学文网排列与组合篇1
（大同市卫生学校，山西 大同 037004）
【摘 要】本文以排列与组合的相关概念、原理及方法为基础，系统的分析了学生学习过程中存在的问题，并通过对“两步骤法”的总结，以期达到理清学生思路、高效求解的目的。
关键词 排列组合；教学；原理；方法；两步骤法
排列与组合这部分内容，具有内容独特，比较抽象的特点。我们在给学生讲解这部分内容的时候，应从学生的实际出发，紧扣基础概念，基本思想方法，着眼于对学生能力的培养，达到根据典型题型而举一反三的效果。
1 排列与组合
本章主要内容有：两个基本原理，即加法原理和乘法原理，两个基本概念排列与组合，组合数的两个性质，排列组合应用题。这四个方面是教材的重点，而解应用题是难点。通过复习来引导学生进一步掌握好以下几个关键环节。
1.1 扣住原理，把握“四分”
加法原理：完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2钟不同的方法，…在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1＋m2＋…mn种不同方法。乘法原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…mn种不同方法。加法原理和乘法原理是解排列，组合的基础[1]。只要立足于这个基础，才能以原理应万变。排列是从n个不同元素中，任取m个元素按照一定顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。与顺序有关。而组合是从n个不同元素中任取m个元素，不管顺序如何并成一组，（m≦n)。“四分”即仔细分析题意、正确区分排列与组合、科学分类、合理分布，以保证不重、不漏、不错、不乱。
说明：（1）通常把完成题设事件的所有方式分成相互排斥的若干“互斥”类，又在同一类中将完成事件的方式分成若干相互不影响的“***步”。
（2）鉴别排列、组合的有效方法是将同一“***步”中的两个元素交换位置，看完成事件的方式是否发生变化。若发生变化是排列问题，否则，是组合问题。一般先作组合处置，在鉴别，确定是否是排列问题。
（3）排列组合应用题中条件基本上是以文字给出的，特别是一些关键字眼，如“至多”、“不少于”、“恰好”、“至少”等，常常一字之差，面目全非，务必仔细审题。
1.2 题组归类、掌握典型
解排列组合应用题时，学生常感到变化多、复杂，以至产生为难情绪。由于教材所涉及内容可归结为几种典型模式，通过题组，由浅入深，引导学生分析对比，归纳总结，使学生手中有典型，有利于学生掌握规律，增强信心，提高解题技能。
例1、现有4名男同学，5名女同学。问：（1）全体排成一行，有多少种不同的排法？
1.3 切实掌握基本分析法[2]
审题后一般应先确定着眼于“因素”或“位置”，再采用直接解法或间接解法或两者兼顾。可从不同角度给出几种解法。（如例1中3）解法一：若甲在最右边位置有
说明：（1）以上的解法中第一种是直接解法，第三、四种是间接解法，第二种二者兼有。不少问题正面复杂，而反面分析简单易解。（2）问题中的元素的位置常不是明确的，这就需要根据题意建立相对应关系，再依据确定的“元素”或“位置”去进一部求解。（3）因分析角度不同，常可一题多解。在排列组合的问题中一题多解，有助于活跃学生的思维，提高解题技巧，也是检验解题正确与错误的重要手段。
1.4 化难为易
是指将问题在不改变实质的前提下变抽象为具体，变一般为特殊，变大数据为小数据，经过剖析将复杂的问题退回到最简单最基本的几个类型上去，优先安排那些受条件限制的特殊元素，特殊位置。
例2、 11名学生中5名只会英语，4名只会日语，另外二人即会英语又会日语，11名中选4名参加英语比赛，4人参加日语比赛，问有多少种不同的选法？此例是一较困难的问题（很明显与顺序无关是组合问题），然而学习和生活经验告诉我们一种简单合理的方法是先选参加英语（日语）比赛学生，后选参加日语（英语）比赛的学生，会两国语言的学生地位特殊，优先被考虑，即得出以下三类选法。(1)会两国语言
初学排列组合的学生难免会把排列组合应用题神秘化，而盲目的去猜套公式，经过学习总结经验，使得他们学会把具体问题抽象为排列组合问题，正确的代入公式。
2 理解公式的“两步骤法”
此公式是在推导组合数计算公式的过程中，从排列与组合的概念出发，根据乘法原理得到的组合数与排列数之间的一个重要关系式，它的重复性不只表现在组合数计算公式的推导方面，反之，还可以帮助我们复习巩固排列与组合的概念，对于我们解决一些有关排列与组合的应用题有着重要的启示作用。应该这样理解该公式：求从n个不同的元素中取出m个不同元素的排列数
，可以分一下两步来完成：第一步，求从这n个不同元素中取出m个不同元素的组合数；第二步，求每一组合中m个元素的全排列数。我们把这两个步骤形象的称之为“先分组，后排序”，按照这样的两个步骤可以更容易理解排列与组合的概念及关系。定义中的“从n个不同的元素中取出m个不同元素”，我们理解为“先分组”，将取出来的一组m个元素“按照一定的顺序排成一列”正是“后排序”。这里的“先分组”就是先得到一个组合，“后排序”则反映出排列与组合的根本区别。根据上述对排列与组合的概念的理解，我们在解决一些应用问题的时候也可以用这个“两步骤法”去进行分析，分析过程如下：（1）弄清要求的排列中有几个元素（2）这几个元素来自于哪一组元素，然后由乘法原理得出结果。下面举一个简单的例子来说明“两步法”的具体应用。
例3、从5名同学中任取3名同学分别担任3中不同的职务，共有多少种不同的排列方法？
分析:（1）3名同学分别担任3种不同的职务共有种方法。（2）这3名同学是从这5名同学中选出的，共种方法。由乘法原理可得，共有不同方法。由此例子可以看出“两步骤法”对于解决一般的排列组合问题很有效，可以帮助学生迅速找到问题结点，快速解答[3]。而对于复杂的问题而言，“两步骤法”也可以很好的帮助学生缕清思路，作为分析的基础。
综上所述，在带领学生复习排列组合这部分内容的时候，要努力使学生夯实基础、理解概念，并通过对典型题型的分析以及重要公式的剖析加深体会，以达到灵活运用知识进而举一反三的目的。
参考文献
［1］管宏斌.解排列、组合题的常见误区[J].中学生数理化(高考版),2012(01).
［2］袁发启.浅谈直接法与间接法在排列组合应用题中的应用[J].周口师专学报,1994(04).
排列与组合篇2
关键词：数学教学；排列与组合；顺序
中***分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）23-0139
在排列组合问题中，由于元素的顺序已定，即使是“没有差别的元素”，但由于其顺序不同，导致这些元素也应该看作不同的元素；如在进行的十次射击中，第一***、第二***都命中目标，但由于它们的顺序不同，故应看作不同的元素；在解决这些与顺序有关的计数问题时，可用排列、组合的常规模型进行求解，但在求解方法种数时，由于受到顺序的影响，可根据实际情况灵活运用排列、组合的常规模型。
一、排列与组合在与顺序有关的问题中的区别
例1. 飞碟（隶属射击项目），是奥运会射击比赛项目之一，由于其近似狩猎活动，趣味性强，深受人们的欢迎。某人在飞碟射击项目中射击8***，命中4***。
（1）命中的4***中有恰好有两个两***连续命中（不能出现四***连续命中），有多少种不同的情况？
（2）命中的4***中有且仅有三***连续命中，有多少种不同的情况？
分析：（1）因为是两***连续命中，可把连续命中的两***“捆绑”在一起.由于两个“捆绑”在一起的“大元素”不相邻，可以采用插空法解决问题，但由于射击的顺序已定，不需对没有命中目标的射击（即不受限制的元素）再进行排列，又由于“捆绑”在一起两个的“大元素”之间没有差别，属组合问题；（2）解法同（1），但由于“捆绑”在一起的“大元素”与另一命中目标的一***不相同，属于排列问题。
解：（1）把两个连续命中目标的两***“捆绑”在一起，形成两个“大元素”，且这两个“大元素”不相邻，使用插空法。命中目标的4***除外，还剩没有命中目标的4***。
第一步，这剩余的4***都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；
第二步，把两个相同的“大元素”插入已经排好的4***形成的5个空中，有C2种插法。
（如***所示，
如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，5，6***命中目标）
根据分步乘法计数原理，其所有情况数有C2=10种。
（2）把连续命中目标的三***“捆绑”在一起，形成一个“大元素”，且这个“大元素”与命中目标的另一***不相邻，使用插空法，命中目标的4***除外，还剩没有命中目标的4***。
第一步，这剩余的4***都是没有命中目标，元素相同，其排法只有一种；
第二步，把“捆绑”在一起的“大元素”和命中目标的另一***共两个不相同的元素，插入已经排好的4***形成的5个空中，有A2种插法。
（如***所示，
如选中第一、第三个空位，则相当于第1，2，3，6***命中目标）
根据分步乘法计数原理，其所有情况数有A2=20种。
点评：本题实际上还是考查了不相邻问题，对于不相邻问题，我们往往利用了“插空法”使问题顺利地解决。
二、与顺序有关的最短距离问题
例2. 如***是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从A点到B点的不同路径之中，最短路径有多少条？
分析：从A点走到B点最短路线的做法，即只能向右或向下走，且只能走7步。这7步的顺序一定，向同一方向的可看着相同元素，所以只要在7步中确定哪些步向下即可解决问题。
解：总揽全局：把质点沿网格线从点A到点B的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，
因此，本题的结论是：C3=35。
点评：观察分析并能通过分析得出解决问题的模型是解决此类问题的关键。
三、可转换为与顺序有关的排列组合问题
例3. （1）在连续自然数100，101，102，……999中，对于0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有 个。
分析：要完成这件事情需分两大步，第一步，从0到9这十个数字中选出三个不同且不相邻的数字，第二步，把选出的数字按递增或递减的顺序排列。难点在于第一步，但我们可以先借鉴例1的经验解决此问题。
解：第一类，选出的三个数字中含有“0”。
第一步，从剩余的9个数字中选出另两个数字，如***所示，
从可插空的8个位置中选出2个（如选第一、第五个空相当于选择数字1，5）共有种选法；
第二步，由于有数字“0”，所以只能按递增进行排列，各组数字各有一种排法，
根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C2×1个。
第二类，选出的数字不含数字“0”
第一步，从剩余的9个数字中选出另三个数字，如***所示，
从可插空的7个位置中选出3个（如选第一、第二、第五个空相当于选择数字1，3，7）共有C3种选法；
第二步，选出的数字按照题意有递增和递减两种排列方法，
根据分步乘法计数原理，可得含有数字有“0”且满足题意的数字共有C3×2个。
根据分类加法计数原理，可得满足题意的数字共有C2×1+C3×2=98个。
排列与组合篇3
症状一 ＞＞
概念记忆有误
表现不清楚排列组合与概率统计的思维误区，导致错解基本概念问题（如分步问题错解成分类问题，分类问题错解成分步问题等）.
症结对概念的理解不到位，对必要的基础知识不能完整地保留在头脑里，致使记忆发生了偏差，从而不能正确解题.
突破之道应加强对基础知识的系统化记忆，以及对解题模式和解题方法的归纳，并对相关知识进行对比记忆.
例1甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙两人依次各抽一题.
（Ⅰ）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
（Ⅱ）甲、乙两人中至少有1人抽到选择题的概率是多少？
解析：甲、乙二人依次抽题是分步问题而不是分类问题，在解题时需要注意.
（Ⅰ）甲从选择题中抽到一题的可能结果有C个，乙依次从判断题中抽到一题的可能结果有C个，故甲抽到选择题，乙依次抽到判断题的可能结果有CC个，又甲、乙依次抽一题的结果有CC个，所以甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率为＝，即所求概率为.
（Ⅱ）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为＝，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为1－＝，即所求概率为.
例2在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
解析：本题则是分类讨论问题. 通过分析个位数字，可得个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个；同理，个位是8的有7个；…个位是2的有1个. 由分类计数原理知，满足条件的两位数有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36个.
症状二 ＞＞
缺乏对公式的应用能力
表现不会应用公式，拿到题目时不知从何处下手.
症结没有正确理解公式的应用条件，遇到具体题目时不能准确判断事件的类型（如相互***事件、互斥事件等），从而分不清什么情况下该用哪个公式.
突破之道正确理解公式的应用条件，重视对公式的对比分析，并加强对比题目的练习.
例3某会议室用五盏照明灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为P1，寿命为2年以上的概率为P2，从使用之日起每满一年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要更换灯泡的概率和更换两只灯泡的概率；
（Ⅱ）求在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当P1＝0.8，P2＝0.3时，求在第二次灯泡更换工作中，至少需要更换4只灯泡的概率. （结果保留两位有效数字）
解析：（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，不需要更换灯泡，意味着这五只灯泡都使用一年以上，且每只灯泡好坏相互***，所以不需要更换灯泡的概率为P15. 因此，在第一次灯泡更换工作中，需要更换两只的概率为CP13（1－P1 ）2.
（Ⅱ）对该盏灯来说，分为两类. 一类是第一、二次都更换了灯泡，概率是（1－P1）2；二类是第一次未更换灯泡而第二次需要更换，即该灯泡的使用寿命超过一年且没超过两年的概率为P1（1－P2）. 所以，所求概率为P＝（1－P1）2＋P1（1－P2）.
（Ⅲ）当P1＝0.8，P2＝0.3时，在第二次灯泡更换工作中，每只灯泡更换的概率为P＝（1－0.8）2＋0.8（1－0.3）＝0.6. 至少换4只灯泡应包括换5只和换4只. 换5只的概率为P5，换4只的概率为CP 4（1－P）. 所以，至少更换4只灯泡的概率为P3＝P 5＋CP 4（1－P）＝0.65＋5×0.64×（1－0.6）≈0.34，即满两年至少需要更换4只灯泡的概率为0.34.
例4已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球. 现从甲、乙两个盒内各任取2个球.
（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率.
解析：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B.
由于事件A，B相互***，且P（A）＝＝，P（B）＝＝，故取出的4个球均为黑球的概率为P（A・B）＝P（A）・P（B）＝×＝.
（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.
由于事件C，D互斥，且P（C）＝・＝，P（D）＝・＝，故取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C＋D）＝P（C）＋P（D）＝＋＝.
症状三 ＞＞
缺乏对题意的理解能力
表现求解数学期望时，找不准随机变量及其可能的取值，导致解题出错.
症结对题意的理解不够深刻，对题型也不够熟悉.
突破之道认真理解随机变量的概念，平时做题时应加强对题意的理解，多做题，多总结.
例59粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若1个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若1个坑里的种子都没有发芽，则这个坑需要补种. 假定每个坑至多补种一次，每补种一个坑需10元，用ξ表示费用，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. （精确到0.01）
解析：因为某个坑内的3粒种子都不发芽的概率为（1－0.5）3＝，所以该坑不需要补种的概率为1－＝. 故3个坑都不需要补种的概率为C×
所以随机变量ξ可能的取值为0，10，20，30. 故分布列为
[ξ \&0\&10\&20\&30\&P\&0.670\&0.287\&0.041\&0.002\&]
故数学期望Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.75.
例6一名者放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规则：凡愿意摸彩者，每人交1元钱作为“手续费”，然后可以一次从袋中摸出5个球，情况如下表：
[摸5个球\&中奖发放产品\&有5个白球\&1个帽子（价值20元）\&恰有4个白球\&1张贺卡（价值2元）\&恰有3个白球\&纪念品（价值0.5元）\&其他\&同乐一次（无任何奖品）\&]
试计算：（Ⅰ）摸一次能获得20元奖品的概率；
（Ⅱ）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，求出净赚多少钱. （精确到1元）
解析：在一次摸球中，者获得的收入是不确定的，故可将其作为一个随机变量，而他能否赚钱，就看该随机变量的期望是否大于0.
（Ⅰ）摸一次能获得20元奖品的概率为P＝＝.
（Ⅱ）如果把摸到白球的个数作为随机变量ξ，则P（ξ＝5）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝2）＋P（ξ＝1）＋P（ξ＝0）＝.
由于者的收入这一随机变量η（可能是负数值）有－19元，－1元，0.5元，1元四种可能，故分布列为
排列与组合篇4
1. 若[a，b，c]是取自集合[{1，2，3，4，5，6，7}]中的三个不同的数，且满足[ab+bc+ca]为奇数，则[a，b，c]不同选取方法共有（ ）
A. 132种 B. 96种
C. 60种 D. 24种
2. [（x2+3x+2）5]的展开式中含[x]的项是（ ）
A. [220x] B. [120x]
C. [240x] D. [140x]
3. 某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
[产品类别＼&A＼&B＼&C＼&产品数量（件）＼&＼&1300＼&＼&样本容量＼&＼&130＼&＼&]
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是（ ）
A. 700件 B. 800件
C. 500件 D. 600件
4. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下面茎叶***所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
[8 9 7
9 3 1 6 4 0 2]
A. 91.5和91.5 B. 91.5和92
C. 91和91.5 D. 92和92
5. 利用简单随机抽样，从[n]个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为[13]，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A. [13] B. [514] C. [14] D. [1027]
6. 在辽宁“全运会”的火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）
A. [151] B. [168] C. [1306] D. [1408]
7. 学生通过演示实验来估算不规则***形的面积，先在平面内画四条直线[x=0，x=5]，[y=-2，y=1]围成矩形，再画两条曲线[y=log2x，y=log2（x-3）]，称两条直线[y=-2，y=1]和两条曲线[y=log2x，y=log2（x-3）]围成的区域为曲边矩形，如***所示.现随机向矩形投射飞标，则落在曲边矩形内的数[N1]与落入矩形内的数[N2]的比大约为（ ）
A. [35] B. [710] C. [45] D. [34]
8. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为[a]，第二次出现的点数为[b]，向量[m=（a，b），n=（1，2）]，则向量[m]与向量[n]不共线的概率是（ ）
A. [16] B. [1112] C. [112] D. [118]
9. 已知随机变量[ξ]和[η]，其中[η]=12[ξ]+7，且[Eη]=34，若[ξ]的分布列如下表，则[m]的值为（ ）
[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&4＼&[P]＼&[14]＼&[m]＼&[n]＼&[112]＼&]
A. [18] B. [14] C. [16] D. [13]
10. 设一随机试验的结果只有[A]和[A]，且[P（A）=m]，令随机变量[X=1， A发生，0， A不发生，]则[X]的方差[DX=]（ ）
A. [m] B. [2m（1-m）]
C. [m（1-m）] D. [m（m-1）]
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 一个工厂生产了24000件某种产品，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查.已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的产品个数恰好组成一个等差数列，且知这批产品中甲生产线生产的产品数量是6000件，则这批产品中丙生产线生产的产品数量是 件.
12. 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为[ξ]（单位：小时），已知[ξ][?][N]（1000，302），要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为[99.7%]，问灯泡的最低使用寿命应控制在 小时以上.
13. 一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数[ij]为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，则[i+j]= .
14. 设某大学的女生体重[y]（单位：kg）与身高[x]（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据[（xi，yi）]（[i]=1，2，…，[n]），用最小二乘法建立的回归方程为[y=0.85x-85.71]，若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 kg.
三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）
15. 某传媒公司为了解某地区观众对某“韩剧”的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该“韩剧”时间的频率分布直方***：将日均收看该“韩剧”节目时间不低于40分钟的观众称为“忠实韩剧迷”，已知“忠实韩剧迷”中有10名女性.
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“忠实韩剧迷”与性别有关？
[＼&非忠实韩剧迷＼&忠实韩剧迷＼&合计＼&男＼&＼&＼&＼&女＼&＼&＼&＼&合计＼&＼&＼&＼&]
（2）将日均收看该“韩剧”节目不低于50分钟的观众称为“超级忠实韩剧迷”，已知“超级忠实韩剧迷”中有2名女性.若从“超级忠实韩剧迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
[[P（K2≥k）]＼&0.05＼&0.01＼&[k]＼&3.841＼&6.635＼&]
附：[K2=n（n11n22-n12n21）2n1+n2+n+1n+2].
16. 由于某高中建设了新校区，为了交通方便要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为[14]，不堵车的概率为[34]；汽车走公路②堵车的概率为[p]，不堵车的概率为[1-p]，若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为[716]，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望.
17. 高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共6个不同志愿（每批2个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如表所示（表中的数据为相应的概率，[a，b]分别为第一、第二志愿）.
[批次＼&高考上线＼&[a]＼&[b]＼&第1批＼&0.6＼&0.8＼&0.4＼&第2批＼&0.8＼&0.9＼&0.5＼&第3批＼&0.9＼&0.95＼&0.8＼&]
（1）求该考生能被第2批[b]志愿录取的概率；
（2）求该考生能被录取的概率；
（3）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字）
18. 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是[1328].
（1）求乙盒中红球的个数；
排列与组合篇5
关键词：高中数学；排列组合；解题方法
中***分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）16-100-01
高中数学教学大纲将排列组合加入到高中数学教材中，该部分内容与学生的生活有紧密的联系，且具有较强的抽象性与灵活性，这也是学生学习起来比较难以掌握的地方。排列组合概念十分简单，而运用到实际解题中学生却容易出错。随着近几年高考题着重考察学生的抽象思维能力的变化，排列组合越来越受到高考题的青睐，往往会在选择、填空、应用题中出现，学生们往往一看见排列组合的题，就会心生畏惧，对解题形成了很大的心理障碍，以致于在这方面失分。这就要求教师在平时的教学中应教给学生解题策略，使学生掌握解题技巧，从而能够无所畏惧地进行解题。现结合多年的教学经验，对高中数学中排列组合的解题方法浅谈以下几点：
一、认真区分排列与组合，提高解题正确率
乍一看排列与组合的概念十分相似，许多同学对于这两个概念根本没弄清楚。因此，在平时的教学中教师就应该向学生讲解排列与组合概念的区别，让学生明白排列是有顺序的排列，而组合是无顺序的组合。让学生不仅对概念有更深层次的了解，在解题的过程中也能够充分运用好。若在解题过程中忽视了排列与组合的区别，容易得出错误的结果。如：将完全相同的4个红帽子和6个黑帽子排成一排，共有多少种不同的排法？在解这道题时有的同学没有认真读题，错误地认为是将10个相同的帽子进行排列，所以得出了 种排列方法。得出这样结果的同学在读题中未注意到完全相同的4个红帽子和6个相同的黑帽子，颜色相同的帽子即使发生了位置的变化，排法也是同一种。因此，应这样分析：10个帽子对应着10个位置，在10个位置中选择4个红帽子的位置，剩下的位置留给黑帽子，又因为4个红帽子是完全相同的，所以属于是组合的问题，因此得出的排法应该是 种。
在平时的教学中教师应指导学生多进行练习，并能够举一反三，让学生再次遇到类似的问题能够轻而易举地得出答案。
二、引导学生掌握常用的基本解题方法
1、插空法。
插空法在排列组合题目中较为常用，是指题目中要求某些元素不相邻，使用其他元素隔开，先将其他元素进行排列，再将题目中要求不相邻的元素插入到其他元素的空隙及两端。这一方法在“男女生座位”中更为多用。如：班级座位的一个纵列有7名女生和4名男生，要想将4名男生分开，任何2名男生不能前后相邻，问有多少种排法？通过分析可知7名女生不同排法有 种，7名女生中间的空隙及两端共有8个位置将4名男生去，共有A84种，因此，任何2名男生不得前后相邻共有 种排法。在平时的学习中应向学生灌输该方法的优点，让学生活学活用。
2、特殊优先法。
特殊优先法就是在解题过程中优先考虑有限制条件的元素，该方法在“小球排列”中较为多用。如：共有12个小球，其中1个白球，5个红球，6个蓝球，要求相同颜色的小球必须排在一起，且不能将白球放在两边，问共有多少种排法？在解这类题目时应将三种颜色的球看作一个整体，而白球受到了限制不能放在两边，所以应该优先考虑，其他两种颜色的球又各自全排列，因此，得到的结果是 种。
3、捆绑法。
指的是在解决要求某几个元素相邻问题时，可将相邻元素整体考虑。如：将7把椅子排成一列，其中a、b两把椅子必须排在一起，问共有多少种排法？类似于这样的题目可以使用捆绑法解决，将a、b两把椅子看成一个整体，与其余的5把椅子进行全排列共有 ，而a、b两把椅子的排列有 种，因此可得出共有 种排法。
在实际的教学中教师应指导学生以上以上三种常见的方法相结合，并能灵活运用。
三、引导学生进行实际操作，激发学生学习排列组合的兴趣
在排列组合的教学中教师若只是枯燥地讲解，或是留给学生大量的练习题，而并不是结合学生的实际进行操作，一来学生提不起学习的兴趣，二来不能提高做题效率。因此，在教学中教师应从实际出发，寻找与学生贴近的题目，如颜色球的排列、帽子的排列、油画的排列、占位子等等很多有趣的题目。教师可以利用这些题目让学生进行实际的操作，这样不仅激发了学生的学习兴趣，也间接提高了学生们的动手能力。例：占位子的问题，有五个从1-5编好号的同学，有5把同样编号的椅子，要求，只有两名同学坐在与其编号相同的椅子上，有多少种不同的方法？这样具有现实意义的题型，教师完全可以让学生亲自来体验，将五名同学和五把椅子编号，让学生在教师指导下，自己完成多种座位的方法，这样不仅调动了学生们学习的积极性，又活跃了课堂气氛，对学生们排列组合的学习是有极大益处的。
总之，在高中数学教学中，教师应注重排列组合的教学，多结合生活实际进行讲解，使学生根据不同类型的题目掌握不同的解题方法，以为后面概率的学习打下坚实的基础。而排列组合的解题方法不止上文提到的三种，在具体的教学中教师还应根据题目要求，选择合适的解题方法，有时候不同的解题方法间可结合运用，最终以学生掌握解题技巧为目的。
参考文献：
[1] 赵家林.排列组合在数学解题中的技巧探讨[J].数学学习与研究，2014（03）
排列与组合篇6
智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）规则（需要以概念为先决条件）高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．
据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如***1所示．排列、组合P概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．
排
列
、
组
合
概念
从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.
专题一
算法
在解释P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由P1n或C1n组成的算式来解答）．
专题二
排列数公式与计算
专题三
组合数公式、计算与性质
应用
用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.
专题四
用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．
专题五
用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．
专题六
***1
于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）基本算法规则的掌握（原理与公式）概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．
2．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性
运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．
因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如***2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．
排
列
、
组
合
概念
排列、组合的概念
算法
算法原理、计算公式
应用
解排列、组合问题
***2
值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．
3．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性
如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．
按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．
（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．
（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．
4．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性
我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．
于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：
（1）排列与组合的判定标准（见前文）．
（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．
（3）排列数公式的特征（略）．
（4）组合数与排列数的关系（略）．
（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：
①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．
所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．
②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．
处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．
③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．
解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性
智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．
所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．
在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．
为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构***等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．
（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．
（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．
一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．
错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．
故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?
错解：由分步法得C12C299＝9702（种）．
略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．
参考文献
1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，1990
排列与组合篇7
关键词：排列；组合；解题方法
Abstract: in order to improve the secondary students solve the permutation and combination problem ability, to try to arrange a combination of typical questions classified analysis. The topic selection comprehensive to arrange a combination of some of the most common problem solving method, and the application of problem solving in clever.
Keywords: arrangement; Combination; Problem solving method
中***分类号：G623.5文献标识码：A 文章编号：
中职教学中，排列组合问题一直是重点，也是难点，更是春季高考和三二分段学生中职升高职转段考试的必考内容，尤其从2012年开始，春季高考和3+2转段考试题型以及考试内容发生了很大的变化。自2009级的学生（2012年参加高考或转段考试）开始使用中等职业教育课程改革国家规划新教材，而新教材中增加了概率与统计的内容，占到考试比例的18%，这让作为概率基础的排列组合显得尤为重要。
对于中职学生来说，排列组合题型多，如何分析解答排列组合问题成了一个难点，针对这种情况，本文就解决排列组合问题的一些技巧进行总结归纳。
基本知识的掌握
掌握好“分类计数原理”和“分步计数原理”，这两个原理是排列组合的基础性原理。
“分类计数原理”是指完成一件事，有类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法，……，在第类方式中有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。
“分步计数原理” 是指完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，……，做第步有种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。
必须深刻理解排列组合的概念，牢记排列数和组合数的公式。
排列与排列数：在个不同的元素中选出个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从个不同元素中选出个元素的一个排列；在个不同的元素中选出个元素的所有排列的个数叫做从个不同元素中选出个元素的排列数，记作。排列数的公式为：
组合与组合数：在个不同的元素中选出个元素，组成一组，叫做从个不同元素中选出个元素的一个组合；在个不同的元素中选出个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中选出个元素的组合数，记作。组合数的公式为：
弄清楚排列和组合的区别：排列有顺序性，组合无顺序性。
排列组合问题的解决技巧
针对新教材的指导方针和解题难度，本文总结了几种解决排列组合问题的方法。
1、特殊元素与特殊位置优先法：哪个元素或者哪个位置有特殊要求则对该元素或者该位置优先安排。
例1：用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的3位数？
分析：0不能作为首位，所以首位为特殊位置，所以要首先安排。
解：第一步：因为0不能作为首位，所以首位只能从1,2,3,4,5五个元素中选取，为种方法；第二步，十位和个位上的数字可以从剩下的五个数字中选择两个排列，为种方法。
共可组成个3位数。
2、固定位置忽视法：对于某个元素必须要在某个位置上的，直接忽视这个元素和这个位置。
例2：用1，2，3，4，5可以组成多少个大于50000的没有重复数字的五位数？
分析：要大于50000，首位必须要是5，所以在排的时候可以忽略5，同时首位的位置也可以忽略。将其他四个数在其余四个位置排列即可。如***：
5 千位 百位 十位 个位
解：共有种不同的方法。
3、相邻元素捆绑法：对于必须相邻的问题将两个必须相邻的元素捆绑在一起成为一个复合元素再与其他元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
例3：五个人站成一排，甲乙两人必须相邻，共有多少种不同的排法？
分析：甲乙必须相邻，则把甲乙两个人看成一个复合元素与其他三人进行排列有种方法，同时甲乙内部可以互换位置，有种方法。
解：共有种排法。
4、元素顺序固定消序法或留空法：如果两个元素的需要的顺序是一定的，那可以先把所有元素排列，再消去（除以）这几个元素的顺序；或者先把其他元素选择位置排列好，留下两个位置给这两个元素。
例4：6个人排成一排，甲总站在乙的左侧有多少种站法？
分析：将六个人依次排好，有种站法，然后消去甲乙的顺序；或者先让甲乙之外的四人从六个位置中选出四个站好，剩下的两个位置甲乙只有一种站法。
解：共有或者种站法。
5、不相邻问题插空法：解决这类问题要先把没有位置要求的元素进行排列，再把有位置要求的元素插入进去。
例5：3门不同的文化课和2门不同的专业课排在同一天的课表里，一门只排一节，且专业课不能相邻，有多少种排法？
分析：第一步先将没有顺序要求的文化课排好，有种排法，然后在出现的五个空位中选出两个把专业课排进去。如***所示：
空位 专业课 空位 专业课 空位 专业课 空位
解：共有种排法。
6、多排问题直排法：元素分为多排的排列问题，可以归为一排考虑，再分段研究。
例6：有两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，现有8名学生入座，每人一个座位，甲要坐在第一排，求不同的坐法总数。
分析：8个人分成两排，可以看做8个人坐成一排，分两部分排列即可。甲先选择，从第一排中的三个座位中选择一个坐，方法为，剩下7人随便坐即可。如***所示：
解：共有种坐法。
7、不平均分配分组法：对于不平均分配的问题，先将元素分好组，然后排列即可。
例7：有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程，共有多少种分配方式？
分析：将四个工程分配给三个工程队，而且要求每个工程队至少得到一项工程，相当于有一个工程队将得到两个工程。所以先将四个工程分成三组，其中一组有两个工程，然后分配给三个工程队即可。
解：共有种分配方式。
8、无关因素剔除法：排列组合应用题往往和一些其他的知识联系起来，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍，从总体中剔除不符合条件的方法数，从而达到解决问题的目的。或者解决组合的抽样问题时也会经常遇到“至多”和“至少”的问题，可以将总体计算出来，将不符合题意的剔除掉。
例8：已知直线，现从集合中选出3个数分别作为，则所组成的直线中不经过坐标原点的有几条？
分析：共可组成条直线，其中当时的直线经过坐标原点，将这一部分剔除掉。
解：不经过坐标原点的直线有条。
排列与组合篇8
C(m,n)用公式C(n,m)=n!/[m!*(n-m)!]计算。C(m,n)是排列组合的概念。排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。根据组合学研究与发展的现状，它可以分为如下五个分支：经典组合学、组合设计、组合序、***与超***和组合多面形与最优。由于组合学所涉及的范围触及到几乎所有数学分支，和数学本身一样不大可能建立一种统一的理论。
（来源：文章屋网 ）
排列与组合篇9
A是排列，与次序有关，C是组合，与次序无关。排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
排列的定义：从n个不同元素中，任取m个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A(n，m）表示。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n，m)表示。
（来源：文章屋网 ）
排列与组合篇10
关键词：排列组合；解题；方法
中***分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2013）-02-0176-01
排列组合问题一直是高考数学的热点内容之一，从近几年的高考试题统计分析来看，对排列与组合知识的考查均以应用题的形式出现。对于它的考查往往联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用问题的解题策略常见的七种方法，仅供参考。
一、相邻问题捆绑法
对于相邻问题，可以先将要求相邻的元素作为一个元素与其他元素进行排列，同时要考虑相邻元素的内部是否需要排列，这种方法称为“捆绑法”。就是把题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。（即注意“松绑”）
例1.有3名男生、4名女生排成一排，女生必须站在一起的排发有（ ）
A、720种 B、576种 C、240种 D、120种
解析：将女生看成一个整体，与3名男生在一起全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44=576（种）
二、不相邻问题插空法
元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
例2.有3名男生、4名女生排成一排，则男生互不相邻的排法有（ ）
（A）1800 （B）3600 （C）2400 （D）1440
解析：男生互不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种排法，故共有A44×A53=1440（种）
三、标号排位问题分步法
把元素排到指定位置上，可先把某个（某些）元素按规定排入，第二步再排另一个（一些）元素，如此继续下去，依次即可完成.
例3.乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 .（用数字作答）
解析：3名主力队员要安排在第一、三、五位置有A33种方法，从其余7名队员选2名安排在第二、四位置有A72种，共A33A72=252有种，故填252
四、全员分配问题分组法
分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.
例4.将高三级4名学生分配到3个班，每班至少1名，则不同的分配方案共有（ ）
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
解析：把四名学生分成3组只有一种分法（即2、1、1型）有=C42（因为局部涉及到平均分成两组问题，所以必须除以A22）种方法，再把三组学生分配到三个班级有A33种，故共有C42A33=36种方法. 故选C
五、名额分配问题隔板法
对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板”法求解。
例5.某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有
种.（用数字作答）
解析：将9个名额视为9个相同的小球排成一排为：OOOOOOOOO，然后在9个小球的8个空位中插入5块木板，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为C85=56种.故应填56
六、多元问题分类法
元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例6.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（ ）
A.42 B.30 C.20 D.12
解析：对新增的2个节目分类：①不相邻：有A62种，②相邻：有A22A61种，故不同插法的种数为A62+A22A61=42种。故选A
七、定位问题优先法
某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
例7.安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）