学文网摘 要：定义域是构成函数的两大要素之一，所谓定义域就是自变量使函数的对应法则成立的一切值所构成的实数集，或者称之为自变量的取值范围。定义域问题看似简单，然而还是有若干值得注意的地方，如果学生对此缺乏深刻而细致的理解，就会盲目地进行解题，导致不该发生的错误。笔者认为，这些问题在教学过程中当给予重视并加强对学生的引导。
关键词：函数；定义域；思维品质
思维品质是指个体思维活动特殊性的外部表现。它包括思维的严密性、思维的灵活性、思维的深刻性、思维的批判性和思维的敏捷性等品质。函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的两大要素之一，函数的定义域（或变量的允许值范围）看起来非常简单，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的。
一、自然定义域与人为给定的定义域
在初等数学中，我们所讨论的函数一般都是具有唯一的、明确的解析式的函数。解析式所给出的是函数的对应法则。按此法则，给定自变量X的一个值，可以求出所对应的函数值。然而，并非对于X的任何一个值都能这样，因为某个法则对于X的某些值可能是无意义的。例如，函数f（x）=，对于当x
第一，只要求在所规定的定义域范围内讨论函数，而不考虑x可能取值的其他地方。
第二，在实际问题中，自变量的取值已经受到限制。
二、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式。
解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：S=x（50-x），
故函数关系式为：S=x（50-x）。
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围，也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：0
这个例子说明：在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。
三、函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大（小）值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。
例2：求函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最值。
解：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-4=（x-1）2-4，
当x=1时，ymin=-4。
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
故本题还要继续做下去：
-2≤1≤5，
f（5）=52-2×5-3=12，
f（-2）=（-2）2-2×（-2）-3=-3，
f（x）max=max{f（-2），f（5）}=f（5）=12，
函数y=x2-2x-3在[-2，5]上的最小值是-4，最大值是12。
这个例子说明：在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
四、函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此，在求函数值域时应注意函数定义域。
剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞）上是增函数，所以当t=0时，ymin=1，故所求的函数值域是[1，+∞）。
以上例子说明：变量的允许值范围是何等重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。
五、函数单调性与定义域
函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随之增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。
例4：指出函数f（x）=log2（x2+2x）的单调区间。
解：先求定义域：
x2+2x>0，x>0或x
函数定义域为（-∞，-2）∪（0，+∞）。
令u=x2+2x，知在x∈（-∞，-2）上时，u为减函数，在x∈（0，+∞）上时，u为增函数。
又f（x）=log2u在[0，+∞）是增函数，
函数f（x）=log2（x2+2x）在（-∞，-2）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数。
即函数f（x）=log2（x2+2x）的单调递增区间是（0，+∞），单调递减区间是（-∞，-2）。
如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解。在做练习或作业时，只是对题型、套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。
六、函数奇偶性与定义域
判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。
例5：判断函数y=x3，x∈[-1，3]的奇偶性。
解：2∈[-1，3]而-2？埸[-1，3]，
定义域区间[-1，3]关于坐标原点不对称，
函数y=x3，x∈[-1，3]是非奇非偶函数。
若学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出学生解题思维的敏捷性。如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性就会得出如下错误结论：
f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x），
函数y=x3，x∈[-1，3]是奇函数。
错误剖析：以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成错误结论的原因。
综上所述，在求解函数关系式、最值（值域）、单调性、奇偶性等问题中，若能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变（指对定义域为R来说），对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生的思维能力，进而有利于培养学生思维的创造性。
参考文献：
1.王岳庭主编.数学教师的素质与中学生数学素质的培养论文集.北京：海洋出版社，1998.
2.田万海主编.数学教育学.浙江：浙江教育出版社，1993.
3.庄亚栋主编.高中数学教与学.扬州：中学数学教与学，1999.
（作者单位：甘肃省兰州市红古区窑街学校）
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