学文网摘 要 本文介绍了负数在中、西方的起源及其发展过程中各自的特点，指明了中、西方在负数定义上时间跨度大，定义的方式方法也存在很大差异，进而分析了造成时间跨度大、定义方式差异的原因。接着介绍了中外负号记法的演变，“”符号含义：负号、减号、相反数，深刻反映了数学运算的对立统一，是人类智慧的高度结晶，是一个伟大的发明，为日后运算式的简洁表达和变形奠定了基础。
关键词 负数 起源 矛盾 运算法则 负负得正
中***分类号：O1-0 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkz.2017.03.018
A Comparative Study of the Origin of Negative Numbers
XU Xingguo
（Normal School of Yangzhou Polytechnic College， Yangzhou， Jiangsu 225600）
Abstract This paper introduces the negative number in the origin and development of the West and their respective characteristics， pointed out in the west， in the time span of negative definition， method of defining the way there is big difference， and then analyzes the causes of the time span， the definition of style differences. Then it introduces the evolution of Chinese and foreign sign notation， "-" symbol meaning： minus， minus， opposite number reflects the unity of opposites， mathematics， is the crystallization of human wisdom， is a great invention， laid the foundation for the concise expression and expression of the day after deformation.
Keywords negative number； origin； contradiction； operation rule； two negatives make a positive
氖学史中数系的发展历程来看，人们比较关注的是自然数，无理数等数集的产生过程。其中负数并没有作为一类特殊的数集单独去研究。然而从负数的产生，到负数运算律的成熟，再到负数被大众接受经历了相当长的一段时间。不仅如此，在负数的产生时间，产生方式上，东、西方的认识差异也很大。
1 负数在中国的起源
在中国，负数起源的文字记载可追溯到春秋战国时李悝的《法经》：“今一夫挟五口，治田百亩，岁收亩一石半，为粟百五十石，除十一之税石，余百三十五石。食：人月一石半，五人终岁为粟九十石，余有四十五石。石三十，为钱千三百五十。除社闾尝新春秋之祠用钱三百，余千五十，衣：五人终岁用千五百，不足四百五十。”计算最后出现了“不足数”，为负数概念的形成提供了原始的雏形。
到了汉代，从居延出土的汉简中我们发现了这样的例子：“万岁侯长充，受管钱它课负四，勿自言堂煌者第一得七，相除它得三。”这里同时出现“负”和“得”意义正好相反的两个动词，得七与负四相比较，结果得三。这个例子为负数的形成做好了更加充足的准备。
以上记载都不是出自于专业的数学典籍，更加详实、专业的记载来自于《九章算术》：今有上禾二秉，中禾三秉，下禾四秉，实皆不满斗。上取中，中取下，下取上各一秉而实满斗。问：上、中、下禾实一秉各几何？
答曰：上禾一秉实二十五分斗之九，中禾一秉是二十五分斗之七，下禾一秉实二十五斗分之四。
术曰：如方程。各置所需。以正负术入之。
上面是《九章算术》的原文记载，翻译成我们现在的白话文：现有上等稻2捆，中等稻3捆，下等稻4捆。各自出谷都不足1斗。如果三种稻分别依次借取中等稻、下等稻、上等稻各一捆，那么出谷都恰好1斗，问三种稻每捆出谷各有多少？
答：上等稻每捆出谷斗，中等稻每捆出谷斗，下等稻每捆出谷斗。
解法：按方程法则求解：分别列出所借取之数，再按正负法则运算。
分析作者解方程的具体步骤，抓住核心。那就是：在运用《九章算术》方程术中消元法解这个问题时，遇到了一个较小正数减去一个较大正数的情况，产生了一类新的数：负数。此外，东汉末年刘烘（206年）、唐代王孝通（626年）、宋代扬辉（1261年）也论及了正负数加减法，都与《九章算术》所说的完全一致。
此时，我们对负数运算的认识仅停留在加减法上，负数的乘除问题尚无文字记载。所以我们至少可以说中国数学在九章算术的时代里对负数乘除法的理解还不成熟，这个问题的解决还有待后来人。可是这个问题一直被人们搁浅，一直到秦汉时代包括刘微在内的数学家都是小心谨慎，避免出现负数乘除问题。到了唐宋，出现了不定方程、同余方程、高次方程的讨论，其中《辑古算经》提出了三次和四次方程正根的一般解法，但对负根只字未提。刘益著《议古根源》提出了正负开方术，仍回避了负数乘除运算。到了元代时，著名数学家朱世杰在《算学启蒙》（1299）中第一次明确提出有关负数乘法的运算律：同名相乘为正，异名相乘为负。但这距离负数加减运算律的首次文字记载的东汉已有一千多年。
在数学家朱世杰《算学启蒙》出版后的四百多年后，李悦（1768-1817）明确提出方程的根可以是负数，并进一步论断：“凡平方（二次方程）皆可开二数，立方（三次方程）皆可开三数或一数，三乘方（四次方程）皆可开四数或二数。”这是中国数学史上第一次指出方程有负根的文字记载，是将负数乘法运算律熟练运用的佐证。
2 负数在西方的起源
古希腊是孕育西方数学的摇篮， 就是希腊文字中负数的意思。欧几里德的《几何原本》（公元前300年）共十三卷，虽然主要是几何方面的专著，但也有论述算术的内容，其中第七卷到第十卷就是有关数论和无理数方面的内容，但没有涉及负数的任何线索，从中可以断定，那时西方的主流数学还没有涉足负数领域。
有“代数之父”之称的丢番***（公元275年左右）是古希腊另一位杰出数学家，在其著作《算术》中把方程的负数解说成是“荒谬的东西”。这是一个非常珍贵的记载，因为从目前发现的早期西方文献中我们很难再找到提及负数的记载，书中提及的“荒谬的东西”就是今天我们所说的负数。因为早起西方数学不认为“零”是数，更不用说负数了，虽然还没有被接受，但至少“荒谬的东西”说明负数已经引起某些数学家的关注。另外需要我们注意的是：丢番***是在方程的解这个情境中提及“荒谬的东西”，这是完全符合实际的，因为负数解在实际的问题中常常要舍去，但是从方程的运算规律出发，它又是符合的，这说明丢番***时代已经对负数的运算有了初步的认识与思考，但计算的结果又让人匪夷所思，所以给负数扣上了“荒谬的东西”的帽子。不过对新生事物的接受总是要经过一番比较、权衡和实践的考验，对负数的引入和进一步的研究只是时间问题，回避已是不可能。可是谁可曾想到，这一等竟等了一千多年。在西方第一个提出负数概念的是德国数学家米哈依尔.史提非（1486-1567），他在发表数学论文《整数算术》中，把负数定义为“比零小的数”，这个概念被数学界广泛接受，并沿用至今。
然而事情并非到此结束，负数在西方数学界还是长期格格不入，争议达几个世纪之久，其中不乏几位知名数学家。例如：德国数学家M.Stifel（约1487-1567）认为负数是无稽之谈，虚无的零下。法国数学家韦达（F.Vieta，1540-1603）完全排斥负数概念，法国数学家施蒂费尔（B.Pascal，1623-1662） 则认为从0减去4，纯属胡言乱语。法国数学家阿尔诺德（A.Arnauld，1612-1694）接受不了1U1=1U1的说法：“既然1小于1，较小数与较大数之比，怎么可能等于较大数与较小数之比？”1637年，法国的笛卡儿（Descartes，1596-1650）开创了解析几何，创建了坐标观念，负数得到了具体和直观的解释。尽管如此，到18世纪、19世纪怀疑或否定负数者仍有不少。英国数家马塞雷（B.F.Maseres，1731-1824）是剑桥大学数理学院研究员和皇家学会会员，在1759年发表《专论在代数中的负号》，他力主舍去方程的负根。他认为：负根只会把方程的整个理论搞得模糊，因此希望代数里绝不容许有负根。可是我们现在已经知道，若不正视负数和复数，就不可能有代数基本定理的诞生，这个定理在代数乃至整个数学中都起着基础作用，其意义重大而深远。1831年伦敦大学数学系教授德・摩根（A.De Morgan，1806-1871）在他的《论数学的研究和困难》中说：虚数和负数，有相似之处，只要一涉及到实际的含义，二者都是同样的虚构，因为和同样是不可思议的。德・摩根还举了一个问题来说明其论点：“父亲56岁，他的儿子29岁，问什么时候父亲的岁数是儿子的两倍？”他列出方程56+x=2（29+x），得x=2。这个解在实际问题中虽然没有意义，但是并不能否定2是方程56+x=2（29+x）的解，只是需要我们对得出的解考虑是否符合实际情况，若不符合则要舍去。当然，到此时像德・摩根那样排斥负数的人已经不多了，同r随着19世纪整数理论基础的建立，负数在数理逻辑上的合理性已经建立。
从反对负数的声音中我们不难发现：一方面负数的引入颠覆了一些原有自然数运算的性质：如比例的大小关系、运算律等，然而不破不立，只有打破原有的框框条条才会有更有生命力的事物产生，这些例子在数学史上不胜枚举，不管反对的声音有多大，负数作为一类很重要的数集在随后的时间里已经越来越被人们所接受。另一方面是负数作为方程的解是否有意义，正如德・摩根例举的问题，在具体的实例中，负数解要根据具体的实际情境进行取舍，而不该全盘否定，现在的中学生都能明白这个道理，这就是人类理性文明前进的印记。
3 中、西方的比较
3.1 定义负数概念时间跨度大的原因
在中国，刘徽（约公元225年―295年），在给《九章算术》中“正负术”作注时，第一次给正数和负数下了定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”意思是在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分。在西方第一次给负数下定义是在15世纪，德国数学家米哈依尔.史提非（1486-1567）在数学论文《整数算术》中把负数定义为“比零小的数”。从文字记载来看，中国对负数的定义要比西方早一千多年，这是为何？这与中西方的思想文化内涵有着必然联系。
先秦时代是中国历史上第一次思想大爆炸的时期，各种思想竞相涌现、百家争鸣。学者们勇于提出自己的想法，供大家来讨论，自然会有争辩，针尖对麦芒的情况，更多的是各抒己见，求同存异。秦始皇“焚书坑儒”，推崇法家思想，但其法家思想并没有称为华夏文明后来的主导思想，经历秦朝，到了西汉，汉武帝出于***治统治的目的采纳了董仲舒的 “罢黜百家，独尊儒术”的方针策略，从此儒家思想成为两千多年来中国传统文化的一支主流思想。儒家学派的核心思想是中庸之道，这种不左不右，不偏不倚的折中思想具有极大的包容性，能够容忍与自己不同的观念和思想。
早期西方数学的兴起发展与西方哲学和天文学有密不可分的渊源，有大名顶顶的思想学术流派和精神领袖，例如柏拉***学派、毕达哥拉斯学派等，在他们看来，数学是一门神圣和纯粹的学科，容不下半点的杂质，所以一旦有与现有思想或知识相左的意见时，大家就群起而攻之，典型的例子就是：希伯索斯（Hippasus）发现无理数后，被视为违反学派章程而被处死，其罪名等同于“渎神”。随着社会的进步，人们渐渐有了言论的自由，学术氛围自然也向着积极健康的道路前行，学者们勇于提出自己的新发现。可是有一点还是没有改变，那就是会引来大批的怀疑，当伽利略站在埃比尔斜塔上，两颗铁球同时落地时，真理才被人们接受。数学被大众接受可没有那么简单，特别是负数的提出，会给以往运算法则带来很多的棘手问题，在有些情况下列式解方程后得到的解又没有意义，所以当负数的观念初步形成后，西方数学界纷纷提出反对的声音。负数的形成和发展过程非常符合西方的人文特点：大胆的质疑，勇于提出反对意见。正是西方学者对传统数学思想方法和结论的大胆质疑，才有了数学史上三次数学危机的产生和解决，从而推动了西方数学乃至世界数学的迅速发展。
中国思想文化的包容性决定了负数概念早早的被人们接受，同样也正是这种思想文化决定了诸如“三次数学危机”那样的现象不可能在中国出现。与中国截然不同，同样是负数的接受问题，放在西方，就像是炸开了锅，学者们纷纷提出反对意见。正是这种文化背景与人文精神的差异造成了中西方对负数认识和接受的时间跨度如此之大。
3.2 定义角度的不同
中国对负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”西方对负数的定义： “比零小的数。”
中国对负数的定义是从得失的两面出发，当一方为正，另一方则称之为负，很显然这种定义直接来自于实际生活，比如粮食的借与还，帐户中钱的进与出等等，这反映了正数和负数互为相反数。这种定义方式，有生活化的实例，很具体。“相反意义的量”，是性质对立的一种描述，具体到数学中还需要进一步再判断，这也表明当时人们对数的理解还没有从现实的量中抽象出来。
西方对负数的定义是纯粹从数的角度出发，是在对零的充分认识和实数序的深刻理解的基础上对负数作出的定义，比较专业。这反映了人们对实数的认知过程，首先是正数，接着是零，再接着是负数，同时也定义了它们的大小关系。用它们之间的大小关系作为区分它们的本质属性，这种建立在实数域上的大小关系直观体现就是数轴。值得一提的是《现代汉语词典》中采用了西方的定义方式。这从一个侧面反映了西方对负数定义的影响力，同时也是对数学专业名词回归专业定义的认可。
中国的数学注重的是实际的应用，《周髀算经》、《九章算术》都是以解答实际问题展开的，西方的《几何原本》则是以公理化的逻辑推理展开的。这种思维方式也深深影响了中、西对负数的定义方式，同样也深深的影响了中、西方的数学发展方向，我们无法说明其孰优孰劣，因为理论和应用的研究本来就是相辅相成、必不可分的，但从搭建宏伟的数学大厦的角度来说，对理论的研究往往更契合数学的精神，这也是为什么数学会作为基础学科中的基础学科。德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862～1943）是19世纪和20世纪初最具影响力的数学家之一，是数学理论与数学应用的集大成者，尽管在数学应用中取得了非常骄人的成就，但他自己本人还是更钟情于数学理论。他是数学公理化体系的发起者和积极倡导者，他的这种数学思想引领了后来世界数学的发展方向。公理化体系中一个很重要的原则就是“相容性”，也就是不能有矛盾的地方，当负数提出后，打破了原有的一些运算规则，而这些规则并不是数学运算中的本质属性，只是局部性质。由于眼光局限于局部，而没有着眼于整体，引起众多西方数学家反对，这也是为什么负数迟迟不能被西方数学家接受的原因之一。
3.3 负数记号的演变
数学是一种语言，如何简洁明了的表达负数？各个时期，各个国家都有各自不同的表达方式。中国《九章算术》中记载：用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数 。这种用不同颜色的数表示正负数的习惯，一直保留到现在。不过现在国际上一般用红色表示负数，报纸上登载某国经济上出现赤字，表明支出大于收入，财***上亏了钱；在印度，婆罗摩笈多（Brahmagupta，589～660）用小c或小圈记在数字上表示负数；意大利数学家卡尔达诺（G.Cardano，1501-1576）在他的著作《大术》中把负数负3记为m：3，正数3记为p：3；到1585年荷兰数学家斯蒂文（Stevin，1548-1620）在他的著作《算术》中第一次使用负数记号“-”，将负3记为3，最终成为国际通用的负数符号，并一直沿用至今。
千万不要小看用 “-”表示负号，这在数学史上具有里程碑的意义。当然这种记号比以往的负数记法简洁，更重要的是它将减号与负号的内在联系统一到了一起。具体来讲，3可以看作03的结果。自然的我们可以将2 +（3）看作23。2+（3）中的“”是负号的含义，23中的“”是减号的含义，这就将负号和减号统一起来，实现互相的转换，为日后算式的简洁表达和变形奠定了基础。
用“-”表示负号也将负号与相反数联系起来，例如：3可以看作负3，也可以看作3的相反数，这样由3的相反数是3，就可以得到（3）=3，于是我们就直观的得到“负负得正”，再将（3）= 3改写为（1）祝ī？）=3就可以推广到一般的负数与负数相乘的情况。
负数与负数的乘法是初中数学教学的一个难点，对此数学教育名家有关很多关于这方面的论述，这其中运用了“”符号含义的转变，即负号，减号，相反数。所以说“”的确定深刻反映了数学运算的对立统一，是人类智慧的高度结晶。
4 小结
众观中西方数学史，我们发现中国最早提出负数的概念，也最先对加减法的运算法则做了精确描述，早于西方国家一千多年，负数的引入是中国数学家杰出的贡献，但是对负数乘除的运算法则的提出较晚。与中国相比，西方国家对负数的提出较晚，但是对负数乘除的运算法则的文字记载要早于中国。
江苏省现代教育规划课题（编号2011-R-9631）
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