学文网求值域的方法篇1
1、配方法。将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。（画一个简易的***能更便捷直观的求出值域。）
2、常数分离。这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。
3、逆求法。对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。
4、换元法。对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。
（来源：文章屋网 .wzu）
求值域的方法篇2
一、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 ：求函数y=3-■的值域。
解：因为■≥0，
所以-■≤0，3-■≤3，
故函数的值域是: （-∞,3]。
二、***象法
利用函数的***象，直观地得出函数的值域。此方法广泛应用于一些分段函数的值域和求二次函数在闭区间上的值域。其关键在于能否准确作出函数的***象。
例2：求函数y＝x■-x-6（如***所示）,x∈-2,4的值域。
解：由函数***象得所求函数的值域为-6.25,6.
三、配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。其关键在于能否正确地将二次函数式配成完全平方式。
例3：求函数y=■的值域。
解：由-x■+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2].此时-x■+x+2=-(x-■)■+■∈0,■，所以0≤■≤■，函数的值域是0,■。
四、判别式法
若函数式为分式结构，分子分母均为二次式，且函数的定义域为R，则可用此法.通常先将分式转化为一元二次方程，再由?驻≥0，确定y的范围，即得原函数的值域.
例4：求函数y=■的值域。
解：函数的定义域为R（?驻=(-1)■-4×1×1）=-3＜0，x■-x+1＞0恒成立).原函数化为关于x的一元二次方程为(y-1)x■+(1-y)x+y=0，由x∈R知上述方程一定有解，所以
（1）当y≠1时，?驻=(1-y)■-4y(y-1)≥0，
解得-■≤y≤1。
（2）当y=1时，1≠0，故y≠1。
综上，原函数的值域为[-■,1)。
评注：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域.常适应于形如y=■的函数。
五、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，常用代数代换或三角代换法，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如y=ax+b±■（a,b,c,d均为常数，且ac≠0）等。
例5 ：求函数y=x+■的值域。
解：令■=t(t≥0)，则x=t■+1，
所以y=t■+t+1=(t+■)■+■.又t≥0，
由二次函数的性质可知原函数的值域为[1,+∞)。
六、函数单调性法
首先确定函数的定义域，然后再根据函数在给定的区间上的单调性求值域.常用到函数y=x+■(p＞0)的单调性：增区间为(-∞,-■]和[■,∞)，减区间为[-■,0]和[0,■]。
例6：求函数y=2■+log■■(2≤x≤10)的值域。
解：令y■=2■，y■=log■■,
则y■,y■在[2，10]上都是增函数,
所以y=y■+y■在[2，10]上是增函数。
当x=2时，y■=2■+log■■=■；
当x=10时，y■=2■+log■■=33，
故所求函数的值域为：■,33。
例7：求函数y=x+■,x∈(0,5]的值域。
解：原函数的导数为y＇=1-■，其单调递增区间为[■,+∞)，单调递减区间为(0,■]，故原函数在x=■处取得最小值2■，在x=5处取得最大值■，所以原函数的值域为[2■,■]。
七、分离常数法
此方法适用于分式型函数,且分子、分母是同次,如y=■（a,b,c,d是常数，且ac≠0），这时通过拼凑,将分子进行常数分离。
例8：求函数y=■的值域。
解：由y=■=1-■≠1，可得值域y｜y≠1。
评注：此题也可利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域，即反函数法。
八、函数有界性法
利用函数的有界性：形如sinα=f（x）,x■=g（y），因为sinα≤1,x■≥0，可解出y的范围，从而求出其值域或最值.
例9：求函数y=■的值域。
解：由原函数式可得e■=■，
e■＞0，
■＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1,1)。
求值域的方法篇3
1. 观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1.求函数y= 的值域。
解：x≠0， ≠0
显然函数的值域是：（-∞，0）∪（0，+∞）。
2. 二次函数法
例2.已知函数f(x)=lg［(a －1)x +(a+1)x+1］。
(1)若f(x)的定义域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为(－∞，+∞)，求实数a的取值范围。
解：（1）依题意(a －1）x +(a+1)x+1＞0对一切x∈R恒成立，
当a －1≠0时，其充要条件是
a -1＞0=(a+1) -4(a -1)＜0
即a＞1或a＜-1a＞ 或a＜-1
a＜-1或a＞ 。
又a=－1时，f(x)=0满足题意，a=1时不合题意。
故a≤－1或a＞ 为所求。
(2)依题意只要t=(a －1)x +(a+1)x+1能取到(0，+∞）上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a -1＞0≥0，解得1＜a≤ ，又当a －1=0即a=1时t=2x+1符合题意，而a=-1时不合题意，1≤a≤ 为所求。
3. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3.求函数y=x -2x+5，x∈［-1，2］的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1） +4，x∈［-1，2］，由二次函数的性质可知：
当x=1时，y =4
当x=-1时，y =8
故函数的值域是［4，8］。
4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例4.求函数y= 值域。
解：由原函数式可得：x=
则其反函数为：y=
其定义域为x≠
故所求函数的值域为（-∞， ）。
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例5.求函数y= 的值域。
解：由原函数式可得e =
e ＞0， ＞0，
解得-1＜y＜1。
故所求函数的值域为(-1，1)。
6. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例6.函数y=x+ 的值域是( )。
A. (－∞，1］
B. (－∞，－1］
C. R
D .［1，+∞）
解：令 =t(t≥0)，则x= 。
y= +t=－ (t－1) +1≤1
值域为(－∞，1］。
答案：A。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后选择恰当的方法，一般优先考虑直接法、函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
求值域的方法篇4
题目 求函数y=1[]x2+x+1的值域.
问题转化成：求函数y=x2+x+1的值域.
1.***像法
分析 这是一个一元二次函数，要求它的值域，可以先画出它的***像，根据***像写出它的值域，这也是求值域的一种方法，称***像法.
2.配方法
同时，要画一元二次函数的***像，一般要找对称轴，当然也就要对函数表达式进行配方，这里表达式y=x2+x+1可以配成x+1[]22+3[]4，从而直接可以看出y≥3[]4，直接得到原函数的值域.这种通过配方求得函数值域的方法，我们称为配方法.
所以，函数y=x2+x+1的值域为yy≥3[]4.
注 在用配方法求函数值域的时候一定要注意等号成立的条件.例如：对于y=x2+1[]x2的配方，它既可以配成x-1[]x2+2，也可以配成x+1[]x2-2，但答案只有一个.
得到了函数y=x2+x+1的值域，并没有解决我们例1的问题，还要进一步的去计算，去求倒数.
3.不等式法
.
利用不等式去求y的范围，从而得到函数的值域，这样的方法也就称为不等式法.
以上是通过先求我们熟悉的一元二次函数的值域，再求原函数的值域，那么，我们能不能直接去求该函数的值域呢？
4.判别式法
从函数本身出发，这是一个分式表达式，并且该函数的定义域是一切实数，也就是说，对于任意的x，此表达式都有意义.如果我们把x看成是自变量，y看成参数，并把分式等式化成我们熟悉的整式方程，则会得到一个关于x的方程yx2+yx+（y-1）=0，并且方程有根.
解 由y=1[]x2+x+1可化成yx2+yx+（y-1）=0，
由于函数的定义域为R，所以
注 此方法使用的前提条件比较苛刻，有一定的局限性，原函数的定义域必须是一切实数，否则该方法就不可用.所以一般情况下，我们不提倡用此方法.
求函数y=x-1[]x+2的值域.
分析 这函数仍然是一个分式的形式，但和例1又有所区别，它的分子分母都含有x，都是变化的，那么能不能化成和例1形式接近的表达式呢？
5.分离常数法，又名中间变量求值域法
解 将分式的分子变成常数：
所以所求函数的值域为{y|y≠1}.
如果没有例1的提示，仅仅看这个分式，从表达式上看，可以把y看成是x的函数，表达式有意义的x的集合就是函数的定义域；我们也可以把x看成是y的函数，则使表达式有意义的y的集合就是函数x=g（y）的定义域，也就是函数y=f（x）的值域.从而有求y范围的另一种方法：
6.反表示法
求值域的方法篇5
1.定义法
在函数y=f(x)中，给定一个x的值，有唯一的函数值y与之对应，所有y值的集合叫函数的值域。
例1已知函数f(x)=y=x2+1，x∈{-2,-1,0,1,2}，求值域。
解析：本题中函数表达式已知，自变量x有5个值，与之对应的y值有5个，即5，2，1，2，5。
用集合知识，所求值域为{5,2,1}。
2.配方法
先将函数解析式配方，用二次函数***象，求出函数值域。
例2已知函数f(x)=y=-x2-3x+1，x∈(-2,1］，求函数f(x)的值域。
解析：y=-x2-3x+1=-(x+32)2+134，对称轴x0=-32∈［-2,1)，
ymax=134,ymin=-3，所以值域为［-3,134］。
3.观察法
先将函数等价变形后，观察表达式，得到值域。
例3函数y=2x-3x+1的值域为______。
解析：y=2x-3x+1=2x+2-5x+1=2-5x+1，
因为5x+1可正可负不为0，故y≠2。
4.基本不等式法
对形如y=ax+bx(a,b∈[WTHZ]R[WTBX]+)的函数，使用基本不等式，可求出值域，但一定要注意使用条件：一正、二定值、三相等。x+1x2-x+2的值域。
分析：由x∈[WTHZ]R，有yx2-(y+1)x+2y-1=0。
①当y=0时，x=-1；
(y+1)2-4y(2y-1)≥0。
②当y≠0时，Δ≥0有-7y2+6y+1≥0,
解之，得-17≤y≤1且y≠0。
由①及②知，-17≤y≤1。
6.导数法
对高次函数或含logax,ax的函数，可采用导数方法求最值与值域。其一般步骤是：求导y′；令y′=0，求出极值点并列表，求极值；比较极值与端点值求出最值。
7.单调性法
先考虑函数的定义域，观察随着x的变化，y值的变化情况，判定函数的单调性，用增（减）函数的性质求值域。
例5求y=2x-3-x的值域。
解析：由3-x≥0，有x≤3，
易知，y在(-
䥺SymboleB@,3］上是增函数，所以y≤6。
8.数形结合法
求值域的方法篇6
关键词：微分求积法，区域***法，最高阶导函数逼近，边界降阶，奇异摄动问题
1．绪论
微分求积法(DQM)是由Bellman和他的同事在70年代初期提出求解非线性偏微分方程的一种新的数值方法[1]。该法是一种简便、高效率、高精度求解积分一微分方程和偏微分方程(包括初值为题和边界问题)的数值方法。这种方法在处理边值问题时花费极少的计算代价得到更准确的解，也就是说，称之为谱精度[2-3]。DQM方法的出发点是通过插值来获得未知函数的逼近，然后所有的导函数被作为结果来得到。但是众所周知的是数值微分过程对甚至是一个很小的误差都非常的敏感。作为对比一般地数值积分过程对误差的敏感度要小得多[6-7]。基于这个观点，基于最高阶导函数逼近的微分求积区域***法(DQDDMHD)被提出。论文格式。
但是当节点增大到某个程度时，DQDDMHD方法的准确性不能被提高了。在某些情况下，准确性甚至变差了。为了提高准确性，尤其是处理奇异性问题的时候，区域***法(DDM)被引入。DDM方法是上个世纪60年代由德国数学家H.Schwerz为解复杂区域上的偏微分方程而提出的。其后，Picard,Wemer,Miller,Mitchell等对Schwarz交替法的发展与应用做了大量的工作。1992-1993年，Despres博士对Helmholtz方程和Maxwell方程的DDM算法进行了研究，并讨论了解的存在性和唯一性问题，给出了一种新的迭代算法。区域分解法能够得到如此广泛的关注，是因为它有很多优点，比如区域***的任意性，区域***后物理问题的数学描述多样性。它把大问题划分为几个小问题，缩小了计算规模。算法高度并行，计算的主要步骤是在各子域内***进行，因此很容易实现并行计算以提高程序的运行效率。迄今为止，DDM方法已发展成为不再是纯数值技巧而是解微分问题的想法和方法。
奇异摄动理论和方法的研究自1935年以来先后在苏联、美国和其他国家蓬勃发展起来，成为数学的一个重要的领域。因为奇异摄动问题在实际问题（比如高雷诺数下的Navier -Stokes方程）中有广泛的应用，因而奇异摄动问题一直是数值计算中的热点问题。奇异摄动问题的一个特性就是边界层现象，由于边界层的存在，使这类问题它是一个对数值计算比较困难。在边界层内解的变化非常剧烈，许多传统方法在捕捉边界层处解的剧烈变化上是效率不高的，常出现数值不稳定，因而必然会反过来影响整个区域上解的精度。
在这篇文章中，一个新数值方法基于最高阶导函数逼近的微分求积区域***法(DQDDMHD)被提出来处理奇异摄动问题。它是一个对DQMHD方法在全局上的改进。用这种方法，整个区域被划分成几个子区域。在每个子区域上，DQMHD方法被采用。边界降阶技术被应用。主要的技巧是如何消去内点把微分方程降阶为只包含边界点的线性代数方程。
2.DQMHD方法和DQDDMHD方法
2.1 DQMHD方法
众所周知的是数值微分过程对甚至是一个很小的误差都非常的敏感。作为对比一般地数值积分过程对误差的敏感度要小得多[6-7]。基于这个观点，我们提出对函数的插值的过程从导函数开始，然后原函数通过积分来获得。
DQMHD方法的本质在于函数和它的导函数能被在所有离散的点的值和权因子来逼近。权因子不依赖于任何的特殊的问题，但是依赖于网格划分。因此任何微分方程在离散点的数值解的问题能被降阶为线性代数问题。为了简单起见，让我们如下的在区域（0 1）上的两点边值问题：
用这种逼近，函数和它的导函数的值能用下面的式子计算：
(2.4)，(2.5)和 (2.6)被改写为如下的形式：
让我们把(2.8)写成矩阵的形式变为：
其中A，B是如下的系数矩阵：
那么方程(2.1)能被变为如下的矩阵方程组：
2.2 DQDDMHD方法
区域***法（DDM）是一种偏微分方程数值解的新技术，它把整个结构分成许多个子区域，在各个子区域内单独解方程，通过乡邻子区域的连接部分交换信息，因此它不存在联立求解所导致的问题。区域***法一般分为两种：重叠型和不重叠型，前者相邻子域之间有重叠部分，通过所谓Schwarz交替法求解，后者相邻子域之间之共用交界面，通过交界面上的连续性条件对解进行约束。在这里我们只考虑第二种情况。
DQDDMHD方法的主要的步骤：
1）整个区域被划分成几个子区域。
2）在每个子区域上用DQMHD方法来离散函数。
3）在每个子区域上用边界点（拟边界点）表示内点。
4）消去内点得到拟边界上的未知量所满足的方程组，并解方程组。则我们得到拟边界上的函数值。
5） 在每个子区域上，将拟边界上的函数值回代，那么内点上的函数值可知。论文格式。问题就解决了。
3. 对DQDDMHD方法应用
不失一般性我们考虑如下方程：
角点的8个导数满足如下方程：
当然角点的8个导函数可以任意选取，这里只是任选了4个。
4. 数值实验
现在用DQDDMHD方法来解决如下问题：
5. 结论
在这篇文章中，一种新的方法DQDDMHD方法被提出用来求解奇异摄动问题 。DQDDMHD方法是将基于最高阶导函数逼近的微分求积法和区域***法结合而成的。论文格式。 在我们的方法中，我们从最高阶导函数的插值入手然后通过积分得到较低阶的导函数和原函数。我们的方法原理简单，易于编程并且对于处理奇异摄动问题十分的有效。我们能通过使用适当的参数来获得令人满意的结果而且计算量也不是很大。因此我们有理由相信DQDDMHD方法的优点将会使它非常的吸引人。
QDDMHD方法的优点将会使他非常的吸引人。
6.参考文献
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[11]Xu Liu Xionghua Wu,Differential quadrature Trefftz method for irregular plate problems,Engineering Analysis with Boundary Elements 33,363-367 2009
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[13]Chen Li, Xionghua Wu,Numerical solution of differential equations using Sinc method based on theinterpolation of the highest derivatives, Applied Mathematical Modelling31,1-9,2007
求值域的方法篇7
这道题主要考查函数值域的求法。函数值域的求法主要有：观察法、反函数法、分离常数法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、单调性法、求导法、函数的有界性法、数形结合法等等。下面谈谈这道题的两种解法。
一、单调性法
由于x∈（-∞，1]∪[2，+∞），所以当x∈[2，+∞）时，函数y=x+■是单调递增的，此时当x=2时，y有最小值2，但无最大值，因此y∈[2，+∞）；当x∈（-∞，1]时，函数y=x+■=■+（x-■）+■=■+■是单调递减的，此时当x=1时，y有最小值1，但y
二、反函数法
由于y=x+■（x≤1或x≥2），因此y-x=■，两边平方整理得：x=■（y≠■），令■≥2或■≤1得y>■或y
这道题的解法平时教学多次渗透，学生也知道求值域的一些基本方法，但就是用起来达不到应用自如、熟能生巧、举一反三的地步。由这道题我引生了一些思考，联想到这一类型题目的求解，以期待对大家有所启发和思考。下面就让我们来看看这类题型的求解吧。
例1 求函数y=x-2+■（-1≤x≤2）的值域。
解：函数f（x）=x-2，g（x）=■在区间[-1，2]上都是单调递增的。
函数y=x-2+■在区间[-1，2]上也是单调递增的。因此当x=-1时取最小值-3-■，当x=2时取最大值■，该函数的值域为y∈[-3-■，■]。
点评：这道题目虽含根式看似很复杂，但若分析其单调性来求值域就很简单了。因此对某些求函数的值域或最值问题，可以从函数的单调性角度来考虑。
例2 求函数y=■+■的最值。
解：函数y=■+■≥1+1=2，当且仅当x=2时有等式成立，所以函数有最小值2，无最大值。
点评：一般地，形如函数y=■+■（x∈R）当a>0，b>0时在x=m处最小值；当a
例3 求函数y=■+■的最值。
解：易求函数的定义域：x∈（-∞，0]∪[1，+∞），令f（x）=2x2-3x+2=2（x-■）2+■，g（x）=x2-x=（x-■）2-■，则当x≥■时，f（x）递增，x≥■时，g（x）递增，所以当x≥1时，■与■都递增，其和也递增，故此时y≥■+■=1。类似地当x≤0时，■与■都递减，其和也递减，故此时y≥■+■=■，所以当x=1时，函数有最小值1，无最大值。
点评：一般地，形如函数y=■+■（a>0，α>β），当-■∈[α，β]时，可以用本例题的方法求函数的最值。
求值域的方法篇8
案例一：对所授课班学生答卷情况的统计分析（两班共120人）
A.{y|2≤y≤6} B.{y|3≤y≤6}
C.{y|2≤y≤3} D.{y|0≤y≤2}
该题不难，可得分不高.答卷情况是：选A（正确）的30人，选B、C、D的分别是80、4、6人.
选B项的学生数占总人数的三分之二，说明学生的思维定势是相同的.原因何在？我从三个方面进行分析。
1.查学情。①95%的学生上课听讲认真，讨论问题积极、发言踊跃，作业没有应付现象且能按时交上；②退一步说，如果没认真学习，就不会集中地选B项，应当是B、C、D机会均等；③调查监考老师，没有发现抄袭现象.
2.析教材。课本是人教版《第一册（上）》第2.1节，对函数的概念、定义域和值域给出了一般性定义，讨论了二次函数在x∈R上的值域。对求某个区间上值域的方法，课本没做具体要求，没给出例题和练习题.
该套教材体系，对值域的求法，高一是淡化的，高三时才以导数为工具，以极值为载体，做了系统的介绍.然而高一和高二的学习应用中，涉及包括二次函数在内的几个初等函数在给定区间上求值域的问题，要求学生要会做。可是，恰恰课本在这方面忽视了.因为课本中没做具体要求和示范性例题，所以学生对这方面知识的学习和探究没做到足够重视，这就是失分多的主要原因之一.
3.忆教学。根据教材体系的安排和要求，对值域概念的授课过程分四个阶段完成。定义：在讨论的基础上给出了函数值域的一般性定义，结合***像讨论和总结了一次、二次、反比例函数在定义域上值域的解法.练习：选用教材P51练习中的第2题，习题2.1中的第3题和第5题进行了练习.应用：用互为反函数的定义域与值域之间的关系，完成了求函数值域的第一次应用；通过研究指数函数和对数函数的性质，完成了求函数值域的第二次应用.通法通则：①掌握一次、二次、反比例、指数、对数函数在各自定义域上值域的一般解法；②用求反函数定义域的方法求原函数的值域；③求单调函数的值域.
综上，大多数学生选中B项的原因，主要是“解题方法迁移”错误，即把“求某个单调区间上值域的方法用在了求非单调区间上值域上”.根源在课堂教学时，对教材中的缺陷没做到及时补正.
4.启示。①初学函数的高一学生，值域概念是相当抽象的，教师要有计划地让学生循序渐进地感悟和掌握。②虽然教材淡化了传统的求值域的方法，但由于应用的需要，对初等函数在给定区间上求值域的方法，教材应当在例习题中有所显示。③教学引导上，要剔除误导学生思维的方法及例习题.
案例二：对自己命题、阅卷班级答卷的统计分析（考试班数6个，每班60人）
答对人数：3、4班96人；其余四个班共11人.得分悬殊，分析如下。
1.查学情。我校实行平行分班制，学习基础相同.经调查，上课的积极性，主动性无明显差异；课外作业量和效果无大的差异.
2.析教材。教材对二次函数单调性的处理做到了循序渐进和将其以重点知识呈现给学生的要求：用二次函数引出函数单调性概念；以学生不断练习为突破口，做到重、难点知识螺旋式上升.
3.究教学。考试后，摘录到3、4班课堂教学情况的一段听课记录片段：
A.a≥1 B.a＜1 C.a＞-1 D.a≤-1
学生思考、发言对答案.结果选A、B、C、D的分别为14、21、16、9人.
教师（没有肯定对错），要求学生用答题板陈述理由：
生1：函数的对称轴是x=1-a，当1-a＞0，即a＜1时，函数在（-∞，3］上是减函数，故选B.
生2：分别取a=-2，0，2，只有当a=-2时，函数在（-∞，2］上是减函数，故选D.
老师期望的解法是：“对称轴为x=1-a，只有当1-a≥2，即a≤-1时，函数在（-∞，2］上是减函数.”仅有4人用了老师期望的解法.
听课老师评语：虽然答对率低，但是都进行了积极的思考，尽管结果错误，可也显现出思维的灵活性和多样性，以及创新意识，这正是新课标的基本要求.教师对每种解法都做了鼓励，然后结合***像做了深刻细致的剖析.对生1解法的剖析，多数学生立刻明白了老师期望的那种解法，其他学生在坚持己见的同时，经过再次剖析，也消除了疑惑；对生3的解法，从（＊）出发，同样认同了为何选D.
其他四个班没做这样的补充例题，这就是得分悬殊的根源.
4.启示。对重点难点知识，教师要有预见性地引导；对教材中存在的不足，教师要及时给予完善，以引起学生的重视.如果教师不及时引导与完善，只靠学生自己的探究，就会受学生经验不足和知识面狭窄的制约，找不准关键要害，会浪费宝贵的时间和精力，达不到理想的效果.
案例三：对听课班级答卷的调研（该班70名学生，我听了与考题内容相符的授课）
试题：已知双曲线的右准线为x=4，右焦点为F（10，0），离心率e=2，求双曲线的方程.
1.忆学情。听课时看到，98%的学生听讲认真，发言积极，能***完成练习.
2.析教材。教材明确要求“掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单的几何性质”，“要学习一些常见的求曲线方程的方法”.
虽然该题求出的不是双曲线的标准方程，但此题是课本例3和习题8.4第7题的变形，说明教材的设计和安排是合理的.
3.查教学。教材要求要掌握答卷中的解5，多数学生会用这种解法，为何考试时没用这种解法呢？根源在教学引导上：授课时，例3用的是解5，而在随后练习习题8.4第7题时，分析引导到“曲线为双曲线”后，却用了解1和解2.
4.启示。①概念教学一定要准确.解1和解2的考生，没审出该双曲线的中心不是原点，就是概念不清所致。②备课时要参透每道例、习题所蕴含的要求和任务；在教学引导时，要做到不弃不漏。③教学中对双曲线的顶点、焦点、准线等几何性质及其关系，要足够重视。④解法多样折射出学生思考问题的多样性，这是要发扬的.
考试失分，除了不踏实、淘气、粗心等原因外，还有其他原因：教材内容设计欠完备、欠趣味、欠透彻，导致读书无兴趣、语句难以读懂；教学设计欠合理、教学引导欠全面、教学方法欠科学导致的听课吃力、乏味.
求值域的方法篇9
函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫作函数的值域. 注意：函数是映射的特例（对应集合为非空数集）.
函数三要素：定义域、对应法则、值域
如果两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数是同一个函数.
函数定义域的求法
由整体到局部，列出使函数有意义的自变量的不等关系式（组）并求解.常见依据为：
①分式中分母不为0；
②偶次根式（n为偶数）中被开方数x≥0；
③对数logax的真数x>0，底数a>0且a≠1；
④零指数幂x0的底数x≠0；
⑤求抽象函数定义域要认准自变量，如： f（x-1）的定义域为：x∈[2，3），则f（t）的定义域为：t∈[1，2）；
⑥应用题要考虑实际意义等.
【提醒】
①对于函数定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数f（x）和它对应.
②解定义域不等式组时注意利用***象和数轴等几何工具，确保不疏不漏，且定义域和值域都应写成集合或区间的形式.
③定义域是一个基本且重要的概念，不能只机械地掌握以上所列定义域的求解方法，要深刻理解定义域在函数问题中的作用，把对函数定义域的认识深化到任何与字母范围有关的问题中去，形成求定义域的意识.
易错情景有：解方程忽略方程本身要有意义；求函数解析式、函数值域、函数最值时忽视定义域；判断函数单调性、奇偶性时忽视定义域的影响；代数变形中扩大或缩小了定义域；换元过程忽视换元变量与原变量之间的关系，导致扩大或缩小变量取值范围；忽视新引入变量的取值范围等.
【自查题组】
（1） 已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的个数有 个.
（2） 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”. 那么函数解析式为y=2x2+1、值域为{5，19}的“孪生函数”共有 .
（A） 10个 （B） 9个 （C） 8个 （D） 7个
（3） 下列四组中，函数f（x），g（x）表示同一函数的是 .
（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x
（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1
（4） 若函数y= f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是 .
知识要点：函数值域的求法
单调函数直接法：直接判断函数在给定区间范围内的单调性，常用于求定义在闭区间上函数的值域. 如：函数f（x）=2x-，x∈[1，3]在给定区间[1，3]上单调递增，所以值域为[f（1），f（3）]，即1，.
复合函数换元法： 将函数中的变量单元看作整体，转化为求常用基本函数的值域.这个过程重在对基本初等函数的模式识别以及换元后变量取值范围的求解和使用.
常见基本函数类型有：二次函数型、幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型、双勾函数型.要结合各自的函数***象来帮助记忆函数的性质、特点.
其他常用方法：
①利用导数求高次多项式等非基本函数类型的最值（极值）.（必修不作要求）
②利用函数与方程的思想，把函数转换为方程求解. 如二次函数型可利用一元二次方程求解、三角函数可利用其有界性求值域等.
③利用基本不等式或联系几何意义求解. 如利用均值不等式或根据题意联想斜率、距离等几何意义，含二元变量的问题也可作为线性规划问题来解决.
【提醒】
①求基本函数及其复合函数的值域是很重要的考查类型，采用换元法求值域时注意通过换元所设变量与原变量之间的函数关系，应求出所设变量的取值范围，在此范围内求解.
②求特定范围内的函数值域问题，在不清楚所求范围内的函数单调性情况时，切不可盲目代值求解，应结合函数***象，找出***象的最低点（最小值）和最高点（最大值）.
③形如y=（分式型函数）的最值是高考解析几何等综合问题常考的类型，求解时常常先转化为双勾型函数、反比例型函数或二次函数的形式，再求最值.
【自查题组】
（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域为 .
（6） y=2x+1-的值域是 .
（7） 若函数f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为 .
（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），则f（x）的最大值为 .
（9） 函数y=+的值域是 .
（10） 函数y=的值域是 .
知识要点：函数***象
两类易混淆的函数***象
①对称函数：若对于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函数y=f（x）的***象关于直线x==对称，称为“自身对称”；
函数y=f（a-x）与y=f（b+x）的***象关于直线x=（由a-x=b+x求得）对称，称为“相互对称”.
②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.
常用***象变换方法
①平移：函数y=f（x+a）的***象可由y=f（x）的***象沿x轴向左（a>0时）或向右（a
函数y=f（x）+a的***象可由y=f（x）的***象沿y轴向上（a>0时）或向下（a
②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的***象可由函数y=f（x）的***象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；
函数y=af（x）（a>0）的***象可由函数y=f（x）的***象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.
③翻折：y=f（x）的***象可以看作y=f（x）的***象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；
y=f（x）的***象可以看作y=f（x）的***象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧***象，并保留y轴右侧***象所得.
④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的***象关于直线x=0对称；
函数y=f（x）与y=-f（x）的***象关于直线y=0对称；
函数y=f（x）与y=-f（-x）的***象关于坐标原点对称.
【提醒】
①识***、辨***类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.
②在进行函数***象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的***象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].
③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数***象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.
【自查题组】
（11） 函数y=的***象大致为 .
（12） 已知函数y=f（x）的***象如***1所示，则函数y=f（x）的***象为
（13） 已知函数f（x）的***象如***2所示，那么f（x）的解析式可以是 .
（A） f（x）=x2-1
（B） f（x）=x2-2x
（C） f（x）=x2-2x
（D） f（x）=
（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的***象，只需把函数y=sinx的***象上所有的点 .
（A） 向左平行移动1个单位长度
（B） 向右平行移动1个单位长度
（C） 向左平行移动π个单位长度
（D） 向右平行移动π个单位长度
（15） 如***3所示，函数y=f（x）的***象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .
【参考答案】
（1） 0或1
（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】
（3） C 【关键是分析各函数的定义域】
（4） （0，1）
（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】
（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】
（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】
（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的***象，如***4所示.相关区域内不满足题意的部分函数***象，在***中用虚线表示】
（9） [10，+∞）
（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】
（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，***象关于y轴对称，当x∞时函数值趋近于1】
（12） B
（13） B 【由***象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】
求值域的方法篇10
本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。
函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和高中数学.
对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.
高一学生学习集合的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数***象的特征、两个相同函数的条件等问题.
学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表示.
课程目标
学科素养
能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数
会求函数的定义域
会求函数的值域
1.逻辑推理：同一个函数的判断；
2.数学运算：求函数的定义域，值域；
1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；
2.教学难点：求函数的值域。
多媒体
复习回顾，温故知新
1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x) x∈A．
x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
2.对函数符号y=f(x)的理解：
（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号， f(x)不是f与x相乘。
例如：y=3x+1可以写成f(x)= 3x+1。
当x=2时y=7可以写成f(2)=7
想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？
一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。
（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，
如:“y=g(x)”，“y=h(x)”；
二、探索新知
探究一 同一个函数
前提条件
定义域相同
对应关系完全一样
结论
是同一个函数
思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？
提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系即可．
探索二 常见函数的定义域和值域
思考2：求二次函数的值域时为什么分和两种情况？
提示：当a>0时，二次函数的***象是开口向上的抛物线，观察***象得值域为{y|y≥}．
当a
例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．(
)
(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．(
)
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．(
)
[解析] (1)f(x)＝与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．
(2)例如f(x)＝与g(x)＝的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．
(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．
例2 (2019·江苏启东中学高一检测)下***中，能表示函数y＝f(x)的***象的是(
)
[解析] 由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的***象至多有一个交点，可知选项D中***象能表示y是x的函数．
例3．若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为( A )
A．{－2,0,4}
B．{－2,0,2,4}
C．{y|y≤－} D．{y|0≤y≤3}
例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是(
)
A．{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－1,0,1}
[解析] 函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．
关键能力·攻重难
题型一 函数的值域
1、函数的值域是(
)
A．(－3,0]
B．(－3,1] C．[0,1] D．[1,5)
[分析] 首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数的对称轴与限定区间的位置关系．
[解析] 由，可知当x＝2时，；当x＝0时，，
因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．
[归纳提升] 二次函数的值域
(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；
(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；
(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．
题型二 同一个函数
2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？
(1)y＝与y＝1；
(2)y＝与y＝x；
(3)y＝·与y＝.
[分析] 判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可．
[解析] (1)对应关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．
(2)对应关系不相同，y＝＝|x|＝的定义域为R，y＝x的定义域也是R，但当x
(3)函数y＝·的定义域为使成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝，而y＝的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．
[归纳提升] 判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤
(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．
题型三 复合函数、抽象函数的定义域
3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.
(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为______________.
(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.
[分析] (1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．
(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．
(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．
[解析] (1)由－1
(2)－1
(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，
由－1
[归纳提升] 函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：
(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．
误区警示
函数概念理解有误
1、设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个***形(如***所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
[错解] 函数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．
[错因分析] 不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．
[正解] ***(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它对应的数，不符合函数的定义；***(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；***(3)显然不符合函数的定义；***(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有***(2)正确．答案为B．
[方法点拨] 函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．
学科素养
求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用
1．分离常数法
求函数y＝的值域．
[分析] 这种求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋的形式再求函数的值域．
[解析] y＝＝＝3＋，
又≠0，y≠3.函数y＝的值域是{y|y∈R，且y≠3}．
[归纳提升] 求y＝这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋的形式．
2．配方法
求函数的值域
[解析] ，
其***象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．
根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且；当x＝－2时，y取最大值，且.
故的值域是[－12,3]．
[归纳提升] 遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋)2＋的形式，从而求得函数的值域．
3．换元法
求函数y＝x＋的值域．
[分析] 忽略常数系数，则x与隐含二次关系，若令＝t，则x＝(t2＋1)，于是函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由有意义确定，故t的允许取值范围就是的取值范围．
[解析] 设u＝(x≥)，则x＝(u≥0)，
于是y＝＋u＝(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥.
故函数y＝x＋的值域为[，＋∞)．
[归纳提升] 求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．
WORD模版
源自网络，仅供参考！