学文网摘 要： 函数值域是函数的重要性质之一，有关函数值域的问题教材中介绍得很少，而求函数的值域较求定义域更困难、更灵活，没有较完整较规范的方法，所以学生难以掌握。本文借助初等函数等有关知识，归纳出十种求函数值域的方法。
关键词： 函数 函数值域 方法
1.观察法
对于一些简单的函数，可在定义域及函数对应关系基础上确定函数的值域，这叫观察法。
由于函数值域是对应于函数定义域的函数值集合，因此首先要考察函数结构。在此基础上，从定义域出发，逐步推断出函数的值域。
例1：求函数y=（x-3）的值域。
解：函数定义域为-1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函数值域y∈（-∞，0］。
2.反函数法
如果函数在定义域内存在反函数，而求函数值域又不易求解时，可在通过求反函数的定义域的过程中而使问题获解，叫反函数求函数值域的方法。
即由y=f（x），反解出求函数x=f（x），原函数值域包含在f（y）的定义域中。然后分析二者的关系以确定函数值域。此法的成功取决于反解成立，分析正确，并注意在反解过程中保持同解性。
例2：求函数y=+，x∈（0，1］的值域。
错解一：y=+≥2，函数值域y∈［2，+∞）。
剖析：当x=（0，+∞］时，结论x=［2，+∞）才是正确的。但当x∈（0，1），这个结论就不可靠了。
错解二：y=+?圳x-2yx+4=0，
x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。
函数值域为（-∞，-2］∪［2，+∞）。
剖析：以上求出的结果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）时函数的值域，解法二同样忽略了0≤x≤1了这一限制条件，而x∈（0，1］的值域用“判别式法”是无法解决的。
正解：（反函数法）y=+?圳x-2yx+4=0，
x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函数值域为［，+∞）。
3.转化法
利用已知值域的函数或所给函数的定义域，作为“媒介”，将待求值域的函数式变形。通过适当的运算，求得所给函数的值域。将所求函数值域问题转化为熟知的基本初等函数的值域问题，常能化难为易。
例3：求函数y=的值域。
解：由函数表达式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=确定。
|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函数值域y∈［，+∞）。
4.不等式法
运用不等式的性质，特别是含等量的不等式，分析等号成立的条件，以确定函数值域，叫不等式求函数值域的方法。
例4：已知α∈（0，π），求函数y=sinα+的值域。
错解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函数值域为［2，+∞）。
剖析：由于忽略了“当且仅当sinα+时上式才能取等号”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等号，至少应有y≠2。
正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。
当且仅当sinα=，即sinα=1时，上式能全取等号。
小结：用“不等式法”求函数值域，主要是利用“几个正数的算术平均值不小于其几何平均值”，但须注意取等号时条件是否能得到满足。
5.最值法
由于初等函数在其定义域内是连续的，所以我们可以通过求函数在定义区间内的最大值，最小值的办法，并求函数的值域。
例5：求函数y=的值域。
解：由函数定义域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。
（1）当cosx∈［-1，-）时，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。
（2）当cosx∈（-，1］时，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。
故函数值域为（-∞，-1］∪［，+∞）.
一般二次函数的值域常用此法求解。有些高次整函数也可用此法。
6.判别式
根据一元二次方程ax+by+c=0有实根时，=b-4ac≥0。的性质，求函数值域的方法叫做判别式法。
例6：求函数y=2x-7x+3的值域。
解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，该函数值域为［，+∞）.
此法可用于行如：y=（A，P不同时为零，分子分母无公因式）的函数的值域。但必须强调：（1）是既约公式；（2）验证端点值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方项系数含字母要讨论；（4）若定义域人为受限，则判别式法失效。
7.换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法，把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数求函数值域的方法叫换元法。
例7：已知函数f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。
解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，则t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］时单调递增
当t=，y=，当t=，y=，
y=f（x）+的值域是［，］.
8.***像法（数行结合法）
通过分析函数式的结构、定义域、单调性、奇偶性、极值等。确定若干有代表性的点，勾画出函数的大致***形，从而确定函数的值域。
例8：求函数y=|x-1|+x的值域。
解：原函数可以表达成：当x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；当-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。
作出函数***像（见***1）
由***像知函数值域为［-1，+∞）。
9.单调性法
利用函数单调性，先求出函数的单调区间，再求每个区间上函数的值域，最后取其并集即得函数值域。
例9：求y=x-的值域。
解：y=x和y=-均为单调增函数，
y=y+y=x-为增函数，由定义域x≤知y=，故y≤.
10.配方法
如果给定一个复合函数，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以视为一元二次多项式，则要用配方法求其函数值域。
例10：求y=x+的值域。
解：y=x+=1-（-1），在定义域x≤内，显然有（-1）≥0，y≤1，函数值域为（-∞，1］。
本文仅从求函数值域的十种常用方法谈起，在不同的文献中可能会有与本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如构造法、极限法、解析法、复数换元法、三角代换法、恒等变换法、有理化法等。当然，本论文求函数值域的方法不是一成不变的，应在多次解题过程中综合并灵活应用这几种方法。
参考文献：
［1］董艳梅，吴武琴.求函数值域的常用方法［J］.昆明冶金高等专科学校学报，1999，15，（2）：19-23.
［2］王英.求函数值域的技巧方法探讨［J］.南都学坛（自然科学报），2001，21，（3）：115-117.
［3］侯剑方.求函数值域的几种方法［J］.中学数学，2002，（3）：28-30.
［4］谭廷经.求函数值域的几种初等方法与常见错误剖析［J］.中学数学教学，1995，（3）：28-30.
［5］张秦.求函数值域的方法与技巧［J］.榆林高等专科学校学报，1997，7，（4）：46-49.
［6］林如恺，江杰.求函数值域的几种方法［J］.乐山师范高等师范专科学校学报，1999，（3）：100-103.
［7］王慧贤，张莉.求函数值域的几种方法［J］.白城师范高等师范专科学校，2001，15，（4）：40-42.
［8］纯刚.求函数值域的方法与技巧［J］.安顺师专学报（自然科学报），1996，（4）：53-60.
［9］赵振威.中学数学方法指导［M］.北京：科学出版社，1999：71-75.
［10］谭光宙.中学数学解题方法［M］.北京：北京师范大学出版社，2001：149-151.
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