学文网摘 要 引入了可处理缺失数据的EM算法。EM算法是一种迭代算法，每一次迭代都能保证似然函数值增加，并且收敛到一个局部极大值。在此基础上，本文也给出了推广的几种EM算法。
关键词 EM算法 ECM算法 ECME算法 MCEC算法
中***分类号：O212.1 文献标识码：A
0前言
EM 算法是 Dempster Laind，Rubin 于 1977 年提出的求参数极大似然估计的一种方法，它可以从非完整数据集中对参数进行 MLE 估计，是一种非常简单实用的学习算法。这种方法可以广泛地应用于处理缺损数据，截尾数据，带有噪声等所谓的不完全数据。本文主要说明了EM算法的基本原理及其应用，再针对它的加速收敛性引出了推广的几种EM算法，或称为广义的EM算法。
1 EM算法原理及其应用
1.1 EM算法的思想及步骤
EM算法的每一次迭代有两步组成：E步（求期望） 和M步（极大化）。一般的，以p（ |Y） 表示 的基于观测数据的后验分布密度函数，称为观测后验分布， p（ |Y，Z） 表示添加数据Z后得到的关于 的后验分布密度函数，称为添加后验分布，p（Z| ，Y） 表示在给定 和观测数据Y下潜在数据Z的条件分布密度函数。我们的目的是计算观测后验分布p（ |Y） 的众数，于是，EM算法如下进行。
E步：将p（ |Y，Z） log p（ |Y，Z）关于Z的条件分布求期望，从而把Z积掉，即
Q（（ | （i），Y）EZ[log p （ | Y， Z） | （i），Y （1）
M步：将Q（（ | （i），Y）极大化，即找一个点 （i+1）使
Q（（ | （i），Y）=Q（（ | （i），Y） （2）
如此形成了一次迭代 （i） （i+1）。将上述E步和M步进行迭代直至|| （i+1） （i）||或||Q（ （i+1）| （i），Y） Q（ （i）| （i），Y）||充分小时停止。
1.2 EM算法的优缺点
EM算法是一种求参数极大似然估计的迭代算法，在处理不完全数据中有重要应用。EM算法实现简单，数值计算稳定，存储量小，并具有良好的全局收敛性。但是，EM算法收敛速度相当慢，只是次线性的收敛速度，这个缺点防碍了EM算法的应用。现已提出了多种加速EM算法收敛的方法。
2 推广的几种EM算法
2.1 ECM算法
EM 算法流行的原因有二：其一，M 步仅涉及完全数据极大似然，通常计算比较简单；其二，它的收敛是稳定的，因为每次迭代似然函数是不断增加的。但是如果完全数据对数似然的估计本身比较复杂时，EM 算法就不再有吸引力了，因此Meng 和Rubin （1993） 提出了 ECM 算法，这种算法的基本思想是用一系列的计算更加简单的CM 步来代替一个复杂的 M 步。当M步没有显式的表达式时，CM步通常有显式的表达式。即使 CM 步没有显式的表达式 ，但 ECM 算法通常更加稳定，因为它的极大化是在更低维度（ dimension） 的参数空间中进行的。
2.2 ECME算法
这种方法是由Liu and Rubin（ 1994） 提出的，它是ECM算法的推广，在 ECM 算法中，CM 步是对完全数据对数似然函数的期望进行极大化。同样，可以把这种思想运用到观察数据对数似然上，也就是说，在CM 步上，可以考虑在一定的约束条件下，对对数似然函数进行极大化，因此就产生了ECME算法。
2.3 MCEM算法
而对于EM算法的E步，有时要获得期望的显式表示是不可能的，即使近似计算也很困难，这时用Monte Carlo方法来完成，就是所谓的MonteCarlo EM（MCEM） 方法。MCEM算法比较灵活，但是需要仔细选择模拟容量和确保正确的收敛性准则。我们可以通过增加迭代次数来提高模拟容量。除此以外，由于蒙特卡罗误差，该EM算法不具有单调性，难以估计其收敛性。
3结论
EM算法可以应用于医学研究中，尤其是临床医学中十分常见的一种数据观测形式为重复观测，其特点是在同一实验单位上进行多次重复观测，这个过程由于各种原因经常导致实验观测数据缺失。本文给出了EM算法的基本思想，并给出了几种推广的EM算法，其应用范围更加广泛。
参考文献
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