学文网摘要：极限是高等数学的一个重要概念，文章给出八种求极限的方法，将复杂的求极限问题具体化，为微积分学打下坚实的基础。
关键词：初等函数 连续性 有界函数 等价无穷小 罗比达法则
极限是数学中的重要部分，极限思想不仅在数学中，在许多相关科学中都会用到，极限是微积分的灵魂，只有理解这一概念，才能领会微积分的实质。
求数列极限与函数极限是数学分析中最难的部分，在求极限过程中，应注意使用这些方法的条件，以防出错。下面给出几种求函数和数列极限的方法（以函数为主）。
一、利用初等函数的连续性求极限
由于初等函数在定义域内都连续，因此，就可以利用连续性的定义：设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f（x）当xx0时的极限存在，且等于它在x0处的函数值f（x0），即xx0 f（x）f（x0）那么，就称函数f（x0）在点x0连续。如，求函数y=sinx在x=0的极限，由于y=sinx在x=0连续，故x0时ysin0即x0是y0。
二、利用极限四则运算法则求极限
在自变量的同一变化过程中，如果函数f（x）和g（x）的极限都存在，那么它们和、差、积、商（求商时分母的极限不等于零）的极限等于它们极限的和、差、积、商。
三、利用两个重要极限
当X0时，sinx?筑x1。当x∞时（1?筑1?筑x）xe。[注意它的变形，当x0时，（1+x）1?筑xe]利用这两个公式时，要会变形，这点很重要。如求函数y=sin3x?筑x在x=０的极限，可以先将y=sin3x?筑x变形为y=sin3x?筑3x，先求sin3x?筑3x在x=0的极限为1，然后乘以3，故结果为3。如求函数y=（3x+4?筑3x-1）x+1在x∞时的极限，可以先将y=（3x+4?筑3x+1）x+1变形为y=（1+5?筑3x+1）x+1=（1+1?筑3x+1?筑5）x+1=（1+1／3x+1／5）（3x+1?筑5）5?筑3+2?筑3，然后就可得出结果为e5?筑3。
四、利用有界变量与无穷小的乘积仍为无穷小求极限
在自变量的同一变化过程中，函数f（x）的极限为零，则称f（x）为自变量在此变化过程中的无穷小量（简称无穷小）。如求y=xsin1?筑x在x0时的极限，因为y=sin1?筑x是一有界函数，它大于等于-1，小于等于1，而x0时，y=x0，显然是这一过程中的一个无穷小，故y=xsinl?筑x在x一0时的极限为零。在求这一题时，如果考虑不到的话，会得出这样的错误结论：y=sin1?筑x在x0时极限不存在，故x0时，y=xsin1?筑x的极限不存在。
五、利用等价无穷小替换求极限
在自变量的同一变化过程中，如果y=f（x）与y=g（x）的极限都为零，并且f（x）?筑g（x）的极限为1，那么称f（x）与g（x）是等价无穷小，记作f（x）～g（x）。利用这一法则可以大大减少运算量，简单明了。常用的等价无穷小有sinx～x，tanx～x，arcsinx～x，1n（1+x）～x，ex-1～x，1-cosx～x2?筑2．这几个等价无穷小成立的前提都是x0．如求y=arcsinx?筑x在x0时的极限，就可以将arcsinx直接换成x，原式变成y=x?筑x，即y=l，故极限为1。
六、利用恒等变形化简表达式求极限
如果遇到数学式比较复杂时，就要先化简，然后再求极限。
七、利用极限存在准则求极限
（1）如果函数f（x），g（x），h（x）满足下列条件：①当x∈U（x0，r）或｜x｜>X时，有g（x）≤f（x）≤h（x）②在自变量的同一变化过程中，g（x）与h（x）的极限存在且都等于A，那么f（x）的极限存在，且等于Ａ。
（2）如果数列{xn}满足条件x1≤x2≤…≤xn≤xn+l≤……，则称数列{xn}是单调增加的；如果数列{xn}满足条件x1?燮x2?燮……?燮xn?燮xn+l ?燮……，则称数列{xn}是单调减少的，单调增加或单调减少的数列简称单调数列，单调有界数列必收敛，这就是单调有界收敛准则。
八、利用罗比达法则求极限
设函数f（x），g（x）满足：（1）xa时，f（x）0，xa时，g（x）0；（2）在点a的某去心邻域内，f′（x）与g′，（x）存在且g′（x）≠0，（3）xa时，f′（x）?筑g′（x）存在或为无穷大，则xa时f（x）?筑g（x）存在或为无穷大，且xa时，f（x）?筑g（x）与f′（x）?筑g′（x）的极限存在且相等（在x∞时，上面结论仍然成立）。如求y=lnx?筑xn（n>0）在x∞时的极限，由罗比达法则，得lnx?筑x与（1nx）′?筑（xn）′的极限相等，而后者的极限很容易求出为零，故结果为零。有了罗比达法则，原来遇到的较难的0?筑0型求极限的内容就变得简单了。
同样，如果遇到的是数列求极限，上面的二到六的法则都能对应使用。只不过是将函数变成数列就行。从上面的方法可以得出，在求极限时，如果遇到0?筑0型，最好用等价无穷小最简单，其次考虑看是否满足罗比达法则，能的话，用罗比达法则。如果遇到的是分子与分母都是多项式（在x∞时），注意这时分子分母的极限都不存在，因此，先将分子与分母同除以x的最高次方，变形成极限存在的情况，然后得出结论，再总结结论：分子的最高次方大于分母的最高次方，极限为无穷大；分子的最高次方等于分母的最高次方，极限等于最高次方前面的系数比；分子的最高次方小于分母的最高次方，极限为零。以后遇到这种情况直接使用结论即可。
会求函数的极限后，后面的微积分部分使用的仍然是这种思路，用极限得出定积分的概念，而求不规则***形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，变力沿直线所作的功都要用定积分来解决。又由微积分基本定理将求定积分转化成用不定积分来计算，这样几何、物理、经济等各个领域的许多问题都可以用定积分予以解决。
作者单位：
山西省农业机械化学校