学文网摘要：压缩映射原理对泛函分析理论的发展起着重要的作用，本文介绍了压缩映像原理的证明，并在此基础上阐释了该原理在解决数列收敛、隐函数存在、微分方程解的唯一存在性三方面的应用。
关键词：压缩映射 度量空间 收敛 存在性 唯一性
引言
压缩映射原理就是解决某类映射不动点的存在性和唯一性的问题，这些不动点可以由迭代序列求出。我们首先会介绍压缩映射原理（亦被称为Banach），在此基础上，会进一步介绍利用压缩映射原理求解数学分析中数列的收敛性、隐函数存在性、微分方程解的存在唯一性的问题。
1. 定义
1.1.压缩映射
1.1.1.
设T是度量空间X到X中的映射，如果对任意的 ，都有
（0
1.1.2.几何意义
压缩映射即点x和点y经过映射T后，它们像的距离缩短了。
1.2.不动点
设T是度量空间X到X中的映射，如果有 ，使得
则称 为映射的一个不动点。
2. Banach压缩映射原理
设 是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映射，则T有唯一的不动点，即存在唯一的 ，使得 .
证明：（思路：利用迭代序列，先证其为Cauchy点列即任意的 >0，存在正整数N=N（ ），当n，m>N时有
，
再证x是不动点即 ，最后证明该点的唯一性即设 有 使得 ）
任取x0 ，令x1=T x0，x2=T x1，… ，xn=T xn-1
先考虑相邻两点的距离
再考虑任意两点间的距离n>m
是Cauchy点列
X是完备度量空间
，使得
x是不动点
若还有 ，使得 则
不动点存在且唯一
3. 压缩映像原理的应用
3.1.数列收敛性
3.1.1.定理
设 是 上的一个压缩系数为k（0
证明：（利用压缩映像的定义）
， n，
（ ， ）
取
， n，
数列 收敛
3.1.2.例题
3.1.2.1.
设 ， ，n=1，2，…证明数列 收敛。
证明：
显然 ，
是压缩映像
由压缩映像原理知 收敛
3.1.2.2.
设 ， ，n=1，2，…证明数列 收敛.
证明：
是压缩映像
由压缩映像原理知 收敛
3.2.隐函数存在定理
设 在带状区域 上处处连续，处处有关于y的偏导数 ，且如果存在常数m，M，适合 ，则方程 =0在闭区间 上有唯一的连续函数 ，使得
证明：（思路：空间 映射 压缩 定理）
在 中考虑映射 ，对任意 ，由连续函数的运算性质有
T是 到 的一个映射
任取 ， ，由微分中值定理，存在0
则0
，0
映照T是压缩的
由Banach压缩映射原理， 上有唯一的不动点 使得
显然这个不动点 适合
3.3.微分方程解的存在唯一性定理
设 在矩形 连续，设 ， ，又 在R上关于x满足Lipschitz条件（即存在常数k，使得对任意的 ， 有 ）， 在区间 （ ）上有唯一的满足初始条件 的连续函数解.
证明：（思路同隐函数存在定理）
设 表示在区间 上的连续函数全体，
对 成完备度量空间。又令 表示 中满足条件 （ ）的连续函数的全体组成的子空间。
闭 是完备度量空间
令映射
，如果 ，当 时， ，而 是R上二元连续函数
积分在映射中有意义
又 对一切
T是 到 的一个映射
由Lipschitz条件，对 中的任意两点x（t），v（t）有
令 ，则由 ，有0
T是压缩的
由Banach压缩映像定理，T在 中由唯一的不动点（即 ，使得 即 且 ）
即x（t）是满足初值条件的连续解
假设 也是 满足初值条件的连续解，则 ，
T的不动点是唯一的
有唯一解
参考文献：
[1]夏道行，严绍宗，吴卓人，舒五昌：实变函数论与泛函分析[M]（下），1985；
[2]郑维行，王声望：实变函数与泛函分析概要[M]（第二册），1980；
[3]关肇直，张恭庆，冯德兴：线性泛函入门[M]，1979；
[4]叶怀安，《泛函分析》[M]，安徽教育出版社，1984。
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