学文网垂直与平行篇1
线面平行、垂直问题是高考备考的重点. 从解决“平行与垂直”的有关基本问题着手，熟悉公理、定理的内容和功能，通过分析与概括，掌握解决问题的规律――充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高推理论证、空间想象能力. 在高考中，此部分试题要么以客观题的形式出现，要么以解答题的形式出现，但不管是哪种形式，总体难度都不大.
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无论是线面平行（垂直）还是面面平行（垂直）都源自于线与线的平行（垂直），即不论何种“平行（垂直）”都要化归到“线线平行（垂直）”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要. 在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的平行（垂直）关系，再从结论入手分析所要证明的平行（垂直）关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.
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在具体操作时，构造中位线与平行四边形是平行问题的主要手段；利用平面的垂线作转化是解决垂直问题的关键.
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■ 如***1，已知侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F为棱BB1的中点，点M为线段AC1的中点.
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***1
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面ACC1A1平面AFC1.
破解思路 （1）要证直线MF∥平面ABCD，根据线面平行的判定定理，就应在平面ABCD中找到一条直线，使该直线平行于MF，即“线线平行？圯线面平行”.
（2）要证平面ACC1A1平面AFC1，根据面面垂直判定定理，就应在平面AFC1中找一条直线垂直于平面ACC1A1.
经典答案 （1）如***2，延长C1F交CB的延长线于点N，连结AN.
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***2
因为B1C1∥NB，F是BB1的中点，所以F为C1N的中点.
因为M是线段AC1的中点，所以MF∥AN.
又MF？埭平面ABCD，AN？奂平面ABCD，所以MF∥平面ABCD.
（2）连结BD，由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，可知：A1A平面ABCD.
又BD？奂平面ABCD，所以A1ABD.
因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.
又AC∩A1A=A，AC，A1A？奂平面ACC1A1，所以BD平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形.
故NA∥BD，所以NA平面ACC1A1.
又NA？奂平面AFC1，所以平面AFC1平面ACC1A1.
■ 如***3，已知E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，PA，NC都垂直于平面ABCD.
（1）求证：平面PAC平面NEF.
（2）***段PA上是否存在一点M，使PC∥平面MEF？若存在，求■的值；若不存在，请说明理由.
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***3
破解思路 （1）要证平面PAC平面NEF，根据面面垂直的判定定理，就应在平面NEF中找到一条直线，使该直线垂直平面PAC，即“线面垂直？圯面面垂直”.
（2）根据线面平行性质定理，由PC∥平面MEF知，过PC的一个平面与平面MEF的交线必与PC平行，即“PC∥平面MEF？圳PC∥MO”.
经典答案 （1）因为PA平面ABCD，BD？奂平面ABCD，所以PABD.
又BDAC，AC∩PA=A，所以BD平面PAC.
因为E，F分别是BC，CD的中点，所以EF∥BD，所以EF平面PAC.
又EF？奂平面NEF，所以平面PAC平面NEF.
（2）当■=■时，PC∥平面MEF.
连结OM，因为OC=■AC，所以■=■，即■=■，所以PC∥MO.
因为MO？奂平面MEF，PC？埭平面MEF，所以PC∥平面MEF.
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1. 如***4，四边形ABCD是菱形，PA平面ABCD，Q为PA的中点. 求证：
（1）PC∥平面QBD；
（2）平面QBD平面PAC.
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***4
2. 如***5，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB=BC，DBAC，点M是棱BB1上一点.
（1）求证：MDAC；
（2）试确定点M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D.
垂直与平行篇2
1． 线面平行、垂直的判定与性质的重点
熟练掌握两类相互转化关系，平行转化：线线平行?圯线面平行，线面平行?圯线线平行；垂直转化：线线垂直?圯线面垂直，线面垂直?圯线线垂直．
2． 线面平行、垂直的判定与性质的难点
①直线与平面平行、垂直的判定与性质定理的交替使用．
②空间向量的引入，利用向量解题的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标，将几何问题转化为代数问题．
1． 传统法证明线面平行、垂直
证明线面平行，依据直线和平面平行的判定定理，找“平面内的一条线”与已知直线平行；证明线面垂直，依据线面垂直的判定定理，找到所需的“平面内两条相交直线”． 而有时证明线线平行、垂直时，又转化为证明线面平行、垂直，如此反复，直到证得结论．
2． 向量法证明线面平行、垂直
（1）证明线面平行
证明直线的方向向量与平面内一直线的方向向量平行．
证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
（2）证明线面垂直
若要证直线l与平面α垂直，只要在α内找到两个不共线向量a，b，在l上取向量p，证得p•a=0且p•b=0即可．
证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
如***，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点． 证明：EF∥平面SAD．
***1 ***2
思索 立体几何问题一般有两种方法：几何法与向量法． 几何法：证明EF与平面SAD内的某条线平行；向量法：利用向量平行转化为两直线平行，从而线面平行．
破解 法1：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点． 连结AG，FGCD，又CDAB，故FGAE，AEFG为平行四边形． EF∥AG，又AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD． 所以EF∥平面SAD．
法2：如***2，建立空间直角坐标系D－xyz． 设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），Ea，，0，F0，，，=－a，0，． 取SD的中点G0，0，，则=－a，0，，=，EF∥AG，AG?奂平面SAD，EF?埭平面SAD，所以EF∥平面SAD． 另解，=（0，a，0）显然为平面SAD的一条法向量，而•=0，所以EF∥平面SAD．
点评 两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在传统法中注意用分析法寻找思路．
如***2，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1． 证明：SD平面SAB．
思索 几何法：只需要证明SD垂直于平面中的两条相交直线；向量法：利用向量的数量积为零证明线线垂直，从而证得线面垂直．
***4 ***5
破解 法1：取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，连结SE，则SEAB，SE=． 又SD=1，故ED2=SE2+SD2，所以∠DSE为直角． 由ABDE，ABSE，DE∩SE=E，得AB平面SDE，所以ABSD． SD与两条相交直线AB，SE都垂直，所以SD平面SAB．?摇
法2：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如***5所示的空间直角坐标系C-xyz． 设D（1，0，0），则A（2，2，0），B（0，2，0）． 又设S（x，y，z），则x>0，y>0，z>0． =（x－2，y－2，z），=（x，y－2，z），=（x－1，y，z）． 由=得=，故x=1． 由=1得y2+z2=1． 又由=2得x2+（y－2）2+z2=4，即y2+z2－4y+1=0，故y=，z=． 于是S1，，，=－1，－，，=1，－，，=0，，，•=0，•=0．故DSAD，DSBS，又AS∩BS=S，所以SD平面SAB．
点评 立体几何的解答通常都能用两种方法解决，尽管试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则． 用空间向量解决立体几何问题的“三部曲”：（1）用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，建立立体***形与空间向量的联系，从而把立体几何问题转化为向量问题（几何问题向量化）；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题（进行向量运算）；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（回归为几何问题）．?摇
如***6，ABC是正三角形，AD平面ABC，EC平面ABC，且AD=AB=2，CE=1，能否***段BD上找到一点F，使AF平面BDE？
思索 探究问题的设问方式可以先假设结论成立，然后进一步分析研究需要满足什么条件，从而确定它的存在与否；也可假设满足某个条件，从而推出结论成立来说明它的存在性．
破解 法1：取BD中点F，AB中点G，连EF，CG，FG，有FG∥DA，且FG=DA=1，AFDB． 因为AD平面ABC，所以FG平面ABC． 因为EC平面ABC，AD=AB=2，CE=1，所以FG∥CE且FG=CE，CECG，故四边形EFGC为矩形． 因为ABC是正三角形，所以GCAB，所以GC平面ABD，GCAF，所以EFAF，又ABD为等腰直角三角形，所以AFDB，所以AF平面BDE，结论成立．
法2：建立如***7所示的坐标系，则有A（0，0，0），D（0，0，2），E（0，2，1），B（，1，0）． 令DF=x•DB，则=（x，x，－2x），=+=（x，x，2－2x），=（0，2，－1），=（，1，－2）． 若AF平面BDE，则•=0，•=0，故x=，此时F为BD中点．
垂直与平行篇3
1.下列说法中,正确的有(
)
①斜率均不存在的两条直线可能重合;
②若直线l1l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;
③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;
④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1l2.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系(
)
A.平行
B.重合
C.相交
D.以上答案都不对
3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(
)
A.(2,0)
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(1,0)
4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为(
)
A.2
B.±2
C.2
D.±2
5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=
.
6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,则a的值为
.
7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为
.
8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:
(1)倾斜角为135°;
(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;
(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.
能力达标
9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于(
)
A.-4
B.-2
C.0
D.2
10.已知直线l1:xsin
α+y-1=0,直线l2:x-3ycos
α+1=0.若l1l2,则sin
2α=(
)
A.35
B.-35
C.23
D.-23
11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(
)
A.-3
B.3
C.-6
D.6
12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(
)
①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;
②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;
③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(
)
A.0或3
B.-1或3
C.0或-1或3
D.0或-1
14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为
.
15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为
,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为
.
16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)l1l2,且直线l1过点M(-4,-1).
(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.
17.如***,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.
解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,
1.下列说法中,正确的有(
)
①斜率均不存在的两条直线可能重合;
②若直线l1l2,则这两条直线的斜率的乘积为-1;
③若两条直线的斜率的乘积为-1,则这两条直线垂直;
④两条直线l1,l2中,一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,则l1l2.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案C
解析斜率均不存在的两条直线可能平行,也可能重合,故①正确,两直线垂直,有两种情况:当两条直线都有斜率时,斜率乘积为-1;也可以一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为零,故②错误,③④正确.
2.已知直线方程l1:y=12x+74,l2:y=12x+52,则l1与l2的关系(
)
A.平行
B.重合
C.相交
D.以上答案都不对
答案A
解析直线l1的斜率k1=12,
直线l2的斜率k2=12,
k1=k2.
两条直线在y轴上的截距分别为74和52,不相等,
l1与l2互相平行.
故选A.
3.已知直线l1和l2互相垂直且都过点A(1,1),若l1过原点O(0,0),则l2与y轴交点的坐标为(
)
A.(2,0)
B.(0,2)
C.(0,1)
D.(1,0)
答案B
解析设l2与y轴交点为B(0,b).
直线l1过A(1,1),O(0,0),
kOA=1.
l1l2,kOA·kAB=-1,
即kAB=b-10-1=-1,
解得b=2,即l2与y轴交点的坐标为(0,2).
4.直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,则a的值为(
)
A.2
B.±2
C.2
D.±2
答案D
解析直线y=-12ax+52a与直线y=-a4x-12平行,显然a≠0,-12a=-a4,52a≠-12,即a2-2=0,a≠-5.
解得a=±2,
故选D.
5.直线l1,l2的斜率k1,k2是关于k的方程2k2-3k-b=0的两个根,若l1∥l2,则b=
.
答案-98
解析由根与系数的关系可知k1+k2=32,k1·k2=-b2,
l1∥l2,k1=k2=34,
解得b=-2k1·k2=-98.
6.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1l2,则a的值为
.
答案0或5
解析当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时直线l2的斜率k2=0,则l1l2,满足题意.
当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,得k1=3-aa-2-3=3-aa-5,k2=a-2-3-1-2=a-5-3.
由l1l2,知k1k2=-1,即3-aa-5×a-5-3=-1,解得a=0.综上所述,a的值为0或5.
7.已知平行四边形ABCD中,A(1,1),B(-2,3),C(0,-4),则点D的坐标为
.
答案(3,-6)
解析设D(x,y),由题意可知,AB∥CD且AD∥BC,
kAB=kCD且kAD=kBC,
3-1-2-1=y+4x,-4-30+2=y-1x-1,解得x=3,y=-6.
8.当m为何值时,过两点A(1,1),B(2m2+1,m-2)的直线:
(1)倾斜角为135°;
(2)与过两点(3,2),(0,-7)的直线垂直;
(3)与过两点(2,-3),(-4,9)的直线平行.
解(1)由kAB=m-32m2=tan
135°=-1,
解得m=-32或m=1.
(2)由题意kAB=m-32m2,且-7-20-3=3,
则m-32m2=-13,解得m=32或m=-3.
(3)令m-32m2=9+3-4-2=-2,
解得m=34或m=-1.
能力达标
9.已知直线l的倾斜角为135°,直线l1经过点A(3,2),B(a,-1),且l1与l垂直,直线l2:y=-2bx+1与直线l1平行,则a+b等于(
)
A.-4
B.-2
C.0
D.2
答案B
解析直线l的斜率为-1,则直线l1的斜率为1,
kAB=2-(-1)3-a=1,a=0.
由l1∥l2,得-2b=1,得b=-2,所以a+b=-2.
故选B.
10.已知直线l1:xsin
α+y-1=0,直线l2:x-3ycos
α+1=0.若l1l2,则sin
2α=(
)
A.35
B.-35
C.23
D.-23
答案A
解析l1l2,sin
α-3cos
α=0,即tan
α=3.
sin
2α=2sin
αcos
α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=610=35.
11.过点A0,73与B(7,0)的直线l1与过点(2,1),(3,k+1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆,则实数k等于(
)
A.-3
B.3
C.-6
D.6
答案B
解析由题意知l1l2,kl1·kl2=-1,
即-13k=-1,解得k=3.
12.直线l1与l2满足下列条件,其中l1∥l2的是(
)
①l1的斜率为2,l2经过点A(1,2),B(4,8),且l1不经过A点;
②l1经过点P(3,3),Q(-5,3),l2平行于x轴,但不经过P点;
③l1经过点M(-1,0),N(-5,-2),l2经过点R(-4,3),S(0,5).
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案D
解析由斜率公式,①中,直线l2的斜率也为2,故l1∥l2;②中,直线l1的斜率也为0,故l1∥l2;③两条直线的斜率均为12,且两直线没有公共点,故l1∥l2.故选D.
13.直线x+a2y+6=0和直线(a-2)x+3ay+2a=0没有公共点,则a的值是(
)
A.0或3
B.-1或3
C.0或-1或3
D.0或-1
答案D
解析两直线没有公共点,1×3a-a2(a-2)=0,
a=0或-1或3,经检验知a=3时两直线重合,a=0或a=-1时,两直线平行.
14.(2020甘肃武威八中高二月考)已知点A(-2,-5),B(6,6),点P在y轴上,且∠APB=90°,则点P的坐标为
.
答案(0,-6)或(0,7)
解析设点P的坐标为(0,y).因为∠APB=90°,所以APBP.又kAP=y+52,kBP=y-6-6,kAP·kBP=-1,所以y+52·y-6-6=-1,解得y=-6或y=7.所以点P的坐标为(0,-6)或(0,7).
15.设点P(2,5)关于直线x+y=1的对称点为Q,则点Q的坐标为
,过点Q且与直线x+y-3=0垂直的直线方程为
.
答案(-4,-1) x-y+3=0
解析设Q(a,b),则b-5a-2·(-1)=-1,a+22+b+52=1,解得a=-4,b=-1.
即点Q的坐标为(-4,-1),设与直线x+y-3=0垂直的直线方程为x-y+c=0,将Q(-4,-1)代入上式,得c=3,所以直线方程为x-y+3=0.
16.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值.
(1)l1l2,且直线l1过点M(-4,-1).
(2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数.
解(1)l1过点M(-4,-1),-4a+b+4=0.
l1l2,a×(1-a)+b=0.
a=1,b=0或a=4,b=12.
(2)由题意可得两条直线不可能都经过原点,
当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,
可知两条直线不平行.
b≠0时两条直线分别化为
y=abx+4b,y=(1-a)x-b,
ab=1-a,4b=b,
解得b=2,a=23或b=-2,a=2.
17.如***,在平面直角坐标系xOy中,设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),这里a,b,c,p均为非零实数,设直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E,F.若BEAC,求证:CFAB.
解由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-pb,
由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-ac,
因为BEAC,所以-pb-ac=-1,
即pa=-bc;
由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-pc,由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-ab,
垂直与平行篇4
(江苏省盐城中学，224005)
教师的教学价值取向，是教师在长期的教学实践中形成的，通过教学内容的取舍、教学过程的设计、教学活动的组织、教学语言的运用等途径透射出的教学目标一贯的指向性。在新课程改革的背景下，教师的教学价值取向反映了教师对新课程理念的理解和认同，驱动着教师对“教什么及如何教”的落实和执行，并表现出巨大的差异性。
笔者最近在一所高中随堂观摩了多位数学教师所上的《直线与平面垂直》一课。其中，三位教师的教学导入使用了同样的素材，但呈现出的过程却并不相同，透射出的价值取向也存在较大的差异。下面，笔者重点整理他们的导入设计，来比较分析他们的教学价值取向，并反思新课程理念的落实和执行状况。
【教师甲】
问题1：直线和平面有几种位置关系？
问题2：对直线和平面平行，主要学习了哪些内容？
问题3：直线和平面相交中，最特殊的一种位置关系是什么？
演示1：用幻灯片展示***1(旗杆与地面）、***2（桥柱与水面）。
问题4：我们应该研究直线与平面垂直的哪些知识以及如何来研究？
问题5：如何定义直线与平面垂直？
演示2：用幻灯片演示直角三角形绕一直角边旋转形成圆锥的过程。
问题6：圆锥的轴线与底面圆所在平面上的任意一条直线是什么关系？
问题7：根据刚才的观察和分析，你能概括出直线与平面垂直的定义吗？
问题8：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？
活动1：请大家将笔在桌面上摆放，观察直线与平面的垂直关系。
演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板，说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直。
教师甲的引入，先在引领学生复习“直线与平面平行”的主要知识的基础上，提出研究“直线与平面垂直”的教学目标，意在运用“线面平行”的学习过程和方法类比学习“线面垂直”；再运用圆锥的形成过程引领学生感知和理解直线与平面垂直的本质属性，并让学生对笔在桌面的摆放进行观察以概括并完善线面垂直的定义。而且，教师甲在整节课中，不断地把线面垂直与线面平行进行类比，并给学生较多的时间进行思考、实验、表达和讨论，只留一小段时间对“线面垂直”作简单的应用训练。
可见，教师甲的教学价值取向是：发挥学生在课堂学习中的主动性，既注重引领学生进行知识建构，也注重让学生体验和应用解决问题的思想和方法，同时强调对学生思维能力、实践能力、表达能力以及数学素养的长期、渐进的培养。当然，秉持这样的教学风格，会对部分学生短期之内运用知识解题的能力有一定的不利影响——因为解题训练不足。
【教师乙】
表述1：前面我们学习了直线与平面平行，今天我们来学习直线与平面的相交中的一种特殊位置关系——直线与平面垂直。 演示1：用幻灯片展示***1（旗杆与地面）、***2（桥柱与水面）。
问题1：旗杆与地面，桥柱与水面都给了我们直线与平面垂直的形象，我们还可以举出一些直线与平面垂直的形象吗？
表述2：如何定义直线与平面垂直？我们可以观察圆锥的轴线和底面的关系。
演示2：用幻灯片展示已画出轴截面的圆锥直观***。
问题2：……由圆锥的形成过程，我们可以看到圆锥的轴线与底面上任意一条直径所在的直线垂直，那么轴线是否和底面上的任意一条直线垂直呢？
问题3：谁能由刚才所观察的圆锥轴线和底面的关系概括出直线与平面垂直的定义？
问题4：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？
演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板。
问题5：谁能说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直？
教师乙的引入，直接明确教学的知识目标，在通过实例感知“线面垂直”后再运用圆锥的特征进一步分析线面垂直的本质属性，运用三角板和桌面演示完善线面垂直的定义。而且，教师乙在整节课中，提出问题后，往往只给学生较短的时间思考，就自行回答或让学生集体回答，这使教学内容推进比较快，为后面的知识运用环节节省了一定的时间；在知识应用的环节，除了让学生练习了几道“线面垂直”判断题之外，还讲解了一道“线面垂直”证明题、一道“异面直线垂直”证明题，这使“线面垂直”的主要应用得到了比较全面的展现。
可见，教师乙的教学价值取向是：注重让学生系统地理解和接受数学知识，强调让学生能较快地应用所学知识解决问题，即在“知识建构”和“解题能力”之间采取平衡的态度。秉持这样的教学风格，能让部分基础薄弱的学生在课堂上得到比较充足的解题训练，从而尽快提升他们的解题能力，增强他们学习数学的信心。
【教师丙】
演示1：用幻灯片展示***1(旗杆与地面)、***2（桥柱与水面）。
问题1：请同学们观察***片，说出旗杆与地面、桥柱与水面是什么位置关系？你能举出一些类似的例子吗？
问题2：旗杆与地面、桥柱与水面都给了我们直线与平面垂直的形象，那么直线与平面垂直的定义是什么呢？
表述1：直线与平面垂直的定义是……
表述2：一条直线能和一个平面内的任意一条直线都垂直吗？我们一起来观察圆锥轴线和底面的关系。
演示2：用幻灯片展示已画出轴截面的圆锥直观***。
表述3：……圆锥轴线和底面上的任意一条直线垂直。
问题3：能否把直线与平面垂直定义中的“任意”改成“无数”？
演示3：把三角板的一条直角边贴在桌面上并倾斜三角板，说明另一条直角边跟桌面上的多条直线垂直。
教师丙的引入，直接由实例得到“线面垂直”的概念，给出“线面垂直”的定义，然后再运用圆锥的特征解释“线面垂直”的本质属性，运用三角板和桌面演示解释定义表达的精确性。而且，教师丙在后续的教学中，把“线面垂直”和平面上的“线线垂直”进行了适当的类比，并结合幻灯片的运用，进一步加快了教学内容推进的速度，为知识应用的环节留下了更多的时间，从而比教师乙多讲解了一道转化次数较多的“线面垂直”问题。
可见，教师丙的教学价值取向是：注重让学生在理解的基础上，尽快地接受数学知识，建立主要的知识结构，而不需要面面俱到，强调让学生能尽快地应用所学知识解决问题，并重点对学生进行解题训练。秉持这样的教学风格，能让学生尽快地接触到考试中与所学知识相关的典型问题，明确知识的主要应用方向，以便学生后续的自我训练更有目的性，从而在短期内提高学生的考试成绩。
垂直与平行篇5
关键词：教学设计 直线 平面 垂直
一、教材地位分析
垂直关系是一种非常重要的空间位置关系，它不仅应用较多而且是平行关系的转化手段，可以说垂直关系是立体几何的核心内容之一，本节课是第6节“垂直关系”的第一课时，在学生学了三大平行关系之后，是对学生“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程的一个再强化，对学生数学表达与交流能力（文字语言、符号语言、***形语言转换）、空间想象能力与推理论证能力的再提高，对学生化归与转化思想的一次再升华.
二、教学建议
1.直线与平面垂直的教学，遵循“直观感知、操作确认、归纳总结、初步运用”的认知过程.让学生自己动手，结合几何多媒体演示，在此基础上引导学生观察、体会，逐渐抽象出直线与平面垂直的数学定义及判定方法；
2.采用启发式和探究式教学方法，以问题驱动为主线，激发学生参与学习的积极性和主动性；
3.通过学生经历直观感知、确认操作的过程构建新的知识，在通过例题讲解、解决实际问题使新知得以应用.
三、教学目标
1.知识与技能：
（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理，并能进行简单应用.
（2）能准确使用数学符号语言、***形语言、文字语言进行表达判定定理.
2.过程与方法：
在合作探究中，逐步构建知识结构；在实践操作中进一步发展学生的几何直观能力和空间想象能力；渗透化归与转化的数学思想方法.
3.情感、态度与价值观：
垂直关系在日常生活中有广泛实例，通过本节的教学，可让学生进一步认识到数学和生活的联系，体会数学原理的广泛应用.并让学生经历研究过程、体验探索乐趣，增强学习兴趣.
四、教学重、难点
重点：线面垂直判定的理解和应用；
难点：线面垂直定义和判定的探索和理解.
五、教学过程设计
（一）课题引入
师：前面我们学习了线线、线面、面面的平行关系，今天我们要学习另外一类非常重要的位置关系――垂直.
师：垂直关系发生在那些对象之间？
生：线线垂直，线面垂直，面面垂直.
师：线线垂直我们已经学过，这节课我们先来学习线面垂直.（书写课题）
师：同学们能谈谈你在生活中见到的线面垂直的例子吗？
生：旗杆与操场，白杨树与地面…
师：生活中这样的情景随处可见，（多媒体展示一些***片）比如：操场飘扬的红旗，旗杆与地面.平坦的大地，一个水平的面；矗立旗杆，一条竖直的线，给人一种挺拔、平稳、向上的感觉.这给我们展示了一种“几何美”――直线垂直于平面.
师：那么如何检验旗杆是否垂直地面？
这就是本节课要解决的问题.
设计意***：通过创设情境，让学生直观感知“线面垂直”，并结合实际提出问题让学生明白本节课学习的目标，利于激发学生的求知欲.
（二）新课讲解
【探究一】：一条直线相对于一个平面具备怎样的条件，可称直线与平面垂直？
师：线面垂直，可以转化为我们学过的线线垂直.
可以借助我们生活中熟悉的例子，如旗杆与地面.
学生看***回答下列问题：设旗杆为AB，旗杆在地面的影子为BC.
（1） 阳光下AB与BC所成角是多少度？
（2） 随着光线的变化BC的位置也发生变化，那么AB与BC所成角度是否发生变化？
（3） AB与平面内任意一条不过点B的直线是否垂直？依据是什么？
生：（1） ；（2）不变；（3）垂直，直线经过平移多可以过B点.
生：（概括）一条直线和平面所有直线都垂直，可称这条直线与这个平面垂直.
教师板书：
（1）定义：若一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直。记作：a面α（作***略）
设计意***：利用学生已有的知识基础、生活经验，通过实例“旗杆和变动的影子的关系”，在问题的引导下，让学生认识“旗杆和地面上任何一条直线都垂直”之后，得出直线与平面垂直的定义，从具体到抽象符合学生认知规律。
师：定义实际上给我们提供了一个判定线面垂直的方法，但是却不便操作，我们要寻找更简便的判定方法。
【探究二】：（1）直线垂直平面内一条直线，能否得到线面垂直？
（2）直线垂直平面内两条平行直线，能否得到线面垂直？
（3）直线垂直平面内三条、四条…无数条平行直线，能否得到线面垂直？
生：用准备好的三角尺与桌面比划来验证.答案都是否定的.
师：换个思路，平面中除了有平行线直线还有互相垂直的直线.
【探究三】：直线垂直平面内两条相交直线，能否得到线面垂直？
生：能，比如在长方体中！
师：作***引导学生观察：
生：答案是肯定的.
设计意***：以长方体的同一顶点出发的三条棱为例，为判定定理埋下伏笔，让学生观察，实践，让学生参与到教学活动的全过程来，体现学生的主体性，培养学生自主探究学习的能力。 【探究四】如果直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直吗？
师：大家动手实践一下，看看这是偶然还是必然？
学生活动：拿出事先准备好的三角形纸片.过某个顶点任意对折三角形，以对折后产生的折线为研究对象（研究对象“直线”），然后将三角形放在桌面上（桌面视作研究对象“面”）观察线与面的位置情况.
师：怎样对折后才能让直线垂直于面呢？
学生活动：带着极大的热情，学生们动手实践，最终发现，只有当折线垂直于底边时才能实现线面垂直，而此时正是线与面内的两条相交直线垂直.
在此基础上，教师带领学生进行抽象、简化建立数学模型，得出直线与平面垂直的判定定理.
教师板书判定定理的三种表述：文字语言、***形语言、符号语言.（略）
教师分析定理：三个条件：（1）若a 面α，b 面α；（2）直线lb；（3）a∩b=P.缺一不可.
设计意***：设置这样动手实践的情境，是希望学生学在情境中、思在情理中，感悟在心中.同时培养学生观察猜想的能力，让学生体会真理的科学性和严密性.
（三）定理应用
例1. 有一根旗杆AB高位8m.顶端A处挂着两条长10m的绳子，在距B6m的M处测得绳长为10米，N处测得绳长为9米。
（1） 旗杆栽的合格吗？
（2） 若在N处也测得绳长为10m，栽的合格吗？
（3） 要你设计一个方案如何检测旗杆是否栽的合格。
设计意***：例1应用判定定理解决实际问题，既是对定理的巩固同时也解决课前提出的问题，形成首尾呼应.
例2.已知 平行在平面α内，点O是 对角线的交点，点P在平面α外，且PA=PC，PB=PD，求证：PO面α.
例3.RtΔABC中，∠B=90°，P是ΔABC所在平面外一点，RA面ABC.
（1） 求证：BC面PAB；
（2） 四面体P-ABC中有几个直角三角形。
设计意***：例2让学生在学完判定定理后，能简单应用定理进行证明。通过例3让学生体会线面垂直与线线垂直的转化.
课堂小结：
1. 直线和平面垂直是直线和平面相交的特殊情况；
2. 判定直线与平面是否垂直，有两种方法：
（1） 定义法；
（2） 判定定理。
教学反思：
本节课的设计遵循“直观感受――操作确认――思辨论证”的认知过程，很好贯穿了问题引领学习的意识.学生亲自动手实践过程，有利于培养学生勇于探索、团结合作的精神，以及推理论证的能力、数学表达能力和空间想象力，让学生学身边的数学、领悟空间观念和空间***形性质.
参考文献
[1]《中学数学教学设计》何小亚、姚静
垂直与平行篇6
重点：掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理，能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的简单命题.
难点：能否熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化.
1. 直线、平面垂直关系的基本思路
无论是线面垂直还是面面垂直都源自于线与线的垂直，即不论何种“垂直”都要化归到“线线垂直”，观察与分析几何体中线与线的关系是解题的突破口. 这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要. 在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”.
2. 直线、平面垂直关系的基本方法策略
（1）利用判定定理.
（2）利用判定定理的推论.
（3）利用面面平行的性质.
（4）利用线面垂直的性质.
（5）利用面面垂直的定义.
（6）利用面面垂直的判定定理.
（7）线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系中的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即
这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，这种转化方法是本节内容的显著特征，掌握转化思想方法是解决空间***形问题的重要思想方法.
已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且aα，bβ，则下列命题中的假命题是（ ）
A. 若a∥b，则α∥β
B. 若αβ，则ab
C. 若a，b相交，则α，β相交
D. 若α，β相交，则a，b相交
思索 对这种结构的题目，常常做这样的处理：先假设某位置关系成立，在此基础上进行推理，若无矛盾，且推理过程可逆，就肯定这个假设；若有矛盾，就否定这个假设. 立体几何中概念、定理、性质非常多，只有熟记了，理解了，做立体几何题才能又快又好，同时注意反例、反证法等方法的使用.
？摇破解 A正确. 因为a∥b，aα，所以bα. 又bβ，所以α∥β.
B正确. 设α∩β=l，在α内作cl，因为αβ，所以cβ，又bβ，所以b∥c. 因为aα，所以ac，从而ab.
C正确，若α，β不相交，则α∥β，因为aα，所以αβ，又bβ，所以a∥b，这与a，b相交矛盾.
D是假命题，因为a，b可以是异面直线，易找出反例验证. 故选择D.
（2010辽宁卷文）如***1，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC■1B■1是菱形，B■1CA■1B.
（1）证明：平面AB1C平面A1BC1；
（2）设D是A1C1上的点且A■1B∥平面B■1CD，求A1D∶DC1的值.
思索 （1）求证相关垂直问题时，一般遵循：线线垂直线面垂直面面垂直. 在论证线线垂直时，注意回忆平面几何中的相关垂直定理，以及利用线面垂直判定线线垂直等方法.
（2）论证线线垂直、面面垂直问题，均体现出立体几何证明的基本思想——将空间问题转化为平面问题.
破解 （1）因为侧面BCC■1B■1是菱形，所以B■1CBC1. 又B1CA■1B，且A1B∩BC1=B，所以B1C平面A■1BC■1.又B1C？奂平面AB1C，所以平面AB■1C平面A■1BC■1.
（2）设BC1交B■1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线. 因为A1B∥平面B■1CD，所以A■1B∥DE.？摇又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1=1.
（2011新课标全国卷文）如***2，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD底面ABCD.
（1）证明：PABD；
（2）若PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高.
思索 空间中的线线垂直关系可转化为线面的垂直关系. 棱锥的高，可以先通过面面垂直，转化为线面垂直，得出高线，再转化到三角形内求解.
破解 （1）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=■AD. 从而BD2+AD2=AB2，可得BDAD. 又PD底面ABCD，可得BDPD，所以BD平面PAD，所以PABD.
（2）作DEPB，垂足为E，已知PD底面ABCD，所以PDBC，由（1）知BDAD，又BC∥AD，所以BCBD. 所以BC平面PBD，BCDE，则DE平面PBC.？摇由PD=AD=1知BD=■，PB=2. 根据DE·PB=PD·BD，得DE=■，即棱锥D-PBC的高为■.
（2012北京卷文）如***3甲，在RtABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1FCD，如***3乙.
（1）求证：DE∥平面A1CB；
（2）求证：A1FBE；
（3）线段A■1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理由.
思索 证明空间中的线线垂直可转化为证明线面垂直. 考查直线与平面平行、直线与平面垂直关系的相互转化，考查空间想象能力和推理论证能力.
破解 （1）略.
（2）由已知得ACBC，且DE∥BC，所以DEAC.所以DEA■■D，DECD，所以DE平面A■1DC，所以DEA1F. 又A■1FCD，所以A1F平面BCDE，所以A■1FBE.
（3）线段A1B上存在点Q，可使A1C平面DEQ. 理由如下：如***4，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又DE∥BC，所以DE∥PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. 由（2）知，DE平面A■1DC，所以DEA■1C，又P 是等腰三角形DA■1C底边A■1C的中点，所以A■1CDP. 因为DE∩DP=D，所以A■1C平面DEP，从而A■1C平面DEQ. 故线段A■1B上存在点Q，使A1C平面DEQ.
垂直与平行篇7
第六讲
相交与垂直
月
日
姓
名
【学习目标】
1.
借助实际情境和操作活动认识垂直.
2.
能用三角尺画垂线.
3.
能根据点与线之间垂直的线段最短的原理,解决生活中的一些简单问题.
【知识要点】
1、相交与垂直的概念。当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。（互相垂直：就是直线OA垂直于直线OB，直线OB垂直于直线OA）这两条直线的交点叫做垂足。（两条直线互相垂直说明了这两条直线的位置关系：必须相交，相交还要成直角。）
2、画垂线：
（1）过直线上一点画垂线的方法。
把三角尺的一条直角边与这条直线重合，直角顶点是垂足，沿着另一条直角边画直线，这条直线是前一条直线的垂线。注意，要让三角尺的直角顶点与给定的点重合。
（2）过直线外一点画垂线的方法。
把三角尺的一条直角边与这条直线重合，让三角尺的另一条直角边通过这个已知点，沿着三角尺的另一条直角边画直线，这条直线就是前一条直线的垂线。注意，画***时一般左手持三角尺，右手画线。过直线外一点画一条直线的垂线，三角尺的另一条直角边必须通过给定的这个点。
3、补充知识点：
（1）会用数学符号表示两条直线互相垂直的关系。如：OAOB。
（2）明确点到直线之间垂线段最短。
【典型题例】
例1、（1）
过直线外一点作垂线
（2）过直线上一点作垂线
例2、
如下***，经过A点、B点分别画直线的垂线，并想一想三条直线之间的关系。
例3、如下***，经过C点画直线的平行线，经过D点画直线的垂线，并想一想，这三条直线之间的关系。
去河边，怎么走最近？
例4、
小猪
.
小河
例5、观察下***，指出哪两条线段是互相垂直的？有几组？
【课堂练习】
成绩____________
一、下***中，
哪些有两条互相垂直的线.
二、过A点分别作两条直线的垂线和平行线。
三、小红要从A点走向公路，怎样走最近？请在***中画出来。
A·
公路
四、指出***中哪两条直线是平行线？哪两条直线互相垂直？
平行线有（
）
互相垂直的直线有（
）
【课后作业】
成绩___________
家长签名___________
一、判断题
（1）两条直线相交，这两条直线就一定互相垂直。（
）
（2）长方形相邻的两条边互相垂直。（
）
（3）过直线外一点到这条直线只能画一条垂线。（
）
（4）两条直线互相垂直，它们所组成的角是直角。（
）
（5）在梯形的两底之间可以画无数条不同长度的高。（
）
二、填空题
（1）两条平行线之间的所有垂线段长度（
）。
（2）两条直线相交成（
）时，这两条直线叫做互相垂直。
（3）从直线外一点到这条直线所画垂线段的长度叫做这点到直线的（
）。
垂直与平行篇8
1.4H型尾水管弯管段的几何形状
4H型尾水管几何形状以弯管段最为复杂，体形如***1所示，它是由圆环面(A)、斜圆锥面(B)、斜平面(C)、水平圆柱面(D)、垂直圆柱面(E)、立平面(F)及水平面(G)组成。各曲面关系分述如下：
圆环面(A)：是由以R1为半径的一段圆弧绕机组中心线旋转而成，其几何尺寸由R1、R4H1、R0确定，见***2(1-1)；
斜圆锥面(B)：各水平截面圆心轨迹为***2(1-1)中OK，半径为R0+ei，其几何尺寸是由R0和e0确定的；
斜平面(C)：此平面与圆环面(A)相割，与斜圆锥面(B)相切，底部与立平面(F)相交同一高程水平面上，见***2中(1-1)；
水平圆柱面(D)：是由圆心为O2及半径R2所决定的，见***2中(1-1)；
立平面(F)：该平面与垂直圆柱面(E)相切，与斜平面(C)相交，见***2中(1-1)、(2-2)；
垂直圆柱面(E)：其圆心轨迹为***2(1-1)所示kk′，其半径由R0和e0决定，见***2中(1-1)、(2-2)；
水平面(G)：是由圆环面(A)延续部分，与圆环面(A)相切，详见***2(1-1)、(2-2)。
***24H型尾水管弯段形状示意***
2.尾水管单线***简便计算方法
4H型尾水管因厂房布置等原因，分为有偏角和无偏角尾水管。无偏角尾水管是指尾水管中心线与机组中心线重合，有偏角尾水管是指尾水管中心线与机组中心线不重合，存在一定的夹角。
2.1无偏角4H型尾水管单线***计算原理
尾水管单线***计算包括水平剖面和垂直剖面的计算，计算内容如下：
2.1.1水平剖面的计算
建立如***3所示的坐标系。
(1)斜圆锥面(B)的半径R3i的计算：
根据斜圆锥面(B)的特点可知，第i-i水平剖面与斜圆锥面(B)交线aibi的半径R3i为：
(当zi小于h1时)(2-1)
(zi＞h1时，垂直柱面(E)与i-i水平面相交)
式中：R0－尾水管肘管段进口半径；zi－第i水平面距xoy平面的距离；e0－斜圆锥面圆心与机组中心线最大偏距；ei－第i水平剖面与斜圆锥面交线圆弧aibi圆心距机组中心线的距离；R3i－第i水平剖面处斜圆锥面的半径。
(2)肘管段平面角θ的计算：
在***3(2-2)剖面中
(2-2)
式中：B－尾水管扩散段出口宽度；l0－尾水管弯管段的长度。
(3)水平剖面C(C′)点坐标的计算：
C点为斜平面(C)与圆环面(A)相交之点，只要求出水平剖面与斜平面(C)相交得到的直线方程和与圆环面(A)相交得到的圆弧方程，C点坐标即可确定。
①求第I剖面中biCi直线的方程：(见***3i-i剖面)
设biCi直线方程为：
y=xtgθ＋bi(2－3)
ki点到该直线的距离为R3i，ki点坐标为(ei,0)，所以有：
(2－4)
②求圆弧CiCi的方程：
圆弧半径R4i为(如***3I-Ii-i剖面)
(2-5)
式中：R4H1－圆心O3至机组中心线的距离(如***3I-I剖面)；R1－圆环面(A)与通过圆心O径向垂直剖面交线圆弧的半径；h1－尾水管肘管段上部高度。
CiCi方程为：
x2+y2=R4i2
③求Ci(Ci′)点的坐标
只有当zi≤h1时圆环面(A)才与斜平面(C)相交，所以zi≤h1时Ci(xci,yci)座标为：
解得：
(2－6)
当zi＞h1时斜平面(C)已不与圆环面(A)相交，假定：
(2－7)
(4)求Ci点与圆心O点连线和正x轴方向的夹角βci：
(2－8)
当xci=0时，βci=0，βci在0°～180°范围内。
(5)b(b′)点坐标的计算
在第i水平剖面中(如***3中i-i剖面)，bi点为直线biki与biCi的交点，且biki垂直于bici，已知ki点坐标为(ei,0)
biki方程为：
(2－9)
联立(2－3)与(2－9)方程即可求得bi点座标(xbi，ybi)
(2－10)
(6)求a点的座标
①当zi≤υ时，水平剖面与斜圆锥面(B)、斜平面(C)和圆环面(A)相交，ai点坐标为：
(2－11)
②当zi＞υ时，水平剖面分别与斜圆锥面(B)(或垂直圆柱面(E))、水平圆柱面(D)，斜平面(C)和圆环面(A)相交。
水平柱面(D)与第i水平剖面交线aiai′方程为：
(2－12)
式中：u－圆柱面(D)圆心的x坐标，u=R2-R0；υ－圆柱面(D)圆心的y座标。
斜圆锥面(B)(垂直柱面(E))与i水平剖面交线方程为：
(x-ei)2+y2=R3i2(2－13)
联立(2－12)和(2－13)方程求解，即可确定ai(xai，yai)点座标
(2－14)
如果ai点的x坐标xai大于bi点的x座标xbi(即xai＞xbi)，则水平柱面(D)已不与垂直柱面(E)相交，而与垂直平面(F)相交，那么bi点x、y座标皆为0。
即(2－15)
而ai点的坐标为
(2－16)
(7)求ai、bi点与x轴负半轴方向的夹角αai、αbi
(2－17)
若xai，xbi为0，则αai=αbi=0，αai、αbi在0～180°范围内。至此水平剖面的形状已完全确定了。
2.1.2垂直剖面的计算
垂直剖面的形式有两种，一是通过水轮机主轴呈放射状的径向垂直剖面(简称径向垂直剖面)；一种平行于x轴方向的平行垂直剖面(简称平行垂直剖面)。从工程来看平行垂直剖面没有什么意义且计算繁琐，我们这里指的垂直剖面是径向垂直剖面。
垂直剖面的计算是建立在水平剖面计算基础之上的，这可以使垂直剖面的计算大为简化。径向垂直剖面在不同部位切割尾水管所得垂直剖面的形状不同，从垂直剖面的形式大体可分为两类，下面对这两类垂直剖面分别计算。
(1)第一类垂直剖面
在没有计算第一类垂直剖面以前，首先作一条假定，径向垂直剖面与斜圆锥面的交线，从理论上讲应为椭圆曲线，但由于斜圆锥面锥顶很高且锥底偏心距相对锥高而言很小，故假设径向垂直剖面与斜圆锥面交线为直线。
第一类垂直剖面用O－Iai表示(0－Iai表示通过第Ⅰ水平剖面ai点的垂直剖面)，当zi≤υ不计算与此水平剖面对应的垂直剖面，因为此剖面的形状为已知。
***34H型尾水管单线***示意***
①当zi≤h1时：径向垂直剖面的形式如***3中0－Iai剖面所示，只要确定了d(i+j)(0≤j≤n-i)，该剖面的形式也就确定了。
0-Iai剖面的方程为：
y=xtg(π-αai)
d(i+j)为第Ⅰ个水平剖面aiai′线与0-Iai径向垂直剖面在水平面投影直线交点xy坐标的平方和之根。
(2－18)
(2－19)
式中：0≤j≤n-i，n－水平剖面个数。
②当zi＞h1时：垂直剖面的形式如***3中0－3a3所示，只要确定了Fi和d(i+j)该剖面也就确定了。
d(i+j)的计算方法与(2－18)、(2－19)相同，
Fi=di(2－20)
(2)第二类垂直剖面
第二类垂直剖面用O-Ici表示(表示通过第Ⅰ个水平剖面Ci点的径向垂直剖面)。
①当zi≤h1时：从***3中0－Ici剖面可以看出，只要确定了gi，Rgi和zei，该剖面也就确定了。
gi为第Ⅰ个水平剖面Ci点至圆心O点的距离即：
gi=R4i(2－21)
当βci≤180°-αβ时：αβ为z=h1水平剖面bi和原心O连线与x轴负方向的夹角。
Rgi为z=h1水平剖面biCi线与0-Ici垂直剖面在水平剖面的投影直线交点的xy座标平方和之根。
解得：
(2－22)
(2－23)
zei为水平柱面(D)、垂直平面(F)与0-Ici垂直平面交点的z坐标各曲面方程如下：
b(m)为z=h1水平剖面biCi直线y轴的截距，再用(2－3)式计算。
解得：(2－24)
当180°-αβ＜βci≤90°+θ时，Rg为z=h1平面中aibi弧与0-Ici面水平投影直线交点平方和之根。
解得：(2－25)
(2－26)
式中：R3m－垂直柱面(E)的半径，即R3m=R0+e0；zei为水平柱面(b)，垂直柱面(E)和0-Ici垂直平面交点的z坐标。
各曲面方程如下：
解之得：(2－27)
②当zi＞h1时，垂直剖面为已知，不作计算。
2.2有偏角α的4H型尾水管单线***的计算
由于布置上的要求，扩散段中心线往往与机组中心线有一偏距d，尾水管需要绕机组中心线一个角度α(见***4)。
有偏角尾水管单线***的计算与无偏角的计算基本相同，建立如***4所示的坐标系，只要求出D点的x、y方向的坐标坐标，以下的计算同无偏角的相同，在此不再赘述。
D点坐标为：
垂直与平行篇9
【关键词】 三垂线定理；应用
三垂线定理因其联系着一系列主要概念，包括平面的垂线、斜线及斜线在平面内的射影等，而且其证明中包含着较为典型的线面垂直与线线垂直证法，而成为立体几何中的一个很重要的定理.同时在解决空间的角和距离及其直线与直线垂直问题时，应用三垂线定理及其逆定理，对于培养学生空间想象力和逻辑思维能力，有着更加重要而独到的作用.因此在立体几何教学中，必须引导学生正确理解和掌握三垂线定理，充分发挥三垂线定理在解决空间***形问题的作用.
一、三垂线定理的解读
三垂线定理是***面垂直基础上来研究直线间垂直关系的重要定理，不仅阐明了平面的垂线、斜线、斜线在平面内的射影和平面内的一条直线的某种位置关系的内在联系，并有效沟通了线线关系和线面关系.
1.三垂线定理的本质特征
（1）定理描述
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.
三垂线定理的逆定理：在平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直.
（2）***形模型
*** 1 （如***1）设PO，PA分别是平面α的垂线、斜线，OA是PA在平面α内的射影，aα，且aOA，则aPA.
（3）本质特征
垂线定理及其逆定理描述的是斜线、射影和平面内直线之间的垂直关系，实质是空间两条直线垂直的判定，把空间垂直转化为相交垂直.斜线及其斜线在平面内的射影与这个平面内的直线的垂直关系不变，是三垂线定理及其逆定理的本质特征.
2.构成三垂线定理的元素
从***一可以看出，三垂线定理的***形是由“四线一面”五个元素组成，即垂线PO、斜线PA、射影OA、面内一线直线a和平面α.三垂线定理描述的是三种垂直关系：直线和平面垂直，平面内的一条直线与斜线在该平面的射影垂直，这条直线和斜线垂直，这条直线与斜线可能相交，也可能是异面直线.
二、三垂线定理的应用
作为一种较为典型的证题方法，三垂线定理及其逆定理在解题中有着广泛的应用.在应用三垂线定理时，既要注意三垂线定理***形的多样性，又要注意竖直或倾斜平面上三垂线定理的应用.按照“一定平面，二定垂线，三找斜线，射影就出现”的原则去确认***形，得出所证的垂直关系，其关键是找平面的垂线和斜线在平面内的射影.
1.空间的角和距离问题中的应用
点P到DC，BD的距离分别为4 13 ， 4 13 901 .
题意***形中如果有表示其距离的线段时，只须证明其确为表示距离的线段，再进行计算.如果没有明显表示距离的线段，就要先作出，并用三垂线定理加以证明，再计算.
2.在垂直问题中的应用
三垂线定理及逆定理涉及的是直线与直线的垂直问题，因为直线垂直问题可推出线面垂直问题，进而可导出面面垂直.所以***面垂直、面面垂直问题中也常用到三垂线定理.因此，在解决垂直问题时，应首先考虑是否能使用三垂线定理.
总之，三垂线定理及逆定理是证明线线垂直，点线距、点面距、线面角的计算及二面角的形成中非常有效的工具，在解决空间***形问题中充分发挥三垂线定理的作用，不仅有助于学生理解掌握定理，而且对于培养发展空间想象能力、推理论证能力有着积极的意义.
【参考文献】
垂直与平行篇10
【关键词】 下斜肌转位术； 分离性垂直斜视； 手术疗效分析
本文将对本院2009年1月1日-2012年6月30日前来就诊的60例分离性垂直斜视患者进行临床分组研究，探讨三种不同下斜肌转位术***分离性垂直斜视患者的临床***效果，以提高患者临床疗效与生活质量，现报告如下。
1 资料与方法
1.1 一般资料
选择本院2009年1月1日-2012年6月30日前来就诊的60例分离性垂直斜视患者，按照垂直斜视度数的大小分为三组，采用不同手术方式，即A组（垂直斜视度小于5度）、B组（垂直斜视度数小于10度）、C组（垂直斜视度数大于10度）。A组26例分离性垂直斜视患者中男16例，女10例，年龄18～51岁，平均（37.6±1.1）岁，单眼4例，双眼22例，单纯性上斜视21例、合并外斜视4例、合并内斜视1例；B组19例分离性垂直斜视患者中男13例，女6例，年龄19～49岁，平均（38.1±1.0）岁，单眼3例，双眼16例，单纯性上斜视17例，合并外斜视1例，合并内斜视1例；C组15例分离性垂直斜视患者中男10例，女5例，年龄18～49岁，平均（37.9±1.2）岁，单眼2例，双眼13例，单纯性上斜视11例，合并外斜视3例，合并内斜视1例。A、B、C组分离性垂直斜视患者在性别、年龄、患病眼分布、斜视类型、教育背景以及社会经历等方面差异无统计学意义（P>0.05），具有可比性。
1.2 方法
所有患者术前进行常规检查，内容包括视力检查、立体视觉功能、眼底、眼压、屈光状态、视远与视近斜视角度、眼球运动等。三组患者均在局部麻醉下采用不同的手术方法进行***。术后对患者进行垂直斜度及下斜肌亢进改善程度检查，并对其进行六个月随访，对检查结果进行统计学分析，得出结论。
1.2.1 单纯下斜肌转位术（A组）
手术切口位于患者颞下方近穹窿部球结膜处，将患者下斜肌暴露在手术视野下，在外下直肌之间将下斜肌肌腹勾出，使周围筋膜组织分离，用可吸收线将患者肌肉进行双套环缝线，在缝线处颞侧将下斜肌剪断，并检查是否出现残留肌肉，将下直肌勾出，将附着点暴露，将下斜肌鼻侧断端进行缝合，将其固定在下直肌附着点颞侧缘巩膜处，与下直肌平行。
1.2.2 下斜肌截除联合转位术（B组）
对患者进行手术切口及分离下斜肌方法与单纯下斜肌转位术相同。将下斜肌进行剪断，之后截除五毫米肌肉，在下直肌附着点颞侧缘的巩膜上将下斜肌缝线固定，与下直肌平行。
1.2.3 下斜肌截除联合转位并前徙术（C组）
对患者进行手术切口及分离下斜肌方法与单纯下斜肌转位术相同。将下斜肌剪断，之后将5 mm肌肉截除，在下直肌附着点颞侧缘前1～3 mm的巩膜上将下斜肌缝线固定，患者出现合并水平斜视，则应同期进行水平斜视矫正措施。
1.3 疗效评级标准
良好：分离性垂直斜视患者经手术***后，在保持双眼注视的状态下，未出现第一眼位明显的垂直性分离情况，垂直斜视度小于5度；好转：分离性垂直斜视患者经手术***后，在保持双眼注视的状态下，出现第一眼位明显的垂直性分离情况，但此类情况出现频率较低，或较***前出现频率明显减少，且未对患者外观造成影响，垂直斜视度数小于10度；无效：分离性垂直斜视患者经手术***后，在保持双眼注视的状态下，出现第一眼位明显的垂直性分离情况，且患者出现频率与术前无变化甚至增加，垂直斜视度数大于10度。
1.4 统计学处理
采用SPSS 13.0统计学软件包对数据进行统计学分析，计量资料以（x±s）表示，比较采用t检验，计数资料采用 字2检验，以P
2 结果
所有患者在术后对其进行垂直斜度及下斜肌亢进改善程度检查，随访六个月，对检查结果进行统计学分析。结果显示，A、B、C组分离性垂直斜视患者经不同手术方法进行***后，总有效率分别为88.46%、89.47%、93.33%，组间比较差异无统计学意义（P>0.05）。详见表1。
3 讨论
分离性垂直斜视，是临床上较为特殊的斜视类型，其具体发病原因目前尚不明确，患者双眼出现交替遮盖时被遮盖眼呈现出上斜视状态[1-4]。临床主要***方法为手术措施[5，6]。
研究表明，对分离性垂直斜视患者进行单纯下斜肌转位术、下斜肌截除联合转位术、下斜肌截除联合转位并前徙术三种方法***，其***效果对比无统计学差异，但进行单纯下斜肌转位手术***的患者术后未出现明显睑裂变化以及上转受限情况，而进行下斜肌截除术***后，部分患者出现睑裂变小或眼球上转受限等并发症。
若分离性垂直斜视患者原在位垂直斜度为15～25度，且同时伴有下斜肌功能亢进，此时宜采取单纯下斜肌转位术对其进行***[7-11]。
分离性垂直斜视合并水平斜视明显时，先治斜视更明显者，先做不易定量的肌肉，后做定量容易的肌肉。因此，在分离性垂直斜视合并水平斜视时，可根据斜视角的大小合理设计手术，应注意垂直眼位矫正后对水平眼位的影响，上直肌后徙有减轻内转作用，而下斜肌转位有加强内转作用，所以在设计水平斜视手术量时要充分考虑到这点[12-15]。
术前应反复检查眼位，眼球运动等，单纯分离性垂直斜视，可行上直肌大量后徙；分离性垂直斜视合并下斜肌亢进，首先考虑下斜肌后徙转位术；如双眼程度不等，也应双眼同时手术，以免术后双眼再次出现不对称，致斜视复发[4-10]。
由本文可知，分离性垂直斜视患者双眼对称性的行下斜肌的减弱手术，不论采取什么手术方式，术后的眼裂变化及上传受限对外观影响并不明显。而对于双眼非对称性的下斜肌手术术后引起的眼裂大小变化和上传受限就很明显，应尽量避免。
因此，对于分离性垂直斜视患者进行临床手术***时，应根据患者实际情况选择手术方法，从而达到更为有效的***效果，提高患者生活质量。
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