学文网最小的合数篇1
合数指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数但不包括0整除的数。与之相对的是质数，而1既不属于质数也不属于合数。最小的合数是4。最小的合数的倒数是四分之一。
倒数，是指数学上设一个数x与其相乘的积为1的数，记为x分至一，过程为“乘法逆”，除了0以外的数都存在倒数， 分子和分母相倒并且两个乘积是1的数互为倒数，0没有倒数。
（来源：文章屋网 ）
最小的合数篇2
关键词：曲线拟合；最小二乘法；matlab；仿真
根据有限的离散测量点进行曲线拟合是工程实践中经常遇到的问题。曲线拟合是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组函数关系的一种数据处理方法。传统的曲线拟合方法是用解析表达式逼近离散数据。目前，常用的曲线拟合方法有最小二乘法、遗传算法、契比雪夫法及插值法等，这使传统的方法得到了发展和改进：文献[1]对多周期正弦曲线拟合以及正弦曲线的外推存在的问题进行了探讨，指出正弦曲线的最小二乘多项式拟合方法的局限性，提出了一种基于傅利叶变换的频率已知正弦曲线拟合方法。文献[2]根据最小二乘原理，将样条小波函数应用于曲线拟合中，提出了一种新型的信号处理方法―样条小波最小二乘法（SWLS）；文献[3]在利用BP神经网络进行曲线拟合时，提出了一种新的快速构建BP神经网络结构的方法，同时针对在曲线拟合过程中经常出现的一些问题提出了解决方案。
本文介绍曲线拟合法的基本原理，针对样本点的各种分布情况，采用最小二乘法的方法，选取不同的函数曲线进行拟合。
1.曲线拟合的最小二乘法
曲线拟合问题是指：通过观察和测量得到一组离散数据序列（xi，yi），i=1，2，3・・・m，当所得到数据是比较准确时，那么，构造拟合函数ψ（x）逼近客观存在的函数y，使得ψ（x）和y的误差或距离最小。
常用曲线拟合标准有以下三种：
①各点误差绝对值（1范数）的和最小，即：
R1=min∑mi=1ψ（xi）-yi
②各点误差模的最大值（∞范数）最小，即：
R∞=min（max1≤i≤mψ（xi）-yi）
③各点误差的平方和最小，即：
R=min∑mi=1[ψ（xi）-yi]2
数据拟合的最小二乘法问题是：根据给定的数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m，选取近似函数形式，即给定函数类H，求函数ψ（x）∈H，使得
∑ni=1[ψ（xi）-yi]2=minφ∈H∑mi=1[φ（xi）-yi]2
这种求近似函数的方法称为数据拟合的最小二乘法，函数ψ（x）称为这组数据的最小二乘函数[4]。
2.曲线拟合
2.1线性拟合
对给定的数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m，求一条直线：p（x）=a+bx，按最小二乘法的求作方法，拟合直线与定标曲线相应点输出量偏差的平方和为最小。有多元函数的极值原理，minQ（a，b）的极小值要满足：
Q（a，b）a=2∑mi=1（a+bxi-yi）・1=0Q（a，b）b=2∑mi=1（a+bxi-yi）・xi=0
整理得到满足最小均方差的正则方程，用消元法或者克莱姆方法解出方程，得方程（1）：
a=1D（∑mi=1yi∑mi=1x2i-∑mi=1xi∑mi=1xiyi）b=1D（m∑mi=1xiyi-∑mi=1xi∑mi=1yi）
其中，D=m∑mi=1x2i-（∑mi=1xi）2。
2.2多项式拟合[4]
对给定的数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m，求一个n的多项式（n
ma0 + a1 ∑mi = 1xi + ・・・ + an ∑mi = 1xni = ∑mi = 1yi a0 ∑mi = 1xi + a1 ∑mi = 1x2i ・・・ + an ∑mi = 1xn + 1i = ∑mi = 1yi xi ・・・a0 ∑mi = 1xni + a1 ∑mi = 1xn + 1i ・・・ + an ∑mi = 1x2ni = ∑mi = 1yi xni
由函数组1，x，x2，・・・xm的线性无关性可证明，方程组存在唯一的解，且解所对应的多项式必定是已给数据组的最小二乘法n次拟合多项式。
2.3指数拟合
如果数据组（xi，yi），i=1，2，3・・・m的分布近似指数曲线，则拟合时可用指数函数y=a・ebx。先将曲线方程线性化，两边取对数得：lny=lnb+ax（1），分别命Y=lny，A=lnb，则方程（1）可写成Y=A+ax，再用最小二乘法按直线拟合的原理求出A，进而b=eA可求。
3.matlab仿真
采用Basic，C等编程语言来实现曲线拟合，需要编写非常复杂的算法程序，而Matlab 语言是集数值计算、符号运算和***形处理等强大功能于一体的科学计算语言，适用于工程应用各领域的分析、设计和复杂计算。在此方面，Mat lab 具有一般高级语言无法比拟的优势。
在经济统计中的某商品销售量预测或者人口统计中的短期人口测算等等，都可以用指数函数来拟合，如表1为某疾病发病率与年龄段的关系。
表1某疾病发病率与年龄段的关系
x12345678y0.8982.383.071.842.021.942.222.77x9101112131415y4.024.675.466.5310.916.522.5
根据表1数据，建立以x为横坐标， y为纵坐标的坐标系，用Matlab软件把各x、y的值作为坐标点，画出这些点。在根据指数曲线拟合原理，可以求出A=-0.0910，a=0.1824，则作出函数***象如***1所示。
***1指数拟合仿真结果***
4.结束语
在通常的数据处理中，不论是线性拟合，还是多项式拟合，至相当一部分经变换可转变为线性拟合的非线性拟合，都可采用最小二乘法的原理来进行曲线拟合，并且基于最小二乘曲线拟合及Matlab实现方法简明、适用，可应用于类似的测量数据处理和实验研究。（作者单位：中国农业银行青海分行西宁支行）
参考文献：
[1]齐国清，吕健.正弦曲线拟合若干问题探讨[J].计算机工程与设计，2008，29（14）：3677-3680.
最小的合数篇3
关键词：矢量数据融合；模糊集；小多边形处理；林地年度变更
中***分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1674-9944（2016）06-0181-03
1 引言
在林地年度变更工作中，由于2012年二类调查矢量数据和2009林地保护利用规划矢量数据在时效性、空间位置、属性数据等方面均存在较大差异，需将二者融合形成林地年度变更本底数据库以减少外业现地的核实工作量。
随着二者的叠加分析后需消除小多边形。目前常见的GIS软件中普遍使用的处理方法是按相邻最长边界线合并到临近多边形中去，或按照相邻最大面积合并到临近小班中，然而这些方法都是针对由几何位置的不确定性引起的小多边形而提出，没有考虑属性数据的差异，具有一定的随机性。
笔者在此引入了基于模糊集的小多边形处理方法，综合考虑矢量数据几何位置融合和属性数据融合。
2 实验数据
本次研究采用巴宜区（原林芝县）2012年二类调查矢量数据和2009林地保护利用规划矢量数据作为研究数据。
其中2012年二类调查矢量数据更新至2012年年底，采用高斯克吕格投影，西安80坐标系，信息量大，调查大部分为实地调查，数据可靠。
2009年林地保护利用规划矢量数据更新至2009年年底，是在2002年二类调查的基础上补充区划加实地验证而得，采用高斯克吕格投影，西安80坐标系，该数据的属性数据更加符合林地年度变更要求。
两种数据坐标系一致，不存在空间基准的融合。
3 研究原理
3.1 矢量边界适宜性判别
假设矢量数据有x种属性，对于每个矢量面，其属性值则可能与这x个属性值有关。取各属性值与矢量面相吻合的程度为其隶属度，表达式为：（1）
其中rik表示第k种属性与第i个面要素属性符合的程度；i表示第i个矢量面；j表示矢量面的第j个特征；Ikj为第k种属性类型的第j个特征准则值；ωj则为第j个属性特征的权重。
如果矢量数据是通过n种矢量数据叠置所得，那么叠置后的矢量面属性与n种类型的属性有关，由式（1）可得
由于n=2，从而得到叠置***上地理边界适宜性判决函数为：
其中rij表示两相邻矢量面属性模糊集对应元素的差值。架设各叠置层上各属性值的权重系数相同，令各叠置层的权为ω1，ω2，……，ωn，其中，λ’为参数，应该适当选取，使得0≤μ≤1；则有：
3.2 属性不确定性的度量
将小多边形进行合并时，必然引起属性数据的变化，即小多边形合并之后模糊属性值调整为面域模糊属性值时，与原模糊属性值的差异。使小多边形在合并前后属性值变化最小的是最理想状态。分析（3）式和（4）式可知，此时“取最小值。因此，进行小多边形合并的时候，应选其边界中μ值最小的边界作为消除边界，从而达到小多边形在合并前后属性值变化最小的目的。
3.3 小多边形的处理
***1为2012年二类调查矢量数据和2009林地保护利用规划矢量数据叠加分析后产生了小多边形C，其中A、B、D、E为其相邻的多边形，关键问题为C与哪个多边形合并最合理。对于C的四条边界ab、bc、cd、ad选其边界中适宜性最小的作为消除边界，与邻边边界合并。
由于二调数据与林地保护规划利用规划矢量属性数据较多，如果对每种属性都定义其与矢量面的隶属度工作量巨大，而且实际意义不大。为了简化计算，结合叠置后矢量面的实际情况，以及两种矢量数据的特征，作如下处理。
从两种不同矢量数据中选取有代表性的属性宇段。选取相关属性字段为林地保护林用规划数据的“地类”、“面积”、“林地保护等级”；二类调查数据的“地类1”，“***形面积”、“小班蓄积”。选取“地类”是因为它们是区划小班的主要属性，选取“面积”和“蓄积”是为了跟踪小多边形（进行相交后，被切碎的细小多边形保留了原始数据的字段和属性）。
对于每条边界对应的两个不同矢量面的属性模糊集，定义模糊集相对应元素的差值。若边界对应两矢量面属性一致，则认为rij=0，若边界对应两矢量面属性不一致，则认为rij=1；涉及到行***界线，不可合并，认为ij=1。以边界ab为例，矢量面A和C对应的属性如表1。
由式（7），可知：
μ=1/4（r11+r12+r13+r21+r22+r23）=1/4（0+1+1+O+0+0+0）=0.5。
同样的方法计算bc、cd、ac的边界适适宜性判别值为0.25，0.75，1。其中边界bc适宜性判别值最小，所以应该消除边界bc，将矢量面B和C进行合并，并取B的属性为合并后多边形的属性。
4 批量处理方法
实际操作中，如果对每个多边形进行不同边界的适宜性判别，工作量巨大，可行性不高。下面结合实际，介绍一种批量处理的方法，对关键步骤作如下解释。
4.1 转换为coverage格式
Coverage是ArcInfo workstation的原生数据格式。它将空间信息、属性信息分别存放在两个文件夹。COV-erage可以存储拓扑要素类，支持高级要素类对象：比如多点和多线等。通过小多边形由“shapefile”格式转换成为“coverage”将相邻面的属性赋到公共边界上提供了条件。
4.2 去伪节点
由面转成线后，在很多线与线交叉的地方存在伪节点，使得原来一条边界变成了两条，在国产软件geo-way3.6中可以批量处理该类伪节点。
4.3 计算value值
Value值即为前文提及的边界适宜性判别值。
具体操作流程详见***2。
5 结果与分析
处理完小多边形后重新计算面积，分地类统计面积变化，同时按照传统方法“最大边长合并”与“最大面积合并”2种方法进行小多边形的自动处理，分地类统计不同方法的两种矢量数据面积的变化，以各树种与原始数据的差平方和为方差，反映处理前后，数据的波动。为突出处理前后，以及不同方法的效果，面积统一采用“公顷”，保留两位小数。
从表2和表3可以看出，无论是二类调查数据，还是林地保护利用规划数据，用基于模糊集的方法进行合并，方差都远远小于最大面积合并和最大边长合并的方差。从表中可以看出，“基于模糊集的方法”优于“最大边长合并”，效果最差的是“最大面积合并”的方法。
6 结语
最小的合数篇4
【关键词】三角复合函数；分解函数法；中学教学
三角函数形成的复合函数的最值的探究是历年高考命题的一个热点，笔者认为：若y是x的复合函数求最值，首先可引入中间变量，写出组成复合函数的基本函数，即把复合函数分解为几个基本函数；其次由x的取值范围求出中间变量的取值范围，由中间变量的取值范围求出y的取值范围；最后根据y的取值范围直接写出原函数最值.这种求其复合函数最值的方法简单易行，笔者把它命名为分解函数法.
例1（2014・天津）已知函数f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34，x∈R.
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值和最小值.
解f（x）=cosx・sinx+π3-3cos2x+34=cosx・12sinx+32cosx-3cos2x+34
=12sinxcosx-32cos2x+34=14sin2x-34cos2x=12sin2x-π3.
（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）设y=12u，u=sinv，v=2x-π3，
因为-π4≤x≤π4，所以-5π6≤v≤π6，从而-1≤u≤12，于是-12≤y≤14，
因此，f（x）在闭区间-π4，π4上的最大值为14，最小值为-12.
点评在（Ⅱ）中，求三角函数形成的复合函数f（x）的最值时，引入了中间变量u，v
把复合函数最值问题转化为三个基本函数的值域问题加以解决.这种方法充分体现了数学的简洁美、奇异美及转化思想，具有很强的操作性.
例2（2014・江西）已知函数f（x）=sin（x+θ）+acos（x+2θ），其中a∈R，θ∈-π2，π2.
（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值；
（Ⅱ）若fπ2=0，f（π）=1，求a，θ的值.
解（Ⅰ）当a=2，θ=π4时，
f（x）=sinx+π4+2cosx+π2=22（sinx+cosx）-2sinx=22cosx-22sinx=sinπ4-x
设y=sinu，u=π4-x，
因为0≤x≤π，所以-3π4≤u≤π4，于是-1≤y≤22，
因此，f（x）在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为-1.
（Ⅱ）由θ∈-π2，π2，得cosθ≠0，
由fπ2=0，得cosθ（1-2asinθ）=0，1-2asinθ=0，即sinθ=12a，①
由f（π）=1，得2asin2θ-sinθ-a=1，②
联立①②，结合a∈R，θ∈-π2，π2，解得a=-1，θ=-π6.
点评该例（Ⅰ）中，函数f（x）实际上是三；角函数形成的复合函数，求其最值时，采
最小的合数篇5
关键词：最小二乘法 传感器实验 曲线拟合
中***分类号：TP212 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2016）11（c）-0014-02
在传感器产品试验中，往往需要根据实验数据，得出输入输出之间的关系，即输入与输出之间的标定曲线。对于线性传感器，其输入输出特性曲线接近直线；非线性传感器，其输入输出特性曲线通常呈现不同的非线性。不论线性或非线性传感器，根据约定的非线性度，总能在试验数据中找到某一区域，使得其输入输出特性呈线性。而某些传感器在用过程中，需要求得其完整的标定曲线。因此，根据试验所得数据进行传感器特性的标定成为了产品试验的必要步骤。最小二乘法正好可以很好地处理实验数据，并根据实验数据拟合出输入输出特性曲线。该方法的主要优点在于误差最小。
1 最小二乘法的原理
***1为实验数据折线***与拟合曲线。已知实验数据（Xi，Yi）（i=1，2，…，n），设需拟合的直线为y=f（x）=kx+b，需确定的直线方程参数为k和b。根据最小二乘法，构建函数Φ（k，b），使得拟合出来的直线与实验数据的误差最小。即
2 MATLAB中进行曲线拟合
对一组数据进行建模的最简单方法是将其作为直线来看待。而在实验过程中，通常实验结果就是这样的一组离散的数值，对这样的数组，用直线对其进行建模，称为实验数据的线性回归。在MATLAB中有内置的拟合函数，可以用来对经验数据进行建模。这种建模仅在所收集的数据范围内是可行的。如果参数y随x的变化规律是未知的，那么，数据拟合方程就不能预测所收集数据范围以外的情况。线性回归在MATLAB中用函数polyfit实现，该函数要求3个输入内容：x值矢量、y值矢量和一个用来表示拟合多项式结束的整数。
3 MATLAB确定实验曲线
当实验数据在有效量程范围内呈现出明显的非线性，即该传感器为非线性传感器时，需要确定该传感器的输入输出特性曲线，此时应用一阶线性回归的办法来拟合曲线是明显不合适的。因此可以寻求多项式回归进行拟合。
衡量拟合程度的效果用以下方法：
其中为样本值与拟合曲线在该样本点的函数值之差。Δ称为误差的平方和，该值越小，则实验样本值与拟合曲线的重合性越好。以下是光纤位移传感器的实验数据处理。
（1）四阶回归（如***2）。
误差的平方和为：3.0811e+004
（2）五阶回归（如***3）。
误差的平方和为：2.4989e+004。
由以上拟合曲线的误差平方和的情况看，曲线的多项式回归呈现这样的趋势：方程中的项数越多，拟合效果越好，至少实际样本数据点和预测数据点之间的距离减小。
4 结论
根据以上实验数据的处理过程，发现利用多项式回归进行曲线的拟合，多项式的阶数越高则其误差越小。最小二乘法是能使拟合出来的曲线与实验数据的误差最小的一种实用的方法。总结以上得到曲线拟合的基本方法。
（1）确定实验曲线的特性，如直线特性或非直线特性。
（2）确定试验曲线对应的函数特性，如幂函数或指数函数。
（3）选用合适的曲线拟合工具，如MATLAB。
（4）对比拟合结果，根据拟合的性能指标最终确定拟合曲线的函数解析式。
参考文献
[1] Holly Moore.MATLAB实用教程[M].高会生，刘童娜，李聪聪，译.北京：电子工业出版社，2013.
最小的合数篇6
关键词：Origin软件 生物化学实验 最小二乘
中***分类号：Q5-3
基金项目：广西教育科学“十二五”规划课题（2011C0028）；教育科学研究院级重点立项课题（桂工院教〔2007〕2号）。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是处理实验数据常用的方法[1]。与其他常用数据处理方法相比， 最小二乘法得到的结果准确性最高， 误差最小。然而在实际教学过程中， 实施起来却比较困难。虽然也可以通过Excel的“***表工具”和“数据分析”来实现，但是前者的结果中仅给出拟合方程和相关系数的平方值， 其他分析数据较少；后者的结果中数据较多， 学生要能够对过多的数据进行取舍。同时， ***表中只画出了数据点，而没有给出拟合直线， 需要通过后期处理， 才能得到完整的***表。而Origin软件其本身的作***功能最受青睐[2-4]，但我们在研究和教学实践中发现其统计分析功能也较完善和实用，尤其在进行线性拟合时，而且学生容易掌握，它的特点是直观！快捷！无需编程。本文将借助这种软件， 结合生物化学实验中的总糖测定试验， 介绍最小二乘法的实现。
1 实例
在总糖的测定试验中，通过测得的标准葡萄糖的吸光度数据如表1：
表1 蒽酮比色法测总糖含量的数据记录表
由实验原理可知， 吸光度值 y （因变量）与浓度 x（自变量） 满足 y = a+bx 这样的方程。根据方程通过测定样品的吸光度值（y）就可以得到样品中总糖的含量。
2 利用Origin软件实现最小二乘法处理
打开 Origin8.0 ，软件会自动建立一个项目（ Project ） ， 并在该项目下生成一个空的数据表（Worksheet） ， 提醒学生在数据输入时，自变量（浓度）所在列要设定为X，因变量（吸光度值）输入Y列中。选中A （ X ） 和B （ Y ） 列， 点击右键， 在弹出的菜单中选择【Plot】 ， 再在下一级菜单中选择【Scatter】， 画出数据点。接下来单击菜单命令 【Analysis 】 【Fitting 】 【Fit Linear ...】， 如***1 所示。在打开的 【Linear Fit】 对话框上单击 【OK】 按钮 （接受默认设置）。程序自动进行最小二乘拟合，得到的拟合曲线如***2所示。相关的分析数据可以在数据表【Linear Fitl】中找到，包含了参与拟合的数据选择、 拟合控制、残差分析、结果报告和绘***等各选项。
3 结论
利用Origin 实现最小二乘法处理， 操作简便， 结果全面且不宜出错， 无需复杂编程， 易于学生掌握。近两年在教学中引入了Origin软件的实验环节，师生的反映效果都很好，觉得利用 Origin 对生物化学实验数据进行最小二乘法处理， 方便灵活；配合***形输出结果， 形象直观， 有利于提高实验的效率。
参考文献：
[1] 高永祥，用Origin 软件作直线拟合. 电力学报，2013，18（2）： 141-142，148.
[2] 李润明，吴晓明. ***解Origin 8.0科技绘***及数据分析. 北京：人民邮电出版社，2009.
最小的合数篇7
关键词：巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）；茎秆；移动最小二乘法；力学性能；曲线拟合
中***分类号：S519 文献标识码：A 文章编号：0439-8114（2017）03-0561-04
DOI：10.14088/ki.issn0439-8114.2017.03.044
Study of Curve Fitting of Mechanical Properties of the Stalk of
Pennisetum sinese Roxb
CHEN Wen-tao，FANG Bing，LIANG Xiao，YE Da-peng
（College of Mechanical and Electrical Engineering， Fujian Agriculture and Forestry University， Fuzhou 350002， Fujian，China）
Abstract：In order to accurately describe the mechanical properties of the stalk of Pennisetum sinese Roxb on tensile， compression and bending modulus of elasticity， the curve of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk were fitted. The construction method of interpolation function was detailedly studied and the basis function and weight function were reasonably choose， then compared the least square method and moving least square method in curve fitting. The results showed that the precision of the moving least square method in the curve fitting of mechanical properties of Pennisetum sinese Roxb stalk was higher.
Key words：Pennisetum sinese Roxb；stalk；moving least squares；mechanical properties；curve fitting
巨菌草（Pennisetum sinese Roxb）是上世纪90年代从非洲引进中国，经过20多年培养出适合中国气候土壤的优良草种[1]。巨菌草的茎秆木质纤维作为能源与工业原料具有巨大的潜能，同时，巨菌草的机械处理如切割、打捆、破碎、运输等也具有重大的经济价值。
巨菌草茎秆的力学特性参数是研制高效、低耗茎秆切割器的重要参数依据，对巨菌草茎秆的力学特性的研究有利于在农业机械设计阶段中减少研发成本与缩短研发周期，因此有必要展开对巨菌草茎秆的力学特性研究。目前，已有学者研究了芦竹[2]、苎麻[3]、玉米[4]等作物茎秆的力学特性，而巨菌草茎秆的力学特性研究鲜见报道。
由于植物茎秆力学性能呈现非线性特点，需要通过曲线拟合得到材料的拉伸、压缩、弯曲弹性模量力学性能参数。而曲线拟合的方法众多，常用的是基于普通最小二乘法的多项式拟合，其形式简单，计算量小，但考虑整个拟合区域所有节点的误差效应，并将误差在全局上做均化处理，对局部拟合精度产生很大影响[5]。因力学特性曲线的线性阶段曲线形状较为简单，可以采用上述方法，且精度可以满足要求，但对于茎秆破坏阶段的曲线，普通最小二乘法误差较大。鉴于该方法存在的问题，本研究借鉴竹木材料的试验标准，测试了巨菌草茎秆拉伸、压缩、弯曲等力学性能参数。利用移动最小二乘法（Moving Least Squares，MLS）拟合巨菌草茎秆力学特性曲线并通过实例与普通最小二乘法拟合进行比较分析，说明MLS方法可以优化求解茎秆拉伸、压缩、弯曲弹性模量的精度，为进一步建立材料本构模型提供准确的理论数据支持。
1 移幼钚《乘法（MLS）
1.1 基本原理
MLS是20世纪80年展起来的一种基于点的近似方法，具有拟合精度高、通用性强的特点，该方法首先应用于固体力学中[6]。移动最小二乘法主要可分为逼近法和插值法两种，本研究主要采用的是移动最小二乘逼近法。
1.2 基向量的选取
通常选取单项式作为基函数， 一维空间中单项式一次和二次基函数分别为：
二维空间中单项式一次和二次基函数分别为：
1.3 权函数的选取
权函数在移动最小二乘法中起着重要作用，权函数w（x-xi）反映了计算点x对全局近似的影响程度，Guass权函数的权函数因子β则说明了在计算点xi的影响域内各节点对权函数值的影响程度。权函数的选取对移动最小二乘法近似的特性有很大的影响。移动最小二乘法近似的精度在很大程度上取决于权函数。本研究采用Guass权函数。
式（8）中，r=d/R1，d为计算点x与他求解域内某一节点x1的距离；d=|x-x1|R1为该节点影响域半径，R1=k×d1k为影响域半径乘子，k值略大于1，以保证计算点的求解域内有足够的节点；d1是一个动态变量，随着节点分布的密集情况变化，当节点比较集中时d1较小，节点比较分散时d1较大，以保证所有点的定义域中包含合适数量节点，取d1为节点x1到距其最近的第Nb个节点之间的距离；Nb为给定的节点x1影响域中的节点数，节点数过少会使计算矩阵奇异或影响精度，节点数过多影响域半径，使该点的区域特性表现得不明显；β为权重因子，β越大离计算点x越近（r越小）的节点对全局近似的影响越大，而远的节点几乎没有影响。
2 试验过程
对采集来的巨菌草茎秆去顶、剥皮、锯掉结隔并编号，测量巨菌草茎秆直径，参照木材和竹材物理力学性质试验方法[7，8]，制作试验试样。拉伸试样长120 mm、宽15 mm、厚t mm，试验中间有效部分规格长60 mm、宽2 mm、厚t mm，与两端夹持部分圆弧平滑过渡，如***1a所示。压缩试样长30 mm、外径d mm、厚t mm，两端需要用砂纸打磨平整，如***1b所示。弯曲试样长100 mm、宽d mm、厚t mm，如***1c所示。
试验采用深圳市新三思材料检测有限公司制造的SNAS微机控制电子万能材料试验机进行拉伸、压缩和弯曲试验，其精度级别为1级，试验力准确度与变形准确度均在1%以内。该系统由试验机主机、RG控制器、计算机控制系统三部分组成，在试验运行过程中能动态显示载荷值、变形值、试台速度和应力-应变曲线等结果。
3 结果与分析
3.1 巨菌草茎秆拉伸试验
采用井字纹夹头夹紧试件的上下两端，设置拉力加载速度为3 mm/min。试验获得试件拉伸的应力-应变曲线。从***2中可以看出，当拉伸应力达到巨菌草茎秆最大拉伸强度后，巨菌草茎秆被拉断，应力瞬时急剧下降。测得巨菌草拉伸抗拉强度的最大值为110.3 MPa，最小值为91.4 MPa，平均值为100.4 MPa，抗拉弹性模量为600.1～691.6 MPa，平均值为644.7 MPa。
3.2 巨菌草茎秆压缩试验
将压缩试件置于平面压头的承载平面，在控制机上设置材料压缩弹性模量控制程序，压缩载荷加载速度为3 mm/min，试验获得试件的压缩应力-应变曲线。从***3中可以看出，巨菌草茎秆轴向压缩过程大致可以分为线性变形阶段、一次屈服阶段、抗力恢复阶段、二次屈服阶段和彻底破坏阶段。测得巨菌草抗压强度的最大值为8.96 MPa，最小值为5.02 MPa，平均值为7.54 MPa，抗压弹性模量160.9～197.9 MPa，平均值为184.1 MPa。
3.3 巨菌草茎秆弯曲试验
试验采用三点弯曲法，将弯曲试件作板材处理，弯曲跨度为48 mm，预加载荷10 N（保证压头与试样密切接触），弯曲压力加载速度3 mm/min。***4为计算机绘制的弯曲应力-位移曲线，弯曲应力超过最大抗弯强度后巨菌草茎秆断裂，应力下降。测得巨菌草茎秆抗弯强度的最大值为31.7 MPa，最小值为24.1 MPa，平均值为27.7 MPa，弹性模量平均值为697.5 MPa。
4 数据拟合
4.1 巨菌草茎秆拉伸特性曲线拟合对比
选取拉伸试验***2中的第二根曲线进行拟合，分别利用普通最小二乘法中16次数多项式和MLS来拟合巨菌草茎秆拉伸力学性能曲线。再利用Matlab语言编程将拉伸应力-应变曲线绘制对比***形。***5为巨菌草拉伸应力-应变的MLS和多项式拟合曲线。***6为其拟合误差对比结果，通过对比发现，MLS拟合得到的拟合曲线精度更高，其相对误差范围在-0.01～0.01。而利用16次多式来拟合曲线，其相对误差较大。
4.2 巨菌草茎秆压缩特性曲线拟合对比
选取压缩试验***3中的第四根曲线进行拟合，利用普通最小二乘法中16次数多项式和MLS来拟合巨菌草茎秆力学性能曲线，绘制应力-应变关系曲线（***7）。通过对比拟合曲线误差（***8），用MLS拟合得到的力学性能数据更准确，其相对误差范围在-0.05～0.05。而利用16次多项式来拟合曲线，其相对误差较大。
4.3 巨菌草茎秆弯曲特性曲线拟合对比
选取弯曲试验***4中的第二根曲线进行拟合，利用普通最小二乘法中16次数多项式和MLS来拟合巨菌草茎秆力学性能曲线（***9、***10）。对拟合数据进行误差分析，得到MLS方法拟合数据误差更低，其相对误差范围在-0.05～0.05，而利用16次多项式来拟合曲线，其相对误差明显较大。
5 小结
利用移动最小二乘法（MLS）拟合巨菌草茎秆力学特性曲线，无需拟定拟合函数的形式，无需分段处理，方法具有通用性，可以通过选取不同权函数控制拟合曲线的光滑度，通过选取不同的基函数控制拟合曲线的精度[9]。
本研究使用移动最小二乘法（MLS）对巨菌草茎秆拉伸特性曲线行拟合，并与分段最小二乘法进行了比较，与其他拟合方法相比，移动最小二乘法（MLS）具有许多优点：①有较高的精度，可以得到更准确的抗拉弹性模量；②可通过调节参数来得到合适的基函数和权函数，从而获取平滑的曲线，避免了求解病态方程组的系数矩阵的情况；③移动最小二乘法（MLS）作为新的数据拟合方法，有着很强的通用性。
参考文献：
[1] 张进国，雷荷仙，黎纪凤，等.巨菌草在不同海拔高度的生长表现[J].贵州农业科学，2013（3）：112-115.
[2] 廖宜涛，廖庆喜，田波平，等.收割期芦竹底部茎秆机械物理特性参数的试验研究[J].农业工程学报，2007（4）：124-129.
[3] 沈 成，李显旺，田昆鹏，等.苎麻茎秆力学模型的试验分析[J].农业工程学报，2015（20）：26-33.
[4] 刘卫星，王晨阳，王 强，等.不同玉米品种茎秆抗倒特性及其与产量的关系[J].河南农业科学，2015（7）：17-21.
[5] 刘 丹，孙金玮，魏 国，等.移动最小二乘法在多功能传感器数据重构中的应用[J].自动化学报，2007（8）：823-828.
[6] LANCASTER P，SALKAUSKAS K. Surface generated by moving least squares method[J].Math Computation，1981，37（155）：141-158.
[7] 中国林业科学研究院. GB/T1927-1943-91，中华人民共和国国家标准：国家木材物理力学性质试验方法[S].北京：中国标准出版社，1991.
最小的合数篇8
观察物体（三）
1、根据形状摆几何体
根据从有个方向看到的形状，可以摆出不同的几何组合体。
2、确定立体***形
根据从三个不同的方向看到的形状还原立体***形。
难点：
（1）这里所说的正面、左面和上面，都是相对于观察者而言的。
（2）站在任意一个位置，最多只能看到长方体的3个面。
（3）从不同的位置观察物体，看到的形状可能是不同的。
（4）从一个或两个方向看到的***形是不能确定立体***形的形状的。
（5）同一角度观察不同的立体***形，得到的平面***形可能是相同，也可能是不同的。
（6）如果从物体的右面观察，看到的不一定和从左面看到的完全相同。
（7）不同角度观察一个物体
，
看到的面都是两个或三个相邻的面。
（8）不可能一次看到长方体或正方体相对的面。
第二单元
因数和倍数
1、整除：被除数、除数和商都是自然数，并且没有余数。
整数与自然数的关系：整数包括自然数。
2、因数、倍数：大数能被小数整除时，大数是小数的倍数，小数是大数的因数。
例：12是6的倍数，6是12的因数。
（1）数a能被b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。
（2）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
（3）一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。
一个数的倍数的求法：依次乘以自然数。
（4）2、3、5的倍数特征
1）
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
2）一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
3）个位上是0或5的数，是5的倍数。
4）能同时被2、3、5整除（也就是2、3、5的倍数）的最大的两位数是90，最小的三位数是120。
同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
5）如果一个数同时是2和5的倍数，那它的个位上的数字一定是0。
3、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。
如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等
4：自然数按能不能被2整除来分：奇数、偶数。
奇数：不能被2整除的数。叫奇数。也就是个位上是1、3、5、7、9的数。
偶数：能被2整除的数叫偶数（0也是偶数），也就是个位上是0、2、4、6、8的数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0.
关系：
奇数+、- 偶数=奇数
奇数+、- 奇数=偶数
偶数+、-偶数=偶数。
5、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.
质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）
100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
100以内找质数、合数的技巧：
看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数
质数×质数=合数
6、最大、最小
A的最小因数是：1；
A的最大因数是：A；
A的最小倍数是：A；
最小的自然数是：0；
最小的奇数是：1；
最小的偶数是：0；
最小的质数是：2；
最小的合数是：4；
7、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
用短除法分解质因数
（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
比如：30分解质因数是：（30=2×3×5）
8、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7
两个合数的互质数：8和9
一质一合的互质数：7和8
两数互质的特殊情况：
⑴1和任何自然数互质；
⑵相邻两个自然数互质；
⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质；
⑸质数与比它小的合数互质；
9、公因数、最大公因数
几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
10、公倍数、最小公倍数
几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
11、求最大公因数和最小公倍数方法
用12和16来举例
1、求法一：（列举求同法）
最大公因数的求法：
12的因数有：1、12、2、6、3、4
16的因数有：1、16、2、8、4
最大公因数是4
最小公倍数的求法：
12的倍数有：12、24、36、48、…
16的倍数有：16、32、48、…
最小公倍数是48
2、求法二：（分解质因数法）
12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：
2×2=4（相同乘）
最小公倍数是：
2×2×3×2×2=
48（相同乘×不同乘）
第三单元
长方体和正方体
1、由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体***形叫做长方体。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体特点：
（1）有6个面，8个顶点，12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度相等。
（2）一个长方体最多有6个面是长方形，最少有4个面是长方形，最多有2个面是正方形。
2、由6个完全相同的正方形围成的立体***形叫做正方体（也叫做立方体）。
正方体特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3）正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。
相
同
点
不同点
面
棱
长方体
都有6个面，12条棱，8个顶点。
6个面都是长方形。
（有可能有两个相对的面是正方形）。
相对的棱的长度都相等
正方体
6个面都是正方形。
12条棱都相等。
3、长方体、正方体有关棱长计算公式：
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4＝长×4+宽×4+高×4
L=（a＋b＋h）×4
长=棱长总和÷4－宽
－高
a=L÷4－b－h
宽=棱长总和÷4－长
－高
b=L÷4－a－h
高=棱长总和÷4－长
－宽
h=L÷4－a－b
正方体的棱长总和=棱长×12
L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12
a=L÷12
4、长方体或正方体6个面和总面积叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）
无底（或无盖）
长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab
S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2
S=2（ah＋bh）
贴墙纸
正方体的表面积=棱长×棱长×6
S=a×a×6 用字母表示：S=
6a2
生活实际：
油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，表面积就会扩大到原来的4倍）。
5、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
长方体的体积=长×宽×高
V=abh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h=
V÷a÷b
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=a×a×a = a3
读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
用字母表示：V=S
h（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
注意：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
6、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等。
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米
1毫升=1立方厘米
1升=1000毫升
(1L =
1dm3 1ml
=
1cm3)
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）
注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。
（如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍）。
*形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：
V物体
=V现在－V原来
也可以
V物体
=S×(h现在-
h原来)
V物体
=S×h升高
8、【体积单位换算】
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
进率：1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（立方相邻单位进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
注意：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率
大单位×进率=小单位
小单位÷进率=大单位
长度单位：
1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米
1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：
1平方千米=100公顷
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）
质量单位：
1吨=1000千克
1千克=1000克
人民币：
1元=10角 1角=10分 1元=100分
第四单元
分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如4/5的分数单位是1/5。
4、分数与除法
A÷B=A/B（B≠0，除数不能为0，分母也不能够为0）
例如：4÷5=4/5
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子，
如：
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子
如：
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变，如：
（4）1等于任何分子和分母相同的分数。如：
7、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：24/30=4/5
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
如：2/5和1/4
可以化成8/20和5/20
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
如：
0.3=3/10
0.03=3/100
0.003=3/1000
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：3/10=0.3
3/5=6/10=0.6
1/4=25/100=0.25
方法二：用分子÷分母
如：3/4=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：
先把整数后的分数化为小数，再加上整数
12、比分数的大小：
分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75
1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6
4/5=0.8
1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 1/25=0.04
14、两个数互质的特殊判断方法：
①
1和任何大于1的自然数互质。
②
2和任何奇数都是互质数。
③
相邻的两个自然数是互质数。
④
相邻的两个奇数互质。
⑤
不相同的两个质数互质。
⑥当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
15、求最大公因数的方法：
①
倍数关系：最大公因数就是较小数。
②
互质关系：最大公因数就是1
③
一般关系：从大到小看较小数的因数是否是较大数的因数。
16、分数知识***解：
第五单元
***形运动（三）
旋转
在平面内，一个***形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个***形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原***形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）旋转要明确绕点，角度和方向。
（2）旋转的性质：旋转前后***形的大小和形状没有改变，只是位置发生了变化。
第六单元
分数的加减法
1、分数数的加法和减法
（1） 同分母分数加、减法 （分母不变，分子相加减）
（2） 异分母分数加、减法
（通分后再加减）
（3）
分数加减混合运算：同整数。
（4） 结果要是最简分数
2、带分数加减法:
带分数相加减，整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的结果合并起来。
附：具体解释
（一）同分母分数加、减法
1、同分母分数加、减法：
同分母分数相加、减，分母不变，只把分子相加减。
2、计算的结果，能约分的要约成最简分数。
（二）异分母分数加、减法
1、分母不同，也就是分数单位不同，不能直接相加、减。
2、异分母分数的加减法：
异分母分数相加、减，要先通分，再按照同分母分数加减法的方法进行计算。
（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同一级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
第七单元
折线统计***
1、单式折线统计***
用一定的单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连起来，所得到的统计***就是折线统计***。
2、复式折线统计***
在同一个统计***中用两种（或多种）不同颜色（或形式）的折线来表示不同数据的变化情况的统计***就是复式折线统计***。
3、折线统计***的特点
（1）单式折线统计***：既可以反映出数量的多少，又可以反映出数量增减变化情况。
（2）复式折线统计***：不但能表示各组数据的多少和增减变化情况，而且可以比较各组相关数据的差异和变化规律。
第八单元
数学广角——找次品
找次品的最优方案
最小的合数篇9
因为有知识，我们上了太空，我们延长了人均寿命。更因为有知识，我们超出生死，不再疑惑。下面给大家分享一些数学六年级知识点，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
数学六年级知识点1第一部分【常用的数量关系】
1、每份数×份数=总数;
总数÷每份数=份数 ;
总数÷份数=每份数
2、速度×时间=路程
; 路程÷速度=时间 ;
路程÷时间=速度
3、单价×数量=总价;
总价÷单价=数量 ;
总价÷数量=单价
4、工作效率×工作时间=工作总量;
工作总量÷工作效率=工作时间;
工作总量÷工作时间=工作效率;
5、加数+加数=和;
和-一个加数=另一个加数
6、被减数-减数=差;
被减数-差=减数;
差+减数=被减数
7、因数×因数=积;
积÷一个因数=另一个因数
8、被除数÷除数=商
;
被除数÷商=除数;
商×除数=被除数
数学六年级知识点2第二部分【小学数学***形计算公式】
1、正方形(C:周长，
S：面积， a:边长)
周长=边长×4; C=4a
面积=边长×边长; S=a×a
2、正方体(V：体积，
a：棱长)
表面积=棱长×棱长×6; S表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长; V= a×a×a
3、长方形(C:周长，
S：面积， a:边长， b：宽 )
周长=(长+宽)×2; C=2(a+b)
面积=长×宽 ; S=a×b
4、长方体
(V：体积， S：面积， a:长， b：宽， h:高)
(1)表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2;
S=2(ab+ah+bh)
(2)体积=长×宽×高;
V=abh
5、三角形(S：面积，
a:底， h:高)
面积=底×高÷2 ;
S=ah÷2
三角形的高=面积×2÷底
三角形的底=面积×2÷高
6、平行四边形(S：面积，
a:底， h:高)
面积=底×高;
S=ah
7、梯形(S：面积，
a:上底， b：下底， h:高)
面积=(上底+下底)×高÷2;
S=(a+b)×h÷2
8、圆形
(S：面积， C：周长，π：圆周率， d：直径， r：半径 )
(1)周长=π×直径π=2×π×半径;
C=πd=2πr
(2)面积=π×半径×半径;
S= πr?
9、圆柱体
(V：体积， S：底面积， C：底面周长， h：高， r：底面半径 )
(1)侧面积=底面周长×高=Ch=πdh=2πrh
(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
10、圆锥体
(V：体积， S：底面积， h：高， r：底面半径 )
体积=底面积×高÷3
11、总数÷总份数=平均数
12、相遇问题：
相遇路程=速度和×相遇时间;
相遇时间=相遇路程速度和;
速度和=相遇路程÷相遇时间
13、利润与折扣问题：
利润=售出价-成本;
利润率=利润÷成本×100%;
利息=本金×利率×时间;
涨跌金额=本金×涨跌百分比;
税后利息=本金×利率×时间×(1-利息税)
数学六年级知识点3第三部分【常用单位换算】
(一)长度单位换算
1千米=1000米;
1米=10分米;
1分米=10厘米;
1米=100厘米;
1厘米=10毫米
(二)面积单位换算：
1平方千米=100公顷;
1公顷=10000平方米;
1平方米=100平方分米;
1平方分米=100平方厘米;
1平方厘米=100平方毫米
(三)体积(容积)单位换算：
1立方米=1000立方分米;
1立方分米=1000立方厘米;
1立方分米=1升;
1立方厘米=1毫升;
1立方米=1000升
(四)重量单位换算：
1吨=1000千克;
1千克=1000克;
1千克=1公斤
(五)人民币单位换算：
1元=10角; 1角=10分; 1元=100分
(六)时间单位换算：
1世纪=100年; 1年=12月;
【大月(31天)有：1、3、5、7、8、10、12月】;
【小月(30天)有：4、6、9、11月】
【平年：2月有28天;全年有365天】;
【闰年：2月有29天;全年有366天】
1日=24小时; 1时=60分=3600秒; 1分=60秒;
数学六年级知识点4第四部分【基 本 概 念】
第一章 数和数的运算
一、概念
(一)整 数
1.自然数、负数和整数
(1)自然数 ：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
1是自然数的基本单位，任何一个自然数都是由若干个1组成。 0是最小的自然数，没有最大的自然数
(2)负数：在正数前面加上“-”的数叫做负数，“-”叫做负号。
正整数(1、2、3、4、……)
(3) 整数：
零 (0既不是正数，也不是负数)
负整数(-1、-2、-3、-4……)
2、零的作用
(1)表示数位。读写数时，某个单位上一个单位也没有，就用0表示。
(2)占位作用。
(3)作为界限。如“零上温度与零下温度的界限”。
3、计数单位
：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
：整数a除以整数b(b ≠ 0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
(1)如果数a能被数b(b ≠ 0)整除，
a就叫做b的倍数，
b就叫做a的约数(或a的因数)。
倍数和约数是相互依存的。
如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。
(2)一个数的因数的个数是有限的，
其中最小的约数是1，最大的因数是它本身。
例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
(3)一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
如：3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
(4)个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。
(5)个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
(6)一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，
例如：12、108、204都能被3整除。
(7)一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
(8)能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
(9)一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
(10)一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
(11)能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
(12)一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)。
100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
(13)一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。
例如 4、6、8、9、12都是合数。
(14)1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
(15)每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。
例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
(16)把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 例如：把28分解质因数
(17)几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
例如：
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中，1、2、3、6是12和1 8的公因数，6是它们的最大公因数。
(18)公因数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
①1和任何自然数互质。
②相邻的两个自然数互质。
③两个不同的质数互质。
④当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
⑤两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
⑥如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
⑦如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
(19)几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，
如：
的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 ……
其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
①如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
③几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
数学六年级知识点5小数
1、小数的意义
(1)把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
(2)一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
(3)一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
(4)在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
(1)纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25、0.368 都是纯小数。
(2)带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如： 3.25、5.26 都是带小数。
(3)有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如： 41.7、25.3、0.23 都是有限小数。
(4)无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
(5)无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：π
(6)循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 …… 0.0333 ……12.109109 ……
(7)一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。
(8)纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。
例如： 3.111 …… 0.5656 ……
(9)混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。
例如： 3.1222 …… 0.03333 ……
最小的合数篇10
最值问题可以分为两大类：一大类是代数中某些量、式子的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等。我们可把这一大类统称为代数类最值问题，它可分为代数式的最值、有关数论的最值、有关方程未知数与函数变量的最值等三小类，一大类是几何***形中按一定规律运动的元素，在一定的范围内变化而与它有关的某个量也随之变化，有时，这个变化的量存在最大值或最小值。我们可把这一大类统称为几何类最值问题，它可分为有关角度的最值、有关线段（距离）的最值、有关面积的最值、某些几何量的统计最值等四小类。
数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合能力的提高，有利于从形与数的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实的打好数学基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。本文对“数”、“形”以及数形结合等方法在中学数学的教学中的应用作一些探讨。
一、用“数”的方法求最值问题
用配方法求代数式的最值，通常是对一个一元二次多项式而言的，即满足ax2+bx+c（a、b≠0）的形式。基本思路就是根据完全平方公式用配方法配成一个完全平方式，然后根据任何一个数的平方是非负数0来求它的最值。举一个简单的例子说明：
例1：求代数式x2-4x+5的最小值。
分析：代数式x2-4x+5这是一个一元二次多项式，可以通过配方，再根据一个数的平方是非负数，便可以求得最值。
解：x2-4x=（x-2）2-4
x2-4x+5=（x-2）2+1
（x-2）2≥0
当x=2时有最小值，最小值为0+1=1
对于复杂的式子同样也适用，比如求代数式2x2-3x-5的最值。
分析：用同样的方法对2x2-3x进行配方，得■x-■■-■■
最后就可以得出当■x=■即x=■时，原式有最小值，最小值为0-■=-■。
思考问题：如果把一个一元二次多项式改为二元二次多项式，要求出它的最值的话，这种方法是否仍然适用？
二、用“形”的方法求最值问题
对称是一种客观存在的，大千世界，许多事物都具有某些对称性，对称给人们以和谐均衡的美感，在平面几何中，对称更是一种思想方法，利用对称性及“两点之间，线段最短”等性质来解决最值问题，是数学中的重要的思想方法，运用对称性解决问题，这种方法在求值中常常显示出其他方法不可代替的优越性。它既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力。
1.点关于一条直线的对称问题
例：问题：一天，天气很热，小明想回家，但小狗想到河边去喝水。有什么办法能让小明带小狗到河边喝上水，同时回家又最近？分析：把这一生活问题数学化，设小明与小狗在A处，家在B处，小河为L，小明要在直线L上找一个点P（小狗在P处饮水），使得AP+BP最短。（如***所示）设L上的P点为小狗饮水处，这个问题就转化成求AP+BP的最小值，也就是数学中的最值问题。如***，我们作点A关于L的对称点A/，连结A/B交L于点P，则点P即为所求。
知识介绍：两条线段之和最短，往往利用对称的思想，把两条线段的和变为一条线段来研究，利用两点之间的线段最短，解决了最值问题，最终便可以得出结果。此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等。
2.利用菱形的对称性进行转化
例：在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值为多少？
分析：利用“两点之间，线段最短”来做，要求出EF+BF的最小值其实就是要把这两条线段转化在一条直线上。刚好由于菱形对角连线两边对称，所以线段AB的中点E和线段AD的中点M关于线段AC对称即MF=EF。连接BM交AC于点F，线段MB即为MF+FB的最小值。
解：取线段AD的中点M，连接BM
四边形ABCD是菱形
AB=AD
又∠DAB=60°
ABD是等边三角形
又点M为AD的中点
ABM为直角三角形
又点E和点M关于AC对称
MF=EF，EF+BF=MF+BF
在RtABM中， MB=AB×sin60o=6×■=3■
EF+FB的最小值等于MB的长度，是3■。
三、用数形结合法求最值问题