学文网摘 要：三次函数是现在高中新课标教材中最重要的一个内容，是高中代数中最重要的一种函数，在高中新课标教材中占有非常重要的地位，它的最值问题、单调性、根与系数关系、切线、零点问题及其应用是全国各省市高考的热点和重点.本文对三次函数做了全面的探究，为广大师生全面了解三次函数提供点滴帮助。
关键词：三次函数；***象；性质；零点；切线
三次函数是现在高中新课标教材中最重要的一个内容，是高中代数中最重要的一种函数，在高中新课标教材中占有非常重要的地位，它的最值问题、单调性、根与系数关系、切线、零点问题及其应用是全国各省市高考的热点和重点。
[?] 三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的***象与性质
例1 （2011年惠州模拟）已知f（x）=2x2-3x2+x+1，
（1）证明：y=f（x）的***象关于点A
的对称点为P′（1-x0，2-y0）。
把P′（1-x0，2-y0）代入y=f（x）得
左边=2-y0=-2x+3x-x0+1
右边=f（1-x0）=2（1-x0）3-3（1-x0）2+（1-x0）+1=-2x+3x-x0+1，
左边=右边，所以点P′（1-x0，2-y0）满足y=f（x）。
故点P′是y=f（x）***象上一点，所以y=f（x）***象关于A对称。
（2）由（1）知：2-y0=f（1-x0），即f（1-x0）+y0=2，又f（x0）=y0，
所以f（x0）+f（1-x0）=2。
[?] 三次函数零点分布及拓展
1.三次函数零点分布
根据三次函数的***象：
（1）三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在R上至少有一个零点。
（2）当Δ=b2-3ac≤0时，y=f（x）在整个R上单调，所以有且仅有一个零点，即ax3+bx2+cx+d=0只有唯一实数解。
（3）当Δ=b2-3ac>0时，设f′（x）=3ax2+2bx+c=0两个解为x1，x2，当x1
f（x1）・f（x2）=0时，y=f（x）有两个零点，即ax3+bx2+cx+d=0有两个不同解。
f（x1）・f（x2）>0时，y=f（x）只有唯一零点，即ax3+bx2+cx+d=0有唯一实数解。
2.三次方程根与系数关系
设ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）有三个根x1，x2，x3，
则有x1+x2+x3=-，x1x2+x2x3+x2x1=，x1x2x3=-。
证明：因为方程ax3+bx2+cx+d=0（a≠0）的三个根分别x1，x2，x3，
所以可设ax3+bx2+cx+d=a（x-x1）（x-x2）（x-x3）=ax3-a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x2x3+x3x1）x-ax1x2x3，
所以-a（x1+x2+x3）=b，
3.任意连续可导函数y=f（x）的零点个数判断方法
（1）求f′（x）=0的解x1，x2，…，xn（x1
（2）判断f（x1），f（x2），…，f（xn）的符号.这是因为x1，x2，…，xn（x1
（3）结论：
1°若f（xi）与f（xi+1）同号，则在（xi，xi+1）上无零点。
2°若f（xi）与f（xi+1）异号，则在（xi，xi+1）上有唯一零点。
3°若f（xi）=0，则在f（xi-1，xi+1）上有唯一零点xi。
例2 （2007全国Ⅰ）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值。
（1）求a，b的值；
（2）若对于任意的x∈[0，3]，都有f（x）
（3）（补充）若y=f（x）在R上有且仅有两个不同的零点，求c的值。
解析：（1）因为f′（x）=6x2+6ax+3b，又y=f（x）在x=1及x=2处取极值，
所以f′（1）=0，
f′（2）=0，即6+6a+3b=0，
24+12a+3b=0，
解之得a=-3，b=4。
（2）由（1）可知，f（x）=2x3-9x2+12x+8c，所以f′（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）.当x∈（-∞，1）时，f′（x）>0；当x∈（1，2）时，f′（x）0.所以x=1时，f（x）取得极大值f（1）=5+8c； x=2时，f（x）取得极小值f（2）=4+8c。
又f（0）=8c，f（3）=9+8c，因为当x∈[0，3]时，f（x）最大值为f（3）=9+8c。
因为对任意的x∈[0，3]，有f（x）
（3）由（2）知y=f（x）的极大值f（1）=5+8c，极小值为f（2）=4+8c，若y=f（x）恰有两个不同零点，则f（1）・f（2）=0。
即（5+8c）（4+8c）=0，即c=-或c= -，所以c=-，c=-。
例3 （2012年韶关市一模）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）。
（1）当a=时，若存在x∈[-3，-1]，使得f′（x）>0成立，求b的取值范围；
（2）求证：函数y=f′（x）在（-1，0）内至少存在一个零点；
（3）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f（x）=-t在[-1，t]（t>-1）上有且只有一个实数根，求实数t的取值范围。
解析：（1）当a=时，f′（x）=x2+2bx+b-=（x+b）2-b2+b-，其对称轴为直线x=-b，所以-b≥-2，
所以b的取值范围为-∞
（2）f′（x）=3ax2+2bx+（b-a）。
法1：当a=0时，x=-符合题意。
当a≠0时，3x2+2x+
-1=0，令t=，则3x2+2tx+（t-1）=0，令h（x）=3x2+2tx+（t-1），因为h
-=-1时，h（0）=t-1>0，所以y=h（x）在
-，0内有零点；
当t≤1时，h（-1）=2-t≥1>0，所以y=h（x）在-1，
-内有零点。
当a≠0时，y=h（x）在（-1，0）内至少有一个零点。
综上可知，函数y=f′（x）在（-1，0）内至少有一个零点。
法2：f′（0）=b-a，f′（-1）=2a-b，
因为a，b不同时为零，所以f′
-・f′（-1）
（3）因为f（x）=ax3+bx2+（b-a）x为奇函数，所以b=0，所以f（x）=ax3-ax，f′（x）=3ax2-a。
又f（x）在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x3-x。
所以f（x）在-∞，
法1：如***1所示，作y=f（x）与y=-的***象，若只有一个交点，则
①当-10，
即t3-t≥-，解得-≤t≤ -；
时，过y=-x***象上任意一点向左作平行于x轴的直线与y=f（x）都只有唯一交点，
当x取其他任何值时都有两个或没有交点。
得另外的切线l2：y-n=f′（m）（x-m）。
2.过f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的***象外一点P（x0，y0）作y=f（x）的***象的切线，可作一条或两条或三条，即最少可作一条切线，最多可作三条切线。
设所作切线的切点为Q（m，n），
则
由方程组（Ⅰ）求解m，n，
若（Ⅰ）只有一组m，n的解，则只能作一条切线；
若（Ⅰ）有两组m，n的解，则能作两条不同切线；
若（Ⅰ）有三组m，n的解，则能作三条不同切线。
3.从***象上了解三次函数***象的切线分布
一般情况下，设f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）的凹凸分界线为l，经过极大值点且垂直x轴的单调***象分界线为l1，经过极小值点且垂直x轴的单调***象分界线为l2，如***7。
设l0，l1，l2与y=f（x）围成的封闭区域叫做区域Ⅱ，l1的左侧且在y=f（x）***象上方与l2的右侧区域且在y=f（x）***象下方区域叫做区域Ⅲ，其余部分叫做区域Ⅰ。
例4 已知函数f（x）=x3-x。
（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程；
（2）设a>0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，
证明：-a
解：（1）f′（x）=3x2-1，所以在M（t，f（t））处的切线斜率k=f′（t）=3t2-1。
所以在M（t，t3-t）处的切线方程为y-（t3-t）=（3t2-1）（x-t），
即y=（3t2-1）x-2t3。
（2）如果切线过点（a，b），由（1）知，则存在t，使b=（3t2-1）a-2t3，若过（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0有三个相异的实数根。
设g（t）=2t3-3at2+a+b，则g′（t）=6t2-6at=6t（t-a）。
令g′（t）=0得t=0，t=a。
当t变化时，g（t），g′（t）变化情况如下表：
[t＼&（-∞，0）＼&0＼&（0，a）＼&a＼&（a，+∞）＼&g′（t）＼&+＼&0＼&-＼&0＼&+＼&g（t）＼&增＼&极大值
a+b＼&减＼&极小值
b-f（a）＼&增＼&]
由表知t=0时，g（t）极大值=g（0）=a+b， t=a时，g（t）极小值=g（a）=b-f（a）。
因为g（t）=2t3-3at2+a+b有三个零点，
所以（a+b）[b-f（a）]
又在[0，a]上时，g（t）递减，所以g（0）=a+b>g（a）=b-f（a），
所以结合（?）有a+b>0，
b-f（a）
即-a
例5 已知函数f（x）=x3-3x，
（1）求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围。
解：（1）f′（x）=3x2-3，f′（2）=9，f（2）=23-3×2=2，所以曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y-2=9（x-2），即9x-y-16=0。
（2）过点A（1，m）向曲线y=f（x）作切线，设切点为（x0，y0），
则y0=x-3x0，k=f′（x0）=3x-3，
所以切线方程为y-（x-3x0）=（3x-3）（x-x0），
整理得2x-3x+m+3=0.
因为过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
所以方程（*）有三个不同实数根。
记g（x）=2x3-3x2+m+3，g′（x）=6x2-6x=6x（x-1）.令g′（x）=0，x=0或1。
则x，g′（x），g（x）的变化情况如下表：
[x＼&（-∞，0）＼&0＼&（0，1）＼&1＼&（1，+∞）＼&g′（x）＼&+＼&0＼&-＼&0＼&+＼&g（x）＼&＼&极大＼&＼&极小＼&＼&]
当x=0，g（x）有极大值m+3；x=1，g（x）有极小值m+2。
由g（x）的简***知，
当且仅当g（0）>0，
g（1）
即m+3>0，
m+2
所以若过点A可作曲线y=f（x）的三条不同切线，m的取值范围是（-3，-2）。