学文网概率公式篇1
关键词： 全概率公式 解题思路 应用
全概率及贝叶斯公式是《概率论与数理统计》课程中的两个重要的公式，由于全概率公式和贝叶斯公式本身是用来解决实际问题的，因而应用背景十分重要，如果对公式的应用背景不理解，则很难灵活运用。现就如何透彻地讲解公式和灵活应用全概率公式，谈谈我在教学中的体会。
全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的综合，在进行这个知识点的教学时，如果按照课本上的顺序，直接给出公式，证明公式，然后套用公式来进行应用，这样就会导致学生感到公式不易理解，记忆困难，应用时就更感觉无从下手。鉴于此，我在教学中从实例入手，引导并帮助学生完成由已知的加法公式和乘法公式到建立全概率公式的思维过程，这样不仅可以激发学生的思维，而且能加深学生对全概率公式的理解和记忆。
引例：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：第1、2、3三家工厂提供元件的份额分别是0.15、0.80、0.05，它们的次品率分别是0.02、0.01、0.03，设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率。
解：设A表示“取到的是一只次品”，B（i=1，2，3）表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”，由于导致A发生的原因B，B，B不能唯一确定，因此求P（A）用条件概率难以解决。由题意，A能且只能与B，B，B之一同时发生，即AB、AB、AB互不相容，这样A可表示为AB、AB、AB三事件之和，再利用加法公式，通过求P（AB）、P（AB）、P（AB）来求P（A）。由于B+B+B=Ω（必然事件），则有A=AΩ=A（B+B+B）=AB+AB+AB。
P（A）=P（AB+AB+AB）P（AB）+P（AB）+P（AB）
这样，可把求P（A）经过转化，分解为简单事件的概率和，又由已知条件，P（AB）不能直接求出，但易知P（B）=0.15，P（B）=0.80，P（B）=0.05，P（A|B）=0.02，P（A|B）=0.01，P（A|B）=0.03，这样利用乘法公式即可求出P（AB），从而求得P（A）。
P（A）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（B）P（A|B）+P（B） P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125
求P（A）事实上运用的就是全概率公式。由于次品的概率P（A）直接求不出来，按照题意把A分成三部分，A的发生受这三部分的影响且这三部分是互不相容的。把这三部分的概率分别求出，最后加起来，就得到A的全部概率。
全概率公式：设试验E的样本空间为S，B，B，…，B为E的一组事件，若满足
（1）BB=?，（i≠j，i，j=1，2，…，n）
（2）B∪B∪…∪B=S且P（B）＞0（i=1，2，…，n）。则对任一事件A有
P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+…+P（B）P（A|B）。
在全概率公式中，通常把满足条件（1）（2）的事件组B，B，…，B称为完备事件组，运用全概率公式的关键在于找出这个完备事件组。完备事件组B，B，…，B可以看成是引起事件A发生的一系列原因或A的发生要受因素B，B，…，B的影响，一个事件A往往可能在若干个不同原因B，B，…，B下发生，因而可将A分解成若干个互不相容的事件，只要知道了各种原因B，B，…，B发生的概率以及各种原因B，B，…，B发生的条件下A发生的概率，利用全概率公式就可求得事件A发生的概率。
全概率公式是使复杂问题简单化的很有价值的一个实际应用公式。当一个事件的发生是由几个不相关过程导致的时候，运用全概率公式则可简化思考过程，起到化整为零，化难为易的作用，下面举例说明。
例1：某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手8人；一、二、三级射手能通过选拔进入比赛的概率分别为0.9、0.7、0.4。求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率。
解：问题实质上涉及两个部分：第一，选出的射手不知道是哪个级别的，由全概率公式知，都应该考虑到才全面。第二，某个级别的射手能通过选拔进入比赛的概率是已知道的，记A表示“选出的是i级射手”，i=1，2，3，记B表示“选出的射手能通过选拔进入比赛”则A，A，A构成一个完备事件组，有：
A∪A∪A=S且AA=?，i≠j，i，j=1，2，3
由题意：P（A）=4/20，P（A）=8/20，P（A）=8/20，因此
P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/20×0.9+8/20×0.7+8/20×0.4=0.62
这个数比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因为三种可能性都考虑到了。
例2：某工厂生产的产品以100个为一批。在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中有次品，则认为这批产品是不合格的。假定每一批产品中的次品最多不超过4个，并且其中恰好有i（i=0，1，2，3，4）个次品的概率如下：
求各批产品通过检查的概率。
解：设事件B是一批产品中有i个次品（i=0，1，2，3，4），则
P（B）=0.1，P（B）=0.2，P（B）=0.4，P（B）=0.2，P（B）=0.1
显然有B=S且BB=?（i≠j，i，j=0，1，2，3，4），故B，B，B，B，B构成一个完备事件组。设事件A是这批产品通过检查，即抽样检查的10个产品都是合格品，则有
P（A|B）=1，P（A|B）==0.900，P（A|B）=≈0.809，
P（A|B）=≈0.727，P（A|B）=≈0.652
所以，由全概率公式，即得所求的概率：
P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）≈0.1×1+0.2×0.900+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.8142
对于一个复杂的事件A，如果能找到一影响着A发生的完备事件组B，B，…，B，而计算各B（i=1，2，…，n）的概率P（B）与条件概率P（A|B）又较容易，这时为了计算A的概率，就可以考虑使用全概率公式。
参考文献：
［1］盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计.高等教育出版社，2008.
概率公式篇2
关键词：全概率公式；完备事件组；贝叶斯公式
全概率公式给了我们一个实际计算某些事件概率的公式，只要一旦我们知道了在各事件发生条件下该事件发生的概率，则该事件的无条件概率可以从全概率公式求得，也就是说，只要知道了各种原因发生条件下该事件发生的概率（原因概率），该事件的无条件概率可通过全概率公式求得。反之，若已知各种原因概率，设在进行随机试验中某事件已经发生，在这条件下求各种原因发生的条件概率，这是概率论重要的研究课题之一。为了达到这个目的，我们经常把已经发生的事件看成是一个“结果”，把若干个不相容的简单事件看成是导致这一结果发生的不同原因，再通过计算这些简单事件的概率、这些事件发生条件下已经发生事件的概率及运用概率的加法、乘法和除法得到最终结果。贝叶斯公式就是这种思想方法的一个反映，它是概率的加法、乘法与除法的综合。
一、贝叶斯公式的分析
1.完备事件组
设实验E的样本空间为Ω，A1，A2，…，An为E的一组事件，若A1，A2，…，An两两互不相容，并且■=Ω则称A1，A2，…，An为试验E完备事件组。
2.全概率公式
设试验E的样本空间为Ω，如果A1，A2，…，An是Ω的一个完备事件组，且P（Ai）>0（i=1，2，…，n），则对于E的任一事件B，有P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）。
注：全概率公式是将求复杂事件B的概率P（B）转化为求概率P（Ai）与P（B/Ai）（i=1，2，…，n）乘积的和。
3.贝叶斯公式解析
设事件为A1，A2，…，An试验E的完备事件组，对于任一事件B，如果P（B）>0，则有：P（B/Ai）=■=■（i=1，2，…，n）。
（1）首先要认识事件B是试验E的一个事件，且把事件B看成是一个“结果”。
（2）完备事件组A1，A2，…，An理解成导致这一结果发生的不同原因，P（Ai）（i=1，2，…，n）是各种原因发生的概率，通常在“结果”发生之前就已经明确的，有时可以从以往的经验中求得，因而称之为先验概率。
（3）贝叶斯公式是在“结果”B已经发生之后，再去考虑各种原因发生的概率P（B/Ai）（i=1，2，…，n）。
（4）该公式可以通过以下几个步骤：第一，由条件概率得P（B/Ai）=■；第二，分子通过乘法公式得P（AiB）=P（Ai）P（B/Ai）；第三，分母通过全概率公式得P（B）=■P（Ai）P（B/Ai）；将第二、第三的结果带入第一即得贝叶斯公式。
有时，我们把P（B/Ai）称为“原因”概率，而称P（Ai/B）为“事后”概率，从贝叶斯公式可看出：“事后”概率可通过一系列的“原因”概率求得。P（Ai）（i=1，2，…，n）是在不知道事件B是否发生的情况下各事件发生的概率，在知道B发生之后，对概率P（Ai/B）（i=1，2，…，n）就有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化。
二、贝叶斯公式运用
例：对以往数据的分析结果表明，当机器处于良好状态的时候，生产出来的产品合格率为90%，而当机器存在某些故障时，生产出来的产品合格率为30%，并且每天机器开动时，处于良好状态的概率为75%。已知某日生产出来的第一件产品为合格品，求此时该机器处于良好状态的概率。
分析：该试验是“机器生产产品”，已知试验结果为事件B“生产出来的第一件产品为合格品”，从题可知，影响该产品合格的原因有两个，分别记为A：“机器处于良好状态”，■：“机器存在某些故障”，记该试验样本空间为Ω，则有A∩■=φ，即A与■互不相容；于是A、■为一个完备事件组，可运用贝叶斯公式。
解：设A表示事件“机器处于良好状态”，■表示事件“机器存在某些故障”，B表示事件“生产出来的第一件产品是合格品”，则A、■是一个完备事件组，且P（A）=75%=0.75；P（■）=25%=0.25；P（B/A）=90%=0.9；P（B/A）=30%=0.3。
根据贝叶斯公式，有
P（A/B）=■=■
=■=0.9=90%
三、贝叶斯公式运用准则
通过对贝叶斯公式及公式运用的分析，可总结出下列准则：先已知“结果”已经发生，在结果发生之后去寻找导致该结果发生的所有原因，完备事件组A1，A2，…，An往往是随机试验中导致该结果发生的所有原因，这些原因及其发生的概率通常在“结果”发生之前就已经明确的。结果发生时，我们并不知道具体是哪个原因导致的，要求的就是在结果已经发生的前提下是某个原因（Ai）导致的概率。
参考文献：
概率公式篇3
【关键词】全概率公式 逆概率公式 样本空间的划分
【中***分类号】O211 【文献标识码】A 【文章编号】1674－4810（2012）05－0026－02
一 全概率公式和逆概率公式
定义1：设S是随机试验E的样本空间，B1，B2…，Bn是E的一组事件，若：（1）BiBj＝Φ，i≠j；（2）B1∪B2∪…∪Bn＝S，则称B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分。
注：若B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，则：
P（B1）＋P（B2）＋…＋P（Bn）＝1
定理1：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，则：
P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋…
＋P（Bn）P（A｜Bn）
此公式称为全概率公式。
定理2：设随机试验E的样本空间S，A为E的任意一个事件，B1，B2…，Bn是对样本空间S的一个划分，且P（Bi）＞0，P（A）＞0，则：
P（Bk｜A）＝ （k＝1，2，…，n）
此公式称为逆概率公式（也称贝叶斯公式）。
从定理1和定理2可以看出，不论是全概率公式，还是逆概率公式，都需要给出样本空间的一个划分B1，B2…，Bn。如何对样本空间进行合理划分是求解问题的关键。下面，我们给出对样本空间进行划分的基本原理，并通过实例进行说明。
二 对样本空间进行划分的基本原理
原理1：若完成某项试验需要多个步骤，问题关心的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面某个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。
我们通过下面两个例子对原理1进行说明。
例1，设有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球和4个白球，乙盒中有2个红球和3个白球。现从甲盒中任取一球放入乙盒，再从乙盒任取一球，问从乙盒取到白球的概率为多少？
【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：从甲盒任取一球；步骤2：从乙盒任取一球。问题关心的是第二个步骤完成后的结果，那么根据原理1，我们可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即：从甲盒取到红球或白球。
解：设B1＝｛从甲盒取到红球｝，B2＝｛从甲盒取到白球｝；A＝｛从乙盒取到白球｝。
则B1、B2就是对样本空间的一组划分，且：
P（B1）＝ P（A｜B1）＝
P（B2）＝ P（A｜B2）＝
由全概率公式，得：
P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）
例2，在电报通讯中发出“0”和“1”的概率分别为0.6和0.4。由于干扰，当发出信号“0”时，分别以概率0.8、0.1和0.1接收为“0”、“1”和模糊信号；当发出信号“1”时，分别以概率0.7、0.1和0.2接收为“1”、“0”和模糊信号。（1）求收到模糊信号的概率为多少？（2）如接收到的是模糊信号，把它翻译成？
【例题解析】完成该试验需要两个步骤。步骤1：发出信号；步骤2：接收信号。问题关心的是第二个步骤完成后的结果（收到模糊信号），那么由原理1，可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果来对样本空间进行划分，即：发出信号“0”或“1”。
解：设B0＝｛发出信号“0”｝，B1＝｛发出信号“1”｝；A＝｛接收到模糊信号｝。
则B0、B1就是对样本空间的一组划分，且：
P（B0）＝0.6 P（A｜B0）＝0.1
P（B1）＝0.4 P（A｜B1）＝0.2
（1）由全概率公式，得：
P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）
＝0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.14
（2）由逆概率公式，得：
P（B0｜A）＝
P（B1｜A）＝
答：把模糊信号翻译成“1”更好。
有时，随机事件之间看不出明显的步骤差异。在这种情况下，我们可以依据以下原理对样本空间进行划分。
原理2：若样本空间的样本点可以根据不同的方法进行分类，而问题关心的是按照某一分类方法进行分类是某种可能结果发生的概率，则我们可以根据另外一种分类方式对样本空间进行划分。
我们通过下面两个例子对原理2进行说明。
例3，设某工厂甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%、35%和20%，且各车间的次品率分别为2%、3%和5%。现在从待出厂的产品中任意抽取一件，（1）求其为次品的概率；（2）已知抽中的是次品，问其来自哪个车间的可能性最大。
【例题解析】本例中样本空间的样本点为产品，具有不同的分类方式。分类方式1：正品和次品。分类方式2：来自甲厂、来自乙厂和来自丙厂。现在的问题关心的是第一种分类方式的某个结果，即次品，那么可以按照第2种分类方式对样本空间进行划分。
解：设B1＝｛该产品由甲厂生产｝，B2＝｛该产品由乙厂生产｝，B3＝｛该产品由丙厂生产｝；A＝｛该产品为次品｝。
则B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分，且：
P（B1）＝0.45 P（A｜B1）＝0.02
P（B2）＝0.35 P（A｜B2）＝0.03
P（B3）＝0.20 P（A｜B3）＝0.05
（1）由全概率公式，得：
P（A）＝P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.45×0.02＋0.35×0.03＋0.2×0.05＝0.0295
（2）由逆概率公式，得：
P（B1｜A）＝
P（B2｜A）＝
P（B3｜A）＝
答：该次品来自第2个车间的可能性最大。
例4，甲、乙、丙三门大炮同时向一艘战舰射击，三炮击中的概率分别为0.6、0.5、0.7。战舰被击中一炮而沉没的概率为0.4，被击中两炮而沉没的概率为0.6，被击中三炮而沉没的概率为0.9。（1）求战舰被击沉的概率；（2）已知战舰被击沉，求它被击中一次的概率。
【例题解析】本例中样本空间也可以按照不同方式进行分类的具有不同的分类方式。分类方式1：按照被击中的次数分为击中0次、击中1次、击中2次和击中3次。分类方式2：按照是否击沉分为击沉和没有击沉。现在的问题关心的是第2种分类方式的某个结果，即击沉，那么可以按照第1种分类方式对样本空间进行划分。
解：设B0＝｛战舰被击中0次｝，B1＝｛战舰被击中1次｝，B2＝｛战舰被击中2次｝，B3＝｛战舰被击中3次｝；A＝｛战舰被击沉｝。
则B0、B1、B2、B3就是对样本空间的一组划分（为了方便计算B0、B1、B2、B3发生的概率，需要定义另外一组事件）。
设Ci＝｛第i门大炮击中战舰｝，i＝1，2，3。则：
P（B0）＝P（ ）＝P（ ）P（ ）P（ ）＝0.4×0.5×0.3＝0.06
P（B1）＝P（ ）＝0.6×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.3＋0.4×0.5×0.7＝0.29
P（B2）＝P（ ）＝0.6×0.5×0.3＋0.6×0.5×0.7＋0.4×0.5×0.7＝0.44
P（B3）＝P（C1C2C3）＝P（C1）P（C2）P（C3）＝0.6×0.5×0.7＝0.21
（1）由全概率公式，得：
P（A）＝P（B0）P（A｜B0）＋P（B1）P（A｜B1）＋P（B2）P（A｜B2）＋P（B3）P（A｜B3）＝0.06×0＋0.29×0.4＋0.44×0.6＋0.21×0.9＝0.569
（2）由逆概率公式，得：
P（B1｜A）＝
注：对某些题目，依据原理1或原理2都可以进行求解，可以根据自己的偏好进行选择。
三 结语
对样本空间进行合理划分是使用全概率公式和逆概率公式的前提。本文给出了对样本空间进行划分的两个原理，并通过实例验证了所给方法的可行性。
概率公式篇4
关键词：概率 方法
确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，不需要做大量的重复试验，而且在经验事实的基础上，对被考察事件的可能行进行逻辑分析后得出该事件的概率。计算古典概型的常用方法有以下几种。
一、直接用古典概率的定义计算
定义：若事件A是古典概型中的的随机事件，则P（A）=，其中Ω为包含事件A的样本空间。
例1. 一个吧六根草紧握手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接。求放开后六根草恰好连成一个环的概率。
解：因为“六个尾两两相接”，不会影响是否成环，所以我们只需要考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有种不同结果，这是分母，而需成环则第一步从6个头中任取一个，此时余下5个头有一个不能相接，只可能与余下的4个头中的任一个相接；第二步从未接的4个中任取一个与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法。由此所求的概率为P==。
二、利用概率加法公式进行计算
例2.在1～2000的整数中随机地取一个整数，求取到的整数既能被6整除，又能被8整除的概率。
解：设事件A=“取到的数能被6整除”，事件B=“取到的数能被8整除”，事件C=“ 取到的整数既能被6整除，又能被8整除”；则C=A∪B，由于333
三、利用事件的对立事件进行计算
例3.从数字1，2，…，9中可重复地任取n次，求n次所取数字的乘积能被10整除的概率。
解：设事件A=“至少一次取到5”，事件B=“至少一次取一个偶数”，事件C=“n次所取数字的乘积能被10整除”；则C=AB，C=A∪B，又因为P（A）=，P（B）=，P（AB）=所以P（C）=1-P（C）=1-P（A）+P（B）-P（AB）=1-
例4.某单位一个班有男生9人，女生5人，现要选出3个代表，求选出的3个代表中至少有1个女生的概率。
解：设事件A=“3个代表中至少有1个女生”，则A=“3个代表全为男生”
P（A）==，所以P（A）=1-P（A）=1-=.
四、利用全概率公式进行计算
例5，m个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余的m-1个人中的任何一个，求第n次传球时球仍然由甲传出的概率。
解：设事件A=“第i次传球时由甲传出”记pi=P（Ai），i=1，2，...则p1=1，且pi=P（Ai+1丨Ai）=0，pi=P（Ai+1丨Ai）=，所以由全概率公式P（An）=P（An-1）P（A丨An-1）+P（An-1）P（A丨An-1）=pn-1×0+（1-pn-1）=得递推公式pn=（1-pn-1）n≥2，将p1=1代入递推公式可得pn=[1-（）n-2]
五、使用贝叶斯公式进行计算
例6，学生在做一道又4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测。现从卷面上看题目是答对了；试在以下情况求学生确实知道正确答案的概率：
（1）学生知道正确答案和猜测的概率都为；
（2）学生知道正确答案为0.2。
解：A=“题目答对了 ”，B=“知道正确答案”则有P（A丨B）=1，P（A丨B）=0.25
（1）此时有P（B）=P（B）=0.5，所以由贝叶斯公式得
（2） 此时有P（B）=0.2，P（B）=0.8所以由贝叶斯公式得
概率的计算是学好概率的基础，后面的随机变量的分布，随机变量的数字特征都以概率的计算作为基础。
参考文献：
[1]盛骤 谢式千 潘乘毅，概率论与数理统计（第四版），高等教育出版社，2008.
概率公式篇5
原题 （课本9.1习题第1题）小明和小丽各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数和为奇数，小明得1分，否则小丽得1分，谁先得到10分，谁获胜，这个游戏公平吗？
【解析】判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.解决这类问题一般通过画树状***或列表法列出所有可能的结果，然后用概率公式求出每个事件的概率.此题用列表法比较合适，根据表1可求得小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，所以该游戏公平.
延伸1：小明和小丽各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数积为奇数，小明得1分，否则小丽得1分，谁先得到10分，谁获胜，这个游戏公平吗？
延伸2：小明和小丽各掷一枚骰子，如果两枚骰子的点数相同，小明胜，否则小丽胜，这个游戏公平吗？
【解析】上两题将原题中的条件“和为奇数”分别改为“积为奇数”、“点数相同”，解题方法与原题相同，可用列表法列出所有的可能结果，根据概率公式求出概率.
延伸1：小明获胜概率为，小丽获胜的概率为，该游戏不公平.
延伸2：小明获胜概率为，小丽获胜的概率为，该游戏不公平.
延伸3：小明和小丽各掷一枚骰子，用小明掷骰子朝上的数字x，小丽掷骰子朝上的数字y来确定点P（x，y），若他们各抛掷一次所确定的点P落在直线y=x+1的***像上，则小明胜，否则小丽胜，这个游戏公平吗？
【解析】此题先用列表法列出所有点的坐标，然后将坐标代入解析式y=x+1中检验，可求点P落在直线y=x+1上的概率，即小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，这个游戏不公平.
延伸4：小明、小丽玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数字（如***1）. 游戏规则：小明、小丽两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时小明获胜，数字之和为奇数时小丽获胜. 若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘. 这个游戏公平吗？
【解析】其实就是将掷骰子游戏改为转盘游戏，本质是一样的. 首先根据题意画出树状***（如***2），然后由树状***求得所有等可能的结果与数字之和为偶数情况，利用概率公式即可求得小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，这个游戏不公平.
延伸5：一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、蓝的小球，其中红球2个，蓝球1个，这些球除颜色外其余都相同.
（1） 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，如果两次都是红球则小明获胜，否则小丽获胜，这个游戏公平吗？
（2） 搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色（不放回），再从中任意摸出1个球，如果两次都是红球则小明获胜，否则小丽获胜，这个游戏公平吗？
（3） 若向袋子中再放入一些黄球（除颜色外其余都相同），小明进行了多次摸球实验，得到红球的频率为50%. 现从袋中任取出两个球（不放回），如果两个球都是红球小明获胜，否则小丽获胜，这个游戏公平吗？
【解析】将问题情境改为摸球游戏，其本质与掷骰子游戏一样. 第（1）题与第（2）题的差异是摸出的球有无放回，此题用列表法比较合适. 第（1）题根据表2可求小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，第（2）题根据表3小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为. 第（3）题主要考查通过频率估计概率，即在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数m附近，那么事件A发生的概率P（A）=m，由题意可得，摸到红球的概率为，可求出袋中球总数为4个，黄球为1个，用列表法可求小明获胜的概率为，小丽获胜的概率为，这个游戏不公平.
对于概率问题，通常用列表法或画树状***来解决，其一般步骤为：①选择方法，列表法一般适用于两步求概率，画树状***法适合于两步及两步以上求概率；②列举出事件发生的所有可能性结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；④用公式P（A）=求事件A发生的概率.
概率公式篇6
1 “条件概率”
国家新课标高中数学学科将“条件概率”作为增设内容，放置在《数学?选修2-3》第二章“随机变量及其分布”的第二节“二项分布及其应用”的第一小节[1]，其概念为事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率，其中涵盖了古典概型和几何概型，涉及的理念包括随机事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，计算观念较为抽象，需要教师在学习开始前，教导学生复习基础知识，便于使用。
2 “条件概率”教学难点
2.1各要素的不同特征
在学习“条件概率”时，第一个难点就是理解其概念内容，形成初步认识，其概念定义表示为p（A丨B），即已知B事件发生的情况下事件A的发生概率，在此概念中有三个要素，即：事件A、事件B和条件关系，此三者一项都不可缺少，事件A具有随机性，事件B具有确定性，条件关系则存在各种各样的表达方式，教师在教导此部分内容时，需要由浅入深、由难到易，使学生接受概念并灵活运用。
首先需要掌握的方法?橹苯蛹扑惴ǎ?这是最为基础也是最为简单的计算方法，可以采用简单的题目，如：随机抛掷一颗质地均匀的骰子，求掷出的点数不超过3的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到p（A）=1/3，然后在此基础上加大难度，研究已知掷出了偶数点，求掷出的点数不超过3的概率，则掷出了偶数点为已知B事件，B变为新的样本空间，其样本点具有等可能性，可计算p（A丨B）=1/3[2]。
其次可以渐渐引入公式法的计算，引入中可以借由题目使学生明白条件关系不单单只有实质条件关系，也可能为形式条件关系，以下题目为例：甲乙丙按顺序抽一张电影票，探究乙抽到电影票时甲抽到电影票的概率，此题目中事件B于事件A发生后发生，不可能影响事件A发生，因此AB间关系只为形式关系；除此之外，在不存在显明条件结构的条件概率中，其中的条件事件定为实质条件，以下题为例：某生物有0.7的概率存活至20岁，有0.56的概率存活至25岁，那么这种动物现已20岁，求活至25岁的概率，此题目中活到20岁为已知A事件，也是活到25岁的先决条件，根据条件概率的计算公式p（A丨B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8.
2.2界定概念要素和细节
在了解了条件概率的定义和基本公式后，需要进行概念的深挖掘，体会其中的细节内容，将概念掌握的更为牢固。此过程需要教师用更多的题目实例进行讲解，对不同类型的经典题目进行对比区分，确保学生完全掌握。
在解题中要避免望文生义，将辅加条件和题目核心条件相混淆，以下面的题目为例：甲乙两人同时加工120个零件，甲加工70个，其中65个正品，乙加工60个，其中50个正品，求任取一件样品为正品的概率，任取一件样品为甲生产正品的概率？同学在解题过程中可能会存在误区，认为已知是取到了一件正品，误以为甲生产正品的概率为p=65/115，然而忽略了文中说随机抽取一件样品，答案应当是p=65/120，这是学生在条件概率中非常容易犯的错误，主要是因为对题目的理解出现了偏差，教师在教导中应当将同类型的题目列举，使学生反复细心读题，剖析题目含义。
2.3变式练习和纠错练习
在解题中，可能会出现一些疑似条件或者干扰条件，我们将条件概率引入主要是为了在充分利用已知信息时，还能在现有条件中进行更为复杂的概率计算，因此一些变式练习有助于增强我们对于概率计算的了解；除此之外，眼过千遍不如手过一遍，并且数学的学习是一个反复练习的过程，增加纠错练习，可以使学生尽量减少出错率，在教学中，学生练习题目后老师对结果进行点评，指出学生计算失误之初，并教导其进行辨析，可安排学生准备纠错本，将错误的题目进行记录，反复练习，特别是对于屡次出错的题目，必须尤为关注，明晰出错的原因和正确的解题思路。
2.4挖掘深层内容
人在学习中就是对一个概念不断深化的过程，数学学习，尤其是“条件概率”的学习更是如此。再了解了简单知识后，教师不妨对授课内容进行深化，比如说以下题目：已知质点M在实数轴上的区间[0，5]内随机地跳动，设事件A={2}，事件B={2，3}，试研究事件A、B的***性。此题目明显比上文中提到的题目更为复杂，若通过几何概型的概率公式计算我们认为二者***，若根据B作为新的样本空间，其样本点具有等可能性，古典概型概率公式计算其不***，结果就变为矛盾结果，对此，教师必须明白须在条件概率p（A丨B）的定义中限定p（B）>0，当后续概率公式是由条件概率进行推导而来时[3]，必须规定相应的条件。在深层挖掘中，一部分学生可能受到基础限制，很难理解这部分内容，教师需要细心讲解，并且根据学生的情况改变教课的分配比，做到因材施教。
概率公式篇7
[关键词]贝叶斯分析 情报分析 贝叶斯定律
[分类号]G35
1 贝叶斯分析在情报分析中的应用现状
贝叶斯分析是统计学领域的贝叶斯定理在情报分析中的应用。贝叶斯分析的目的就是通过以往发生的事件的概率，推断未来某一事件发生的概率，即进行未来某一事件发生的预测。
采用贝叶斯分析这一情报分析工具不仅可以精确地估算出各种假设发生的概率，而且可以把大量的证据信息通过概率估算融合成高质量的情报结论，这可为用户提供重要的决策依据。因此，贝叶斯分析在情报分析中有着重要的理论意义和实践意义。鉴于此，本文将试***以案例研究为基础，探讨贝叶斯分析在情报分析中的应用。
尽管贝叶斯分析在情报分析领域有着上述重要的研究意义，但是目前关于贝叶斯分析在情报分析领域的应用研究尚不充分。尽管目前关于贝叶斯分析的学术研究文章有很多，典型代表有文献[1－5]，但这些文章仅是在数学领域研究和探讨了贝叶斯分析的基本原理、功能、过程、方法和应用，而没有将其移植、改进和挖掘到情报分析领域的应用研究。文献[6]是众多研究贝叶斯分析的学术研究文章中较少几篇研究贝叶斯分析在情报分析领域应用的文章之一，尽管如此，该文仅是进行了贝叶斯定理在情报分析领域应用中的过程描述，而没有详细、深入地进行贝叶斯定理在情报分析领域应用中的案例研究。因此，本文将以案例研究为主线，着重研究贝叶斯分析在情报分析中的应用。
2 贝叶斯分析的基本原理
2.1 贝叶斯定理的基本思想
该思想是由英国数学家马斯・贝叶斯提出的，具体内容为：虽然世界是不确定的，但如果已知以往事件发生的概率，那么根据数学方法就可以精确地、定量地计算出未来事件发生的概率。贝叶斯的这一思想和有关的公式算法，被人们称为贝叶斯定理。贝叶斯定理在基因工程、天气预报、经济预测等方面有着广泛的应用，特别是在情报分析领域中的情报预测作用更加明显。
2.2 贝叶斯分析的定理
预测的实质就是估算问题的每一种可能事件发生的概率，其本质就是对那些可以预测的事件给出发生的概率。因此，贝叶斯定理指出，对于那些可以预测的问题，各种可能性的概率都可以通过历史数据的统计计算得出。其具体的计算概率包括初始概率、似然比、后验概率，即先算出某一事件发生的初始概率值，在估算出该类事件发生的似然比并计算出该类事件发生的后验概率后，即可预测该类事件未来发生的概率，以完成对未来的情报预测。
2.3 贝叶斯分析的步骤
贝叶斯分析的基本操作步骤包括：建立假设群、估算初始概率p0(H)、建立证据列表{E}t、估计似然比PR、计算后验概率P(Hi|Ei)、持续监控。
3 贝叶斯分析在情报分析中的案例应用研究
贝叶斯分析的具体操作是运用贝叶斯定理对各种假设进行定量的概率估算，对假设群内的各个假设进行缜密的分析评估，并根据新增证据信息的变化随时更新分析结论，以实现对所获取的海量证据信息的真正融合。本文将通过案例来研究贝叶斯分析在情报分析中的应用步骤。
案例：新***府是否会继续支持生产***支?
某地区的武装***权长期支持有组织的生产***支的活动，并动用***权大肆向别国走私***支以换取外汇。然而，近期，该***权控制区发生了***并产生了新的***权。那么新***权是否会继续支持生产***支呢?本文将通过贝叶斯分析进行该类情报分析。
3.1 建立假设群
此步骤即为提出各种可能的假设，形成相互***的穷尽各种可能的假设群的步骤。
为了分析与预测出该类情报分析的结论，笔者组织相关情报专家进行摸底会议，会上提出了多种可能的结论，这些可能的结论可归纳为以下三种假设：
H1：代表假设1，即新***权已经彻底放弃生产***支的***策；
H2：代表假设2，即新***权将继续奉行生产***支的***策；
H3：代表假设3，即新***权将逐渐放弃生产***支的***策。
根据贝叶斯分析公式，此处H代表假设，{H}代表具有K个假设的假设群，即{H}=H1H2H3…Hk。
3.2 估算初始概率p0(H)
此步骤即情报分析人员根据贝叶斯分析公式，对所有假设赋予初始概率值p0(H)。
初始概率值p0(H)，是指在不参照任何概率的情况下，各假设发生的概率。因为在假设群中所有假设发生的概率之和等于1，其数学公式为：∑P0(H)1-k=1，因此，通常情况下，当没有任何明确的证据支持或反对任何一个假设时，这些假设发生的概率相等，这时每个假设的初始概率p0(H)=1／k。根据此公式，案例的H1、H2、H3的初始概率值均为0.33％，如表1所示：
3.3 建立证据列表{E}t
本步骤即是建立案例的相关证据列表。
证据列表是关于某项需证实的问题的相关证据的列表清单，该清单是按时间顺序排列的。贝叶斯分析公式要求用E代表证据，{E}t代表由第1项至第t项证据组成的证据列表，如表2所示：
情报分析人员根据进一步获得的关于“新***权是否会继续坚持生产***支的***策”的证据信息，建立案例的相关证据信息列表，如表3所示：
3.4 估计似然比PR
3.4.1 似然比的含义似然比是贝叶斯分析在情报分析应用中的核心概念。似然比描述了假设群{H}和某一证据E之间的关系，用数学语言表述为似然比PR=(当假设Hi成立时观察到的证据E的可能性)／(当假设H1成立时观察到的证据E的可能性)。即当假设Hi成立时观察到的证据E的可能性与当假设H1成立时观察到的证据E的可能性之间的比值就是似然比。
3.4.2 估测似然比的原因 之所以要估测似然比，是因为通过似然比可以直接发现情报人员所提供的原始情报中的非诊断性证据。通过这种方法，情报分析人员可以排除非诊断性证据，并为用户提供诊断性证据，以利于用户更准确地进行决策。非诊断性证据是情报分析中的一个术语，该类证据不能直接准确地支持某一类或某一个假设，而是支持所有的假设，对于这种不负责任的假设必须加以排除，才能确保某证据对某一类或某一个假设的准确支持。
3.4.3 似然比的估测步骤在贝叶斯分析中，似然比的估测步骤可以从第一时刻的证据E1开始。首先在假设1存在的情况下观察到t时刻的证据E1的概率相对数是1，然后再估计在假设2存在的情况下，观察到证据E1的概率相对数，以此类推，直到估计了所有假设成立的情况下，观察到证据E1的概率相对数。在此基础上，再对第二时刻的证据E2、第三时刻的证据E3分别进行似然比的估测。该过程通常可用似然比估测表来进行，如表4所示：
3.4.4 案例的似然比估测
根据上述贝叶斯似然比的含义和贝叶斯似然比的估测步骤，对案例的似然比进行估测，并建立估测表。
首先对于第一个证据“新***权领导人向媒体透漏，将放弃生产***支的***策”进行似然比估测。情报分析人员假设：在新***权彻底放弃生产***支***策(假设1)的前提下，新***权愿意放弃生产***支这一经济***策的可能性为1。依据这一参照，情报分析人员通过集体评估认为，新***权在继续奉行生产***支这一经济***策的前提下(假设2)，新***权表态放弃生产***支的经济***策的可能性为0.7；在新***权逐渐放弃生产***支这一经济***策的前提下(假设3)，新***权领导人表态放弃生产***支这一经济***策的可能性为1。按照这种估测方式，情报分析人员对案例1其余的8组证据进行似然比估测，得出案例1的似然比估测表，如表5所示：
3.5 通过贝叶斯公式计算后验概率P(Hi|Et)
利用贝叶斯公式及原理进行情报分析的目的就是要对某一事件进行情报预测，而预测的实质就是要计算出每种问题的每种可能事件的发生概率。因此，进行这种情报预测，不仅要进行各种假设，搜集与这种假设相关的一系列证据，估测似然比，而且要计算出各种假设发生的概率，便于用户进行情报决策。
鉴于此，本步骤利用贝叶斯公式及原理，在建立假设群、搜集相关证据、估测似然比的基础上，计算每种假设发生的概率，以便预测某事件即将发生的概率，这一概率用数学公式表述为后验概率P(Hi|Ei)，其计算公式为：
P(Hi|Et)=P(Hi|Et-1)／∑j[P(Hj|Et-1)，PRtj] (1)
当t=1时，P(Hi|Et-1)=P0(Hi)
公式(1)中，Hi代表假设群中第i个假设，P(Hi|Et)代表t时刻观察到证据E1情况下，假设Hi的概率。Hj代表从Hi到Hk的各种假设。PRtj代表根据证据Ei估测的假设Hj相对于假设Hj的似然比。∑j代表对括号内所有公式计算后从第1到第K个计算结果的加总。P0(Hi)表示假设Hi的初始概率。
公式(1)的具体使用步骤为：依据每个假设的初始概率P0(H)和证据E1的似然比，通过贝叶斯的上述公式(1)，计算出时刻1的各种假设的最新概率P1(H)，这一新的概率是在考虑了证据E1的情况下，对初始概率的调整和更新。在此基础上，情报分析人员可以根据时刻1的概率P1(H)和证据E2的似然比，再通过公式(1)计算得到各种假设在时刻2的最新概率P2(H)。以此类推，情报分析人员可以将所有观察到的证据的似然比逐步纳入上述计算过程，不断对假设的概率进行更新。每当收集到新的证据，都可以估算出该证据的似然比，并依据上一轮计算得到的假设概率，计算出各假设在当前时刻的最新概率，这一最新概率即为贝叶斯分析的阶段性结论，如表6所示：
根据本文贝叶斯分析步骤2获得的初始概率、步骤4获得的似然比、步骤5的贝叶斯后验概率的计算公式和计算表，即可算出案例的三个假设的后验概率，如表7所示：
从表7中可以看出，案例的贝叶斯分析的阶段性结论为：新***权已经彻底放弃生产***支经济***策(假设1)的阶段性最新后验概率为0.11，新***权将继续奉行生产***支经济***策(假设2)的阶段性最新后验概率为0.01，新***权将逐渐放弃生产***支经济***策(假设3)的阶段性最新后验概率为0.88。这说明，情报分析得出的阶段性结果是新***权将采取逐渐放弃生产***支的经济***策。得出上述阶段性的结果，并不是贝叶斯分析的最终目的，贝叶斯分析的最终目的是要对该***权所采取的未来经济***策进行预测，因此，下一步就要对该***权所采取的经济***策进行持续监控。
3.6 持续监控
贝叶斯分析是个动态的情报分析过程，当最新的一个证据Et的后验概率估测完毕之后，还可以通过下一个出现的新证据进一步监控该类情报的下一步发展动态。本文通过将案例新出现的事件证据纳入贝叶斯分析步骤3的证据列表中，并通过贝叶斯分析步骤4和5，再次估算出案例假设群的最新概率，以便持续监控该类情报的新动态，如表8所示：
案例出现的新事件内容为：情报机构通过9月10日的情报交流又进一步获悉，新***权试***以制造烟花炮仗为由进口大量的火药，而当地并无大型的烟花制造厂。
情报分析人员以此新事件作为证据E10并对相应的假设概率进行了更新，完成了对该类情报的持续监控(见表8)。从表8中可以看出，新***权已经彻底放弃生产***支经济***策(假设1)的最新后验概率为0.08，新***权将继续奉行生产***支经济***策(假设2)的最新后验概率为0.01，新***权将逐渐放弃生产***支经济***策(假设3)的最新后验概率为0.92。由此可以得出情报分析结论，即新***权未来的经济***策则是采取逐渐放弃生产***支经济***策的形式。
4 结论
总之，在情报分析中不能像神话中的先知那样进行某一事件是否发生的预言，而应科学地预测某一事件该如何发生。目前，关于情报分析中的科学预测方法有很多种，本文是在案例分析的基础上着重研究贝叶斯分析在情报分析中的原理应用、预测功能及应用步骤。本文没有将重点放在贝叶斯分析公式的原理形成和公式推导过程等数学原理上，而是以独特的视角从实际出发，重点研究了贝叶斯原理及公式在案例情报分析中的实际应用，通过估测案例的初始概率、估算似然比、计算后验概率的科学方式，科学地进行了案例的情报分析和预测。
参考文献：
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概率公式篇8
概率论与数学分析是数学的两个不同分支,数学分析是确定性数学的典型代表,概率论则是随机数学的典型代表。由于两者所研宄的方向不同，故它们的发展道路大相径庭,但是在各自的发展过程中二者却又紧密地结合在一起,数学分析的发展为概率论奠定了基础，而概率论中随机性、反因果论也逐渐滲透到数学分析当中，推动着数学分析的发展。研宄概率论与数学分析两者之间的相互关系，并寻绎概率论在解决数学分析中某些比较困难的问题的方法、思想，是很有意义的。
数学分析对概率论的渗透与推动
1933年，苏俄数学家柯尔莫哥洛夫以集合论、测度论为依据，导入了概率论的公理化体系，概率论得以迅猛发展,在其迅猛发展的道路上，数学分析的思想与方法随处可见。
1.1集合论与概率论的公理化体系
由于数学的研究对象一般都是具有某种性质或结构。世纪数学分析的严密化过程当中培育出来的，两者之间是源和流的关系；又由于勒贝格积分建立了集合论与测度论的联系，进而形成了概率论的公理化体系；因而集合论对概率论的滲透，可视为微积分对概率论的一次较有力的推动。
数学分析中主要有黎曼积分和勒贝格积分两种。黎曼积分处理性质良好的函数时得心应手,但对于级数、多元函数、积分与极限交换次序等较为棘手的问题时，常常比较困难。勒贝格积分的出现,使黎曼积分遇到的难题迎刃而解,微积分随之进化到了实变函数论的新阶段。有了勒贝格积分理论以后,集合测度与事件概率之间的相似性便显示出来了。不仅如此,测度论中的几乎处处收敛与依测度收敛,实质上就是弱大数定律与强大数定律中的收敛。1933年,苏俄数学家柯尔莫哥洛夫，建立了在测度论基础上的概率论的公理化体系2,统一了原先概率的古典定义、几何定义及频率定义纷争不一的局面。他建立的公理化体系，具备了***性、无矛盾性、完备性的公理化特征,确定了事件与集合、概率与测度的关系，使集合论加盟概率论。概率论在坚实的公理化基础上，已成为一门严格的演绎科学,取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。
1.2傅立叶变换与特征函数傅立叶级数是数学分析中十分有效的工具。事实上，不仅是傅立叶级数,还有傅立叶积分、傅立叶变换等等也都是数学分析中的重要工具。它们除了在数学分析领域内发挥着重要的作用之外，也已滲透到了概率论领域当中。其中，把傅立叶变换应用于分布函数或密度函数，就产生了所谓的“特征函数”于是，对于处理***随机变量和与随机变量序列的问题,就显得十分方便了。
在数学分析中有如下定理：
正是由于概率论运用了傅立叶变换的这些相关知识，构造和引进了特征函数,使多维随机变量分布、极限分布研宄更便捷,从而把概率论的理论研宄推进一个崭新的阶段。1.3雅可比行列式与随机变量函数的分布在数学分析当中，我们所接触的函数大多是显函数，但除了显函数外，也常会遇到另一种形式的函数一隐函数,尤其是隐函数组。为了确定所给方程组的隐函数组是否存在,德国数学家雅可比在偏微分方程的研宄中，引进了“雅可比行列式”对此问题给予了解决。同样，在概率论中，应用雅可比行列式J,可以一下子解决多维随机变量（X,)的函数zU,)的概率分布问题。
1.4同阶数量级与极限定理大数定律与中心极限定理是概率论研宄的中心问题，
也是数理统计中的理论基础。由于两者讨论的都是随机变量序列的极限问题,这与数学分析中的数列极限、函数列极限极为相似且联系十分密切，因此,对于数学分析中的同阶数量级方法在解决概率论的大数定律与中心极限定理的有关问题中同样是适用的。
1.5函数与随机变量、分布函数
函数是数学分析中最基本的概念之一，当它被引入概率论领域以后,概率论中的许多问题便得到了简化，从而使概率论进入了一个崭新的阶段。
随机变量与分布函数是概率论中最为重要的两个概念,并且都是函数,其中，随机变量X为集函数，分布函数为实函数。在函数关系的对应下，随机事件先是被简化为集合，继之被简化为实数，随着样本空间转化为数集,概率相应地由集函数约化为实函数。以函数的观点衡量分布函数,分布函数的性质是十分良好的：单调有界、可积、几乎处处连续、几乎处处可导。此外，随机变量X的数字特征、概率密度与分布函数的关系、连续型随机变量X的概率计算等等，同样运用了微积分的现成成果。
随机变量与分布函数的导入,从理论上结束了概率的古典时代。概率论的公理化、体系化的动力源，不仅是集合论和测度论,更重要、更基本的,仍然是数学分析那一套理论。概率论形成体系后的快速发展,不妨视作概率论向着微积分的靠拢与回归。
尽管随机变量X的导入方式有一定的自由度，不具备唯一性;尽管随机变量X的取值需服从一定的概率分布;尽管分布函数可以视为集函数，可以描述任何种类的随机变量X的随机性质，但是在函数的范畴内，它们的本质是一致的，既然都是函数家族的成员，就具备了确定性和因果律。
综上可见,数学分析的思想方法，已经滲透到了概率论的各个方面。没有微积分的推动，就没有概率论的公理化与系统化,概率论就难以形成一门***的学科。
2概率方法在数学分析中的应用
从上可知,在数学分析的渗透与推动作用下，概率论得到了飞快地发展。与此同时，由于概率论本身所具有的特征,使得数学分析中某些比较困难的问题得以高效简捷性地解决。
2.1数学期望与不等式不等式是数学分析中的重要内容,在数学分析中不等式问题经常碰到,例如级数不等式、积分不等式等等。数学分析中可以使用多种方法进行证明这些不等式，可是证明起来却相当不容易。然而倘若巧妙地运用概率论中数学期望性质，数学分析中的不等式问题便可以很轻易地得到证明。
概率论中数学期望的性质：
2.2中心极限定理在数学分析中的特殊作用
概率论的中心极限定理为棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,林德贝格-勒维中心极限定理，林德贝格中心极限定理、李雅普诺夫中心极限定理[3]。这4个中心极限定理的建立不仅为概率论的发展开辟了广阔的前景，同时使概率论与数学分析保持着密切地联系。
概率公式篇9
关键词：概率论与数理统计 必要性 实践
中***分类号：G642 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.13.124
1 概率论与数理统计的定义和特征
概率论与数理统计是研究随机现象数据规律的一门课程，主要告诉人们如何有效地收集、整理和分析数据，对所观察的问题做出推断、预测，并能为未来提供合理决策和建议。在开设课程中，公安专业中一般需要半个学期，主要内容包括： 概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、参数估计和假设检验、回归分析等。
概率论与数理统计学科产生于17世纪，在20世纪得到了迅速的发展，成为了人类的重大科技成就之一。因此，概率与数理统计作为一门应用很强的学科，应具有其本身的特征，主要体现如下。
第一，概率论与数理统计的研究对象是随机现象。
依据事件的发生的可能性，人们把自然现象发成必然现象、不可能现象、随机现象。而概率论与数理统计的研究对象正是随机现象。随机现象是指，在一定的条件下，并不总是出现同一个结果的现象。从这个定义上看，随机现象的结果数应该是大于等于2个的，而到底出现哪一个，人们是不能提前得知的。
第二，概率论与数理统计是对数据的处理，具有较强的客观性。
数据是概率论与数理统计研究的原始材料。一切事物都是有质和量两个方面的，并且质和量紧密联系共同定义客观的事物。没有无质的量，也没有无量的质，质与量相伴相生。然而，在认识事物时，质与量却可以分开，对某一事物的研究，可以先单独研究数量，通过对数量的研究进而研究质。因此，对事物量的研究是人们认识事物的重要一方面。通过研究数据作为一个出发点，进而研究整个事物，是目前人们使用的最主要的研究方法之一。
第三，概率论与数理统计作为方***，是属于归纳法的。
概率论与数理统计是根据实验和调查，得到大量的个体，并对这些个体进行研究，然后加以总结，得出总体规律的。比如说，我们要证明等腰三角形的两底角相等，运用概率与数理统计的方法，就是我们要做出来许许多多，各式各样的等腰三角形，量一量底角，看有是否相等。然后根据这些有限的等腰三角形的两底角是否相等的情况，来推而广之所有的等腰三角形的两底角的情况。这就算概率论与数理统计的研究方法。
2 概率论与数理统计方法在公安工作中的应用
概率论与数理统计作为一种定量的分析手段，并不是要教会学生怎么求均值，求方差，而是要交给学生是一种思维的方式，解决问题的方式。
现结合公安实际工作来看下概率与数理统计思想是如何应用的。
例1 警力分配。根据一段时期内某个地点发生违法犯罪案件数量，来配备该地区的警务人员。
如下***，给出了某市四个区域在一年中每月任意4天发生案件数总和。
如上***所示，甲地和丁地将是重点防御区域，可以加大警力。
例2 以案发现场留下的脚印长度测算犯罪嫌疑人身高。侦查人员可以根据收集到的罪犯脚印长度，并按照公式：身高=脚印长度×6.88，估算出罪犯的身高。上述公式的得到就是应用了数理统计学中的二维随机变量的数学期望理论。
例3 依据罪犯留下的某一数字信息，排查嫌疑人。在犯罪现场勘查过程中，测得现场人左步长的若干数据，现又密取到某一嫌疑人左步长的若干数据，一般情况下，这两组数据不完全一样，那这个差距是如何造成的呢？[1]是偶然原因造成，还是根本就不是同一个人呢？能不能根据这两组不同的数据做出判断，即排除该嫌疑人，或者将该嫌疑人作为重点疑犯。这个时候就可以用概率轮与数理统计中的假设检验来解决这个问题。举例如下：
在某一案件犯罪现场测得左步步长的15个数据，分别为：77，76，75.5，74，75.5，74.5，73，79，79.5，79，78，77，77，77，76.5 （单位：厘米）。密取了嫌疑人左步长15个数据为：83.5，79.5，77.5，79.5，78，83.5，81，76.5，79.5，80，80.5，82，83，83，80.6 （单位：厘米）。
现场左步长与嫌疑人的左步长是否有显著差异？
取a=0.001
X≈76.6
Y≈80..5
|U|≈12.342
查统计表可得：U0.001=3.3
|U|>U0.001
所以，我们有99.9%的概率认为现场测得的步长与嫌疑人的步长不是同一个人的，因此，可将此嫌疑人排除。
例4 犯罪机理的研究。通过一元线性回归方法可以研究文化程度与犯罪率之间的关系。举例如下：
研究人们的文化水平与犯罪率之间的关系，随机抽选1000人作调查，得到数据如下：
通过统计软件很快得到y与x的关系：
Y = 4.42 ―0.319x
这个方程表明犯罪率（Y）与人们受教育年限（x）之间成负相关关系。式中4.42是表示人们受教育年限为零时犯罪率为4.42%，式中一0.319是表示人们受教育年限每增加1年时，犯罪率的平均减少值为0.3188%，也就是10000人中将减少30个人左右[1]。
通过上述例子，能够真切的感觉到，概率论与数理统计的方法虽不能够提供最正确的结论，但它能够使人们在可能出现多种结果的情况下，做出某种判断，而这种判断将你出错的可能性控制在最小的范围内。在公安工作中应用概率论与数理统计方法地方还有很多：比如依据指纹特征进行指纹识别；依据语言规律进行语言识别和语音识别；依据罪犯信息特征（如罪犯性别、年龄、职业等）的统计分析，发现犯罪规律；依据交通流量的统计，查找交通拥堵，进行道路改良或制定***策；依据消防火警和火灾的统计，发现分布规律，预测和防止火灾等等。
3 概率论与数理统计的学习与公安院校教育的关系
第一，概率论与数理统计的学习是公安专业很多课程学习的基础。
犯罪情报学、公安信息系统应用、计算机犯罪侦查、公安统计等课程跟概率与数理统计内容都有很大关系，数理统计作为这些课程的基础，有助于学生理解和学习公安专业的课程。
在新的学科门类中，公安技术学是在工学门类下的。概率与数理统计是工学学科必修的一门课程，也是支撑公安技术学专业课程的基础课。
第二，概率论与数理统计的学习有助于学生完成本科毕业论文。
在文章写作过程中，定性分析和定量分析是较为重要的研究方法，尤其是定量分析越来越受到人们的青睐。而概率论与数理统计方法正是定量分析的一部分。若学生在本科学习阶段，学会一两种简单的概率论与数理统计方法，比如回归分析、方差分析等的方法，有助于他们对问题的分析，以及毕业论文的完成。
第三，概率论与数理统计学习可以提高公务员考试成绩，有助于学生的就业。
学生的就业一直是学校、家长、学生关心的重点。在警察院校，毕业之后能去做警察，应该是一个学警最直接、最渴望的出路。要想成为警察现今最主要的途径就是考公务员，而在公务员考试试题中，涉及概率、统计的试题是相对较难的部分。若学生学过这些知识，那么这部分难点将不再是问题。
参考文献：
[1]熊允发.谈加强《数理统计》课程的必要性[J].中国人民公安大学学报，2006，（1）.
概率公式篇10
Key words: Pipe-Drinking-Water
Algorithm
Design-Second-Flow
摘要：本文概述了目前用于管道直饮水系统管网设计秒流量的三种算法：传统公式算法、改造传统公式算法和概率公式算法，并比较了这三种算法的计算结果，分析了其中原因。指出传统公式算法和改造传统公式算法都不适用于管道直饮水系统管网的计算，而概率公式算法是一种较为合适的方法。
关键词：管道直饮水 设计秒流量 算法
0 前言
设计秒流量的计算是管网水力计算的基础，设计秒流量计算正确才能保证整个系统的正常运行。设计秒流量计算偏大，就会导致管径偏大、水泵流量偏大，造成经济上的浪费；同时，管网中的流速偏小，容易导致细菌繁殖，微粒沉积。而如果设计秒流量过小，则会使所选管径过小，造成水头损失过高，浪费能量，严重时出现断流，不能保证用水可靠性。所以，选择一个正确的设计秒流量计算方法至关重要。
1．设计秒流量计算方法概述
目前，用于管道直饮水系统设计秒流量的计算方法大致有三种：
（1） 算法一（传统公式算法）
即采用建筑生活给水管道设计秒流量计算公式
取=1.02，=0.0045，公式（1）成为：
其中为设计秒流量（l/s），为当量总数，此公式为水工业工程设计手册《建筑和小区给水排水》[1]所采用。
（2） 算法二（改造传统公式算法）
根据1981年出版的《室内给排水工程》[2]，住宅生活用水秒不均匀系数与平均日用水量的关系为：
则
其中，为秒不均匀系数，为平均日用水量（m3/d）。
（3）算法三（概率公式算法）
关于概率公式算法，首先要引入一个重要概念——龙头使用概率。根据有关资料［3］，龙头使用概率可表示为：
——最高峰用水时龙头连续两次用水时间间隔（s）；
——期间龙头放水时间（s）。
有了龙头的使用概率之后，可以用概率统计的方法计算出同时用水龙头数量，个龙头额定流量之和便是管道设计秒流量。
、和可用以下方法计算得到。设用水高峰期为下班后的某个半小时内，且此时段内的放水时间均匀分布，则此时龙头的使用概率为：
——高峰期用水定额，l/s;
——管段负荷龙头总数；
——龙头负荷用水人数；取3.5~5人；
——饮水龙头额定流量，取0.05l/s；
由于目前还没有高峰期用水定额的有关标准，建议用日用水量的百分数表示。
可用二项式计算同时用水龙头数量 ：
——用水保证率，可取0.99。
则
（8）
2．三种计算方法的比较
以横坐标表示管道负荷龙头总数（个），纵坐标表示管段设计秒流量（l/s），以上三种计算方法的计算结果可用***1表示：
从***中可以看出，算法一比算法二的结果大得多，且随着管段负荷龙头数的增加，差距进一步加大；算法三则依龙头用水概率的不同出现多种结果。=0.10时，算法三的计算结果介于算法一与算法二之间，且随着管段负荷龙头数的增加，与算法一进一步接近，与算法二差距加大；=0.05时，算法三在曲线开始阶段小于算法二，当管段负荷龙头数³100时，算法三开始大于算法二。
总而言之，概率公式算法的曲线斜率大于另外两种算法，曲线增长速度比另两种算法大。随着管段负荷龙头数的增加，概率法计算值越来越接近传统公式法，改造传统公式法计算值则显得越来越小。并且可以看到，即使当量总数、最高日用水量相同时，概率算法也会有不同结果，也就是说，概率算法可以根据龙头的实际用水概率调整设计秒流量计算值。
转贴于 3．对三种算法的分析
算法一所用公式为，该公式目前是我国建筑给水系统设计秒流量的计算依据，但其适用性还没有在管道直饮水系统中得到证实。由于直饮水系统的用水量小、龙头数量少、水龙头流量小等特点，该公式不一定能适用，关于这点已有少文章做过论述[4、5]，此处不再赘述。
算法二所用公式的推导过程中用了一个非常重要的经验式，而此式本身就是从生活用水规律中推导出来的，在实际中很难满足，所以，此公式的结构、所用参数还需要在实践中进一步的完善。最早采用此公式的深圳某直饮水工程，至今开通时间还不到5年，已出现水阻明显偏大、供水量不足、水泵扬程不够的现象。
算法三则涉及的参数较多，反映了龙头额定流量、高峰期用水定额、高峰时段历时、用水保证率、管段负荷龙头数、龙头负荷用水人数、龙头放水的随机性、小区居住群体的组成等诸多因素，它能更全面、更广泛地反映瞬时高峰用水流量规律。至于算法的应用，可先确定龙头用水概率，再依靠电脑应用软件将曲线用公式表达出来，之后就可很方便地应用。广州近两年已完工工程及正施工工程，大多采用此计算方法（实际操作中比公式简单，加入了一些人为估计值，但缺乏理论根据），目前仍未发现有供水量不足的案例。
4．结语
管网的水力计算过程中设计秒流量的计算究竟选用哪一种算法、哪个计算公式是决定整个系统是否计算正确的基础，选用时勿必慎重。笔者认为，概率算法是一种较为合适的方法，它反映了影响高峰期流量的诸多因素，可以根据不同的用水习惯调整设计参数。由于目前没有直饮水高峰期用水定额的有关标准，此参数应根据实际用水情况进行统计得出，不同地区、面向不同层次的用户可采用不同的参数。
参考文献
1．水工业工程设计手册.建筑和小区给水排水[M].中国建筑工业出版社，2000.
2．高明远.室内给水排水工程[M].中国建筑工业出版社，1981.
3．邹平华等，生活给水及热水供应设计秒流量计算方法的研究，给水排水[J]，No.8，No.9，2000