几种常见不等式的解法

不等式的解法所使用的数学方法较多，各种方法互相渗透，使解题更加灵活，多变，巧妙。下面就高中数学几种常见的不等式的解法做个归纳小结。

1.一元一次不等式的解法

任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为（ab，+∞），当a

例1：解关于x的不等式ax-2>b+2x

解：原不等式化为（a-2）x>b+2

①当a>2时，其解集为（b+2a-2，+∞）

②当a

③当a=2，b≥-2时，其解集为φ

④当a=2且b

2.一元二次不等式的解法

任何一个一元二次不等式都可化为ax2+bx+c>0或ax2+bx+c0）的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形（空集，全体实数，部分实数），如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0（a>0）

解：=16-16a

①当a>1时，

②当a=1时，=0，则x≠-2，故其解集（-∞，-2）∪（-2，+∞）

③当a0，其解集（-∞，-2-21-aa）∪（-2+21-aa，+∞）

3.不等式组的解法

将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.

例3：解不等式组m2+4m-5>0 （1）

m2+4m-12

解：由①得m1

由②得-6

故原不等式组的解集为（-6，-5）∪（1，2）

4.分式不等式的解法

任何一个分式不等都可化为f（x）g（x）>0（≥0）或f（x）g（x）

例4：解不等式x2-x-6-x2-1>2

解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0

它等价于（I）3x2-x-4>0-x2-1>0和（II）3x2-x-4

解（I）得解集空集，解（II）得解集（-1，43）.

故原不等式的解集为（-1，43）.

5.含有绝对值不等式的解法

去绝对值号的主要依据是：根据绝对值的定义或性质，先将含有绝对值的不等式中的绝对值号去掉，化为不含绝对值的不等式，然后求出其解集即可。

（1）|x|>a（a>0） x>a或x

（2）|x|0）-a

例5：解不等式|3xx2-4| ≥1

解：原不等式等价于3xx2-4 ≥1，①或 3xx2-4≤-1 ②

解①得2

解②得-4≤x

故原不等式的解集为[-4，-2）∪（-2，-1]∪[1，2）∪（2，4].

例6：解不等式|x2-3x+2|>x2-1

解：原不等式等价于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2

解①得{x|x

例7：解不等式|x+1|+|x|

解：①当x≤-1时，原不等式变为-x-1-x

②当-1

-1

③当x>0时，原不等式变为x+1+x

解得0

综合①，②，③知，原不等式的解集为{x|-32

例8：解不等式|x2-3x+2|+|x2-4x+3|>2

解：①当x≤1时，原不等式变为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时解集为{x|x

②当12，此时解集为空集。

③当22，此时的解集是空集。

④当x>3时，原不等式化为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时的解集为{x|x>3}.

综合①②③④可知原不等式的解集为{x|x≤12}∪{x|x>3}.从以上两个例子可以看出，解含有两个或两个以上的绝对值的不等式，一般是先找出一些关键数（如例7的关键数是-1，0；例8中的关键数是1，2，3）这些关键数将实数划分为几个区间，在这些区间上，可以根据绝对值的意义去掉绝对值号，从而转化为不含绝对值的不等式，应当注意的是，在解这些不等式时，应该求出交集，最后综合各区间的解集写出答案。

6.无理不等式的解法

无理不等式f（x）>g（x）的解集为不等式组（I）f（x）≥[g（x）]2f（x）≥0g（x）≥0和（II）f（x）≥0g（x）

无理不等式f（x）0）的解集为不等式组f（x）≥0f（x）0的解集.

例9：解不等式：2x+5-x-1>0

解：原不等式化为：2x+5>x+1

由此得不等式组（I）2x+5≥0x+1（x+1）2

解（I）得-52≤x

故原不等式的解集为[-52 ，2].

7.指数不等式的解法

根据指数函数的单调性来解不等式。

例10.解不等式：9x>（3）x+2

解：原不等式化为 32x>3x+22

2x>x+22 即x>23

故原不等式解集为（23 ，+∞）.

8.对数不等式的解法

根据对数函数的单调性来解不等式。

例11：解不等式： log12（x+1）（2-x）>0

解：原不等式化为log12（x+1）（2-x）>log121

（x+1）（2-x）>0 （1）（x+1）（2-x）

解①得-1

解②得x1+52

故原不等式解集（-1，1-52 ）∪（ 1+52，2）.

9.简单高次不等式的解法

简单高次不等式可以利用数轴标根法来解不等式.

例12：解不等式（x+1）（x2-5x+4）

解：原不等式化为：（x+1）（x-1）（x-4）

如***，由数轴标根法可得原不等式解集为（-∞，-1）∪（1，4）

10.三角不等式的解法

根据三角函数的单调性，先求出在同一周期内的解集，然后写出通值。

例13：解不等式：sinx≤-12

解：sinx≤-12在[0，2π]内的解是：76 π≤x≤116π

故原不等式的解集为[2kπ+76 ，2kπ+116 ]（k∈z）。

11.含有字母系数不等式的解法

在解不等式过程中，还常常遇到含有字母系数的一些不等式，此时，一定要注意字母系数进行讨论，以保证解题的完备性。

例14：解不等式23x-2x

解：原不等式变形为22x（22x-1）

（22x-1） （22x-a）

原不等式等价于22x-1>022x-a

①当a≤0时，x

②当0

③当a=1时，无解

④当a>1时，0

解不等式的基础是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式组成的不等式组。解其它各式各样的不等式（三角不等式除外）关键在于根据有关的定义，定理，性质转化这些不等式为上述三类不等式。在具体转化的过程中，特别应该注意每一步都应是同解变形。像无理不等式中的开偶次方时的被开方数及对数不等式中的真数等，在去根号和去对数符号时，一定要使被开方数非负，真数大于零。

综上所述，不等式类型较多，解法各异，要根据具体题目，选择正确方法，就可达到迎刃而解的目的。

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