学文网中学阶段的某些数学问题经常要进行分类讨论。引起分类讨论的原因有：1.由数学概念引起，如绝对值的概念、不等式的定义、直线与平面成的角、直线的倾斜角、两异面直线所成的角等；2.由数学运算引起的，如分式中分母不为零、开偶次方根被开方数非负、对数中真数与底数的要求、指数运算中底数的要求等；3.由函数的性质、定理、公式的限制引起的；4.由***形的位置和形状的不确定性引起的；5.由参数的变化引起的。
解决数学中分类讨论问题的关键在于将整体问题化为局部问题解决，因为为局部问题后相应地增加了题设条件。
解决分类讨论问题的步骤：
1.确定分类讨论的对象，针对哪个参数进行分类讨论；
2.对要讨论的对象进行合理的分类，分类的标准一经确定不能更改，分类要做到不重复、不遗漏、不越级；
3.分清别后逐类解决；
4.最后将各类情况总结归纳。
下面笔者从四个方面浅谈数学中的分类讨论。
一、对问题中的变量或参数进行分类讨论
例1：解关于x的不等式x2-(a+a2)x+a3＞0(a∈R)
解：不等式x2-(a+a2)x+a3＞0(x-a)(x-a2)＞0
当a＞a2，即0＜a＜1时，原不等式解集是{x|x＜a2或x＞a}
当a=a2时，即a=0或a=1时，
（1）若a=0，则原不等式x2＞0{x|x＞0}
（2）若a=1，则原不等式(x-1)2＞0{x|x≠1}
当a＜a2时，即a＜0或a＞1时，则原不等式解集是{x|x＜a或x＞a2}
综合可知：当a＜0或a＞1时原不等式解集是{x|x＜a或x＞a2}
当0＜a＜1时，原不等式解集是：{x|x＜a2或x＞a}
例2：已知不等式mx2+mx+2＞0对一切实数x恒成立，试确定实数m的取值范围.
解：(1)当m≠0时
mx2+mx+2＞0对一切实数x恒成立的充要条件是：
0＜m＜0
例3：已知函数***像经过点(0，1)， (，1)且x∈[0，]时，恒成立，试求实数a的取值范围。
解：***像过（0，1）和（，1），
，
b=c=1
x∈[0，]
从而的取值范围与1-a的符号有关，应讨论如下：
(1)当1-a≥0时，即a≤1时，1≤≤a+，
（2）当a＞1时，
综合（1）（2）可知：
实数a的取值范围是[]
二、问题给出的条件是分类的，解答时要进行分类讨论
例4：已知数列{an}的前n项和Sn=32n-n2，求数列{|an|}前n项和Pn
解：Sn=32n-n2，
an=Sn-Sn-1（n≥2），a1=S1=31
an=33n-2n2（n≥1）
当n≤16时，an≥0，当n＞16时，an＜0
当n≤16时
Pn=a1+a2+a3+……+an=32-n2
当n＞16时
Pn=（a1+a2+a3+……+an）-（a17+a18+a19+……+an）
=S16-（Sn-S16）
=2S16-Sn
=2（32×16-162）-（32-n2）
=512-32n+n2
综上可知：
例5，设函数，若且，试证明
证：，由的单调性可知：
又
由（1）（2）综合可知：
从而
当时，由（2）可知：
当时，由得
综合以上两方面可知：
三、解题过程不能统一叙述，必须进行分类讨论
例6：已知函数，其中，求该函数的定义域.
解：要使该函数有意义，则有：
当时，即时，或
当时，即时，
当时，即时，
综合所述函数的定义域：
当时为R；
当m=1为（，1）（1，）；
当时为（，）（1+，）
例7：已知在R上为减函数，求实数a的取值范围。
(1)当时，在R上为减函数
即，
即时，在R上为减函数
(2)时，
由在R上是减函数及函数变换可知：当时，在R上位减函数。
(3)当时，，在R上存在一个区间使得
①当时，时 为增函数。
②当时，，显然不是减函数.
③当时，，
或时为增函数.
综上所述当时在R上位减函数。
四、有关几何问题中元素的形状、位置变化的必须进行分类讨论
例8：动圆与定圆，直线都相切，动圆圆心轨迹是什么曲线？
解：设定圆：x2+y2=r2，圆心为0，定直线x=a，动圆圆心为M（x，y）半径R
（1）当动圆与定圆外切时：
又动圆与直线x=a外切，则R=a-x
，化简得：
即：
若a=-r，则y=0，此时动圆圆心轨迹为射线，该射线落在x轴上，端点(-r，0)方向向左，射线方程：y=0，(x＜a)
若a≠-r时，此时动圆圆心轨迹抛物线，
方程：
(2) 当动圆与定圆内时：
又动圆与直线x=a外切 ，则R=a-x
，
即：
若a=r时y=0，此时动圆圆心轨迹为射线
若a≠r时，此时动圆圆心轨迹抛物线，
方程：
综合可知：
当a＞r即定直线与圆相离时，动圆圆心轨迹为两条抛物线
当时，即定直线与定圆相切时，动圆圆心轨迹为一条抛物线和两条射线
当a＜r时，而定直线与定圆相交时，动圆圆心轨迹为两条抛物线。
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