学文网立体几何是高中数学较有特色的一个部分，是学生第一次较为系统和全面地学习三维空间的知识，不仅是对初中所学的平面几何的延伸，也是为他们今后进一步学习高等数学打下基础，这部分内容在高考中也占有一定的比重，因此教师在进行这部分的教学时较为细致。其中“异面直线所成角”这一小节内容是高中数学教学要求中明确文理科都必须掌握的，可谓是重中之重。
在我初次接触立体几何教学时，我注意到教材中在介绍了异面直线所成角的定义之后，给出了下面这个非常基础的例题：
【例】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求下列异面直线所成角的大小：
（1）AB与B1C1；（2）A1B与CC1；（3）AB1与BC1
作为如此重要的一个教学内容，当时的我觉得仅给出这样一个例题太过简单。正方体是学生较为熟悉的一种几何体，也是比较特殊的几何体，即使学生会在正方体中求异面直线所成角，那在其他几何体中，他们是否还会呢？何况在配套的练习中，的确出现了很多在普通棱柱、棱锥中求异面直线所成角的习题。于是，我在教学过程中，添加了两道例题：
【补1】空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，M、N分别是BC、AD的中点，求AM与CN所成角的大小。（平移法）
【补2】长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，BC=3，AA1=4，求AC与BD1所成角的大小。（补形法）
经过实践发现这样的课堂效果并不理想，主要有这样一些问题：
1.学生接触立体几何时间还不长，对于用平面***像表现空间几何体还未完全接受，因此，识***和绘***有困难，每道题出现，他们要花很多时间来画***，添加辅助线时更是不知所措，经常是画平行线却画出异面直线；
2.整节课时间非常紧张，学生能够自主思考的时间非常少，基本上是听老师不停地提示和引导，就算是这样紧凑的情况下，补2还没能讲完；
3.三道例题需要画出三种不同的***像，其中还蕴含两种解题方法。上课时就发现有些学生皱着眉头，有些学生一脸茫然，只顾着模仿我的作***和抄写笔记。学生反馈说感觉就是一会儿这样一会儿那样，即使跟着老师的引导，也会觉得比较累。
出现了这样的情况，让我意识到这节课内容的教学活动不能一味加大例题的容量，而应从根本上先排除学习障碍――***像。我回忆了我自己在学习立体几何时的经历：那时候我作为学生，对于立体***像也不是一下子适应的，于是我每天会有一些时间用在制作模型上，遇到难以理解的***像，就根据题意用细铅丝和老虎钳做个实物拿在手上观察，用细绳绑在模型上表示各种异面直线，久而久之，我能够自如地画出各种立体***像，熟练地判断空间各种关系，也不再觉得添加辅助线是很难预知的事情了。
在第二天的教学中，我带去了两个相同的长方体模型。当我拿着模型出现在讲台上时，学生都很新奇地看着这个东西，瞬间注意力集中到了课堂上。为了将前一天未讲完的补2分析清楚，我配合例题在模型上用彩色的塑料绳分别表示出了异面直线，让学生很直观地看到了它们的位置。因为要讲的是补形法，我便将两个长方体拼接起来，几乎就是在那一瞬，他们看出了异面直线所成角的位置。
课后竟然有学生跑上讲台主动要求看那个模型，他们觉得看着模型就能够理解***像中的实线和虚线分别表示了哪些线条，摸到看到实物后，就很容易联想到需要添加哪些辅助线。同时他们表示，可惜上课时只有老师手里有模型，他们只能下课后来摸一摸。我很高兴曾经帮助过我的模型在多年后也能帮到我的学生们，于是鼓励学生们自己尝试做一些模型。这之后，在立体几何的学习过程中，***像对他们来说不再那么难以接受，辅助线也不再那么“高深莫测”。
时间飞逝，一转眼我第二次接触到了立体几何这一章的教学。虽然在第一次教学中，我及时用模型补救，帮助学生克服了***像的障碍，可是那节课呈现出的其他问题不止一次地引起我的反思。
随着不断地学习和进修，我的教学理念也发生了一些变化，我开始认识到数学课堂教学应该是活动的教学，教师的作用是引导学生进行数学活动，倡导的数学学习方式是自主探索、合作交流与动手实践。而且在校本培训中，前辈们不止一次地提到过，我们不是要将所有的题目呈献给学生，而是要教会他们自己思考和总结方法，正所谓“授人以鱼不如授人以渔”。所以我想在这次教学中尝试新的模式，不仅解决***像的问题，也要尽量增加学生的思考空间。既然上次题量过大导致学生无暇思考，那这次我就精简例题，以期事半功倍。
我事先利用课余时间组织学生用一次性吸管做了很多正方体模型，基本上全班可以保证每两人至少有一个模型。而上课时，我先用动画课件解释了异面直线所成角的定义和原理，然后给出了唯一的例题：
【例】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别是BB1、CC1的中点，求下列异面直线所成角的大小：
（1）AB与B1C1；（2）AB1与CC1；（3）AB1与BC1；（4）AM与BN；（5）AC与BD1
前三个小题是书上的原题，比较基础，常规方法（平移法）足以解决，所以我决定完全由学生自己看着模型思考，我只是根据他们的描述简单写了较为规范的解题过程，提醒他们如何将思路用数学语言表达清楚。
第四小题稍有变化，我建议他们两人一组讨论。一阵沉默之后，他们一人扶着模型，一人拿着塑料绳比划。过了没多久，有人叫着“这两条不是平行线嘛，这不就平移到一个交点了嘛！”“我找到这条了！”……我笑着请几位学生分别介绍他们找到的平行线，虽然线各不相同，但是答案却不谋而合，真正是“英雄所见略同”。
第五小题是思考题，是“借用”了之前的补2，我建议他们四人一组讨论。与之前大不相同的是，这次时间上很充足。有的学生还是在努力比划着平行线，想模仿之前的小题用平移法解决问题，而有的学生看到自己有不止一个模型，便考虑将两个模型拼接起来，这样一来他们竟然在没有得到任何提示的情况下，自己找到了补形法！我顺利地“教”会了他们这两种方法：平移法和补形法。
之后作业反馈的情况也非常理想，学生并没有像我最初想象的那样，被局限在正方体中，而是在其他***形中仍然应对自如。
按照乌申斯基的说法，直观的教学不是以抽象的概念和词语为依据，而是以学生的直接感知的具体形式为依据的。因此，教会学生去有意识地使用立体几何模型，是顺利地进入立体几何之门的金钥匙。而且模型并不局限于教学使用的立体几何教具，也可以是学生触手可及的桌面、书本、笔等。善于使用这些现成的模型，可以使许多立体几何问题变得比较直观，比较容易解决。
立体几何的教学，还要能调动学生的学习兴趣，帮助他们建立学习的自信，让他们找到“窍门”，学会空间与平面之间的联想与转化。其实立体几何的许多定理、结论都源自生活实际，源自平面几何，因此要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，其中若能加强直观教学，就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。
这样看来，动手制作模具的活动不仅能帮助学生具体直观地理解空间几何体，还让学生对这部分“陌生”的知识产生了兴趣和学习的信心，从而培养学生的自主设计、自主探索、自主归纳和总结的能力。虽然制作与画***过程都需要花费一定的时间，但只要教师作适时、必要的引导，课堂适当采用多媒体配合使用，发挥各自优势，互补各自不足，还是可以获得意外的收获的。
（作者单位：上海风华中学）
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