学文网有人认为反证法“高不可攀”，可我们认为反证法朴实平凡.有人认为反证法是被“逼”出来的不得已而为之的“权宜之计”，可我们认为反证法是主动出击和思维训练的“强大武器”.
一、 蕴含深刻道理的故事
古代某国有一个非常特殊的规定：用抓阄的方式给予将要被处决的死囚一个生存的机会.在两张纸条上分别写有“生”和“死”，让死囚来抓.若运气好，抓着“生”，则立即释放；反之，若抓着“死”，则斩立决.一次，死囚甲的一个仇人买通了有关人员，在两张纸条上都写了“死”字，看来甲死定了.有好心人探得内情后，告知了甲，让他自己想出对付的办法.那天在抓阄时，甲抓到纸条后，连一眼都没看，就将它吞到嘴里咽到肚里去了.执行官慌了，甲到底抓的是什么字呢？有位聪明人提议说：“好办，只要看剩下的那张纸条写的是什么字，就可以判断甲抓的是什么字.”执行官打开剩下的纸条一看，分明写的是“死”字，于是判断甲抓到的是“生”字，甲获释.
这个有趣的故事蕴含着深刻的与反证法有关联的道理.两个字，一“生”一“死”互为否定，既然否定了“死”，当然就肯定了“生”.这又使我们想到另一则故事.
美国著名讽刺幽默作家马克・吐温一天走在一条不太宽阔的小道上，迎面遇到一名蛮不讲理的歹徒，歹徒不给他让路，且说：“我就是不给无赖让路.”马克・吐温微笑道：“我和你正相反，请过去！”侧身给歹徒让出了路.马克・吐温用智慧嘲弄了歹徒，对歹徒“不给无赖让路”的否定正是“给无赖让路”，言下之意歹徒就是无赖了.
“生”与“死”互为否定，“不给无赖让路”与“给无赖让路”也互为否定，这里互为否定的事项只有两个，但有时有关事项会不止两个，情况就一定变得更加复杂了吗？并不尽然.
某人身上有五把钥匙，忘了是哪一把能开启自家的门锁，无须多少数学知识，此人也知道一把一把地试，最多也只须试四次，就可将门锁打开.若前四次都失败了，即否定了四把钥匙，则第五把钥匙一定开启成功.这里须有一个前提，五把钥匙中有且只有一把是能打开门锁.
二、 从一首古诗谈反证法
中国宋朝著名文学家、诗人苏轼有一首《琴诗》：
若言琴上有琴声，放在匣中何不鸣?若言声在指头上，何不于君指上听?
琴弦与指头相碰撞，才可发出和谐悦耳的琴声.假设没有指头的参与，单个的琴也发出琴声，这与事实“放在匣中不鸣”产生了矛盾，则否定了“琴上有琴声”，从而肯定了“琴上无琴声”.对“声在指头上”的否定道理相同.
苏轼老先生当然不懂得数学中的反证法，但在他的脑海中却含有运用反证法的朴素的思维因素.
三、 从数学的角度看反证法的实质
说来道去，还是要回到数学中来.深刻理解反证法的数学实质是熟练驾驭反证法的条件.
设要证的命题是：“若p，则q”.用反证法证明的步骤则是：假设q不成立，即设
(q的否定)，
再用严格的逻辑推理链条由
推出矛盾，从而确认q的正确性.
在实施反证法的过程中要注意的是：
（1） 要明确地指出与“谁”矛盾，即矛盾的对象是谁.有四种可能：“与已知矛盾”，或“与某定理矛盾”，或“与某公理矛盾”，或“自相矛盾”，要有明确的矛盾实体，不能含含糊糊地说“矛盾”.
（2） 要准确地列出“
”的全部内容，要分清q是简单命题，还是复合命题，举例列表如下：
q
a≥ba＜b
a≠ba＞b，或a＜b
a， b都是偶数a， b中至少有一个不是偶数
a∈A，或a∈Ba∈A，且aB
集合A中最多有3元素集合A中最少有4个元素
两个方程至少有一个有实根两个方程都没有实根
（3） 反证法有时可以与同一法相互沟通和转化，在立体几何中经常出现这种情况，如证明“唯一性”时，若说“……则两个元素重合，所以……”用的就是同一法；若说“则与某公理矛盾，所以……”，用的就是反证法.从这个意义上讲，两者之间没有根本的区别.具体例子见下文.
四、 到底何时用反证法
这是很难用一句话来回答的问题.如果题目中指定用反证法，当然没有异议；如果题目中没有指定用什么方法来证明，就“玄而又玄”了.“如果用直接证法感到困难时，就考虑用反证法”，这种说法虽有一定的道理，但还是难以令人满意.故特提出如下几点参考意见：
（1） 头脑中要有“正难则反”的意识，让“反证法”时刻活跃于心头，一旦遇到适宜于用反证法的情境，就会在瞬间自然而然地作出决断，用反证法来证明；
（2） 当q的涵盖面较宽，而
的涵盖面较窄时，则从
出发用反证法证明可化繁为简；
（3） 总结用反证法证明的常见问题类型，积累这方面的数学经验.
总之，用反证法决不是被逼出来的“权宜之计”.
五、 反证法绚丽多姿的形态
经高度概括，可将反证法浓缩为：“欲证pq，假设
，由
矛盾，则判断p正确.”这个模式是恒久不变的，可用六个汉字来表述：“反设，矛盾，获证”.在具体问题中的实施却又有绚丽多姿的各种形态.我们的对策就是“以不变应万变”.
例1 求证：n(n≥3)边形的所有内角中，锐角的个数不超过3个.
解析
反设，对“锐角不超过3个”的否定为“锐角至少为4个”.
矛盾，此时这4个锐角的补角的和大于360°，而n边形的所有外角的和仅为360°，两者矛盾.
获证，原结论正确，即锐角的个数不超过3个.
点睛巧妙利用4个补角的和大于360°引出矛盾.
例2 求证：若2(b+d)=ac(a， b， c∈R)，则关于x的两个方程x2+ax+b=0①
与x2+cx+d=0②
中，至少有一个方程有实根.
解析
“至少有一个方程有实根”的否定是“两个方程都没有实根”，那么由此推得两个方程的根的判别式都小于零，即
a2-4b＜0，c2-4d＜0，则a2＜4b，c2＜4d， a2+c2＜4b+4d=4(b+d)=2ac，这与
a2+c2≥2ac矛盾，所以原题结论成立，即两个方程中至少有一个方程有实根.
点睛开始时看不出反设与谁矛盾，但推着推着，当得到a2+c2＜2ac时，呵呵，矛盾的对象浮出水面了，原来与基本不等式a2+c2≥2ac矛盾.此题若不用反证法，则须分三种情况进行证明：(1)方程①有实根，方程②没有实根；(2)方程②有实根，方程①没有实根；(3)两个方程都有实根.难度与工作量都比较大.
例3 三个互不相等的正数构成等差数列，求证：这三个数的算术平方根不可能构成等比数列.
解析
设三个互不相等的正数为a， b， c，则得a+c=2b.①
假设它们的算术平方根，即a， b， c构成等比数列，则ac=b， ac=b2.②
①式平方，将②式代入，得(a-c)2=0，故a=c，这与题设矛盾，所以结论成立.
点睛结论是“不可能”，反证法的“味道”十足啊！
例4 定义在R上的函数f(x)满足条件：①对于任意两个不相等的实数x1, x2都有f(x1)≠f(x2)；②对于任意的实数x, y，都有f(x+y)=f(x)・f(y).
证明：(1) f(0)=1；
（2） 对于任意实数x，都有f(x)＞0.
解析
(1) 略；
（2） 令y=x，得f(2x)=［f(x)］2，则对于任意实数x，都有f(2x)≥0，则有f(x)≥0.
下面用反证法证明：对于任意实数x，都有f(x)≠0.
假设存在实数x0使f(x0)=0.
若x0=0，则由(1)知f(x0)=1≠0；
若x0≠0，那么2x0≠x0，但由f(2x)=［f(x)］2，得f(2x0)=［f(x0)］2=0，这与已知“对于任意两个不相等的实数x1、 x2都有f(x1)≠f(x2)”矛盾，故对于任意实数x，都有f(x)≠0.
综上知对于任意实数x，都有f(x)＞0.
点睛此题的特色十分鲜明，先证得“对于任意实数x，都有f(x)≥0”，再证明“对于任意实数x，都有f(x)≠0”，用反证法呀，富有启迪意义！