学文网【摘要】本文介绍了几种主要的美式期权定价方法。其中，对叉树法、蒙特卡洛法和有限差分法进行了较详细的分类综述。最后，简单介绍了有限元法，近似解析公式法和提前执行权利金法在美式期权定价方面的应用。
【关键词】美式期权；叉树法；蒙特卡洛；有限差分
1 叉树方法
叉树方法是将期权的基础资产价格过程在风险中性条件下离散化，在利用动态规划的方法求解该期权的价格。该方法由Cox，Ross和Rubinstein于1979年提出，因此我们将该模型简称为CRR模型。Hsia（1983）证明在中心极限定理及某些参数下，二叉树模型将收敛为连续的BS模型。二叉树方法简单易行，迄今已被广泛扩展。Hull和White（1988）利用控制变异来修正二叉树模型，并用于美式期权定价，发现此法收敛速度更快。Breen（1991）通过修正二叉树模型发展出加速二叉树模型，研究表明时间间隔固定时，此法可加速二叉树收敛，并提高精确性。Boyle（1986）发展出三叉树模型，即一段时间内股价可能上涨，下跌之外或持平。三叉树定价原理与二叉树类似，因而适用于美式及欧式期权定价，且资产预期价格变动或投资者的风险偏好差异不会影响期权价格。Rubinstein（2000）比较了三叉树与二叉树模型，发现前者的优越性在于比后者多一个自由度，使股价变化与时间分割相互***。
2 蒙特卡洛方法
蒙特卡洛方法是使用计算机来模拟基础资产价格变动的随机过程，并求期权价格的方法。Hull和White（1993）提出蒙特卡洛法时，认为只适用于欧式期权定价。Tilley（1993）则提出用蒙特卡洛法解决美式期权的提前执行，通过记录基础资产价格路径，并比较提前执行收益与期权价格，判断是否提前执行。此后学者对这一方法提出新扩展，较为著名的有Barraquand和Martineau（1995）提出的BM模型，和Raymar和Zwecher（1998）提出的RZ模型。两个模型的提前执行决策都是比较执行价和持有价，但分隔区域的数量不足会造成每一区域持有价格的估计偏差。Evan（2002）等则将美式期权定价视为最优停时问题。由于美式期权定价的路径依赖，且执行策略取决于将来事件集的平均，美式期权的蒙特卡洛法往往具有双重蒙特卡洛模拟特征。为了克服这些困难，许多改进的美式期权蒙特卡洛模拟方法被提出，主要有：（1）Longstaff和Schwartz（2001）的最小平方蒙特卡洛模拟法（2）Rogers（2002）的鞅最优化期权定价模拟法；（3）Chaudhary（2003）的最小平方伪蒙特卡洛模拟方法；（4）Cafliseh和Goldenfeld（2004）的美式期权定价的质点法。
3 有限差分方法
有限差分法是将BS方程离散为差分方程，再通过迭代求解。与叉树法类似，有限差分法也是一个倒向计算过程，并同样适用于欧式和美式期权定价。有限差分法包括显示差分，隐式差分及混合差分，其求解精度根据所选差分格式而有所不同。Brennan和Schwartz（1978）最早使用有限差分法解金融偏微分方程。Hull和White（1990）对隐式差分法提出修正，使其在较小的时间间隔下计算出的期权价格依然逼近原偏微分方程的解。Izvorski（1998）使用一种非一致网格，大幅减少隐示差分的计算时间。Gilli（2002）等发现隐式差分在三元欧式期权定价问题上依然有良好的收敛性和稳定性。Cont和Voltchkova（2005）提出当基础资产服从Levy过程或更一般的跳过程时，使用有限差分法求解抛物型方程的理论。Zhao（2006）等运用三种不同途径将紧差分法应用美式期权定价，发现紧有限差分法能有效解决美式期权定价问题。
4 其他方法
Topper（1998）对路径依赖期权的算术平均模型进行了有限元的定价，并求得时间迭代方程。该方法能有效处理带局部加密网格和非规则障碍，不足之处是随着时间间隔的缩小，计算复杂度将大大提高。MacMillan（1986）与BaroneAdesi和Whaley（1987）提出用近似解析公式法为美式期权定价。在当时，他们的方法大幅降低了运算时间，但是准确度仍不够高，且无法估计存续期较长的美式期权价格。Kim（1990）考虑了提前执行对美式期权价格的影响，求出美式期权的价格等于对应的欧式期权价格加上提前执行权利金。实验证明，该方法的精确度不逊于有限差分法。
参考文献：
[1]Caflisch， R. and Chaudhary，S.， A Celebration of Mathematical Modeling，Springer，2004
[2]Rubinstein，M.（2000），On the relation between binomial and trinomial option pricing models， The Journal of Derivatives，8，4750
[3]Topper，J.， Finite element modeling of exotic options， Operations Research Proceedings， Springer，1999
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