学文网导数公式篇1
导数的几何意义公式即作***表现出的公式。为某点的切线，若表现在公式F(X)中，则表示为F'（X）。即为公式F（X）中变量X的变化趋势及变化速率。反映了自变量X与因变量F（X）的变化规律，几何意义通常可直观的表示出其变化趋势。
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导数公式篇2
【关键词】数学；几何；探究；多媒体；学生
小学数学教学中，许多公式的教学都有一定的推导过程。尤其是几何***形的面积、体积计算公式的推导过程一般都是化未知为已知，化陌生为熟悉，既使学生轻松地获取新知，又培养了学生创新意识和实践能力。
1 引导学生自主探究
《义务教育数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，对于几何公式的推导，重在通过渗透转化思想，启发学生设法把所研究的***形根据其特点转化成已经学过的***形，让学生利用已有的知识，自主推导出所探究的公式，切忌由教师直接演示讲给学生。如：教学“梯形的面积”公式推导时，首先在课前让学生准备好一对完全一样的梯形硬纸板，我让学生大胆猜想：“梯形可以转化成我们学过的什么***形，推导出它的面积公式呢？”学生猜想到了可以转化为平行四边形、长方形、三角形等。然后放手让学生自己去尝试，我不作统一的操作要求，学生操作后通过观察就会发现这是一个平行四边形，而且清楚地知道：拼成后的平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和，这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，“梯形的面积=（上底+下底）×高÷2”。在平面***形面积公式的推导中，从平行四边形、三角形、到梯形的面积公式的推导都是以化归的思想方法为核心，通过多次孕育、化隐为显，让学生在获得结论的同时，感悟到数学思想方法的意义与作用。在教学平行四边形面积的时候，基本上都有这样几个环节：一是让学生利用手中的平行四边形和剪刀，通过折一折、剪一剪、拼一拼，想办法求出平行四边形的面积。二是学生利用割补的方法，把平行四边形转化成长方形，求出长方形的面积也就求出了平行四边形的面积。找出平行四边形与长方形之间的关系，得出平行四边形的面积=底×高。引导学生思考是怎样求出这个平行四边形的面积的？把平行四边形运用割补的方法把它变成长方形，抓住长方形与平行四边形之间的关系，通过求长方形的面积求出平行四边形的面积。这时化归的思想方法处于隐性阶段，初步的孕育，并没有进行提炼。让学生在一步一步的反思过程中通过观察、比较、感悟到化归这一数学思想方法。在公式推导过程中，要充分给学生“说”的机会，把自己的“操作-转化-推导”的过程叙述出来，发展学生的思维和表达能力。
2 巧用现代技术辅助教学
随着素质教育和课程改革的深入推进，多媒体技术不断地被引入课堂教学之中。比如在***形的周长和面积、体积教学时，利用电脑演示***形的割补、拼接，学生形象、直观地看到拼接后是什么***形，就能较快地找到解题方法。因周长、面积和体积公式推导过程较为抽象，故学生对计算公式的产生很难理解，若借助多媒体教学，设计一个具有动态画面并配上音效的课件，形象地演示出转化的过程，从而引导学生推导出公式。这样诱导学生积极地进行由未知到已知，再由已知到未知的探索，促进思维步步深入的发展，加速知识的内化过程，使学生不仅知其然，而且知其所以然。在小学数学教学中，《课标》安排了“数与代数”、“空间与***形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个领域，其中“空间与***形”在小学数学教学中占有非常重要的位置，而几何***形公式的推导的关键是理解算理，是学生能否正确应用公式进行解决问题的保证，因此让学生理解并体会公式的由来特别重要。但是，由于小学生缺乏空间观念，空间想象力较弱，单纯靠教具和教师的说教学生难以展开正确、合理的想象，从而影响空间观念的形成。如果这时能结合学生的动手操作，借助于学生从生活中获取的大量感性材料，运用现代媒体手段，充分挖掘教材，引导学生充分地利用已学过的基础知识，着眼于***形内在联系进行转化，使学生自己推导各种公式，寻根问底，探究规律，为学生的创造性思维的发展提供了有利的条件。例如，教学“圆的面积计算公式”时，可将书中的圆形，由静态变为动态，用微机先出示一个圆，以其中一条直径为标准，将它分成红蓝色各一半，然后把它平均分成8份，展开拼成一个近似的长方形，再把它平均分成分16份、32份、64份……继续拼成一个新***形。借助微机动态的演示，随着等分份数的增加，就把学生理解中的难点――近似长方形的长由曲线变成直线的过程动态呈现，从而为学生积累了丰富的感知材料，为大胆合理的想象提供了充实的基础。这时教师引导学生观察比较发现：平均分的份数越多，每一份就会越细，拼成的***形就越接近于长方形，并且长方形的长就是圆周长的一半，长方形的宽就是圆的半径，由长方形的面积公式，推出圆的面积公式。如在教学《平移与旋转》这一课，平移距离是本课教学的一个难点，学生常常会认为两个***形中间空了几格，就是平移了几格。教学时我充分给学生提供自主探索与交流的空间，然后利用多媒体特有的动画效果，从点到线再到形，让学生在边看边数的过程中进行平移验证，轻松地解决了教学的难点。最后指导学生在方格纸上画出平移后的***形，学生轻而易举就完成了。这种用微机作为辅助手段的教学过程，不仅让学生知道圆的面积公式的由来，而且培养了学生观察能力、推理能力及逻辑思维能力。
3 正确处理学生的质疑
学生的质疑是开放性、多样性、复杂性的，我们在处理时显得更加困难。但只要我们把学生的质疑当成课堂教学的宝贵资源，认真对待，把它作为一个面向全体学生的课堂资源，使它成为丰富课堂教学的有效资源，成为学生展示学习和思维的过程与成果，就能提高课堂资源的有效性，促进课堂教学的有效性。例如在教学“圆柱的体积”后学生遇到一道求空心管的体积的题目，有学生就问“体积”就是指物体所占空间的大小，那么空心管究竟占不占空间？或者空心管所占空间是哪部分体积呢？怎样计算空心管的体积呢？经过这一问，大家开始思索讨论后，有学生认为：整个外形是圆柱体，中间的空心部分也是圆柱体，所以空心管的体积就是大圆柱的体积减去小圆柱的体积。也有学生认为：空心管内外两个圆柱的高时一样的，因为圆柱的体积=底面积×高，所以可以先求出底面的面积，也就是环形的面积，再乘以高。用学生的这种质疑加上小组讨论这样来处理教学，即培养了学生思维的深刻性与开放性，又能提高教学的有效性。
总之，几何公式的推导应加强知识间的联系，根据***形面积计算之间的内在联系，运用知识的迁移提高学生的学习能力。应体现动手操作、合作学习的学习方式，让学生经历自主探索的过程，采用多种策略，借助多媒体辅助教学，促进学生对几何公式的理解和灵活运用，进而提高课堂教学效率。
导数公式篇3
关键词：小学数学；几何公式；操作；体验；转化；推导
在小学数学***形与几何教学中，不仅要让学生掌握好基础知识，还应培养学生的空间思维能力，特别是几何***形公式的推导，应让学生经历观察、操作、猜想、探究、验证、推理等活动的过程中，掌握基本的数学思想和方法，进行数学思维训练，让学生亲身经历公式的形成过程。只有加强实际操作，学生才能留下深刻印象，掌握***形的特征，真正理解各种面积、体积公式的来源，正确计算有关***形的面积和体积，从而解决数学问题。本文就此谈点个人的教学体会。
一、重视动手操作与实验
《义务教育数学课程标准》指出：动手操作、自主探究与合作学习是学生学习数学的重要方式。而几何公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，所以动手操作是几何公式推导教学的重要环节，教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在***思考和合作交流的基础上进行操作，切忌由教师代做。例如，在教学“平行四边形的面积”公式推导时，通过数方格、填表格、猜想后应引导学生动手操作实验。在课前就要要求每个学生准备一个平行四边形硬纸板和一把剪刀，让学生通过自己动手割补、平移后，组织学生观察讨论：拼出的长方形和原来的平行四边形，你发现了什么？由于这个过程是学生自己亲自动手操作的，所以很清楚地知道：拼出的长方形的长等于原来平行四边形的底，高等于原来平行四边形的高；因为长方形的面积等于长乘宽，所以平行四边形的面积等于底乘高。又如，在教学“圆的面积”公式推导时，可以让学生把教材后面所附的圆形做成学具，在教师指导下，将圆分成若干等份，再剪开，拼成一个近似的长方形，让学生亲自动手操作，亲身体验，圆的面积是转化成长方形的面积推导出来的。这样通过实际操作活动，发展了学生的空间观念，培养了学生的动手操作能力。
二、引导学生自主探究
渗透“转化”数学思想《义务教育数学课程标准》指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。……帮助学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，对于几何公式的推导，重在通过渗透转化思想，启发学生设法把所研究的***形根据其特点转化成已经学过的***形，让学生利用已有的知识，自主推导出所探究的公式，切忌由教师直接演示讲给学生。如：教学“梯形的面积”公式推导时，首先在课前让学生准备好一对完全一样的梯形硬纸板，教师可以让学生大胆猜想：“梯形可以转化成我们学过的什么***形，推导出它的面积公式呢？”学生猜想到了可以转化为平行四边形、长方形、三角形等。然后放手让学生自己去尝试，教师不作统一的操作要求，学生操作后通过观察就会发现这是一个平行四边形，而且清楚地知道：拼成后的平行四边形的底等于梯形的上底加下底的和，这个平行四边形的高等于梯形的高，每个梯形的面积等于拼成的平行四边形面积的一半，所以，“梯形的面积=（上底+下底）×高÷2”。在公式推导过程中，要充分给学生“说”的机会，把自己的“操作—转化—推导”的过程叙述出来，发展学生的思维和表达能力。
三、鼓励学生自主探究
体会“类比”数学方法利用两种几何形体密切的内在联系类比直接得出公式的学习方法对学生来说是很有意义的，学生可在计算已知几何***形公式的基础上得出新***形的计算公式。例如，根据长方形面积公式可以导出正方形面积公式，根据长方体体积公式可以导出正方体体积公式，根据圆的面积可以导出扇形的面积公式。由于已有的认知结构有充分可供同化的材料，所以学习起来难度不大，完全可以通过自学获得知识。这种方法不但可以鼓舞学生的自信心，增加学生的学习兴趣，同时能加深理解几何形体间的逻辑关系，也掌握了类比的学习方法。
四、鼓励学生用多种策略解决问题的意识和能力
《义务教育数学课程标准》指出：应鼓励学生用多种方法解决问题。运用转化的方法推导几何公式，可以有多种途径和方法，教师不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，要尊重学生的想法，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索问题。例如，在教学“三角形的面积”公式推导时，可以这样进行；课前先让每组学生都准备三套不同的学具：（1）做一个长方形、一个正方形、一个平行四边形。（2）做两个完全一样的直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。（3）做一个直角三角形、一个锐角三角形、一个钝角三角形。在复习了平行四边形的面积公式和推导过程后，教师提出问题：我们能不能把三角形也转化成以前学过的***形来计算
三角形面积呢？然后让每组学生用其中任意一套动手操作，利用已学过的长方形、正方形和平行四边形的面积推导出三角形的面积。这样，让学生用多种感官参与活动，自主探究，亲身体验数学，提高了解决问题的能力，同时感受了成功的喜悦。
五、运用多媒体演示，有助于对公式的理解，现代教育理论认为，静则滞、动则活
数学教学要从偏重结论的静态教学向展示知识发展的动态过程转轨，要把学生的视觉、听觉等协同利用起来，让学生参与并领悟知识由来的动态过程，促进心里内化。而多媒体的动态演示功能正好能实现这一目标，利用多媒体教学不仅能化抽象为具体，还可以创造出丰富多彩、活泼融洽的教学氛围，还可以将教师难以讲
清，学生难以听懂的内容通过多媒体形象地表现出来，从而引导学生从多角度观察、感知、探究、培养数学的思维能力，使学生主动发现新的规律。
导数公式篇4
1、等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差。前n项和公式为：Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。
2、从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
3、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=。。。=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n}。
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导数公式篇5
关键词 数值微分，灰色模型，组合建模
1、前言
灰色系统理论自1982年问世以来，研究工作取得了很大的进展，已成功地应用于很多领域。GM(1，1)模型因其计算简便、实用广泛而在灰色预测中占有重要地位，是应用最早也是迄今为止应用最为广泛的灰色模型。理论分析和实际应用表明，传统的GM(1，1)模型参数的最小二乘法求解结果只对平稳的原始数据序列的拟合精度和预测精度较高；对非平稳的原始数据序列的拟合精度和预测精度往往很低，而实际中碰到的数据序列大多是非平稳序列，因此GM(1，1)模型的应用有一定的局限性。文献对影响GM(1，1)模型的精度原因进行了分析，认为模型的背景值构造方法是影响其精度的一个重要原因，文献认为模型公式中的初值选取也是影响其精度的一个原因。
作者认为在求取GM(1，1)模型白化微分方程中的参数时，微分的近似方法也是影响其精度的一个重要因素。基于此，提出了用高精度的五点插值求导公式求取模型中的微分，并用本文提出方法对我国人均钢产量进行建模，结果表明本文提出方法的有效性。
2、基于五点插值求导公式的灰色GM(1，1)改进模型的建模机理
2．1 插值
2．2五点插值求导公式
设已给出五个节点xi=xo+ih，其中i=0，1，2，3，4。作四次插值得
(4)式两端对t求导，有
取t=4，求出x4。点处的五点插值求导公式：
2．3基于五点插值求导公式的灰色GM(1，1)改进模型
设原始非负数据序列为：
3、应用实例
钢铁工业是一个国家的基础产业，人均钢产量反映了一个国家的现代化水平，对于一个国家具有重要的战略意义。现用本文提出的方法建立1981－1997我国的人均钢产量数学模型，并预测我国1998－2000年的人均钢产量。建模原始数据摘自(《中国统计年鉴－2001》)。
按本文方法建立的我国人均钢产量的灰色GM(1，1)模型为：
从表可知，本文提出的基于数值微分的GM(1，1)建模方法具有较高的模型精度，相对误差绝大多数都低于5％。将所建模型进行后验差检验，本文所提出建模方法，其方差比为c1=0.0952(c=S1/S0，S1为残差的均方差，S0为原始数列的均方差)，而用文献方差比为c2=0.1210；小误差概率均p=P{|e(0)(i)-e(0)|
4、结语
导数公式篇6
一．重视推导，理解掌握公式的形成过程
在数学教学中，多数的公式都有推导过程。课堂上，教师通常会引领学生进行推导，但多数同学对公式的推导不重视，想着只要记着公式，并会应用就可以了，这种错误的思想困扰了许多同学，没有理解公式的来源与推理，单纯的死记硬背，当时学时或公式少时还管用，到整章﹑整本书或整个高中复习时，很多公式或记不清或混在一起，结果一团糟。因此，在教学过程中，我先给学生讲清公式推导的重要性，然后每次公式推导过程中，引导学生多参与其中，讲清原理，这样即使忘记公式，学生也能推导出来。如在进行数列前n项和公式的教学中，等差数列的前n项和根据其特点，采用首尾相加法求和，第一项与最后一项﹑第二项与倒数第二项……的和相等，全为a1+an，且有 项，这样前项和公式即为sn= ，再结合an= a1+(n-1)d，也可是sn=n a1+ 。等到比数列的前n项和分q=1和q≠1，当q=1时sn= n a1，当q≠1时，根据其特点，采用错位相减法求和，先写出sn，再两边同乘公比q，然后相减，即可求出sn= 。重视公式推理过程，不仅可以帮助学生记公式，还可帮助学生掌握基本解题方法，如本例中数列求和的首尾相加法和错位相减法。
二．找特点与联系，对公式进行自我加工再记忆
心理学理论告诉我们，对要记忆的内容进行再加工，不仅可以帮助我们快速记忆，还可在长时间不遗忘，所以，在教学中，推导出公式后，我引导学生找公式的特点，对公式进行自己的加工，形成独特的记忆方法。三角函数部分公式多而杂，是令学生头痛的地方。在教这部分内容时，我们这样加工以下公式，如：
公式（1），角的顺序为 ，右边展开式中简记为赛考考赛（谐音），展开式中的符号与角之间的符号相同；公式（2），角的顺序为 ，右边展开式中简记为考考赛赛（谐音），展开式中的符号与角之间的符号相反；公式（3），展开式中分子符号与角之间的符号相同，分母符号与角之间的符号相反，而二倍角公式只是将 换成 再合并即可。又如，空间向量运算公式大多由平面向量公式类比而来，只要再加一个z坐标即可，等等。这样经过加工，学生记公式的效率大大提高，而且在找特点的过程中，学生的主动性与创造性得到提高与发挥，也增强了学生学数学的兴趣。 转贴于
三．在做题目中记公式，不要单纯死记硬背公式。
数学的学习是灵活多变的，我们记公式的目的是应用公式解决实际问题，而不是单纯死记硬背公式。在解题目过程中，我们可以进一步熟悉公式及其应用，更深刻地理解公式，这样也可加深记忆，并且使公式有了应用的生命力，但切忌一边做题一边看书查公式，而不作记忆，下次碰到再查，导致翻开书会做题，合上书做不下去的情况。当然，公式记得多少因学生而定，我经常对学生说：“基本公式要记牢记准，推理能力强的同学可以推导其它公式，但过多的公式推导会影响解题的速度，记忆能力强的同学可记进一步推导出的公式，但必须记准确。”
四．将易混淆、易记错、难以记忆的公式进行整理
在学习的过程中，有一些公式学生记起来容易混淆，我建议学生将此类公式专门进行整理，对这些公式特殊照顾，多看多记，而且记清楚，如定积分的题大多比较简单，但学生容易将y=sinx和y=cosx的导函数与原函数记混。又如二项式定理、点面距离、点线距离等公式，学生记起来有难度，这些公式归纳在一起，有助于学生特殊对待，逐一掌握。
五．分析同类型题目，引导学生总结常用公式
在高三的模拟题目复习时，当学生做过一定数量的题目后，我引导学生对同类型题目进行分析，总结常见类型题目解题思路和常用公式，分试题类型归纳公式，将知识系统化。如分三角函数、概率、立体几何、数列、解析几何、导数解决函数问题几大类，整理出常考知识点和常用公式，形成学生自己的能够指导解题的公式大全。
六．对照常用公式，查漏补缺，建立自己的公式库
导数公式篇7
一、 三角函数教学困难
1.概念记忆困难
虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础，但很多学生对三角函数的概念还是一知半解，对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解，而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的，要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学***仅停留在记忆上，却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解，必然难以学好三角函数.
2.公式推理困难
在高中三角函数教学中，正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中，难以确定具体的公式内容，自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆，必然是难以实现的，教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.
3.综合运用困难
三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面，无论是填空题、计算题还是简答题，都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现，很多学生难以意识到何时该用三角函数求解，特别是对于一些隐性的函数问题.此外，很多学生虽然意识到要用三角函数知识，却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的，这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时，三角函数与向量、几何***形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系，教师必须对学生实施综合的三角函数教学.
二、三角函数教学策略
1.巧施策略，深化学生记忆
对于三角函数的教学，首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公式的记忆.只有学生记得熟、记得准，在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信，结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此将对三角函数的诱导公式进行总结，为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.
例如，在三角函数的诱导公式教学中，笔者常常假设一个任意角α，要求学生掌握这些诱导公式的记忆，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.对于此类公式的记忆，笔者提出：终边相同的角为同一三角函数.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我们得到以下记忆规律.
①奇变偶不变：对于三角函数中的变角±α，当k为奇数时，需要变换函数类型；当k为偶数时，函数类型不变.
②符号看象限：诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.
③一全正，二正弦，三两切，四余弦：这是用来记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.
此外，对于一系列复杂的三角函数公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等，我们必须实施推导教学，将各类三角函数公式的推导过程传授给学生，使学生在遗忘的情况下，也可以进行自主推导和验证，从而达到高效记忆的效果.
2.精选习题，三角函数解题技巧教学
导数公式篇8
泰勒定理是高等数学中微分学研究函数性态的主要定理，堪称教学的重中之重，也是真正的难点。对于大多数学生来说，定理的形式极为抽象，理解起来有难度。其实，泰勒公式就是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的一个公式，即如果函数足够光滑的话，在已知函数在某点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式就可以借助这些导数值作为系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值；泰勒公式还给出了该多项式的值与实际的函数值之间的偏差。
但是，只有理解好泰勒定理，才能用泰勒公式去研究函数的性态。其实，从本质上又不难看到，泰勒定理刻画了一个事实，即一个足够光滑的函数，该函数及其各阶导数之间存在一种有机的联系；而这一联系，是通过泰勒公式刻画的。使学生理解了这一点，运用泰勒公式进行函数性态的相关讨论往往就能化难为易。
教学中教员往往强调了泰勒公式在函数值的近似计算、极限的计算等方面的应用，对于直接运用泰勒公式研究函数的基本性态则涉及较少。且这些应用往往并不从其本质出发，因而学生遇到涉及函数性态的问题往往觉得难以下手。该文结合我们长期以来在各级教学和数学竞赛指导中对泰勒公式教学的研究心得，通过典型实例阐明运用泰勒定理论证函数性态的要点及其教学方法。
1 泰勒定理与函数的性态
泰勒定理的一般形式如下：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对于，在与之间至少存在一点，使得
，（1）
其中，称为拉格朗日型余项。
从本质上而言，Taylor公式（1）描述了一个“足够光滑的”函数在处的函数值、各阶导数值之间的一种有机联系，这就使得该公式在讨论函数及其各阶导数的基本性态（比如“有界性”等）时具有非常重要的作用。
泰勒公式的物理意义可以帮助学生加深对上述本质的理解。在式（1）中，如果用表示时刻时质点的位移，则左侧代表质点的运动规律；如仅取右端前三项，则代表质点的初始位移，则代表其初始速度，代表初始加速度，右端刻画了运动，与左端刻画的运动相比，二者至少在初始时刻，对应的位移、速度和加速度都一样。因此，如果将左端的理解为质点“本来的”运动，而将右端理解为“估计的”运动，则当时对应的泰勒公式既可以视为在时刻附近对所代表运动的一种近似刻画；更根本地，它也表明了该质点的位移、速度、加速度等重要运动特征的有机联系。至于拉格朗日型余项则代表了这种对位移作“近似刻画”的偏差，这只是由于忽略了更高层次的运动形式所致。对于更高阶形式的泰勒公式，教员也可以作类似的阐释。实践表明，上述做法能吸引学生的兴趣，收到好的教学效果。
理解了泰勒定理的本质，运用它进行相关问题的论证就水到渠成了。我们在教学实践中还通过对函数及其各阶导数的有界性等基本性态的讨论，来深化学生对上述本质的理解，使学生能用泰勒公式去化解实际问题中的困难，化难为易，“内化”对其本质的理解。
2 运用泰勒定理论证与“有界性”相关的问题
为让学生更好地理解并掌握泰勒定理，我们通过习题课，精心选择典型实例，来阐述Taylor公式在研究函数及其各阶导数基本性态方面的应用及解题要点。
例1设函数在内二阶可导，且和在内有界，证明：在内有界。
分析：教员首先分析，解题的关键在于如何选取公式（1）中的和，将中与、之间的关系揭示出来。
证明：依题意，存在，使得，均有
。
由于函数在任意有限区间满足泰勒定理的条件，因此，在泰勒公式中将和分别取为和，可得
，
其中，。由上式可得，故
，即在内也有界。
将例1说明白讲透彻，就能使学员意识到，一个足够光滑的函数，刻画其性态的、和之间竟然还有如此密切的关系。进一步，教员再问：如果更光滑、在内三阶可导，又有什么类似的结果呢？教员再适时出示如下问题。
例2设函数在内三阶可导，且和在内有界，证明：和在内均有界。
分析：希望像例1那样通过泰勒公式刻画、、和之间的关系，但根据问题的特点，需要分别将中与、之间以及与、之间的关系揭示出来。因此，解题的难点在于如何获取这种关系，即如何选取泰勒公式中的“特殊点”和，以分别得到和的“合适的”表达式。
证明：依题意，存在，使得，均有
。
由于函数在任意有限区间满足泰勒定理的条件，因此，在泰勒公式中将和分别取为和，可得
，
再在泰勒公式中将和分别取为和，可得
。
两式相加，整理可得
，从而就有
。
类似地将两式相减，最后可得。
上述两式表明，和在内均有界。
通过例2的进一步强化，就能使学生对泰勒公式本质的认识进一步“内化”，对如何用运用泰勒公式研究函数性态有了进一步的认识。
在“定性”描述的基础上，还可以进一步设问：如果我们“定量”给出和在内的上确界，那么，的上确界又有什么特点呢？接着，教员再出示如下问题。
例3设为二次可微函数，且，
试证：，
且。
分析：大多数学生仍想按例1的解题思路解本题，但照搬例1的过程，好象不行。那么，教员应适时启发学生，能否同时从例2得到启示，为证明该结论提供“更多”的信息呢？
证明：依题意，，
有，
其中；同时还有，其中。
两式相减并整理，就有
，
从而
，
上式表明，
均成立，故上述的二次三项式之判别式必非正，即，故，且。
这样，一层更进一层，通过定性和定量两方面的论证强化了学生对于函数各阶导数间有机联系的理解；同时，给学有余力的学生留下进一步思考的问题：如果函数在无限区间内具有更高阶导数，又能得到怎样的结论？通过上述教与学的过程，不仅加深了学生对于泰勒定理的理解，对函数性态的认识也不断上升到新的高度，学活了知识，也用活了知识。
最后，教员还可进一步引导学生进行发散思维，要求它们考虑：如果考虑有限区间，又应如何处理？请学生思考下边的例子。
例4设函数在上有二阶导数，且时，，试证：当时，。
分析：大多数学生认为，应该像例1那样论证，教员也可适时启发学生：能否直接用例1的过程或结论呢？确实，由例1的结论，可知，似乎可行，但这是不正确的。因为例1针对的是无限区间，论证过程不再适用，结论当然就不能照搬。同样，例3的结论也不能直接用于有限区间。
证明：由于函数在上满足泰勒定理的条件，因此在泰勒公式中将和分别取为和1，可得
，
再在泰勒公式中将和分别取为和0，可得
，
两式相减，可得
，从而就有
。
通过本题的分析和论证，使学生明白了，将区间从换为，好像只是量的变化，但问题证明的方式就发生了质变，要有辩证的和发散的思维。
导数公式篇9
关键词：高等数学 极限 导数 算法
中***分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）12-0194-01
数学是一门严谨的学科，在解答问题中学会严格的按照定义、公式进行推理演算，做到前后有依据，变化有规则，不仅可以提高对解题正确性的把握，能反过来加深对概念、定理的理解，学习高等数学，更要注重这方面的要求。
以下是教学中遇到的两个问题：
一、计算
这是高等数学某教材中第一章的课后习题，题目的用意是让利用重要极限求解。有不少学生是这样解的
答案是对的，但步骤却有些牵强，体现在倒数第二步，对幂指函数的底部和指数分别求极限，这是想当然的做法。在极限的运算法则中，有四则运算、复合运算，而上面的算法就缺少依据，巧合的是幂指函数只要底部与指数有极限，上面的算法算出的结果一般是对的。这是因为利用运算法则，我们有
先利用对数恒等式把其化为复合函数，根据复合函数求极限方法，把极限符号提到指数上，再用乘积运算求出指数的极限，得到结果。尽管复杂了一些，但保证了每一步计算有依据，提高了对做题正确的把握。
二、推导幂函数求导公式
导数基本公式 是高等数学里最为熟悉的公式之一。查阅不同的教材可以发现，对该公式的证明主要有两种：一是用定义证明；二是利用隐函数求导。定义证明是很基础的推导，但计算过程却不简单，在数学专业教材中可见；另一种证法却很简单明了，有不少高等数学教材都有使用，证明如下，设
两边取对数
两边对 求导
所以
过程非常简单，算法的巧妙使得我们不想细看它的每一步。然而，这里要提出的是，这种推导缩小了 的范围，第一步取对数默认了幂函数及
取正值，而一般的幂函数也有负值的情况。
回忆一下幂函数的定义，设 为互质的正整数。当 为正有理数，记 ， 为奇数， ； 为偶数， 。当 为负有理数，记 ，
为奇数， （非零实数集）； 为偶数， 。当 为无理数， 。
当 ， 。
由幂函数定义，分情况讨论其导数：
1.当 ，有 。两边取对数得 ，对 求导得 ，于是 （*）
2.当 ， （ 为奇数）。 有 符合公式（*）；
为偶数时， ，两边取对数得 ，对 求导得 ，
仍有 ； 为奇数时， ，两边同乘-1后取对数
，求导得公式（*）。
3.当 ， 为正有理数， 。当 时，
适合公式（*）；当 时， 适合公式（*）；当 时，
导数公式篇10
【关键词】数学公式；简化；规律
数学公式是数学知识和数学教学的重要组成部分，但由于数学公式具有高度的抽象性和概括性，学生对公式的学习积极性不高，大部分学生更多地停留在知识的记忆层面，并且数学公式又比较多，对于学习任务较重的学生来讲，更是增加了学习负担.作为占主导地位的教师来讲，就要培养学生自己归纳、总结数学公式，洞察内在的联系，从而提高学生的学习兴趣和成就感.作者就三个示例阐述如何将数学公式化繁为简，展示数学公式的魅力.
一、特殊角的三角函数值
在三角函数值的学习过程中，0°，30°，45°，60°，90°占据重要的地位，它们所对于的三角函数值起着基础性的作用.而三角函数的值是从直角三角形边的比值推导得来，对于学生来讲，理解不是难事情，但是在以后的运用中若需要三角函数值，不可能再去推导和查阅公式，学生必须记忆，繁多的公式对于学生来讲是一件难事情，常见教材或者工具书的三角函数表如下：
在这个简化的公式表中，各个函数值的分子具有较强的规律性，对于学生来讲具有一定的新颖感，也便于学生记忆.
二、三角形、平行四边形和梯形的面积公式
在大多数的教材中，三角形、平行四边形和梯形的面积公式都只是单纯的给出公式，并没有给出这几个公式的联系，如下表.
作为占主导和引导地位的老师来讲，在学习完这些公式，就应该总结、归纳这些公式的内在联系：梯形的面积公式可以统领三角形和平行四边形.当梯形公式中的CD=0时，就退化为三角形，其面积S=12（AB+CD）・h=12（AB+0）・h=12AB・h；
当梯形公式中的CD=AB时，就特殊化为平行四边形，其面积为S=12（AB+CD）・h=12（AB+AB）・h=AB・h.这既可以培养学生归纳知识的能力，又可以让学生知道事物之间可以相互转化的道理.
三、椭圆与圆的面积公式
对于圆的面积公式S=πr2（r为半径），很多人都很熟悉，但是对于椭圆的面积公式S=πab（a，b为椭圆的长半轴和短半轴）就很陌生.学生在学习的过程中，应该明白圆和椭圆的特殊关系：从下***就可以清楚知道二者的内在联系，