学文网摘 要： 极限是高等数学最重要的概念之一，也是研究变量数学的重要工具和分析方法，同时又是高等数学的主要运算――微分法和积分法的理论基础.其题型多变，方法灵活，技巧性强.本文用实例论述了求函数极限的几种常用方法，介绍了求极限的一些技巧.
关键词： 常见函数 极限 求解方法
极限论是数学分析的基础，它贯穿着整个数学分析，极限问题也是数学分析中的困难问题之一.求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的.对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法.在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧.
首先我们一起来回顾函数极限的定义：
极限的定义一：若当x无限变大时，恒有|f（x）-a|
极限的定义二：若当x无限接近x时，恒有|f（x）-a|
下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，简单概括一些常见函数的极限的求法和技巧，以期对学习者能有所帮助.
一、利用函数极限定义求极限
利用函数极限的定义及不等式证明方法，关键是找出和的函数表达式，满足函数极限定义中的要求.
例1:证明=2
证明:这里，函数在点x=1是没有定义的，但是函数当x1时的极限存在或不存在与它有没有定义并无关系.事实上，?坌ε>0，不等式|-2|
|x-1|
二、利用夹逼定理求极限
夹逼定理：若函数f（x）满足g（x）≤f（x）≤h（x），且g（x）=h（x）=a，则f（x）=a.
例2:求（++…+）
则根据夹逼定理可知：原式=1.
三、利用极限四则运算法则求极限
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式，以及适当的变量替换.如：
（1）约去零因式（此法适用于XX0时，型）
例3:求
解：原式==（x-3）=-1
（2）通分法（适用于∞-∞型）
例4:求（-）
解：原式===
（3）分子或分母有理化
例5:求
解：原式===
四、利用变量代换求极限
例6：求=1
解：下面的做法是错误的：
=（•）=1
错在用错了公式.公式=1，=1都是在X0时求极限，本例是xπ时求极限。正确的做法是设一个新变量，使新变量趋向于零，为此：令t=x-π，当xπ时，t0：==-1.
五、利用无穷小的性质求极限
无穷小量的性质：
1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；
2）无穷小量与有界量的乘积为无穷小量.
例7：求
解：==
在求乘除式极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变.
六、利用两个重要极限
两个重要极限公式为：
（1）=1
（2）（1+x）=e或（1+）=e，其中e是无理数，e≈2.718
七、利用拆项法求极限
八、利用洛比达法则求极限
以上求函数极限的方法是一些函数极限最基本且常用的求法，各种类型所采用的不同技巧必须熟练和灵活地掌握，除此之外，还可利用级数收敛性等方法来求极限.在不同的函数类型条件下所采用的技巧是各不相同的，因此大家要学会判断极限的类型，对于找到解决问题的方法是至关重要的.极限的求法虽有一定的规律可循，但也决不能死搬硬套，因为有的题目可能有多种解法，有的简单，有的复杂，因此只有在做题中不断总结、摸索，领悟题目的含义和各种方法的精髓，才能更好地掌握极限的求法.
参考文献：
［1］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［M］.北京:高等教育出版社，2002.
［2］华东师范大学数学系编.数学分析（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.
［3］盛祥耀.高等数学辅导［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［4］徐建平.高等数学习题精编［M］.上海:上海同济大学出版社，2000.
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