高中数学公式篇1
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商的关系: 平方关系:
tan α ²cotα=1
sin α ²cscα=1
cos α ²secα=1 sinα/cosα=tan α=sec α/cscα
cos α/sinα=cot α=csc α/secα sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α
(六边形记忆法:***形结构“上弦中切下割,左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。”)
诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。)
sin (-α)=-sin α
cos (-α)=cos α tan(-α)=-tan α
cot (-α)=-cot α
sin (π/2-α)=cos α
cos (π/2-α)=sin α
tan (π/2-α)=cot α
cot (π/2-α)=tan α
sin (π/2+α)=cos α
cos (π/2+α)=-sin α
tan (π/2+α)=-cot α
cot (π/2+α)=-tan α
sin (π-α)=sin α
cos (π-α)=-cos α
tan (π-α)=-tan α
cot (π-α)=-cot α
sin (π+α)=-sin α
cos (π+α)=-cos α
tan (π+α)=tan α
cot (π+α)=cot α
sin (3π/2-α)=-cos α
cos (3π/2-α)=-sin α
tan (3π/2-α)=cot α
cot (3π/2-α)=tan α
sin (3π/2+α)=-cos α
cos (3π/2+α)=sin α
tan (3π/2+α)=-cot α
cot (3π/2+α)=-tan α
sin (2π-α)=-sin α
cos (2π-α)=cos α
tan (2π-α)=-tan α
cot (2π-α)=-cot α
sin (2k π+α)=sin α
cos (2k π+α)=cos α
tan (2k π+α)=tan α
cot (2k π+α)=cot α
(其中k∈Z)
两角和与差的三角函数公式 万能公式
sin (α+β)=sin αcos β+cos αsin β
sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β
cos (α+β)=cos αcos β-sin αsin β
cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β
tan α+tan β
tan (α+β)=——————
1-tan α ²tanβ
tan α-tan β
tan (α-β)=——————
1+tan α ²tanβ
2tan(α/2)
sin α=——————
1+tan2(α/2)
1-tan2(α/2)
cos α=——————
1+tan2(α/2)
2tan(α/2)
tan α=——————
1-tan2(α/2)
半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α=2sin αcos α
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
2tan α
tan2α=—————
1-tan2α
sin3α=3sin α-4sin3α
cos3α=4cos3α-3cos α
3tan α-tan3α
tan3α=——————
1-3tan2α
三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式
α+β α-β
sin α+sin β=2sin ———²cos———
2 2
α+β α-β
sin α-sin β=2cos ———²sin———
2 2
α+β α-β
cos α+cos β=2cos ———²cos———
2 2
α+β α-β
cos α-cos β=-2sin ———²sin———
2 2 1
sin α ²cosβ=-[sin(α+β)+sin (α-β)]
2
1
cos α ²sinβ=-[sin(α+β)-sin (α-β)]
2
1
cos α ²cosβ=-[cos(α+β)+cos (α-β)]
2
1
sin α ²sinβ=— -[cos(α+β)-cos (α-β)]
2
化asin α ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式
集合、函数
集合 简单逻辑
任一x∈A x∈B,记作A B
A B,B A A=B
A B={x|x∈A,且x∈B}
A B={x|x∈A,或x∈B}
card (A B)=card (A )+card(B )-card (A B)
(1)命题
原命题 若p 则q
逆命题 若q 则p
否命题 若 p则 q
逆否命题 若 q,则 p
(2)四种命题的关系
(3)A B,A 是B 成立的充分条件
B A,A 是B 成立的必要条件
A B,A 是B 成立的充要条件
函数的性质 指数和对数
(1)定义域、值域、对应法则
(2)单调性
对于任意x1,x2∈D
若x1<x2 f(x1)<f (x2),称f (x )在D 上是增函数
若x1<x2 f(x1)>f (x2),称f (x )在D 上是减函数
(3)奇偶性
对于函数f (x )的定义域内的任一x ,若f (-x )=f (x ),称f (x )是偶函数 若f (-x )=-f (x ),称f (x )是奇函数
(4)周期性
对于函数f (x )的定义域内的任一x ,若存在常数T ,使得f (x+T)=f(x),则称f (x )是周期函数 (1)分数指数幂
正分数指数幂的意义是
负分数指数幂的意义是
(2)对数的性质和运算法则
loga (MN )=logaM+logaN
logaMn =nlogaM (n∈R)
指数函数 对数函数
(1)y =ax (a >0,a≠1)叫指数函数
(2)x∈R,y >0
***象经过(0,1)
a >1时,x >0,y >1;x <0,0<y <1
0<a <1时,x >0,0<y <1;x <0,y >1
a > 1时,y =ax 是增函数
0<a <1时,y =ax 是减函数 (1)y =logax (a >0,a≠1)叫对数函数
(2)x >0,y∈R
***象经过(1,0)
a >1时,x >1,y >0;0<x <1,y <0
0<a <1时,x >1,y <0;0<x <1,y >0
a >1时,y =logax 是增函数
0<a <1时,y =logax 是减函数
指数方程和对数方程
基本型
logaf(x)=b f(x )=ab (a >0,a≠1)
同底型
logaf (x )=logag (x ) f(x )=g (x )>0(a >0,a≠1)
换元型 f(ax )=0或f (logax)=0
数列
数列的基本概念 等差数列
(1)数列的通项公式an =f (n )
(2)数列的递推公式
(3)数列的通项公式与前n 项和的关系
an+1-an =d
an =a1+(n -1)d
a ,A ,b 成等差 2A=a+b
m+n=k+l am+an=ak+al
等比数列 常用求和公式
an =a1qn _1
a ,G ,b 成等比 G2=ab
m+n=k+l aman=akal
不等式
不等式的基本性质 重要不等式
a >b b<a
a >b ,b >c a>c
a >b a+c>b+c
a+b>c a>c -b
a >b ,c >d a+c>b+d
a >b ,c >0 ac>bc
a >b ,c <0 ac<bc
a >b >0,c >d >0 ac<bd
a >b >0 dn>bn (n∈Z,n >1)
a >b >0 > (n∈Z,n >1)
(a -b )2≥0
a ,b∈R a2+b2≥2ab
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
证明不等式的基本方法
比较法
(1)要证明不等式a >b (或a <b ),只需证明
a -b >0(或a -b <0=即可
(2)若b >0,要证a >b ,只需证明 ,
要证a <b ,只需证明
综合法 综合法就是从已知或已证明过的不等式出发,根据不等式的性质推导出欲证的不等式(由因导果)的方法。
分析法 分析法是从寻求结论成立的充分条件入手,逐步寻求所需条件成立的充分条件,直至所需的条件已知正确时为止,明显地表现出“持果索因”
复数
代数形式 三角形式
a+bi=c+di a=c ,b =d
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a -c )+(b -d )i
(a+bi)(c+di )=(ac -bd )+(bc+ad)i
a+bi=r (cos θ+isinθ)
r1=(cos θ1+isinθ1)r2(cos θ2+isinθ2)
=r1r2〔cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)〕
〔r (cos θ+sinθ)〕n =rn (cosn θ+isinnθ)
k =0,1,„„,n -1
解析几何
1、直线
两点距离、定比分点 直线方程
|AB|=| |
|P1P2|=
y -y1=k(x-x1)
y =kx +b
两直线的位置关系 夹角和距离
或k1=k2,且b1≠b2
l1与l2重合
或k1=k2且b1=b2
l1与l2相交
或k1≠k2
l2l2
或k1k2=-1 l1到l2的角
l1与l2的夹角
点到直线的距离
2. 圆锥曲线
圆 椭 圆
标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心为(a,b) ,半径为R
一般方程x2+y2+Dx +Ey +F =0
其中圆心为( ),
半径r
(1)用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 判断或用判别式判断直线与圆的位置关系
(2)两圆的位置关系用圆心距d 与半径和与差判断 椭圆
焦点F1(-c ,0) ,F2(c,0)
(b2=a2-c2)
离心率
准线方程
焦半径|MF1|=a +ex0,|MF2|=a -ex0
双曲线 抛物线
双曲线
焦点F1(-c ,0) ,F2(c,0)
(a,b >0,b2=c2-a2)
离心率
准线方程
焦半径|MF1|=ex0+a ,|MF2|=ex0-a 抛物线y2=2px(p>0)
焦点F
准线方程
坐标轴的平移
这里(h,k) 是新坐标系的原点在原坐标系中的坐标。
1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性
2.集合表示方法①列举法 ②描述法
③韦恩*** ④数轴法
3.集合的运算
⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB
Cu(A∪B)=CuA∩CuB
4.集合的性质
⑴n元集合的子集数:2n
真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2
高中数学概念总结
一、 函数
1、 若集合A 中有n 个元素,则集合A 的所有不同的子集个数为 ,所有非空真子集的个数是 。
二次函数 的***象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。用待定系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式,即 , 和 (顶点式)。
2、 幂函数 ,当n 为正奇数,m 为正偶数,m
3、 函数 的大致***象是
由***象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区间是 。
二、 三角函数
1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为x 轴正半轴建立直角坐标系,在角 的终边上任取一个异于原点的点 ,点P 到原点的距离记为 ,则sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = ,csc = 。
2、同角三角函数的关系中,平方关系是: , , ;
倒数关系是: , , ;
相除关系是: , 。
3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。如: , = , 。
4、 函数 的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,相位是 ,初相是 ;其***象的对称轴是直线 ,凡是该***象与直线 的交点都是该***象的对称中心。
5、 三角函数的单调区间:
的递增区间是 ,递减区间是 ; 的递增区间是 ,递减区间是 , 的递增区间是 , 的递减区间是 。
6、
7、二倍角公式是:sin2 =
cos2 = = =
tg2 = 。
8、三倍角公式是:sin3 = cos3 =
9、半角公式是:sin = cos =
tg = = = 。
10、升幂公式是: 。
11、降幂公式是: 。
12、万能公式:sin = cos = tg =
13、sin( )sin( )= ,
cos( )cos( )= = 。
14、 = ;
= ;
= 。
15、 = 。
16、sin180= 。
17、特殊角的三角函数值:
sin 0 1 0
cos 1 0 0
tg 0 1 不存在 0 不存在
ctg 不存在 1 0 不存在 0
18、正弦定理是(其中R 表示三角形的外接圆半径):
19、由余弦定理第一形式, =
由余弦定理第二形式,cosB=
20、ABC的面积用S 表示,外接圆半径用R 表示,内切圆半径用r 表示,半周长用p 表示则:
① ;② ;
③ ;④ ;
⑤ ;⑥
21、三角学中的射影定理:在ABC 中, ,„
22、在ABC 中, ,„
23、在ABC 中:
24、积化和差公式:
① ,
② ,
③ ,
④ 。
25、和差化积公式:
① ,
② ,
③ ,
④ 。
三、 反三角函数
1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数;
的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数;
的定义域是R ,值域是 ,奇函数,增函数;
的定义域是R ,值域是 ,非奇非偶,减函数。
2、当 ;
对任意的 ,有:
当 。
3、最简三角方程的解集:
四、 不等式
1、若n 为正奇数,由 可推出 吗? ( 能 )
若n 为正偶数呢? ( 均为非负数时才能)
2、同向不等式能相减,相除吗 (不能)
能相加吗? ( 能 )
能相乘吗? (能,但有条件)
3、两个正数的均值不等式是:
三个正数的均值不等式是:
n个正数的均值不等式是:
4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
6、 双向不等式是:
左边在 时取得等号,右边在 时取得等号。
五、 数列
1、等差数列的通项公式是 ,前n 项和公式是: = 。
2、等比数列的通项公式是 ,
前n 项和公式是:
3、当等比数列 的公比q 满足
4、若m 、n 、p 、q∈N,且 ,那么:当数列 是等差数列时,有 ;当数列 是等比数列时,有 。
5、 等差数列 中,若Sn=10,S2n=30,则S3n=60;
6、等比数列 中,若Sn=10,S2n=30,则S3n=70;
六、 复数
1、 怎样计算?(先求n 被4除所得的余数, )
2、 是1的两个虚立方根,并且:
3、 复数集内的三角形不等式是: ,其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向(反向)时取等号。
4、 棣莫佛定理是:
5、 若非零复数 ,则z 的n 次方根有n 个,即:
它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系?
都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆n 等分。
6、 若 ,复数z1、z2对应的点分别是A 、B ,则AOB(O 为坐标原点)的面积是 。
7、 = 。
8、 复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹:
① 轨迹为一条射线。
② 轨迹为一条射线。
③ 轨迹是一个圆。
④ 轨迹是一条直线。
⑤ 轨迹有三种可能情形:a) 当 时,轨迹为椭圆;b) 当 时,轨迹为一条线段;c) 当 时,轨迹不存在。
⑥ 轨迹有三种可能情形:a) 当 时,轨迹为双曲线;b) 当 时,轨迹为两条射线;c) 当 时,轨迹不存在。
七、 排列组合、二项式定理
1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点?
加法分类,类类***;乘法分步,步步相关。
2、排列数公式是: = = ;
排列数与组合数的关系是:
组合数公式是: = = ;
组合数性质: = + =
= =
3、 二项式定理: 二项展开式的通项公式:
八、 解析几何
1、 沙尔公式:
2、 数轴上两点间距离公式:
3、 直角坐标平面内的两点间距离公式:
4、 若点P 分有向线段 成定比λ,则λ=
5、 若点 ,点P 分有向线段 成定比λ,则:λ= = ;
=
=
若 ,则ABC的重心G 的坐标是 。
6、求直线斜率的定义式为k= ,两点式为k= 。
7、直线方程的几种形式:
点斜式: , 斜截式:
两点式: , 截距式:
一般式:
经过两条直线 的交点的直线系方程是:
8、 直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足:
直线 与 的夹角θ满足:
直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足:
直线 与 的夹角θ满足:
9、 点 到直线 的距离:
10、两条平行直线 距离是
11、圆的标准方程是:
圆的一般方程是:
其中,半径是 ,圆心坐标是
思考:方程 在 和 时各表示怎样的***形?
12、若 ,则以线段AB 为直径的圆的方程是
经过两个圆
,
的交点的圆系方程是:
经过直线 与圆 的交点的圆系方程是:
13、圆 为切点的切线方程是
一般地,曲线 为切点的切线方程是: 。例如,抛物线 的以点 为切点的切线方程是: ,即: 。
注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答题,只能按照求切线方程的常规过程去做。
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即:
①判别式法:Δ>0,=0,
②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、相交。
15、抛物线标准方程的四种形式是:
16、抛物线 的焦点坐标是: ,准线方程是: 。
若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是: ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是: 。
17、椭圆标准方程的两种形式是: 和
。
18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 。其中 。
19、若点 是椭圆 上一点, 是其左、右焦点,则点P 的焦半径的长是 和 。
20、双曲线标准方程的两种形式是: 和
。
21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通径的长是 ,渐近线方程是 。其中 。
22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 。与双曲线 共焦点的双曲线系方程是 。
23、若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则弦长为 ;
若直线 与圆锥曲线交于两点A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则弦长为 。
24、圆锥曲线的焦参数p 的几何意义是焦点到准线的距离,对于椭圆和双曲线都有: 。
25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标是(h ,k ),若点P 在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的坐标是 ,则 = , = 。
九、 极坐标、参数方程
1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是: 。
2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是: 。其中点P 对应的参数t 的几何意义是:有向线段 的数量。
若点P1、P2、P 是直线 上的点,它们在上述参数方程中对应的参数分别是 则: ;当点P 分有向线段 时, ;当点P 是线段P1P2的中点时, 。
3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是: 。
3、 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,点P 的极坐标为 直角坐标为 ,则 , , 。
4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: ,
经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: ,
经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: ,
经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是: 。
5、 圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程是 ;
圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;
圆心在点 的圆的极坐标方程是 ;
圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 。
6、 若点M 、N ,则 。
十、 立体几何
1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是: 是二面角的一个面内***形F 的面积, 是***形F 在二面角的另一个面内的射影, 是二面角的大小。
2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线m 是平面 内经过 的斜足的一条直线, 与 所成
的角为 , 与m 所成的角为 , 与m 所成的角为θ,则这三个角之间的关系是 。
3、体积公式:
柱体: ,圆柱体: 。
斜棱柱体积: (其中, 是直截面面积, 是侧棱长);
锥体: ,圆锥体: 。
台体: , 圆台体:
球体: 。
4、 侧面积:
直棱柱侧面积: ,斜棱柱侧面积: ;
正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ;
圆柱侧面积: ,圆锥侧面积: ,
圆台侧面积: ,球的表面积: 。
5、几个基本公式:
弧长公式: ( 是圆心角的弧度数, >0);
扇形面积公式: ;
圆锥侧面展开***(扇形)的圆心角公式: ;
圆台侧面展开***(扇环)的圆心角公式: 。
经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 ,轴截面顶角是θ):
十一、比例的几个性质
1、比例基本性质:
2、反比定理:
3、更比定理:
5、 合比定理;
6、 分比定理:
7、 合分比定理:
8、 分合比定理:
9、 等比定理:若 , ,则 。
十二、复合二次根式的化简
当 是一个完全平方数时,对形如 的根式使用上述公式化简比较方便。
⑵并集元素个数:
n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B)
5.N 自然数集或非负整数集
Z 整数集 Q有理数集 R实数集
6.简易逻辑中符合命题的真值表
p 非p
真 假
假 真
二.函数
1.二次函数的极点坐标:
函数 的顶点坐标为
2.函数 的单调性:
在 处取极值
3.函数的奇偶性:
在定义域内,若 ,则为偶函数;若 则为奇函数。
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9 同位角相等,两直线平行
10 内错角相等,两直线平行
11 同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13 两直线平行,内错角相等
14 两直线平行,同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°
18 推论1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理1 关于某条直线对称的两个***形是全等形
43 定理 2 如果两个***形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
44定理3 两个***形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
45逆定理 如果两个***形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个***形关于这条直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方,即a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于360°
49四边形的外角和等于360°
50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于(n-2)³180°
--------------------------------------------------------------------------------
51推论 任意多边的外角和等于360°
52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=(a³b)÷2
67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
71定理1 关于中心对称的两个***形是全等的
72定理2 关于中心对称的两个***形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
73逆定理 如果两个***形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个***形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L=(a+b)÷2 S=L³h
83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d wc呁/S∕?
84 (2)合比性质 如果a /b=c/d, 那么(a±b)/b=(c±d)/d
85 (3)等比性质 如果a /b=c/d=„=m/n(b+d+„+n≠0),那么
(a+c+„+m)/(b+d+„+n)=a/b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似(ASA )
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS )
94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似(SSS )
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值
--------------------------------------------------------------------------------
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称***形
114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等
115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角
121①直线L 和O相交 d<r
②直线L 和O相切 d=r
③直线L 和O相离 d>r ?
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等, 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积 相等
131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d>R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r<d <R+r(R>r)
④两圆内切 d=R-r(R>r) ⑤两圆内含d <R-r(R>r)
136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公*弦
137定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
139正n 边形的每个内角都等于(n-2)³180°/n
140定理 正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形
141正n 边形的面积Sn=pnrn/2 p表示正n 边形的周长
142正三角形面积√3a/4 a表示边长
143如果在一个顶点周围有k 个正n 边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此k³(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4
144弧长计算公式:L=n兀R /180
145扇形面积公式:S 扇形=n兀R^2/360=LR/2
146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
乘法与因式分解
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b(a^2+ab+b^2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b^2-4ac)/2a -b-√(b^2-4ac)/2a
根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注:韦达定理
判别式
b^2-4ac=0 注:方程有两个相等的实根
b^2-4ac>0 注:方程有两个不等的实根
b^2-4ac
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
高中数学公式篇2
长方体的体积公式:体积=长×宽×高。(底面积乘以高)
如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高,则长方体体积公式为:v体积=abc。
三角形面积公式
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭***形叫做三角形。 平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的***形。 三条直线所围成的***形叫平面三角形;三条弧线所围成的***形叫球面三角形,也叫三边形。
面积公式:
(1)s=ah/2
(2).已知三角形三边a,b,c,则(海伦公式)(p=(a+b+c)/2)
s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)]
(3).已知三角形两边a,b,这两边夹角c,则s=1/2 * absinc
(4).设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
s=(a+b+c)r/2
(5).设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
s=abc/4r
(6).根据三角函数求面积:
s= absinc/2 a/sina=b/sinb=c/sinc=2r
注:其中r为外切圆半径。
等差数列公式
等差数列公式an=a1+(n-1)d
a1为首项,an为第n项的通项公式,d为公差
前n项和公式为:sn=na1+n(n-1)d/2
sn=(a1+an)n/2
若m+n=p+q则:存在am+an=ap+aq
若m+n=2p则:am+an=2ap
以上n.m.p.q均为正整数
文字翻译
第n项的值an=首项+(项数-1)×公差
前n项的和sn=首项×n+项数(项数-1)公差/2
公差d=(an-a1)÷(n-1)
项数=(末项-首项)÷公差+1
数列为奇数项时,前n项的和=中间项×项数
数列为偶数项,求首尾项相加,用它的和除以2
等差中项公式2an+1=an+an+2其中{an}是等差数列
通项公式
公差×项数+首项-公差
反比例函数
形如y=k/x(k为常数且k≠0)的函数,叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数***像性质:
反比例函数的***像为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),***像关于原点对称。
另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的***像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为?k?。
如***,上面给出了k分别为正和负(2和-2)时的函数***像。
当k>0时,反比例函数***像经过一,三象限,是减函数
当k<0时,反比例函数***像经过二,四象限,是增函数
反比例函数***像只能无限趋向于坐标轴,无法和坐标轴相交。
知识点:
1.过反比例函数***象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为k。
2.对于双曲线y=k/x,若在分母上加减任意一个实数(即y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线***象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)
三角函数公式
两角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb=tan(a+b)(1-tanatanb)
tana-tanb=sin(a-b)/cosacosb=tan(a-b)(1+tanatanb)
三角平方差公式
三角函数公式中,有一组公式被称为三角平方差公式:
(sina)^2-(sinb)^2=(cosb)^2-(cosa)^2=sin(a+b)sin(a-b)
(cosa)^2-(sinb)^2=(cosb)^2-(sina)^2=cos(a+b)sin(a-b)
这组公式是化积公式的一种,由于酷似平方差公式而得名,主要用于解三角形。
注意事项
1、公式的左边是个两项式的积,有一项是完全相同的。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差,相同项的平方减去相反项的平方。
3、公式中的a.b 可以是具体的数,也可以是单项式或多项式。
半角公式
半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)
二倍角公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)
sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式推导
附推导:
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα-sin^3(α))/(cos^3(α)-cosαsin^2(α)-2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α),得:
tan3α=(3tanα-tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1-2sin^2(α))sinα
=2sinα-2sin^3(α)+sinα-2sin^3(α)
=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα
=(2cos^2(α)-1)cosα-2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)-cosα+(2cosα-2cos^3(α))
=4cos^3(α)-3cosα
即
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
正弦和余弦
正弦定理
在abc中,角a、b、c所对的边分别为a、b、c,则有a/sina=b/sinb=c/sinc=2r(其中r为三角形外接圆的半径)
余弦定理
数学公式高中b^2=a^2+c^2-2accosb 注:角b是边a和边c的夹角
正弦定理的变形公式
(1) a=2rsina, b=2rsinb, c=2rsinc;
(2) sina : sinb : sinc = a : b : c; 在一个三角形中,各边与其所对角的正弦的比相等,且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的,利用正弦定理解三角形时,其解是唯一的;已知三角形的两边和其中一边的对角,由于该三角形具有不稳定性,所以其解不确定,可结合平面几何作***的方法及“大边对大角,大角对大边”定理和三角形内角和定理去考虑解决问题
(3)相关结论:
a/sina=b/sinb=c/sinc=(a+b)/(sina+sinb)=(a+b+c)/(sina+sinb+sinc) c/sinc=c/sind=bd=2r(r为外接圆半径)
(4)设r为三角外接圆半径,公式可扩展为:a/sina=b/sinb=c/sinc=2r,即当一内角为90°时,所对的边为外接圆的直径。灵活运用正弦定理,还需要知道它的几个变形 sina=a/2r,sinb=b/2r,sinc=c/2r asinb=bsina,bsinc=csinb,asinc=csina
(5)a=bsina/sinb sinb=bsina/a
正弦、余弦解题诀窍
1、已知两角及一边,或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理
2、已知三边,或两边及其夹角用余弦定理
高中数学公式篇3
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z)
公式二:
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三:
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四:
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
高中数学公式篇4
关键词:数学公式;灵活运用;培养能力;享受学习
在数学公式学习和探究过程中,学生要熟悉所学数学公式,理解数学公式的内在规律和这些规律的来源,探究公式的结构特征,这样才能切实掌握、直接运用它们。有很多问题不能直接运用公式,还要通过合理的变形和创造条件,使之达到公式的特征,然后才能运用公式,这能提高学生的思维和创新能力。因此,在教学中要设法让学生理解公式、掌握公式特征,巧妙运用公式。本人经过多年对公式教学的探究,总结得出一些通过合理运用公式提高学生运用公式能力的方法。
一、抓住特征,直用公式
在学习探究公式过程中,理解公式中字母、符号表示的含义很重要。常常先通过它的几何意义理解公式,再通过分析公式特征进一步理解公式,然后根据公式特点形成口诀,以加深学生对公式的理解和记忆。如,完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,先通过构成正方形面积的两种求法理解公式,再分析公式特点,形成口诀:“两数和的平方,等于前平方加上后平方,再加积的2倍在其中”,然后通过例题讲解和习题的训练让学生掌握。现行教材中配备了不少直接运用公式的例题和习题,如,苏科版数学教材七年级下册P64例1和P65练习就是直接运用公式的。通过一系列习题让学生加深对公式的理解,并能得心应手,准确无误地运用公式,为学生“活用”公式、“创用”公式夯实基础。
二、逆向思维,巧用公式
逆用公式是一种逆向思维,如,平方差公式,即(a+b)(a-b)=a2-b2,它是把积的形式转化为多项式;反过来也可以根据这个公式,把一个二次二项式写成积的形式,即a2-b2=(a+b)(a-b),这就是公式的逆用。利用公式的逆用,可以巧妙地解决许多数学问题。这是数学中常见的一种方法,主要培养学生逆向思维的能力。学生在解题时往往是由左向右,逆向不习惯,而“逆用”公式可以促进学生对公式的更深刻理解,能开拓学生的思维。逆用公式时,要让学生判断公式的逆命题是否是真命题,并要注意成立的条件。通过对公式的正向和逆向比较,学生认为有些问题运用逆用公式解题比较简便,摆脱了正向定势的思维方式,培养了学生逆向思维的能力,从而提高了解题的效率。如,“计算:2432-1572”,直接计算比较繁,逆用平方差公式计算,把问题化解成为可以运用公式的形式为(243+157)×(243-157),化繁为简,大大提高了效率。
三、整体思维,变用公式
为了考查学生的整体思想及灵活性,有时习题不能直接运用公式,解题时就要对习题进行变形,从而达到符合公式的特点,然后再运用公式解题。变用公式解题可以提高学生思维能力的灵活性。例如,已知a+b=5,ab=4,求a2+b2和a3b+2a2b2+ab3的值。从题型看,不好直接运用公式,但通过式子的变形可以转化成可运用的公式来解,题1把平方和灵活地转换成完全平方公式,就可以代入求得a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17,题2通过提取变形得到完全平方式,然后代入可得a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2=100,灵活地运用公式既可以顺利地解题,又可以培养学生思维的灵活性。
四、题例变形,活用公式
有些问题,看上去不符合公式的结构特征,但通过式子的变形,使题型转化成具有运用公式的结构特征,从而培养学生思维的灵活性。例如,(-a-5b)(5b-a),看上去不好直接运用平方差公式,但变形之后符合公式的结构特征。原式(-a+5b)(-a-5b)=a2-25b2,学生把握住这一点就可以活用公式,灵活解题了。
五、自主探索,创用公式
在教学过程中,激发学生学习的积极性,让学生学会自主探究,合作学习的同时,教师可以适当引导学生自主创新运用公式解决一些问题,培养学生自主创新的思维能力。
例如,从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下表:
(1)从2开始,n个连续的偶数相加,它们的和S与个数n之间有什么样的关系?用含n的代数式表示出来。
(2)计算:①2+4+6+…+202;②126+128+…+300。
该题先让学生观察发现自主探索总结公式S=n(n+1),然后灵活运用公式。
六、克服定向,多向思维
人们往往根据已有经验,按照已有的思维方式去思考问题,通过运用这种思维模式可以理解或尝试解决遇到的新问题,从而积累经验。但是思维定式会束缚学生思维的发展,影响其思维能力的提升。思维定式可以通过联想想象、观察类比等方法和多角度题例训练来克服。
高中数学公式篇5
关键词:递推数列;通项公式;方法
中***分类号:G633.6 文献标识码:B 文章编号:1006-5962(2013)07-0243-01
引言
近些年,高考数学试卷中不乏有求递推数列通项公式的题目涌现,特别是在解答题部分。就求递推数列的通项公式本身而言,涵盖了全面的数学综合知识,对学生的观察能力、创造性思维和发散性思维能进行有效的考察。仔细分析,不难发现所涉及的题目求通项公式的题目难度呈现逐年递增的态势。足可见,求递推数列通项公式已成为高考考查的侧重点之一。因而,在高考复习时,对通项公式的有关求法与知识点应进行全面的归纳与总结。
根据多年的课堂教学实践,本人对求数列的通项公式的常用方法进行了总结和归纳,以便各位考生在解题的过程中,选择最佳方法,提高做题速度和准确度。
4.结语
数列在高考数学中的举足轻重,是数学每年必考的重要知识点之一。在创新题型中等差数列及等比数列仍然作为考查的重点。对于数列通项公式的考查渗透了分类讨论和类比等重要的数学思想。因此,各位考生在备考时应着重培养自身分析与解决问题的能力,抓重点,把握考点,最终在高考中取胜。
以上是几种常见的求数列通项公式的方法。需要指出的是求数列的通项公式并没有固定的方法,这里所举方法,仅让大家注意的题型,在具体的做题过程中还是要灵活选择,具体分析。若有不当之处,敬请各位同仁批评指正。
参考文献
[1]杜平秋.例谈利用构造法求数列通项公式[J];大观周刊; 2011,(32):161.
[2]王荣松.高中数学课堂教学实践总结-求数列通项公式的常用方法归纳[J];考试周刊; 2009,(32):68.
[3]高明旭.浅谈几种常见数列通项公式的求法[J]; 理科爱好者(教育教学版). 2009,1(1):66.
[4]范子静.2011年高考数列创新题型分析[J];中国科教创新导刊; 2012,(27): 77.
高中数学公式篇6
【关键词】 二阶线性递归数列;特征方程法;母函数方法
一、二阶线性递归数列
定义1 若数列{an}满足递归方程
an+2=p1an+1+p2an,n∈ N +, (1)
(其中p1,p2是常担p2≠0),则称{an}为二阶线性(齐次)递归数列.当已知它的第一项a1与第二项a2时,可以求出它的通项公式.
二、特征方程法
定义2 记x2=p1x+p2为(1)式的特征方程,它的根称为特征值.
对于形如(1)式的递归数列,用特征方程法求通项公式步骤如下:
①写出特征方程并求出对应方程的根;
②若对应方程有两个不同实根或共轭复根x1,x2,则{an}通项公式为an=c1xn1+c2xn2,其中c1,c2由初始值a0,a1来唯一确定,即由方程组
c1+c2=a0,c1x1+c2x2=a1 确定;
③当特征方程有二重根x时,{an}通项公式为an=(c1+nc2)xn,其中c1,c2同样由初始值a1,a2来唯一确定.
三、母函数方法
定义3 任给一个无穷数列{an},相应地构造一个形式幂级数
f(x)=∑∞n=0anxn, (2)
则称f(x)为数列{an}的母函数(这里把数列的母函数形式上看作是幂级数,也就是我们的讨论不涉及幂级数的收敛性).
对于形如(1)式的递归数列,用母函数法求通项公式步骤如下:
①构造数列{an}的母函数f(x);
②分别用-p1x,-p2x2乘母函数两端得到如下两式:
将(2)(3)(4)合并整理,得到一个关于f(x)的分式方程;
③将所得分式方程重新展开表示为形式幂级数,再整理变形,其中xn的系数便是所要求的数列通项an.
四、实例应用
在中学数学里,二阶线性递归数列的通项公式主要是通过待定系数法来构造一个新的数列,运算过程复杂且需要一定的技巧性才能最终求得通项公式.而特征方程法和母函数方法使得此问题的求解程序化.实质上,母函数在处理数列、排列、组合、概率等问题中也有着广泛的应用,不仅如此,其他高等数学类课程,如几何学、近世代数、概率统计等对于中学数学教学工作所发挥的作用也是十分明显的.因此,在以后的教学工作中,应关注高等数学与中学数学的“下靠”与“上联”问题,居“高等数学之高”去临“中学数学之下”,切实提高教学研究水平.
【参考文献】
高中数学公式篇7
关键词:三角函数;教学;措施
三角函数作为高中数学教学的核心内容,其教学有效性和效率显得尤为重要,三角函数还与其他教学知识有着十分紧密的联系,任何解题的方式都可以见到三角函数公式。但是,为了能够有效的提高三角函数的教学质量和效率,必须要采取科学有效的措施加以解决,从根本上提高学生们掌握三角函数的熟练性以及能够灵活的应用到各个公式中。
一、三角函数教学困难
1.概念记忆困难
虽然高中生已经初级的掌握了三角函数的基础知识,但是由于三角函数本身的概念和定义还是十分的抽象,公式和定义十分的复杂,高中生对于诱导公式和转换公式的记忆还是比较模糊的,初中三角函数主要考查的就是学生对公式的理解,高中三角函数则主要考查学生们对公式的应用以及变形,进而对学生们的推导能力有着较高的要求。
2.公式推理困难
高中数学三角函数本身的定义和公式非常多,比如正弦定理、和差角公式以及和差化积公式等诸多公式的推理会给学生们学习三角函数带来了一定的困难。目前,我国大部分学生在进行三角函数做题的时候,并不难及时的确定其具体的公式内容,进而导致学生们难以熟练的掌握三角函数,要求学生们能够快速的反应、记忆众多三角函数也是难以实现的,教师必须要采取全新的、高效的公式转换记忆策略。
3.综合运用困难
三角函数知识已经逐渐的渗透到高中整个数学学科内,随着多年来的教学经验表明,大部分学生并不知道如何的应用三角函数,尤其是对于一些比较隐性的函数问题,另外,一部分学生们虽然意识到要用到三角函数,但是却不知道用哪种。高中数学对三角函数的考查十分的综合、全面,要求学生们必须要熟练的掌握各类三角函数的概念以及性质等。三角函数往往会与向量、几何***形等知识点有着十分密切的联系,教师在进行三角函数教学的时候必须要考虑其综合性。
二、高中数学中三角函数的教学策略
1.提高学生们学习兴趣和积极性
由于高中数学三角函数本身知识和公式十分的枯燥、乏味,进而导致学生们对三角函数的学习有着一定的抵触心理,严重的阻碍了高效三角函数教学工作的顺利开展。为了能够有效的调动学生们的学习热情和积极性,必须要将三角函数与实际生活联系起来,三角函数知识作为整个数学的重要组成部分,在我们日常生活中常常遇到,比如钟面时针转动方向以及体操运动等实际生活中比较常见的实例,都含有一定的三角函数知识。教师可以通过意境的引用,才能够吸引学生们的注意力,充分的调动学生们学习三角函数的积极性和工作热情。
2.突出三角函数的运用规律
高中数学三角函数知识在进行解题的时候,往往都会有特定的解法,虽然三角函数的题型千变万化,但是其本质内容是一致的,只不过所给的条件发生了一定的变化,内在本质还是一样的。所以,在进行教学的时候应该为学生们解惑一些解题技巧,培养学生们能够在解题的时候,能够分析出题人的意***,知道采用哪些三角函数的知识进行解题,并不用盲目的乱试,避免学生们学习时间方面的浪费。为了能够更快更好的解题,提高三角函数的学习效率,仅是掌握识题技巧还是不够的,必须要培养学生们能够熟练的运用各种方法进行解题,进而保障学生们形成正确的解题思路。
3.系统的进行归纳总结
三角函数公式千变万化,种类十分的繁多,如果要求学生们一个个记忆不仅不太现实,学生们也不会全部记住。所以,为了能够促使学生们更好、更熟练的掌握,必须要对零散的三角函数知识进行整理和归纳,直接将逻辑性强的三角函数相关知识点展示在学生们的面前。为了能够提高三角函数教学的有效性,可以总结教学口诀,提高学生们掌握三角函数解题的技巧。另外,在进行教学的时候应该时常的将流露出口诀,进而能够在教师外部和学生内部双重作用下熟练的掌握三角函数学习的技巧。
4.比较剖析三角函数的不同
在进行数学教学的时候,单纯的进行三角函数知识教学的时候,往往会选择比较型教学的实效效果会更好。三角函数的对比式学习主要就是指利用函数内部的定义域以及周期性等特点与其他函数之间具有一定的差异性,会通过强烈的差异性给学生们留下十分深刻的记忆,进而能够有效的加强学生们对三角函数知识的记忆力,从根本上提高学生们掌握三角函数的熟练性。
随着我国社会的快速发展,我国教育改革日益加深,高中数学作为教育体系中十分重要的组成部分,但是数学三角函数基本概念和公式十分的抽象,难以理解,不利于学生们对三角函数知识和公式的掌握,为了能够有效的提高三角函数教学的有效性,采取各种方法加以解决这个问题,提高学生们三角函数解题的技巧,不仅有利于我国教学质量的提高,还有利于培养学生们解题技巧的能力。
参考文献:
[1]鲁家武.浅谈高中数学中三角函数的教学与学习方法及例题研究[J].东西南北教育观察.2011(6):180.
高中数学公式篇8
【关键词】新课标 高考 数列 复习策略
数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要意义,是高中代数的重要内容之一,在高考中承载着对高中数学抽象概括能力、运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考察。纵观新高考数学试卷的数列试题,深深体会到:试题紧扣新课标要求,在考查学生基础知识和基本技能的同时,注重考察学生的创新能力。本文从以下几方面探讨高考数列备考复习策略。
一、仔细研究新课标与考试大纲的联系与区别
1. 新课标的要求:(1)通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示法(列表、***象、通项公式),了解数列是一种特殊函数。(2)等差数列、等比数列:①通过实例,理解等差数列、等比数列的概念。②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。③能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系和等比关系,并能用有关知识解决相应问题。④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
2. 考试大纲的要求:(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念,掌握等差数列通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题。
3. 联系与区别:从上述要求可以看出,新课标与考试大纲相比,对数列内容的要求变化不大,即主干知识基本不变,最大的变化是新课标突出了数列与函数的内在联系,考试大纲比较注重数列中各参量之间的关系以及恒等变形。新课标对数列内容的整体定位是:数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型。在数列的学习中,学生通过对日常生活中大量实际问题的分析,建立等差数列和等比数列这两种数列模型,探索并掌握它们的一些基本数量关系,感受这两种数列模型的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题。
二、强化主干知识复习
通过新课标与考试大纲对比,我们知道数列这一章的主干知识是:等差数列等比数列数列的通项及前n项和的求法。因此,在备考复习中应抓住主干知识线,实施有效复习,帮助学生构建知识网络。
1. 等差数列:(1)要求学生理解等差概念,掌握等差数列的通项公式,弄清等差数列与一次函数的关系;(2)抓住等差数列的特征,掌握前n项和公式,弄清前n项的和与二次函数的关系;(3)强化“知三求二”的题型训练。
作为高考复习,适当强化题型训练是很有必要的,“知三求二”是等差数列的重要题型。所谓“知三求二”就是等差数列有五个参量:项数、通项、前n项和、首项、公差,只要已知这五个量中的任意三个,就可以利用通项公式和前n项和公式求出其余两个。对于“知三求二”的题型训练要适度,不要人为编造太难、太繁题目给学生做,这样不仅增加学生负担,而且淡化数学本质。
2. 等比数列:(1)要求学生理解等比概念,掌握等比数列的通项公式,弄清等比数列与指数函数的关系;(2)抓住等比数列的特征,掌握等比数列前n项和公式及其推导方法;(3)控制“知三求二”题型的难度。
值得注意的是,对于等比数列,“知三求二”的问题可能出现高次方程,这不在新课标要求范围之内。新课标的要求只限制在直接用一元二次方程求解问题,因此在复习等比数列“知三求二”问题时要注意控制难度,按新课标的要求复习。
三、加强信息研究,准确把握高考动向
首先,数列的概念与运算在高考试题中单独出现的频率并不高,常与其他知识综合进行考查。主要命题点为:数列概念的创新定义性问题、数列的最大(最小)项问题、数列的通项公式或递推公式、数列的前n项和ns与na的关系等,而求数列的通项公式、研究数列的单调性、周期性和数列的递推关系式的应用是命题的热点,一般会在选择题或填空题中出现,且常考常新;数列的前n项和ns与na的关系是高考命题的重点,往往渗透在数列的解答题中。等差、等比数列是数列的两个基本的组成部分,在概念、公式和性质上有许多密切的联系,因为大部分的数列问题最后都需要转化为等差、等比数列来解决,所以说本部分内容在高考中的重要性就不言而喻。
其次,数列的求和在数列问题中占有重要的位置,也是考纲明确要求掌握的内容,每年高考都会考查,在填空题、选择题和解答题中都可能出现。对数列的求和问题,主要是转化为等差数列或等比数列的求和问题,有时也转化为已知求和公式的其他数列;对非等差数列、等比数列的求和,常用的方法有:拆项分组、裂项相消、倒序相加、错位相减等。数列的求和问题虽然每年都会考查到,且常考常新,因此有效化归问题是正确解题的前提,合理构建方法是成功解题的关键。
四、对学生进行有效的学法指导
高中数学公式篇9
【关键词】泰勒公式;不等式
一、引言
多项式函数是各类函数中最简单的函数,泰勒公式建立了一般函数与多项式函数的联系。研究泰勒公式,对于我们解决许多数学题目有重要意义。泰勒公式的重要结论如下:
定理1 若函数f(x)在点x0存在直至n阶导数,则有f(x)=Tn(x)+o((x-x0)n) (1)其中Tn(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(x-x0)2+…+(x-x0)n为泰勒多项式,而o((x-x0)n)为佩亚诺型余项,(1)式为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。
定理2 若函数f(x)在[a,b]存在直至n阶连续导函数,在(a,b)存在n+1阶导函数,则对任意给定的x,x0∈[a,b],至少存在一点ξ∈(a,b),使得
f(x)=Tn(x)+(x-x0)n+1 (2)
其中Tn(x)同定理1相同为泰勒多项式,而(x-x0)n+1为拉格朗日余项,(2)式为带有拉格朗日余项的泰勒公式。
一些文献对泰勒公式的应用,如求函数的近似值、求函数的极限、求函数在某点的高阶导数值等,本文着重介绍泰勒公式在证明不等式中的应用,帮助学生系统掌握这部分知识。
二、在证明一般不等式方面的应用
泰勒公式在证明一般不等式的题目类型条件约束较低,一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导,就可以考虑使用泰勒公式。
例1(哈尔滨工业大学,北京科技大学)设f(x)在[a,b]上二阶可微,f″(x)
?a≤x1
证明:因f(x)在[a,b]上二阶可微,从而f(x)用泰勒公式展开到二阶
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(x-x0)2
泰勒公式证明题目的时候要选择恰当的x,x0,本题中选择x=xi,x0=kixi
从而上式为:
f(xi)=f(kixi)+f′(kixi)(xi-kixi)+(xi-kixi)2
将ki乘上式两端,然后n个不等式相加,得出:
kif(xi)
kif(xi)
由已知条件ki=1,可以得出:
[kif′(kixi)(xi-kixi)]=f′(kixi)[kixi-ki(kixi)]=0
从而kif(xi)
(上接第44页)
例2(北京师范大学)设f(x)有二阶导数,f(x)≤[f(x-h)+f(x+h)],试证:f″(x)≥0
证明:因f(x)有二阶导数,从而f(x-h),f(x+h)用泰勒公式展开到二阶
f(x-h)=f(x)-f′(x)h+h2+o(h2)
f(x+h)=f(x)+f′(x)h+h2+o(h2)
上面两式相加并除以2,得出[f(x-h)+f(x+h)]=f(x)+h2+o(h2)
由已知条件f(x)≤[f(x-h)+f(x+h)]
上式可以得出h2+o(h2)≥0?+≥0
令h0取极限得出f″(x)≥0
通过例1,例2可以总结出用泰勒公式证明一般不等式的解题思路:(1)按照已知条件,通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数;(2)泰勒公式展开后要选择适合的,关于的选择需要一定解题经验,应该加强这方面的积累;(3)根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放。
三、在证明定积分不等式方面的应用
泰勒公式在证明定积分不等式的题目类型与证明一般不等式的条件相同,条件约束也较低,一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导,就可以考虑使用泰勒公式。
例3设f(x)在[a,b]上单调增加,且f″(x)>0
证:(b-a)f(a)
证明:利用定积分的性质,容易得出(b-a)f(a)
因f(x)在[a,b]上二阶可导,从而?t∈[a,b]在点x用泰勒公式展开到二阶
f(t)=f(x)+f′(x)(t-x)+(t-x)2
利用已知条件f″(x)>0,可以得出f(t)>f(x)+f′(x)(t-x)
分别取t=a,t=b,带入上式得出f(a)>f(x)+f′(x)(a-x)
f(b)>f(x)+f′(x)(b-x)
将上面不等式组左右相加,得出f(a)+f(b)>2f(x)+(a+b)f′(x)-2xf′(x)
两边同时求定积分[f(a)+f(b)dx>2f(x)dx+(a+b)f′(x)dx-2xf′(x)dx?[f(a)+f(b)](b-a)>2f(x)dx+(a+b)[f(b)-f(a)]-2xdf(x)?[f(a)+f(b)](b-a)>2f(x)dx+(a+b)[f(b)-f(a)]-2xf(x)│+2f(x)dx?[f(a)+f(b)(b-a)>4]f(x)dx+(a+b)[f(b)-f(a)]-2bf(b)+2af(a)?2[f(a)+f(b)](b-a)>4f(x)dx?f(x)dx
综述可得:
(b-a)f(a)
通过例3可以总结出用泰勒公式证明定积分不等式的解题思路:(1)按照已知条件,通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数;(2)泰勒公式展开后要选择适合的;(3)根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放;(4)对(3)所得的式子两边同时取积分,解积分通常可以得出结论。
注意:上述步骤(2)与(3)可以互换。
四、在证明导数不等式方面的应用
泰勒公式在导数不等式方面的题目类型与上述条件相同,一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导,就可以考虑使用泰勒公式。
例4设f(x)在[0,1]上有二阶导数,0≤f(x)≤1时|f(x)|≤1,
|f″(x)|
证明:因f(x)在[0,1]上二阶可导,从而?t∈[0,1]在点x用泰勒公式展开到二阶
f(t)=f(x)+f′(x)(t-x)+(t-x)2
分别取t=0,t=1可得:
f(1)=f(x)+f′(x)(1-x)+
((1-x)2
f(0)=f(x)+f′(x)(-x)+
((-x)2
上面方程组左右两端相减,可得:
f(1)-f(0)=f′(x)+(1-x)2-x2
?|f′(x)|≤|f(1)|+|f(0)|+(1-x)2+x2≤2+(1-x)2+x2≤2+1≤3
例5设f(x)在[a,b]上有二阶导数,f′(a)=f′(b)=0,试证:?ξ∈[a,b],使得|f″(ξ)|≥|f(b)-f(a)|
证明:因f(x)在[a,b]上有二阶导数,从而f(x)用泰勒公式展开到二阶
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+(x-x0)2
取x=,分别取x0=a,x0=b,题目给出f′(a)=f′(b)=0,从而得出:
f(
)=f(a)+
(
)2 ξ∈(a,
)
f(
)=f(b)+
(
)2 η∈(
,b)
上面方程M左右两端相减,可得:f(b)-f(a)+[f″(η)-f″(ξ)](b-a)2=0
故≤(|f″(η)|-|f″(ξ)|)
取ξ=ζ |f″(η)|≤|f″(ζ)|
η |f″(η)|>|f″(ζ)|
从而得出≤[|f″(η)|+|f″(ζ)|]≤|f″(ξ)|
通过例4,例5可以总结出用泰勒公式证明导数不等式的解题思路:(1)按照已知条件,通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数;(2)泰勒公式展开后要选择适合的x,x0;(3)根据所证结论对泰勒展式的一阶导数或二阶导数等项进行适当缩放即可。
本文介绍了泰勒公式在证明一般不等式、积分不等式、导数不等式方面的应用,通过介绍我们可以看出泰勒公式在证明不等式时,思路比较清晰,易于操作,为我们解决一些比较复杂的不等式打开了新的思路。同时泰勒公式在高等数学其他解题方面也有许多便利,值得我们后续进一步研究。
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系编.数学分析(第3版)[M].北京:高等教育出版社,2006
[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2006
[3]同济大学数学系编.高等数学(第7版)[M].北京:高等教育出版社,2015
高中数学公式篇10
关键词: 高中数学 三角函数 常见问题
三角函数是目前高中数学课程中的传统内容,而且是高考数学中的重要考点,学好三角函数不仅是高中阶段的重要任务,而且是为大学数学打好基础的重要前提。学生进入高中后,在数学学习往往还是采用初中数学的学习方法,这样的学习方法对于更注重抽象思维的高中数学来说不再适用,导致很多学生在学习上面临困境。因此研究高中三角函数的教学问题,对于解决学习和教学中的困难,提高教学效率具有重要意义。
1.研究现状
目前,高中数学三角函数章节的重要性已经引起了很多学者的关注,他们运用不同的研究方法,从多个角度对三角函数进行了研究。有的从教学方法上进行了研究,有的从学生学习的心理学角度进行了研究,还有的就某一个知识点对三角函数进行了研究。
胡慧敏对目前学生的三角函数学习状况进行了调查,他发现学生在学习三角函数时通过表象学习理解三角函数的定义,并未有达到教师期望的水平。刘华从教学内容的设计角度分析了三角函数的教学状况,他指出目前三角函数的课时数与教学的内容不成比例,学生在进行三角函数的学习时存在心理性、知识性和策略性的错误,因而导致学习困难现象的产生。李翔对学生进行了调查与测试,试***寻找学生学习三角函数时存在的错误,他指出:学生在学习三角函数时存在概念和运算方面的五种错误,这些错误的根源主要偏向于知识性和策略性错误。Nevinorhun在研究学生在学习三角函数时常犯的错误时发现,学生所犯的错误大都是因为没有真正理解三角函数中任意角的意思,并没有把三角函数看做是函数,他提议要把这部分作为教学重点。
2.高中三角函数教学中常见的问题
2.1学生学习方面存在的问题。
2.1.1学生对三角函数知识不够重视。
由于学生在初中阶段接触过三角函数,因此在高中阶段进行三角函数知识学习的时候,他们就会认为已经学过了,没有必要再进行学习,从而表现出无所谓的态度。他们忽略了学习的难度,在初中阶段的三角函数大都是直接带入公式就可以解题,但是高中阶段学习的三角函数从仅限于锐角三角函数上升为任意角的三角函数,它需要学生有更强的抽象思维能力,不是初中阶段的要求可比的。
2.1.2缺少预习和复习,一旦遇到困难就打退堂鼓。
受初中阶段学习习惯的影响,上高中后很多学生依然采用初中的学习方式。在初中阶段的数学课程教学中,每堂课的教学任务较少,在上完课后都会留下充足的时间让学生回顾和总结。但是到了高中以后,课堂容量加大,学生能够***支配的时间减少,在教学内容上不再是单纯的计算,更注重抽象思维的训练。学生养成了当堂预习和复习的习惯,进入高中后这样的方法不再适用,阻碍了三角函数的有效学习。
由于初中阶段三角函数相对简单,学起来不费劲,学生养成了学习不刻苦的习惯,在高中阶段一遇到难题就打退堂鼓,看答案。有的学生一遇到一知半解的问题就求助于参考书和同学,并没有对详细的解题过程进行推敲。
2.1.3公式学习不求甚解。
高中三角函数这一章节的公式相对较多,很多学生面对这些公式无从下手,有时候在解题过程中不知道该用哪个公式。例如,三角函数的诱导公式(一)的应用,sin(390°)=sin(30°+360°)=sin30°=1/2。已知tanβ=3/4,求sinβ,cosβ。很多学生已看到这个问题就会想到同角的正切值就等于它的正余弦比,却忽略了同角正弦平方和加余弦平方和等于一的特点。还有,在进行简化求值方面的解题时,很多学生不知道该用哪个公式,具体步骤应该如何去做,其实只需要将角化成诱导公式左边角的形式就可以用公式进行简化了。
2.1.4易忽略有字幕的三角函数值的符号。
2.1.5在运用诱导公式时,对符号的把握不到位。
在三角函数整个知识章节中,总共有16个式子用于问题的解答。在对这些公式进行运用时,往往难以确定符号,从而造成做题错误的几率。弄错符号容易分不清主题和部分,在利用诱导公式(二)sin(π+α)=-sinα时,将α看做是一个锐角,而π+α就是第三象限角,根据正弦值在第三象限是负值,所以得出了公式中的“-”。但是学生在做题过程中却是直接根据角的终边在第几象限确定公示后的符号,这样一来就用错了三角函数的解题公式。
2.2教师在教学方面存在的问题。
2.2.1对学生课堂参与度不够重视。
在高中阶段数学课程教学中,由于教学任务繁重,每节课传授知识量较大,因此很多教师都习惯采用填鸭式的教学方式进行教学。这种教学方法只是考虑到了如何将知识传授给学生,却忽略了学生对知识的接收。学生在接触这些知识时,只是通过背诵的方式记忆这些信息,并没有对这些信息做到充分理解,这样一来,随着时间的推移,记忆效果就会明显下降。新课标要求下,要求教师发挥学生自主学习能力,让学生通过自主探究掌握知识。但是在实际的课堂教学中很多教师却感觉课上让学生自主探究是浪费时间,为了节约时间往往会选择填鸭式教学方法。
2.2.2对教材内容处理方式欠佳。
每节课都有不同的教学目标和教学任务,教师为了更好地达到教学目标,可以对教学内容进行适当调整,一些对实现教学目标有效的内容可以进行重点布置,一些对于实现教学目标关系不大的内容可以进行适当删减。然而在教学实践中,许多教师不能够处理好教学内容。例如,将弧度制中的例1和例2忽略后,学生只会对特殊角角度制和弧度制进行转换,但是对于一些一般的角度的转换会出现问题。如果将三角函数的线性知识忽略或者让学生自学,就会为后续学习三角函数的***像造成阻碍。尤其是其中的有向线段部分,在不通过教师引导的情况下,学生很难理解透彻。这样的删减不但没有提高教学效率,而且造成学生的学习障碍。
2.2.3教学手段单一。
目前很多高中数学教师认为,上课只需要黑板和粉笔就能够完成画***与讲解,而不注重多媒体和现代技术手段的应用。这样一来,教师在讲课中花费大量时间画***,并且得到的***形准确度和美观性都有待提高,为此,很多教师省略了画***这一步,导致学生在理解三角函数性质方面缺少直观认识。
3.高中数学三角函数教学策略
3.1利用口诀熟记公式和符号。
在高中数学三角函数部分有众多公式,这些公式对于学生来说非常不容易背诵,有时候死记硬背下来在用的时候还会出现偏差,利用口诀能够记得既准又牢固。例如,可以根据公式一到公式四的特点,把它的性质归纳为“函数名不变,象限定正负”,公式五和公式六可以归纳为“函数名改变,象限定正负”,还有些学者将诱导公式汇总成了两句话“奇变偶不变,象限定正负”。另外记忆三角函数四个象限符号的口诀可以定义为:“上正、右余、对角切”,这样一来学生就可以准确地判定出函数的符号。
有些学生虽然能够准确无误的写出诱导公式,但是对于解题还是没有头绪,不知道从何处下手,为此,有些人总结出了化简题的口诀“负化正,大化小,化到锐角求解值”。这样一来,对于大部分的题目都可以通过口诀形式完成解答。
3.2利用多媒体,形象演示函数变化的难点。
在教学三角函数时,教师如果仅仅是利用传统的“粉笔+黑板”模式进行教学,则很难体现函数的变化特性,不利于学生的理解,甚至还会产生厌烦情绪。如果利用多媒体,则可以将抽象的函数转换问题具体化,由静态转为动态,使学生通过形象思维和抽象思维相结合的方式理解内容,提高学习兴趣,优化课堂教学。
3.3通过变式练习,提高学生对三角函数的应用能力。
在三角函数章节中,不仅要熟练掌握三角函数的各个公式,而且要掌握应对各种题型的解题技巧,这样才能够在解题过程中更方便快捷地利用公式进行解题。教师可以寻找一些具有代表性的题目,保持题目本质的前提下不断变换形式考查学生,培养学生解题思维,提高学生对三角函数的应用能力,提高解题效率。
参考文献:
[1]朱作炜.关于高中数学三角模块的教学研究[D].长沙:湖南师范大学,2011.