学文网【摘要】 本文从一道例题的求解，悟出了一类含参的对数型函数的若干单调性，并通过证明获得其正确性，进而应用该性质求解与此类问题相关的一些题目，体现了该性质的简洁性和实用性.也给此类对数型函数在参数设定范围的前提下，当函数有意义时的单调性作了定性.
【关键词】 对数型函数；单调性；应用
数学的实质就是揭示一定范畴内事物的数学规律，并利用规律解决数学问题的学科，而发现规律大多是从一些事例中归纳演绎产生的，事物的规律是事物的特性.函数的单调性是函数的重要性质之一，利用函数的单调性解题证题是常用的数学思想方法，本文从一例题的求解过程中，想到了三种解法，经分析对比知，利用函数思想求解方法简洁明了，属优选法，悟出了含参的对数型函数的若干单调性，并给出了证明.利用其进行求解求证，特别是此类数值的大小比较，复合型函数的单调区间计算等效果颇佳，也给此类函数的性质结果作了清晰的结论，为解决一类问题提供了理论依据.
例 比较大小：log23与log34
根据题目结构特征，如果我们知道了函数y=logx（x+1）的单调性，问题就极易获解.
下证：函数f（x）=logx（x+1）在 （1，+∞）上是单调减函数.
证法1：设x>1，则x>1x+1>x>1ln（x+1）>lnx>0.
因为f（x）=lnx（x+1）= ln（x+1） lnx ，f′（x）= xlnx-（x+1）ln（x+1） x（x+1）（lnx）2 ，又因为x+1>x>1ln（x+1）>lnx>0 （x+1）lnx>xlnx（x+1）lnx-xlnx>0，
所以f′（x）= xlnx-（x+1）ln（x+1） x（x+1）（lnx）2
大小显而易见，由此产生了解法一.这里我们约定（1，+∞）是为了使结论充分成立，进而在进行探究.
证法2：作差，判定符号易知数列 an=logn（n+1）是递减数列.由此产生解法二.
利用放缩法也可以获解：因为 log23>log32 2 = 3 2 =log33 3 >log34.
即log23>log34由此产生解法三.但这样的放缩法证题解题，思维隐蔽，难以切入.
不难看出，如果对数型函数f（x）=logx（x+1）的单调性已知，此类问题的求解就简洁明了，答案易于获得.下面我们对这一类对数型函数在参数一定的范围内，当函数有意义的条件下，对其若干单调性进行探究并进行证明和应用.
一类对数型函数的若干单调性：
性质1 函数f（x）=logx（x+a），若a>0，则 在x∈ 0， 1 e 上是单调增函数；在x∈ 1 e ，+∞ 上是减函数.
证明： f（x）=logx（x+a）= ln（x+a） lnx f′（x）= xlnx-（x+a） ln（x+a） x（x+a）（lnx）2
令g（x）=xlnx，则有 g ′（x）=（xlnx）′=lnx+1 即x∈ 0， 1 e 时，g′（x）0，所以x（x+a）ln（x+a），即有f′（x）>0，所以f（x）为增函数；
当x∈（ 1 e ，+∞）时，g ′（x）>0，g（x）为增函数函数，a>0，所以x
性质2 函数f（x）=logx（ax+b），若a>1，b>1，则该函数在x∈（1，+∞）
上是单调递减函数.
性质3 函数f（x）=logx（ax+b），若，0
性质4 函数f（x）=logx（ax+b），若，a>1，b>1，则该函数在x∈（0，1）上是单调减函数.
例1 比较大小：log35与log46.
解 因为f（x）=logx（x+2）在a>0时，x∈ 1 e ，+∞ 上是减函数（对数型函数的性质1），x1=3，x2=4，所以log3（3+2）>log4（4+2）.
即有log35>log46
例2 把下列一组数按从小到大的顺序排列并进行证明： log 1 3 7 3 ，log 1 4 9 4 ，log 1 4 3.
解 因为：log 1 3 7 3 =log 1 3 1 3 +2，log 1 4 9 4 =log 1 4 1 4 +2，而f（x）=logxx+2在x∈ 0， 1 e 上是单调增函数（对数型函数的性质1），而 1 e > 1 3 > 1 4 >0，所以log 1 3 7 3 >log 1 4 9 4 ；又因为函数f（x）=log 1 4 x是单调减函数，所以log 1 4 9 4
我们把对数函数中，底数和真数中都有变量时，定义该函数为对数型函数.对于对数型函数的单调性，可按参数的范围进行分类，先利用换底公式，再利用导数的性质进行探究，从而得到了其若干单调性，又对其进行了举例应用，特别是此类数的大小比较，利用该对数函数型的单调性进行求解，简洁明了，易于获得答案，不失是一个好办法，供同仁参考.
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