值问题
如果在自变量一个以上的值给出适当个数的附加条件,用来确定微分力一程的特解,则称为边值问题。
算子的近似解法有另一种稳定性,它适用于非线性算子近似解有多个且孤立的情况。
如果U是(16)的某个解,并在上使得中是稳定的,则称U是(16)的稳定解。显然,它也是中的唯一解。
用表示L在点U的导数。如果蕴含了,则称是非异的。若U是(16)的解,且非奇异,则称U是(18)的孤立解。如上则有了下列结果:
()若U是(16)的稳定解,且存在,则其必为孤立解。
()若U是(16)的孤立解,在中是连续的,则U是(16)的稳定解。
参考文献:
[1]张关泉.不适定的初值问题及差分格式.运用数学与计算数学:2(1965),50-70.
[2]郭本瑜.粘性流体二维润度方程的一类差分格式,上每科学技术大学资料,1965, 同时见《数学学报》.17(1974)242-258.
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