学文网一、问题的提出
等可能地在区间[0，1]上投点，所投的点落在I=[0，1]中的任意子区间A中的概率，与A的长度L成正比，而与A在I=[0，1]中的位置无关。如果记这一事件为A，那么事件A的概率P（A）=L/1=L。如果区间A的长度逐渐缩小到一个点时，那么P（A）又等于多少？
比如向区间[0，1]上等可能地投点，所投的点落在I=[0，1]中的任意子区间A=[a，b]中的概率就是几何概率。“等可能性”是指，所投的点落在[0，1]中的任一子区间中A=[a，b]的概率，与A的长度L成正比，而与A在I=[0，1]中的位置无关。那么事件A发生的概率为P（A）=■，但是如果区间A的长度逐渐缩小到一个点，即当a=b时，是不是会有P（A）=0呢？因为单点集不是事件，所以必须用另一种方法解决这个问题.这就涉及到几何概率以及测度等问题。
所谓几何概率就是：设是某一有界区域（可以是一维空间的，也可以是二维，三维空间的），向中随机投一点M，如果点M落在中任一点是等可能的（或说是均匀分布），则说这个试验是几何型的。
对于几何型试验，事件A=“点M落在区域g中，且g”的概率，定义为。
P（A）=■这里的测度指长度，面积，体积等，在实际中虽然并不是向某区域掷点，但是，它的结果可以用某区域中的点表示，试验一切的结果对应区域中的一切点，而且具有等可能性。
求几何概率用到的是测度，那么测度和长度之间的关系是什么？所谓测度，通俗的讲就是测量几何区域的长度。平面上的一个圆的测度就是它的面积，长方体的测度就是它的体积等，因此区域是区间的话，测度就是长度。
既然测度是长度面积和体积概念的推广，那么首先就可以定义区间的测度，一般将区间的测度定义为区间的长度（R），面积（R2）或者体积（R2），更高维数的区间就叫做测度。这从本质上说明了面积和体积这些日常生活概念的一致性，它们恰恰都是不同维数的空间中的测度。如果一个点的集合可以表示成若干个区间，那么其测度自然不难定义，但是对于更一般的点集呢？比如实数轴上所有有理数点的测度？既然已经有了区间的测度，那么一般点集的测度也通过区间的测度来定义，方法就是：用若干个区间（可能是无穷多）覆盖点集，求这些区间的测度之和，这时候区间就好像尺子，当区间分的越细，对于点集的“测量”就会越精确，稍微思考之后，就会得出这样的结论：区间分的越细，其测度的总和就越小，但这个小也是有限度的，有一个下界。这个下界还不能叫测度，数学上叫作外侧度。那么外测度的确切的数学定义应该是这样的：
设E为中的任意一点集，对于每一列覆盖E的开区间■li？劢E作出它的体积总和μ=■|Ii|（μ可以等于+∞，不同的区间列一般有不同的μ），所有这一切的μ组成一个下方有界的数集，它的下确界（由区间完全确定）称为E的勒贝格外测度，简称L外测度或外测度，记为m·E。即m·E=inf■|Ii|
我们要在几何概率中用到的是测度，所以又涉及到实变函数中的另一个概念，就是可测集，为什么要提到可测集呢？测度是可测集的外测度，因为只有可测集才具有测度。
在我前面提到的问题里，区间I=[0，1]是可测集，因为所有的区间是可测集，不管是开区间，还是闭区间。其测度mI=1，这是可以得到证明的，要证明它，首先引入一个定理：
菲赫金哥尔茨的《微积分教程》的第一卷第一分册第11页下面的定理2：给定两个实数α，β。如果任取一个数ε>0。数α及β都能位于同一对有理数数s与s’之间：s’>α>s，s’>β>s
这对小数的差小于ε：s’-s
则α与β必须相等。
这里的s’-s就相当于上面的δ.因为s’>α>s，所以s’-s>0.这里的s’，s是有理数。
二、证明
把[0，1]区间等分为∞等分，即插入x（1），x（2），…x（∞-1）个分点，令x（0）=0，x（∞）=1，则闭区间[x（i），x（i+1）]（i=0，1，2，…∞-1）的长均为δ.从而x（0），x（1），x（2），…，x（∞）
就是δ精度下的[0，1]区间上的全体实数，即在δ精度下的[0，1]区间上的全体实数可列，这也可以看作是[0，1]区间上的全体实数可列的证明。由前面所述的定理知，我们现在所应用的实数都是δ精度下的实数。由前面的叙述显然有
[0，0+δ）∪（x（1）-δ，x（1）+δ）∪（x（2）-δ，x（2）+δ）∪…∪（x（∞-1）-δ，x（∞-1）+δ）∪（x（∞）-δ，x（∞）]=[0，1]
而[0，0+δ），（x（1）-δ，x（1）+δ），（x（2）-δ，x（2）+δ），…，（x（∞-1）-δ，x（∞-1）+δ），（x（∞）-δ，x（∞）]显然是[0，1]上的勒贝格测度空间，从而其勒贝格测度为1-0=1。
但是要知道，区间I=[0，1]的勒贝格测度是1，它指的是在区间I=[0，1]中覆盖无理数得到的，因为无理数是不可数集.而在区间I=[0，1]中覆盖有理数得到的勒贝格测度是0，因为在区间I=[0，1]中“有理数集合”是可数个点之并，就没有长度而言。
如果设E为I=[0，1]中的全体有理数，则mE=0，事实上设E={，，…，}，对任给的>0，令Ii=（ri-■，ri+■）
则|Ii|=■且■Ii？劢E
而■|Ii|=■■=ε
m·E≤inf■|Ii|
所以m·E=0
因为测度是可测集的外测度，区间是可测集，所以有mE=0，因此在区间[0，1]中用若干个区间覆盖有理数点，得到的体积总和的下确界是0。
现在回到前面的问题，向区间I=[0，1]上等可能的投点，可以把区间I=[0，1]分为
A1=（1/2，1]，A2=（1/4，1/2]，…，An=（1/2n，1/2n-1]，…，（其中mAn=1/2n）
质点落入这些区间的概率等于线段的长度，也就是测度，即P（An）=■=■=■，（n=1，2，…，）
如果当n时，P（An）=1/2n0（区间An变为一点）
即区间I=[0，1]内的任意一子区间，逐渐缩小为一点，即为所投点和该点恰好重合时，其概率趋近于0。
几何概率是一类在可测集中均匀投点。计算这些点落在某一区域的概率问题，此类问题的概率是用可测集的测度表示的。那么要计算实际问题的概率，只要考查问题所涉及的试验是否满足：①试验的的结果有无限多个；②全体结果可用一个可求测度的几何***形（线段长度，平面***形，立体体积等）表示；③每个实验结果的出现是等可能的。那么就满足几何概率的条件。但本文对于几何概率进行讨论，尤其对这种特殊情况的讨论，以及所涉及到的几何概率与实变函数的关系，都在本文中得到解决。
【责编 张景贤】
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