学文网向量平行公式篇1
第一章
引言
1.1
研究背景
向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使***形量化,使***形间关系代数化.向量是研究***形问题的有力工具.
向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何．
1.2
本课题的研究内容
本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：
1、向量在建立平面方程中的应用.
2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用.
3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用.
4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用.
5、向量在平面其它方面的应用.
第二章
向量法在有关平面问题中的应用
2.1
向量的基础知识
1.向量分解定理
定理1
如果向量,那么向量与向量共线的充分条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合,即,并且系数被,唯一确定.
定理2
如果向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是可以用向量,线性表示,或者说可以分解成,的线性组合,即,并且系数,
,被,,唯一确定.这时,叫做平面上向量的基底.
2.向量平行、垂直的条件及夹角公式
设空间中两个非零向量为和
则(1)
(2)
∥
(3)即
3.向量乘法运算的有关内容:
设则
(1)数量积：1)
2)
3)
4)
即
(2)向量积：1)
2)若不平行,则
***1
3)若∥即
(3)混合积：1)
2)若不共面,则
2.2向量在建立平面方程中的应用
2.2.1
平面的点法式方程
如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法向量.
法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量.
已知平面上一点和该平面的法向量.
设平面上的任一点
则有
=
***2
平面的点法式方程为
由点法式得到平面的一般是方程其中例1:
一平面过点和且垂直于平面,求此平面的方程.
解:
平面的法向量
设所求平面的法向量
在所求平面上
从而有
,
***3
即
(1)
又所求平面垂直于平面
,
从而有
即
即
(2)
由(1)(2)解得：
所求平面的方程为即
另解：且
该平面的法向量为
***4
所求平面的方程为
即
从以上两例可以看出,在用向量建立平面方程时,首先要确定平面的法向量,熟记平面的几种特殊位置的方程,且需注意两平面的位置特征.
2.2.2平面的参数式方程
***5
在空间,取仿射坐标系,并设点的向径,平面π上的任意一点的向径为(***4),显然点在平面π上的充要条件为向量与共面,因为不共线,所以这个共面的条件可以写成,又因为,
所以有
其中为参数.
即
则此方程叫做平面π的向量式参数方程,
如果设点的坐标分别为那么
;
令,
那么由平面π的向量式参数方程得
,则此方程组叫做平面π的坐标式参数方程.
2.3讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用
2.3.1平面与平面的位置关系
空间两个平面的位相关位置有三种情形,即相交、平行和重合,而且当且仅当两平面有一部分公共点时它们相交,当且仅当两平面无公共点时它们相互平行,当且仅当一个平面上的所有点就是另一个平面的点时,这两平面重合.因此如果设两平面方程为
,
（1）
,
（2）
那么两平面与是相交还是平行或是重合,就决定于由方程(1)与(2)构成的方程组是有解还是无解,或是方程(1)与（2）仅相差一个不为零的数因子,因此我们就得到了下面的定理.
定理2.3.1.1:
平面（1）与（2）相交的充要条件是
,
平行的充要条件是
,
重合的充要条件是
定理2.3.1.2:两平面（1）与（2）相互垂直的充要条件是
;
证：设平面的法向量为,平面的法向量为
而与的位置关系直接影响与的位置关系.下面分几种情况来讨论.(如***2.3.1)
1.
∥∥
特例：与重合（1）,（2）两方程同解
∥且
显然,∥,且与不重合
2.
.
将上面结果归纳起来可以得到2.3.1.1和2.3.1.2
2.3.2平面与直线的位置关系
空间直与平面的相关位置有直线与平面相交,直线与平面平行和直线在平面上的三种情况.下面给出直线与平面位置成立的条件：
设直线平面的方程分别为
,
（1）
,
（2）
则由定理2.3.2.1
直线（1）与平面（2）的相互位置关系有下面的充要条件:
1.
相交：
；
2.
平行：
;
；
3.
直线在平面上：
;;
由于直线的方向向量为,而在直线坐标系下,平面的法向量为,因此在直角坐标系下,直线与平面的相互位置关系,从几何上看,直线与平面的相交条件
就是不垂直于；
直线与平面平行的条件
;
就是,且直线上的点不在平面上；
直线在平面上的条件
;
就是,且直线上的点在平面上.
2.4向量在推导点到平面的距离公式中的应用
空间解析几何在空间点、直线与平面间相关位置的讨论中有一个重要问题是求这些***形间的距离,其中点到平面的距离尤为重要．本节将利用向量探讨点到平面的距离公式的推导．
文献[1,2]利用点与平面间离差的几何意义给出了点与平面：
（1）
之间的距离公式：
（2）
平面的点法式向量方程为
,
（3）
平面的向量式参数方程
（4）
其中是平面的法向量,、为参数,,是平面的方位向量,是平面上定点的径矢,
（5）
设
（6）
（7）
,
（8）
则平面的点法式向量方程（3）和平面的向量式参数方程（4）都可以转化为平面的一般式方程（1）,所以以下推导中,只要得到由向量表示的距离公式,那么将（6—8）代入,就可得距离公式（2）.
证：1.
与之间的距离是与上定点构成向量在平面的法向量上的射影的绝对值.
设平面的点法式方程如（3）式,则
将（5）（6）（8）（9）式代入,即可得距离公式（2）
已知与之间的距离是以平面的方位向量,和为棱的
平行六面体中,所在平面上的高
证：1.设平面的方程如（4）式,将,的始点移到点,则,,不面.与之间的距离正好是以向量,和为棱的平行六面体中,所在面上的高如***6.
平行六面体的体积
,
底面的面积
***6
所以,
将（5）,（7）,（8）,（9）式代入,即可得距离公式（2）
评析：点到直线距离公式的推导有很多方法,本节利用向量法推导出了点到直线的距离公式,这种思路能更好的将向量与几何问题结合起来,展现了向量在解决几何问题中的重要作用.
2.5
向量在推导两平面的夹角公式中的应用
现在让我们在直角坐标系下来研究两平面的交角.
设两平面与间的二面角用来表示,而两平面的法向量与的夹角记为,那么显然有（***7）
或.
因此我们得到
***7
例2:
如***8,在底面是直角梯形的四棱锥中,//,,,,,
.
求侧面与面所成的二面角的大小.
解：以为原点如***8建立空间直角坐标系,
A
z
y
x
D
C
B
S
***8
则,
,,,
,
显然平面的一个法向量为,
设平面的一个法向量为,则
则
评析：因为所求的二面角的交线在***中较难作出,所以用传统的方法求二面角比较困难,向量法在这里就体现出它特有的优势.
2.6向量在平面其它方面的应用
1．求点关于平面的对称点的坐标.
例3.求点关于平面π:的对称点的坐标.
解：设点关于平面对称点的坐标是平面π的法向量为.则有∥且点到平面的距离与点到平面的距离相等,即.得
解得,则点的对称点.
2.
求平面与坐标平面围成的四面体体积.
例4.求平面与三个坐标平面所围成的四面体体积.
解：如***9,则平面与坐标系的交点与原点构成的向量为,,
***9
则四面体体积为即四面体体积
评析：向量除了本文所罗列出来的相关问题之外,还有很多的解析几何问题可以利用向量来解决,所以向量在解决平面的相关问题中有着不可忽视的作用,值得我们认真学习和研究.
2.7本章小结
总之,向量在整个解析几何中占有非常重要的地位,因此它的应用在解决几何问题时是最基础最普遍的方法,尤其是在几何的证明问题中,使用向量的分解定理和向量的基础知识以及向量的一些定理可以起到事半功倍的效果.除此之外,用向量可以将一些代数问题几何化,这样借助向量的性质可以快速明了的解决一些难题.另外,向量在推导一些几何公式时,使得问题简化了很多.
参考文献
[1]吕林根,许子道.解析几何[M]．北京：高等教育出版社,1992．
[2]丘维声.
解析几何[M]．北京大学出版社,1988．
[3]郑荣等.向量在几何中的应用举例[J].成都教育学院学报,2003,17
65~66.
[4]李健群.谈向量方法在有关直线问题中的应用[J].数学通,2004,
6~17.
致谢
走的最快的总是时间,来不及感叹,大学生活已近尾声,四年多的努力与付出,随着本次论文的完成,将要划下完美的句.
从课题选择到具体的写作过程,无不凝聚着老师的心血和汗水.老师要指导很多同学的论文,加上本来就有的教学任务和科研项目,工作量之大可想而知,她还在百忙之中抽出大量的时间来指导我们.她的循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,她的渊博的专业知识,精益求精的工作作风,严以律己、宽以待人的崇高风范,将一直是我工作、学习中的榜样.在我的毕业论文写作期间,老师为我提供了种种专业知识上的指导和一些富于创造性的建议,没有这样的帮助和关怀,我不会这么顺利的完成毕业论文.在此向李明老师表示深深的感谢和崇高的敬意.
向量平行公式篇2
关键词：点 平面 距离
中***分类号：G642 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.22.027
1 点到平面的距离公式
命题：在直角坐标系中，点P0（x0，y0，z0）到平面 ：Ax+By+Cz+D=0的距离为
证法一：过P0作平面 的垂线，设垂足是P1（x1，y1，z1），则点P0到平面 的距离：
[P1P0] [d=] （ [P1P0]={x0-x1，y0-y1，z0-z1}）
由于平面 的法向量为[n] ={A，B，C}， 所以 [P1P0]//[n] 。因此有 [P1P0]=[kn0] （其中k是常数，[n0] 是[n] 的单位向量）.对上式的两端用[n0] 作数量积，可得
证法二：在平面 上任取一点P1（x1，y1，z1），则向量 [P1P0]（或 [P0P1]）在平面的法向量上投影的绝对值即为点P0到该平面的距离。
2 点到平面的距离公式的主要应用
例1：求平行于平面 ：5x-14y+2z+36=0且与此平面距离为3的平面方程。
解：设所求平面为 '，其方程是5x-14y+2z+D=0，则平面 上任意一点P（x，y，z）到 '的距离为3. 于是有：
由此解得D=81 或D= -9.
故所求平面方程为5x-14y+2z+81=0和5x-14y+2z-9=0.
由本例可以看到，求与已知平面距离为定值的平面方程Ax+By+Cz+D=0，只需确定参数D。利用所求平面上任意一点到已知平面的距离公式，即可得到含有D的绝对值等式，由这个式子解出即可。
例2：求两平行平面 1：x+y-z+1=0， 2：2x+2y-2z-3=0之间的距离。
解：在 1上任取一点P（x，y，z），则P到 2的距离即为所求。
一般地， 设两平行平面 1：Ax+By+Cz+D1=0， 2：Ax+By+Cz+D2=0，在 1上任取一点M1（x1，y1，z1），则M1到 2平面的距离即为两平行平面 1与 2之间的距离。
例3 求直线与平面3x-y+2z+3=0 之间的距离。
解：当直线与一个平面平行时，在直线上任取一点，该点到平面的距离就是直线与平面的距离。在本例中，可在直线上取点（1，0，-2），则
说明：当直线平行于平面时，直线上任意一点到平面的距离都相等，但我们应当尽量在直线上取坐标为整数的点，这样计算方便。
例4：求异面直线
与之间的距离。
解：求两条异面直线的距离，可以过一直线作平面平行于另一直线，在后者上任取一点，该点到所作平面的距离就是两条异面直线的距离。
设过L1的平面 //L2，其法向量[n] ={A，B，C}，L1，L2的方向向量分别为[T1] ，[T2] ，则有[n] ・[T1] =0，[n] ・[T2] =0 所以
[B+3C=0
A+2B+2C=0]
解得 A=4C ，B=-3C ，即[n] ={4C，-3C，C}（C≠0），于是可取[n] ={4，-3，1}可取。
故过L1且与L2平行的平面方程为4（x+1）-3（y-1）+（z-2）=0，即4x-3y+z+5=0.在L2上取一点P2（1，0，-1），那么P2到 的距离就是异面直线L1与L2的距离。
故
求异面直线之间的距离，是空间解析几何的难点之一，要求异面直线之间的距离，也就是要求出它们的公垂线上两垂足之间的距离。所以，弄清公垂线的方向向量是解题的关键。解决此类问题的方法通常是把问题转化为求直线与平面的距离。当然，此类问题的解法不是唯一的。
以上，我们用两种方法推导出点到平面的距离公式，并通过几个例子说明了该公式的基本应用，我们在解题时，首先应当弄清题意，再根据相关的知识及利用公式给出解答。
参考文献：
[1]同济大学数学教研室.高等数学[M].高等教育出版社，1996.
向量平行公式篇3
关键词：向量法；新课程；高中数学；工具性
“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景是解决几何问题的有力工具。全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把***形的基本性质转化为向量的运算体系。”使得教材中在推导正、余弦定理、三角不等式、柯西不等式、直线与平面垂直的判定定理等重要定理、公式的教与学更加简洁、方便、深刻，向量的工具性作用得到了更为充分的发挥。教材中的许多知识表面上是孤立的，若我们在引领学生认知这些内容的同时，有“意识”地揭示这种“知识链”，内化学生的理解，就能让学生对知识的构建“水到渠成”。
精彩之一：用向量法推导直线的斜率坐标公式的关系
【问题1】已知直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，求直线的斜率。
教材中采用了分四种情况讨论，利用初中直角三角形中的正切函数概念结合诱导公式推导斜率公式，学生对推导过程比较难理解，是本节课的难点。
■
不妨设直线向上的方向向量为■=（x2-x1，y2-y1），否则取其相反向量。
平移至向量■=（x2-x1，y2-y1），则直线P1P2的倾斜角α=∠XOP，所以直线的斜率k=tanα=■.
这样采用向量法和正切函数的定义就可以巧妙地避免复杂的分类讨论和诱导公式的变形等难点，学生也能很好地理解公式推导过程。
精彩之二：用向量法推导直线方程及直线的斜率与平行、垂直位置关系的条件
【问题2】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，l1l2，则直线的斜率k1，k2有何关系？
教材中采用了分情况讨论，利用直角三角形外角等于不相邻的两内角和以及诱导公式推导，学生对推导过程理解还是比较困难的。
如果设直线l1，l2的方向向量分别为■=（1，k1），■=（1，k2）即有
l1∥l2？圳■∥■？圳1×k1-1×k2=0？圳k1=k2；
l1l2？圳■■？圳■・■=0？圳k1k2=-1.
这样学生就能很好地理解公式的推导办法，向量的工具性作用得到充分应用，数学知识的内在联系得到了升华。
笔者让学生自主学习《数学必修4》133页的《平面向量》复习参考题B组第9题：
【问题3】“平面直角坐标系内的向量都可以用一有序实数对唯一表示，这使我们想到可以用向量作为解析几何的研究工具。……你能用向量作为工具讨论一下直线的有关问题吗？
（1）过点P0（x0，y0）平行于向量■=（1，k）的直线方程；
（2）向量■=（A，B）与直线Ax+By+C=0的关系；
（3）设直线l1和l2的方程分别是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，那么，l1∥l2，l1l2，的条件是什么？”
【引进直线的方向向量】（1）设P（x，y）为直线上任意一点，则■∥■，
即有（y-y0）-k（x-x0）=0，故有y-y0=k（x-x0）.
【引进直线的法向量】（2）在直线Ax+By+C=0上任取不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
则A1x+B1y+C1=0……①，A2x+B2y+C2=0……②，
由②-①得，A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，即有■・■=0，故■■，
所以向量■=（A，B）为直线Ax+By+C=0的法向量。
（3）如果设直线l1，l2的法向量分别为■=（A1，B1），■=（A2，B2），则有：
l1∥l2？圳■∥■？圯A1×B2-A2×B1=0；l1l2？圳■■？圳■・■=0？圳A1A2+B1B2=0；
引进法向量推导直线平行的必要条件、垂直的充要条件就可以避免用斜率繁杂的讨论，而使过程简洁明快。
精彩之三：用向量法推导点到直线的距离公式
【问题3续】（4）向量在计算长度、角度方面比较方便，你能用向量的知识推导“点P0（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离公式”吗？
虽然只设计了这样一个问题，却一石激起千层浪，引导着学生把平面向量知识与解析几何知识有机地联系在一起，为学生学习解析几何知识有了向量这一有用的工具，为学生学习新知识――推导点到直线的距离公式开拓了新的思路：
■
已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0求点P0到直线l的距离。
解：在直线l上取一点S（x1，y1），则Ax1+By1+C=0，
■=（x1-x0，y1-y0），而直线l的一个法向量为■=（A，B），
d=■=■
=■=■
推导点到直线的距离公式是本节内容的难点，用向量法推导比教材中的方法更简洁，笔者的教学实践表明：这一方法让学生更易掌握，从而很好地突破了教学的难点。
精彩之四：用向量法求直径圆
【问题4】设A（x1，y1），B（x2，y2），求以AB为直径的圆方程。
设P（x，y）为圆上任意一点，则APBP，即■・■=0，故有，以AB为直径的圆方程为（x-x1）（x-x2）（y-y1）（y-y2）=0。
精彩之五：用向量法求过圆上的切线方程
【问题5】求过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。
方法1：易知，■=（x0，y0）是过切点P（x0，y0）的圆的切线的法向量，所以可以设切线方程为x0x+y0y+c=0，因切线过点P0（x0，y0），所以x02+y02+c=0，即c=-（x02+y02）=-r2，
所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.
方法2：在切线上任取一点Q（x，y），则OPPQ，即■・■=0，即有x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，故有x0x+y0y-（x02+y02）=0，所以过圆x2+y2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为x0x+y0y=r2.
【问题5续】求过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程。
设圆心M（a，b），在切线上任取一点Q（x，y），则MPPQ，即■・■=0，
即有（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，有（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-[（x0-a）2+（y0-b）2]=0，
所以过圆（x-a）2+（y-b）2=r2上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.
向量法研究直径圆、过圆上的切线方程，使问题的解决变得更方便，也更容易被学生掌握。
用向量法解决问题的一般思路为：
向量是数学中重要和基本的概念之一，它是高中数学的基础。“它既是代数的对象，又是几何的对象，作为代数的对象，关键是它具有一套良好的运算性质，而作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面曲线等几何对象。向量有长度，可以刻画长度等几何度量问题，向量由方向和大小两个因素确定，因此向量是集数与形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的体现。通过空间向量可把空间***形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具。”并把向量上升为思想方法――“向量法”，让学生更好地体会数学方法的魅力和数学知识内在的普遍联系，使高中数学学习更精彩！
参考文献：
向量平行公式篇4
【关键词】平面向量；数形结合；向量法；教学体会
现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。 该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（一）几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（二）代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
（三）坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容 、要求、重点与难点
（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。
1、 平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有：向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。
2、 平面向量的坐标运算, 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有：平面向量的坐标运算(5.4节), 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。
3、 平面向量的应用, 具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理, 余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。
（二）、教学要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）、教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
（四）、教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。首先教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了***形，并安排了较多的作***练习、看***练习及作***验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题。
5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数***像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。
【参考文献】
向量平行公式篇5
关键词：平面向量；数形结合；向量法；教学体会
现行高中第五章"平面向量"是高中数学新增内容之一。 该内容的引入既丰富了高中数学的内容，又体现了向量作为数学工具的重要性。通过利用向量去解决一些实际问题，深化了数学知识间的关联性和系统性，为更好地学好高中数学奠定了良好的基础。向量的基础知识较多，且与其他很多部分知识都有联系，如向量与函数的联系、向量与三角函数的联系、向量与立体几何的联系、向量与解析几何的联系等。因此，有必要加强对向量这一章节的进一步研究和总结。
一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算
（一）、几何运算
本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。
（二）、代数运算
1、加法、减法的运算法则；2、实数与向量乘法法则；3、向量数量积运算法则。
（三）、坐标运算
在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用"解析法"来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。
二、教学内容 、要求、重点与难点
（一）、本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形。
1、 平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。
2、 平面向量的坐标运算, 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算(5.4节), 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。
3、 平面向量的应用, 具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理, 余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。
（二）、教学要求：
1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
6、掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。
7、掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
8、通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。
（三）、教学重点
向量的几何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。
（四）、教学难点
向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。
三、本章的特点
教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。
1、教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。 首先教材通过求小船由a地到b地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了***形，并安排了较多的作***练习、看***练习及作***验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。其次，本章各节的例题、练习、习题等配备量适中，可以使教学有较充分的自主空间，为教学提供了师生互动的空间，为学生提供了探究、发现与归纳的机会, 也为教师根据教学目标，对教材进行再加工提供了可能。
2、利用"向量法"解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数
，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。
4、强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了"实习作业", 通过实际测量, 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。 以此来强化学生根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算，即运算能力。以此来强化学生能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明，即实践能力。
四、教学体会
依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对"平面向量"教学有如下的教学体会：
1、认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。
2、在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。
3、抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高"向量法"的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。
4、利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题
5、强化数形结合的思想，化归的思想，分类与讨论的思想，方程的思想等；加强学生运算能力的培养和提高。引导学生理解本章平移知识与函数***像平移的联系和区别；理解解三角形与三角函数的联系；注意区分两向量的夹角与直线的夹角概念。
【参考文献】
［1］人民教育出版社，人民教育出版社中学数学室编著，全日制普通高级中学教科书（必修）《数学》第一册（下）
向量平行公式篇6
【关键词】高速公路；互通式立交；位置选择；型式；几何设计
一、前言
互通式立体交叉是高速公路之间和高速公路与其它公路交叉时所采用的主要交叉方式之一，是高速公路的重要组成部分，也是高速公路的重要构造物之一。高速公路互通式立交设计除了具有路线设计的一些特点外，还受小区域车辆行驶轨迹多向性、行驶速度多变性、线形元素多元化的影响，在技术上具有一定的复杂性。如何正确把握互通式立交设计要素，合理选定互通式立交位置，正确选择立交型式，准确应用各项技术指标，对保证互通式立交具有完善的交通功能、较高的服务水平、行车安全舒适、降低工程造价，减少占用土地和拆迁建筑物，提升公路景观效果等至关重要。
二、高速公路互通式立体交叉位置的选择
高速公路互通式立体交叉位置的选定应以现有公路网或规划的公路网为依据，综合考虑交通，社会经济发展、自然条件等因素。高速公路与既有公路或规划的公路相交时，不可能也没有必要在每个交叉点都设置互通式立交，应根据相交公路等级、路网中的地位、发展前景、服务功能、互通式立交间的合理间隔、交通流量以及场地条件等权衡确定。
确定相交公路应设立互通式立体交叉后，要进一步根据项目功能、被交公路现状、地形、项目所在地城镇规划、收费制式等，综合确定高速公路互通式立交具置。
三、高速公路互通式立体交叉型式
常用的互通式立体交叉型式有喇叭形、苜蓿叶形、部分苜蓿叶形、直连式和半直连式等基本型式。由于目前多数互通式立交是为高速公路与较低等级公路相交而设置的，被交公路交通量不是很大，且大部分高速公路都是利用银行贷款建设，以收取过路费还本付息，为了少设收费站和便于管理，互通式立交的型式受到了限制。当高速公路与较低等级公路相交时，通常都以喇叭形和半苜蓿叶形为主要类型，高速公路与高速公路相交一般都采用设计速度较高的能使转弯车流保持良好自由流的直连式或半直连式互通式立体交叉。
1.喇叭形与半苜蓿叶形互通式立交
喇叭形互通式立交有单喇叭形互通式立交和双喇叭形互通式立交两种。高速公路与转换交通量较小的二级公路或更低等级公路相交时，宜采用在被交公路上设置平面交叉的旁置式单喇叭形互通式立交或半苜蓿叶形互通式立交。高速公路同一级公路或转换交通量大的二级公路相交，且设置收费站时，宜采用双喇叭形互通式立交。
半苜蓿叶形互通式立交按匝道布置方向可分为三类，即主要公路出口在跨线桥之前的A型，以外环匝道为流出匝道，视线开阔，行驶条件良好，车速较快，但不利于被交公路上平交口的车辆运行。出口在跨线桥之后的B型，以内环匝道为流出匝道，主线流出车辆视线受影响，对行车不利，但内环匝道车速较慢，对被交公路上平交口的车辆运行有利。以主要公路为对称轴布置两相邻匝道的A―B型，其车辆在次要公路上转弯时，右转和左转车辆在两个平交口易产生交织，车辆运行较混乱。
2.直连式和半直连式互通式立交
直连式互通式立交就是左转弯匝道均从左方分流后左转而从左汇流的直连式匝道组成的互通式立交，使左转弯车辆在直接定向型匝道上由一个方向的车道左侧驶出，以较好的线形和较短捷的路线直接进入另一方向的连接车道而完成左转运行。由于车辆直接左转弯，方向明确，结构紧凑，路线短捷，利于行车，通行能力大，但跨线桥较多，把两层跨线桥分设在三处，造价较高，适用于两条高速公路相交、交通量大的枢纽互通式立交。
半直连式互通式立交是设置半直接定向型匝道来实现车辆左转弯的，即车辆先从右方分流略作右转弯后左转并从右方汇流的半直连式匝道组成的互通式立交。行车条件较好，通行能力较大，但跨线桥较多，造价较高，适用于两条高速公路相交，交通量相对较小的枢纽互通式立交。
四、几何设计
1. 主线
互通式立交范围内的主线是立交的组成部分，也是高速公路本身，它受到匝道、跨线构造物的影响，车辆进出产生合流、分流、交织等状况，比一般路段复杂。从行车方向易辨别性及快速、安全、舒适的原则考虑，互通式立交范围内主线的线形有更高的要求，平、纵面指标应高于高速公路正常路段的标准，尤其是在主线分、合流部位应有良好的视距，较大的平曲线半径，较平缓的纵坡，采用较大的竖曲线半径，尽量避免较大的横坡，尤其是应避免在长陡坡底部设置互通式立交。
2.匝道设计速度
匝道的作用是使车辆快速、便捷地由一个方向转向另一个方向，匝道的功能主要体现在匝道的通行能力上，合理确定匝道设计速度是保证匝道功能的关键因素。匝道的设计速度应根据互通立交的型式和主线的设计车速、交通量、车辆组成、地形及匝道车速变化条件而定。
3.匝道平面线形
匝道平面线形设计中，在主线出入口至匝道平面线形紧迫路段之间，平面线形应与交通量和变化着的行驶速度相适应，在出入口过渡段内速度较高，应采用较高的线形指标。在紧迫路段其线形指标也应保证其最大的安全速度，不能以满足规范规定的一般指标范围为满足，更要慎重使用极限指标。在收费站附近，行车速度较慢，可采用较低指标。车辆驶出速度比流入速度高，驶出匝道线形应比驶入的好。
4.匝道纵面线形
匝道纵坡应尽量平缓，避免多次不必要的反坡，最大纵坡应留有余地，最小纵坡应满足纵向排水要求，匝道同主线相连接部位，其纵面线形应连续，避免突变。出口匝道宜为上坡匝道，入口匝道宜为下坡匝道。上坡加速或下坡减速的匝道应采用较缓的纵坡，避免采用最大纵坡。车辆下坡急弯驶离匝道的线形是很危险的，务必避免。
5.匝道平、纵面线形组合设计
匝道平纵面线形组合设计应尽可能采用公路路线的线形组合设计，变坡点不应与反向平曲线的拐点重合，尤其是跨线桥不可设在反向曲线的拐点处。直线段内不宜插入短的竖曲线，特别是设计速度较大的直连式、半直连式匝道纵面设计更须注意。在入口处如上坡接凸形竖曲线，应使匝道纵断面与邻近的主线基本一致，使驾驶员能看清主线上的交通情况，安全驶入。
6.变速车道
变速车道是专门为车辆进出高速公路而设置的车道，供流入车辆使用的为加速车道，供驶出车辆使用的为减速车道。变速车道为单车道时，加速车道宜采用平行式，减速车道宜采用直接式。当变速车道为双车道时，加、减速车道均应采用直接式，以利车辆进出。
五、结语
影响高速公路互通式立交设计的因素很多，要保证在满足行车安全性和交通功能性的前提下，使互通式立交型式经济适用，造型美观，必须根据工程项目所在地的自然、地理地质条件、交通流量流向等特点，把握好设计理念，设计原则和总体布局。同时注重技术经济论证比选，以自然、朴实为导向，强化景观设计，使互通式立交建设与自然景观完美结合，以提高其在公路网中的社会效益和经济效益。
参考文献
向量平行公式篇7
8月13日，中国人民银行副行长刘士余对互联网金融表态鼓励，但也公开警示：P2P（个人通过第三方平台在收取一定费用的前提下向其他个人提供小额借贷的金融模式）行业有两个底线不能碰，一个是非法吸收公共存款，一个是非法集资。颠覆式创新出现时，往往有灰色地带，其中的玩家难免心中忐忑。多家公司开始收敛金融创新产品，8月20日，中国平安旗下子公司陆金所以系统升级为由暂停了“团金”系列产品。
陆金所成立于2011年9月，是中国平安集团倾力打造的网络投融资平台。“成立陆金所的动力之一，来自于马总（马明哲）一直都希望在原有体系之外成立一家新的公司，来尝试各种创新，尤其是与科技结合的创新。”陆金所副总经理黄黎明告诉《中国企业家》。平安内部一位员工告诉本刊，“少东家”的定位很契合马明哲对平安互联网金融板块及P2P平台陆金所的构想。
作为一家综合金融服务集团，陆金所平台上的产品与集团其它业务关联也无可厚非。
陆金所的“团金”系列产品就是将平安系下其它子公司的债权切割成1万-10万的等份向陆金所会员出售，收益率通常超过5%，资金占用周期大多在100天以上。例如此前陆金所出售的团金8号，即是将平津保理（天津）公司持有的深圳平安汇富资产管理公司500万元债权，切割成2.5万元的等份，以5.7%的年化收益率出售给陆金所会员。
“团金”系列产品不再遵循P2P一对一模式，在形式上与银行理财产品颇为相似。而开展此业务的陆金所已不再是一个单纯的P2P平台，转而为平安系提供了资金融通功能。陆金所的高层曾经仔细研究过美国关于对公众发行小金额理财产品的规则，通常要求产品的信息要足够透明、对客户有足够的风险提示，并须经美国证券交易委员会（SEC）审批。但国内并没有这方面的监管规则及审批流程规定，而陆金所也无法判断究竟怎样才算是在合法范围，怎样可能被列入“非法集资”。 平安集团软广植入《龙门镖局》，主人公陆三金名字高仿“陆金所”
“作为P2P的经营者，陆金所没有必要去承担《刑法》规定的风险，所以我们暂时停止了‘团金’产品，内部也再多做一些论证。”黄黎明称。
据消息人士向《中国企业家》透露，今年8月，“一行三会”、***法制办、***、工信部等七部委曾同赴陆金所调研，而这个工作组调研的目的是为了向更高层提供P2P行业发展的建议。
与互联网公司常常扬言要用互联网技术击溃传统金融业不同，传统的金融世家们更看重的是如何用互联网技术合规、依次激活自己的存量金融单元。
规避产品风险是传统金融机构进入互联网金融要上的第一课。为此，马明哲为陆金所空降了平安首席创新官计葵生担纲陆金所董事长，还向陆金所开放了平安多年来在金融领域积累下的风险管理授信模型，陆金所对借款个人或企业的审核，都可以通过该模型审核完成。为了选择合适的业务模式，陆金所邀请各路专家进行了60多次的研讨；在P2P平台搭建完成后，其测试周期长达3个月。
而中国平安为陆金所带来的最深层次的庇护在于，在这个野蛮生长的行业内，为其寻找一切可以遵循的游戏规则。
目前，国内的P2P服务平台已超过200家，2012年全年P2P线上交易量已超过100亿元，但这个蓬勃生长的行业却顶着一颗随时可能被引爆的炸弹——全行业的法律监管处于空白。
从事着金融业务的P2P平台，在法律地位上并不是金融机构，只是一般工商企业。监管缺位意味着短期内行业的良莠不齐以及随时可能到来的行业洗牌。为了规避业务与监管上的矛盾，陆金所的做法是将业务分解为不同环节，每个环节尽量向相邻金融监管规则靠拢。
陆金所业务运营之初将资金委托给深圳发展银行，即后来的平安银行。但客户资金沉淀在陆金所账户里，安全性遭到了质疑，于是陆金所开始寻求与第三方支付公司合作。
阿里的支付宝向陆金所开出的条件是，按照交易额的千分之几收取费用的条件，这对于月交易额已超过亿元的陆金所来说，意味着每月数十万元的交易成本。加之考虑到双方在未来业务的竞争关系，最终陆金所选择了与中国平安一向亲善的腾讯财付通。2013年2月陆金所与财付通正式合作，这也意味陆金所在资金环节纳入了央行的监管范畴。
平安的庇护还让陆金所得以在几乎全行业涉嫌违规的担保环节，得以独善其身。为了保障客户的资金安全感，国内大多数P2P平台都在其运作中加入了担保条款，通过平台自有资金、平台向借款人收取的融资性担保费用或建立风险储备金的方式，向客户提供担保。但一般工商企业的经营范围并不包括担保业务，陆金所中意的融资性担保的模式更需要专门的金融牌照，这是监管的“红线”。
此时中国平安显出了传统金融的底蕴，集团为陆金所量身定制了一家担保公司——平安融资担保（天津）有限公司。陆金所平台上交易的每一笔债权皆由这家公司审核并提供担保。这家高度关联的担保公司让陆金所间接拥有了一张融资性担保牌照，同时隔离掉了风险。而陆金所的盈利也是通过与这家担保公司分享担保费取得。
融资性担保公司的杠杆率是10倍，注册资金为1亿元的平安融资担保（天津）有限公司，为陆金所划定了10亿元业务量的天花板。可截至目前，陆金所的业务量已超过了8亿元。中国平安当然不会看着“少东家”的业务受阻，“平安集团正在考虑向这家担保公司增资，以配合陆金所业务量的增长。”黄黎明向《中国企业家》透露。
这家担保公司存在的更高价值在于，今年年初，央行向融资性担保公司及小额贷款公司有条件地开放了央行征信体系，但P2P公司并不在可以对接至央行征信体系的行列中。此前已有一批融资性担保公司拿到了可对接至央行征信体系的批文。
向量平行公式篇8
数学科考试旨在测试中学数学基础知识、基本技能、基本方法，考查数学思维能力，包括空间想象直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等，以及运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。考试分为理工农医和文史财经两类理工农医类。复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何、立体几何和概率与统计初步五部分。文史财经类复习考试范围包括代数、三角、平面解析几何和概率与统计初步四部分。考试中可以使用计算器，考试内容的知识要求和能力要求作如下说明：
1.知识要求
本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求三个层次分别为，了解要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用理解、掌握、会要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题灵恬运用：要求考生对所列知识能够综台运用，并能解决较为复杂的数学问题
2.能力要求
逻辑思维能力：舍对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条理地进行表述运算能力理解算理，会根据法则、公式、概念进行数式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算空间想象能力：能根据条件画出正确***形，根据***形想象出直观形象;能正确地分析出***形中基本元素及其相互关系，能对***形进行分解、组合、变形分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
一、复习考试内容
理工农医类
第一部分 代 数
(一)集合和简易逻辑
1.了解集合的意义及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集台、元素与集台的关系
2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.理解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些常见由数的单词性和奇偶性。
3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的***象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二伙函数的概念，掌握它的***象和性质以及函数y=ax2÷bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的***象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能灵活运用二次函数的知识解决有关问题
5.了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数
6.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、***像和性质。
7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质、掌握对散函数的概念、***象和性质。
(三)不等式和不等式组
1.理解不等式的性质，会用不等式的性质和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解决一些简单的问题。
2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式、会解一元一次不等式、会表示不等式或不等式组的解集
3.了解绝对值不等式的性质，会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。
3.理解等比数列、等比中项的概念，会灵活运用等比数列的通顼公式、前n项和公式解决有关问题。
(五)复数
1.了解复数的概念及复数的代数表示和几何意义
2.会进行复数的代数形式的加、减、乘、除运算
(六)导数
1.了解函数极限的概念，了解函数连续的意义
2.理解导数的概念及其几何意义
3.会用基本导数公式(y=c，y=x2(n为有理数)，y=sinx，y=cosx,y=c2的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4.理解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求有关函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
5.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明
2.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。
(三)三角函数的***象和性质
l.掌握正弦函数、余弦函数的***象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的***象和性质
3.了解函数y=Asin(ωx+θ)与y=sinx的***象之间的关系,会用‘"五点法”画出它们的简***，会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.会由已知三角函数值求角，井会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题。
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。
4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向量垂直的条件。
5.掌握向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
l.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率平行垂直夹角等几何问题
(三)多面体和旋转体
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性质，会计算它们的体积
2.了解棱锥、正棱锥的概念、性质，会计算它们的体积
3.了解球的概念、性质，会计算球面面积和球体体积
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台与二项式定理
1.了解分类计数原理和分步计数原理
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
4.了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解次简单问题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概卑加法公式计算一些事件的概率
4.了解相互***事件的意义，会用相互***事件的概率乘法公式计算～些事件的概率
5.会计算事件在n***重复试验中恰好发生k次的概率
6.了解离散型随机变量及其期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值
(三)统计初步
了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差
文史财经类
第一部分 代 数
(一>集合和简易逻辑
1 .了解集台的意义及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系
2.了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.了解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性
3.理解一次性函数、反比例函数的概念，掌握它们的***象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二次函数的概念，掌握它的***象和性质以及函数y=ax+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a#0)的***象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题
5.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、***象和性质。
6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、***象和性质
(三)不等式和不等式组
l.了解不等式的性质，会解一元-次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，舍解一元二次不等式。会表示不等式或不等式组的解集
2.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式前n项和公式解决有划题
3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题
(五)导数
1.理解导数的概念及其几何意义
2.掌握面数y=c(c为常数).y=x2“(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数
3.了解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。
2.掌握两角和两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明
(三)三角函数的***象和性质
1.掌握正弦函数、余弦函数的***象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的***象和性质
3.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，会由已知二角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加、减运算掌握数乘向量的运算了解两个向量共线的条件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用 了解向最垂直的条件
5.了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。
2.会求直线方程，会用直线方程解决有关问题
3.了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题
(三)圆锥曲线
1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点
2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题
3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台
l.了解分类计数原理和分步计数原理
2.了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加j去公式计算一些事件的概率
4.了解相互***事件的意义，会用相互***事件的概率乘法公式计算一些事件的概率
5.会计算事件在n次***重复试验中恰好发生k次的概率
向量平行公式篇9
1.知识要求
本大纲对所列知识提出了三个层次的不同要求，三个层次由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次要求三个层次分别为，了解要求考生对所列知识的含义有初步的认识，识记有关内容，并能进行直接运用理解、掌握、会要求考生对所列知识的含义有较深的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用知识解决有关问题灵恬运用：要求考生对所列知识能够综台运用，并能解决较为复杂的数学问题
2.能力要求
逻辑思维能力：舍对问题进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条理地进行表述运算能力理解算理，会根据法则、公式、概念进行数式、方程的正确运算和变形，能分析条件，寻求与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计，能运用计算器进行数值计算空间想象能力：能根据条件画出正确***形，根据***形想象出直观形象;能正确地分析出***形中基本元素及其相互关系，能对***形进行分解、组合、变形分析问题和解决问题的能力：能阅读理解对问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
一、复习考试内容
理工农医类
第一部分 代 数
(一)集合和简易逻辑
1.了解集合的意义及其表示方法了解空集、全集、子集、交集、并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集台、元素与集台的关系
2.理解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.理解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念,会判断一些常见由数的单词性和奇偶性。
3.理解一次函数、反比例函数的概念，掌握它们的***象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二伙函数的概念，掌握它的***象和性质以及函数y=ax2÷bx+c(a≠0)与y=ax2(a≠0)的***象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能灵活运用二次函数的知识解决有关问题
5.了解反函数的意义，会求一些简单函数的反函数
6.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质掌握指数函数的概念、***像和性质。
7.理解对数的概念，掌握对数的运算性质、掌握对散函数的概念、***象和性质。
(三)不等式和不等式组
1.理解不等式的性质，会用不等式的性质和基本不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)， |a+b|≤|a2+b2|(a,b∈R)解决一些简单的问题。
2.会解一元一次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式、会解一元一次不等式、会表示不等式或不等式组的解集
3.了解绝对值不等式的性质，会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会灵活运用等差数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题。
3.理解等比数列、等比中项的概念，会灵活运用等比数列的通顼公式、前n项和公式解决有关问题。
(五)复数
1.了解复数的概念及复数的代数表示和几何意义
2.会进行复数的代数形式的加、减、乘、除运算
(六)导数
1.了解函数极限的概念，了解函数连续的意义
2.理解导数的概念及其几何意义
3.会用基本导数公式(y=c，y=x2(n为有理数)，y=sinx，y=cosx,y=c2的导数)，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则。
4.理解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求有关函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
5.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
l.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念 。
2.理解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值。
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会用它们进行计算、化简和证明
2.掌握两角和、两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明。
(三)三角函数的***象和性质
l.掌握正弦函数、余弦函数的***象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的***象和性质
3.了解函数y=Asin(ωx+θ)与y=sinx的***象之间的关系,会用‘"五点法”画出它们的简***，会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值
4.会由已知三角函数值求角，井会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示。
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形及应用题。
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形及简单应用题。
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
l.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2.掌握向量的加、减运算，掌握数乘向量的运算，了解两个向量共线的条件。
3.了解平面向量的分解定理，掌握直线的向量参数方程。
4.掌握向量数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用。掌握向量垂直的条件。
5.掌握向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
l.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率平行垂直夹角等几何问题
(三)多面体和旋转体
l.了解直棱柱正棱柱的概念、性质，会计算它们的体积
2.了解棱锥、正棱锥的概念、性质，会计算它们的体积
3.了解球的概念、性质，会计算球面面积和球体体积
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台与二项式定理
1.了解分类计数原理和分步计数原理
2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
4.了解二项式定理，会用二项展开式的性质和通项公式解次简单问题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概卑加法公式计算一些事件的概率
4.了解相互***事件的意义，会用相互***事件的概率乘法公式计算～些事件的概率
5.会计算事件在n***重复试验中恰好发生k次的概率
6.了解离散型随机变量及其期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值
(三)统计初步
了解总体和样本的概念，会计算样本平均数和样本方差
文史财经类
第一部分 代 数
(一>集合和简易逻辑
1 .了解集台的意义及其表示方法,了解空集、全集、子集、交集并集、补集的概念及其表示方法，了解符号?，=,∈，?的含义，并能运用这些符号表示集合与集合、元素与集合的关系
2.了解充分条件、必要条件、充分必要条件的概念
(二)函数
1.了解函数概念，会求一些常见函数的定义域
2.了解函数的单调性和奇偶性的概念，会判断一些常见函数的单调性和奇偶性
3.理解一次性函数、反比例函数的概念，掌握它们的***象和性质，会求它们的解析式。
4.理解二次函数的概念，掌握它的***象和性质以及函数y=ax+bx+c(a≠0)与y=ax2 (a#0)的***象间的关系，会求二次函数的解析式及值或最小值，能运用二次函数的知识解决有关问题
5.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、***象和性质。
6.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、***象和性质
(三)不等式和不等式组
l.了解不等式的性质，会解一元-次不等式、一元一次不等式组和可化为一元一次不等式组的不等式，舍解一元二次不等式。会表示不等式或不等式组的解集
2.会解形如|ax+b|≥c和|ax+b|≤c的绝对值不等式
(四)数列
1.了解数列及其通项、前n项和的概念
2.理解等差数列、等差中项的概念，会运用等差数列的通项公式前n项和公式解决有划题
3.理解等比数列、等比中项的概念，会运用等比数列的通项公式、前n项和公式解决有关问题
(五)导数
1.理解导数的概念及其几何意义
2.掌握面数y=c(c为常数).y=x2“(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数
3.了解极大值、极小值、值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的值和最小值
4.会求有关曲线的切线方程，会用导数求简单实际问题的值与最小值
第二部分 三 角
(一)三角函数及其有关概念
1.了解任意角的概念，理解象限角和终边相同的角的概念
2.了解弧度的概念，会进行弧度与角度的换算
3.理解任意角三角函数的概念，了解三角函数在各象限的符号和特殊角的三角函数值
(二)三角函数式的变换
l.掌握同角三角函数间的基本关系式、诱导公式，会运用它们进行计算、化简和证明。
2.掌握两角和两角差、二倍角的正弦、余弦、正切的公式，会用它们进行计算、化简和证明
(三)三角函数的***象和性质
1.掌握正弦函数、余弦函数的***象和性质，会用这两个函数的性质(定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性)解决有关问题
2.了解正切函数的***象和性质
3.会求函数y=Asin(ωx+θ)的周期、值和最小值，会由已知二角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx.
(四)解三角形
l.掌握直角三角形的边角关系，会用它们解直角三角形
2.掌握正弦定理和余弦定理，会用它们解斜三角形
第三部分 平面解析几何
(一)平面向量
1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念
2.掌握向量的加、减运算掌握数乘向量的运算了解两个向量共线的条件
3.了解平面向量的分解定理
4.掌握向量的数量积运算，了解其几何意义和在处理长度、角度及垂直问题的应用 了解向最垂直的条件
5.了解向量的直角坐标的概念，掌握向量的坐标运算
6.掌握平面内两点间的距离公式、线段的中点公式和平移公式
(二)直线
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，会求直线的斜率。
2.会求直线方程，会用直线方程解决有关问题
3.了解两条直线平行与垂直的条件以及点到直线的距离公式，会用它们解决简单的问题
(三)圆锥曲线
1.了解曲线和方程的关系，会求两条曲线的交点
2.掌握圆的标准方程和一般方程以及直线与圆的位置关系，能灵活运用它们解决有关问题
3.理解椭圆、双曲线、抛物线的概念，掌握它们的标准方程和性质，会用它们解决有关问题
第四部分 概率与统计初步
(一)排列、组台
l.了解分类计数原理和分步计数原理
2.了解排列、组合的意义，会用排列数、组合数的计算公式
3.会解排列、组合的简单应用题
(二)概率初步
1.了解随机事件及其概率的意义
2.了解等可能性事件的概率的意义，会用计数方法和排列组合基本公式计算一些等可能性事件的概率
3.了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加j去公式计算一些事件的概率
4.了解相互***事件的意义，会用相互***事件的概率乘法公式计算一些事件的概率
5.会计算事件在n次***重复试验中恰好发生k次的概率
向量平行公式篇10
关键词：平整度，颠簸累积仪，测试车速，影响规律
1、路面平整度检测方法研究现状
自从人类修建道路以来，就对路面行驶舒适度很敏感。人们认识到路面的平整度是舒适度的主要影响因素，所以努力寻找能客观量测路面平整度的方法与仪器。平整度测定方法大体上可划分为三大类：（1）断面类平整度测定；（2）反应类平整度测定；（3）主观评估法。
断面类平整度测定方法可分为两类：静态纵断面测定与动态纵断面测定。早期路面平整度测定主要是通过静态法量测路表面的凹凸变化，沿行驶车辆的轮迹量测路表面的高程，得到纵断面，通过数学分析后采用一综合性统计量表征其平整度。水准测量就是应用水准仪量测路表高程，再得到路面纵断面。水准测量速度太慢，不适用于较长路段及大面积施工验收。之后发展了3m直尺测量方法，它是目前我国路面平整度主要测量方法之一，也是施工阶段控制路面平整度常用的方法，《公路工程质量检验评定标准》中对该方法有详细要求与标准。随后又推出了滑动直尺测量方法，它通过记录直尺中心处的偏差来测定平整度，结果以每英里的偏差表示。由于滑动直尺滑动时会有磨损与破坏等明显的不足，很快就在其基础上改进得到三轮仪，这也是英国运输和道路研究所研制的梁式断面仪的雏形。由于三轮仪是通过三点与地面接触，当其前轮、中轮及后轮经过路面颠簸处时，会分别记录一次，使某些路面变形在量测时增长了二倍，又由于基准长度有限，某些波长路面变形无法量测。为了克服三轮仪的这个问题，在前后轮处增加一系列的轮子，以所有轮子平均高程作为参照高程，量测中心轮对于参照高程的偏差。这种方法一直延续到今，如我国西安公路研究所、北京市***工程研究院及上海市***工程研究院于上世纪80年代初期所研制的连续式平整度仪等。直至该阶段，所用测量方法是直接测量道路表面凹凸状况得到纵断面。工程师又发明了很多巧妙的方法间接得到路面纵断面。主要是惯性断面仪，在测试车车身上安置竖向加速度计得到惯性参考系来计算车身的高程，然后再通过接触式或非接触式设备量测车身同路表面之间的距离，两者相结合得到路面纵断面高程。这类仪器有通用汽车公司的GMR类断面仪、法国桥路中心试验室(LCPC)的APL、各式激光断面仪等。
上世纪二十年代，公路工程师与汽车工程师意识到路面不平度是引起车辆振动的主要原因，从而尝试通过量测车辆振动反应来量测路面不平度。最早是纽约州通过测量客车悬挂系统的位移来评价路面不平度。由于车辆机械振动系统自身属性的差异对测量结果影响很大，接下来近十年内，试***建立标准化的测试车系统。1941年美国公路局研制BPR平整度仪，TRRL利用相同原理开发了颠簸累积仪。我国***公路科学研究所七五期间研制了简单式颠簸累积仪。该类平整度仪就是一辆单轮拖车，通过机械式积分器记录车辆振动反应量。该拖车尺寸、各部件的质量以及轮胎、悬挂系统都是标准配制，目的是使不同设备上的测量结果具有可比性。二十世纪六十年代AASHTO道路试验开发了另一种重要的平整度测量仪器CHLOE。CHLOE由一辆带两个小轮的拖车组成，通过记录两轮上的坡度偏差(SV)来表示平整度，而AASHTO通过SV建立路面服务性能指数(PSI)。由于以上设备测量时车速不能太快，为了能以正常行驶车速测量路面平整度，在二十世纪六十年代，开发了如Mays仪、PCA仪及澳大利亚NAASRA仪等平整度仪。这些仪器将测量设备直接安装在测量车内，通过测量累积车轴竖向位移量来表征车辆不平整度。这一类仪器就是反应类平整度测量系统(RTRRMS)。到了上世纪70年代后期，美国基本上一半的州使用这类仪器测定不平整度。
主观评估法：当精度要求不高时，可组织评分小组，根据乘车的体验或目测检查，对路面的行驶舒适性给予评分，依据小组平均评分的高低，评估路面的平整度。
2、颠簸累积仪简介
采用***公路科学研究所研制的ZCD2000型平整度测试仪。此测试仪属于车载式颠簸累积仪，通过测量车辆在路面上通行时后轴与车厢之间的单向位移累积值VBI来表示路面的平整度，单位cm/km。通过对车载式颠簸累积仪的标定换算，可以直接得到标准差σ（mm）和国际平整度指数IRI（m/km）。
ZCD2000型平整度测试车的测试精度和测试速度均较高，拥有良好的数据处理和输出功能，是测量道路平整度的高效反应类车载式测试仪器，具有自动、高效、高精度等特点，可即时显示路面任意段长度的国际平整度IRI、标准差σ、行驶质量指数RQI等参数，以及测试车的颠簸累积值VBI、测试时的速度及所测试的距离等数据，所有原始数据可自动保存，并可自动处理成每百米和每公里国际平整度指数IRI、标准差σ、行驶质量指数RQI，能直接进入CPMS路面管理系统。
数据采集处理系统中的下位机将采集到的位移和距离传感器的信号定时送到上位机进行处理并显示记录。位移传感器通过机壳上的固定孔安装到装载车的底板上。传感器的定量位移轮内装有日本OMRON公司的光电式旋转编码器，通过钢丝绳将此位移轮与汽车后桥相连。当车辆行驶时，由于路面的不平会使后桥与车厢之间产生上下相对位移，钢丝绳便带动定量位移轮转动，使其内部的光电编码器旋转，同时输出一系列脉冲信号。脉冲信号经信号处理盒内的转动方向判别电路滤取单向转动脉冲并分频换算，使每一脉冲输出成为一定的单向位移量信号，此信号经过计算机数据采集处理系统的预处理，连同行车的距离信号一起，经便携式计算机处理后显示出来，并以一定的数据模式记录在数据文件中，供进一步分析处理。
ZCD2000平整度测试车是反应类平整度测量仪器，测试车经过被测路面时，后车轴与车厢之间的单向位移累积值即表征了路面的平整度状况，路面平整度好的累积值小，路面平整度差的累积值大。此颠簸累积值的大小和仪器装载车的底盘悬挂性能有关，因此仪器装车后应经过标定校准，与国际平整度指数IRI和标准差σ建立起对应关系，方能投入正式使用。
3、不同车速对颠簸累积仪检测结果的影响
为分析不同测试速度对测试结果颠簸累计值VBI（mm/km）的影响规律，分别采用30km/h、40km/h、50km/h、60km/h四种行车速度进行测试。取500m路段做不同车速下的颠簸累积值测定，五种测试车速得到的颠簸累积值结果见表1和***1。
由表1和***1可以看出，在30km/h到60km/h范围内随着车速的增加，所得到的VBI值呈现减小的趋势，可见在这个车速范围内，随着车速的增加，行驶舒适性变好。
4、结论