学文网摘 要： 本文作者归纳总结了幂指函数求导的方法：先将其转化为幂函数或指数函数的形式，再进行求导。
关键词： 幂指函数 指数求导法 对数求导法 多元函数求导法
在微积分的教学中，幂指函数的求导是学生学习的难点，对学生来说非常棘手。针对这种情况，我根据自己在多年的教学中积累的资料，通过例题归纳和总结常见的幂指数函数求导方法，希望对教与学双方都有一定的参考价值。
形如
y=u（x）……（1）
的函数称为幂指函数，幂指函数的由来是因为它既不是幂函数又不是指数函数，但它像幂函数，也像指数函数。因此，我们可以考虑将其转化为幂函数或指数函数的形式，再进行求导。
方法一：指数求导法。
由y=u（x）=e=e，可得
y′=e・［v（x）・lnu（x）］′
=u（x）・v′（x）・lnu（x）+v（x）・
方法二：对数求导法。
将y=u（x）两边同时取自然对数，再用隐函数的求导法进行求导，即
lny=v（x）lnu（x）
?圯・y′=v′（x）lnu（x）+v（x）・
?圯y′=u（x）v′（x）・lnu（x）+v（x）・
方法三：“幂+指”求导法。
将幂指函数的求导问题，简化为指数函数与幂函数的求导问题，即把y=u（x）当指数函数求导的结果，与把y=u（x）当幂函数求导的结果相加即可。
1.y=u（x）看作指数函数时
y′=u（x）・lnu（x）・v′（x）
2.y=u（x）看作幂函数时
y′=v（x）・u（x）・u′（x）
y′=u（x）・lnu（x）・v′（x）+v（x）・u（x）・u′（x）
证明：y′=e′
=ev′（x）lnu（x）+v（x）・
=u（x）v′（x）lnu（x）+v（x）・
=u（x）・lnu（x）・v′（x）+v（x）・u（x）・u′（x）
方法四：多元函数求导法。
将y=u（x）看作二元复合函数
令y=u，u=u（x），v=v（x）
利用多元函数求全导数的求法可得
y′==・+・
而=v・u（此时y是幂函数），=u・lnu（此时y是指数函数）
y′=v・u・u′+u・lnu・v′
例：求y=（tanx）的导数。
方法一：指数求导法。
解：y′=（e）′
=e・（sinx・lntanx）′
=（tanx）［（sinx）′+lntanx+sinx（lntanx）′］
=（tanx）［cosx・lntanx+secx］
方法二：对数求导法。
解：将等式两边同时取对数
lny=sinx・lntanx
将等式两边同时对x求导
・y′=（sinx）′lntanx+sinx（lntanx）′
?圯y′=ycosx・lntanx+sinx・cotx・secx
=（tanx）・［cosx・lntanx+secx］
方法三：“幂+指”求导法。
解：1.把y=（tanx）看作幂函数求导
y′=sinx・（tanx）・（tanx）′=（tanx）・secx
2.把y=（tanx）看作指数函数求导
y′=（tanx）・lntanx・（sinx）′=（tanx）・lntanx・cosx
幂指函数的导数为：
y′=（tanx）・secx+（tanx）・lntanx・cosx
=（tanx）・［cosx・lntanx+secx］
方法四：多元函数求导法。
令y=u，u=tanx，v=sinx
y′=・+・
=v・u・secx+u・lnu・cosx
=sinx・（tanx）・secx+（tanx）・lntanx・cosx
=（tanx）・［secx+cosx・lntanx］
教学实践证明，适时地选择某些问题，引导学生多角度、多方位、多层次、多途径去分析、思考，从而寻找多种解法，可使学生思维活跃、思维开阔，从而对问题进行更深层次的思考，对培养学生思维的深刻性和广阔性起着积极的作用。在大力提倡素质教育的今天，教师要注意引导学生多质疑探索，这样不仅仅能充分调动学生主动参与，乐于探索，勤于动手，勤于动脑，更有助于培养学生的创新精神和创新能力。
参考文献：
［1］张三艳.幂指函数的导数计算方法的改进与应用.宜春学院学报，2002.12，（6）.
［2］吴昌.微积分［M］.中国人民大学出版社，2009.7.
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