学文网【摘 要】 超越数主要有自然常数e和圆周率π。自然常数e的知名度比圆周率π低很多，原因并不是自然常数e应用的少，恰恰相反自然常数e在科学技术中的应用极为广泛。因此对自然常数e知识的普及很有必要。以下从自然常数的由来、自然常数的数学定义、e与自然律以及自然律在自然中的体现等四个方面对自然常数e给出简单的论述。
【关键词】 自然常数e 螺旋 自然律 黄金律
在数学中，e是一个极为常用的一个超越数之一，超越数主要有自然常数e和圆周率π。自然常数e的知名度比圆周率π低很多，原因并不是自然常数e应用的少，恰恰相反自然常数e在科学技术中的应用极为广泛。
1 自然常数e的由来
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数的对数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法 。能够这么做的前提是，要有一张对数表，虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有数学家开始编对数表。对数表取多少作为底数最合适呢？他做了如下考虑：（1）所有乘数，被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。（2）那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数。（3）这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数之的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。（4）为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是，越大越好。在选了一个足够大的（越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，就可以算
，，…… 那么对数表上就可以写上的对数值是1，的对数值是 2……（以作为底数）。而且如果很大，那么，，……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。（5）最后他再调整了一下，用作为底，这样的对数值就是，的对数值就是，……的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为。（6）现在让对数表更精确，那么就要更大，算了很多次，最后发现，变大时，这个底数趋近于一个值。这个值就是。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后得出来的结果就是e了。
用e表示的确实原因不明，最为可能的原因是e是“指数”（exponential）一词的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。[1]
当然后来数学家对e这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫e为自然常数。以e为底的对数叫自然对数。
2 自然常数e的数学定义
最常见的四种e的定义如下：[2]
（1）定义e为下列极限值：
（2）定义e为下列无穷级数之和：
。其中n！代表的阶乘。（3）定义e为唯一的正数x使得。（4）定义e为唯一的实数x使得
数学上最重要的五个数，分别是，，（虚数单位），0和1这五个数正好能组成一个公式：。这就是著名的欧拉公式，这个公式体现了数学的内在美，是公认的最完美的公式。
3 e和自然律
3.1 螺旋
涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……螺线表达自然律。螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：.其中，和为常数，是极角，是极径，e是自然常数。
3.2 自然律与黄金律
为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式称为为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e。
黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理”的最美妙的形式比例。黄金律不仅是构***原则，也是自然事物的最佳状态。中世纪意大利数学家斐波那契发现，许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以0.618：1的近似值排列的，这即是著名的“斐波那契数列”：1、2、3、5、8、13、21、34……[3]动物身上的色彩***案也大体符合黄金比。舞蹈教练、体操专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比。
现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔”脑电波的高频与低频之比是1：0.618的近似值（12.9赫兹与8赫兹之比）时，人的心身最具。当大自然的气温（23摄氏度）与人的体温37摄氏度之比为0.618∶1时，最适宜于人的身心健康，最使人感到舒适。数学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最佳比例、组织结构的最佳比例等等，也都大体符合黄金律。然而，这并不意味着黄金律比“自然律”更具有美学意义。可以证明，当对数螺线：的等比取黄金律，即=0.0765872，等比时，则螺线中同一半径线上相邻极半径之比都有黄金分割关系。这样形成的螺线就是黄金螺线，它有很多优美的特点。是极致中的极致，美中之美。
因此，黄金律被“自然律”逻辑所蕴含。换言之，“自然律”囊括了黄金律。黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律”则表现了事物运动发展的普遍状态。因此，从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律”，“自然律”是运动着的黄金律。
4 自然律在自然中的体现
“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。
英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的。[4]古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。
美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。
参考文献：
[1]Sebah，P.and Gourdon， X.；The constant e and its computation.
[2]同济大学数学系.《高等数学》（第六版）.高等教育出版社，2007.04.53.281.
[3]（苏）瓦罗别耶夫著，周春荔译.《斐波那契数列》.哈尔滨工业大学出版社，2010.2.
[4]自然律——美学家和艺术家的瑰宝.《科学之春》杂志1984年第4期.