学文网摘 要：在函数的整体性质中，包括有函数的有界变差、一直连续性和绝对连续性。本文主要就绝对连续函数的基本含义，探讨绝对连续函数的性质，通过运用绝对函数的复合运算、四则运算和极限函数的绝对连续性。
关键词：绝对连续函数；积分公式；函数运算
绝对连续函数在L积分（Lebesgue积分）的理论中对Newton-Leibniz定理的推广，是十分重要的条件。Newton-Leibniz公式的成立，就是一个函数[f（x）]是一个Lebesgue可积函数的不定积分的充要条件就是[f（x）]为绝对连续函数。便可以得出，在数学分析中，比起Riemann积分，L积分对积分和微分的关系问题的揭示，向更远、更深入的方向前进了很多。
在连续函数的基础定义的原则下，本文就绝对连续函数的几个性质做进一步的探讨和研究，以证明绝对连续函数的复合运算与四则运算的绝对连续性。
一、基础定义
定义：假如[f（x）]是[a，b]上的有限函数，如果对任何ε大于0，存在δ大于0，使对[a，b]中任意有限个互不相交的开区间（ai，bi）（i=1，2…，n），只要
[i=1n（bi-ai）
所以[f（x）]是[a，b]里面的绝对连续函数。
命题 1 如果[f（x）]在[a，b]上可积，所以：
[f（x）=axf（t）dt]是[a，b]上的绝对连续函数。
命题 2 假设[f（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，那么[f（x）]在[a，b]上每个地方都可微，[f'（x）]在[a，b]上可积，并且
[f（x）-f（a）=axf'（t）dt]
便可以得知，在L积分中，Newton-Leibniz公式成立，意思是一个定义在[a，b]上的函数[f（x）]让[f（x）-f（a）=axf'（t）dt]成立的充要条件是[f（x）]为[a，b]的绝对连续函数。
二、绝对连续函数的性质
于是，可以证明：
定理 1：（i）如果[f（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，那么[f（x）]在[a，b]上能一致的连续；
（ii）如果[f（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，那么[f（x）]也是任何一个子区间[α.β][?][a，b]上的绝对连续函数；
（iii）如果a≤c≤b，[f（x）]分别是[a，b]与[c，d]上的绝对连续函数，那么[f（x）]是[a，b]上的绝对连续函数；
（iv）假设[f（x）]为[a，b]上的绝对连续函数，那么|[f（x）]|也是[a，b]上的绝对连续函数。
定理 2 （i）如果[f（x）]，[g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，那么对任意常数α，β，α[f（x）]+β[g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数；
（ii）如果α，β，α[f（x）]+β[g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，那么[f（x）]，[g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数；
（iii）如果在[a，b]上[g（x）]不等于0，那么[f（x）g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数。
证明 （ii）和（iii）：
因为[f（x）]，[g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，所以|[f（x）]|，|[g（x）]|在[a，b]上存在着最大值，假如它的最大值分别是M，N，则可以根据|[f（bi）][g（bi）]-[f（ai）][g（ai）]|[≤]M |[g（bi）]-[g（ai）]|+N |[f（bi）]-[f（ai）]| 其中（ai，bi）[?][a，b]，则[f（x）][g（x）]在[a，b]上的绝对连续。
假如|[g（x）]|在[a，b]上的最小值为K，因为，在[a，b]上[g（x）]不等于0，所以K大于0，所以
[|1g（bi）-1g（ai）|≤1k2|g（bi）-g（ai）|]
由于[1g（x）]在[a，b]上绝对连续，所以可以得知[f（x）g（x）]在[a，b]上绝对联系。
从（i）可以得出，[a，b]上绝对连续函数的全体构成一个线性空间。
定理 3 如果[f（x）]是[c，d]上的绝对连续函数，[g（t）]是[a，b]上的绝对连续函数，并且[g]（[a，b]）[?][c，d]，如果[g（t）]在[a，b]上单调，那么[f（g（t））]是[a，b]上的绝对连续函数。
证明：因为[f（x）]在[c，d]上绝对连续，所以任给ε大于0，存在ζ大于0，所以当[c，d]中任意有限个互不相交开区间（ci，di）（i=1，2…，m）满足
[i=1m（di-ci）
又因为[g（t）]在[a，b]上绝对连续，所以对ζ大于0，存在δ大于0，所以，当[a，b]中任意有限个互不相交的开区间（ai，bi）（i=1，2…，m）满足
[i=1m（bi-ai）
由于[g（t）]在[a，b]上单调，所以[（g（ai），g（bi））]（i=1，2…，m）为[c，d]中有限个互不相交的开区间，于是有[i=1n|f（g（bi））-f（g（ai））|
三、Lebesgue积分的分部积分与环元积分公式
定理 4 假如[f（x）]，[g（x）]是[a，b]上的绝对连续函数，则[abf（x）g'（x）dx=f（x）g（x）|ba-abg（x）f'（x）dx]
证明：根据定理 2 的（ii）得出，[f（x）]・[g（x）]在[a，b]上绝对连续，再根据命题 2 得出：
[f（b）?g（b）-f（a）?g（a）=ab[f（x）g（x）]'dx=abf'（x）g（x）dx+abf（x）g'（x）dx]
定理5 假如[f（x）]在[c，d]上可积，[g（t）]是[a，b]上的绝对连续函数，并且[g（[a，b]）?[c，d]]，如果[g（t）]在[a，b]上单调，那么[g（α）g（β）f（x）dx=αβf（g（t））g'（t）dt] [α，β∈][a，b]，证明：假设[f（x）=cxf（u）du]
从命题 1 可以得出，[f（x）]在[c，d]上绝对连续，在从定理 3 得出，[F（g（t））]在[a，b]上绝对连续，便可以从命题 2 中得出：
[F（g（β））-F（g（α））=g（α）g（β）f（x）dx=αβf（g（t））g'（t）dt]
参考文献：
[1]董立华. 关于绝对连续函数一些性质的讨论[J].枣庄学院学报，2011，02：25-28.
[2]李龙星. 绝对连续函数的几个性质[J]. 洛阳工业高等专科学校学报，1995，01：4-6.
[3]张永锋. 绝对连续的一些性质[J]. 咸阳师范学院学报，2003，06：21-23.
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