学文网数学归纳法是用来证明与正整数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用，应用时应注意三点：一是验证是基础.数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是要证明的命题对象的最小正整数，这个最小正整数并不一定都是“1”，因此，找准起点，奠基要稳是正确运用数学归纳法第一个要注意的问题.二是递推乃关键.数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k+1”的过程，必须把归纳假设“n=k”作为条件来推导出“n=k+1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次.三是寻找递推关系.特别是在论证f（k+1）时， 一定要把包含f（k）的式子写出来，尤其是f（k）中的最后一项，除此之外，多了哪些项、少了哪些项要分清楚.
题型一 证明恒等式
例1 用数学归纳法证明：1-12+13-14+…+12n-1-12n=1n+1+1n+2+…+12n.
思路分析 要证等式的左边2n项，右边共n项，f（k）与f（k+1）相比，一是f（k+1）的左边增加两项，右边增一项；二是左右两边的首项不同.因此，从“n=k”到“n=k+1”时要注意项的合并.
证明 （1）当n=1时，左边=1-12=12，右边=11+1=12，左边=右边，等式成立.
题型二 证明不等式
例2 已知sn=1+12+13+…+1n（n>1，n∈N*），求证：s2n>1+n2.
思路分析 要证不等式成立，关键搞清楚sn=1+12+13+…+1n有n项，分母呈现自然递增，即s2k=1+12+13+…+12k中有2k项相加，在解决n=k+1时，s2证明 （1）当n=2时，s2n=1+12+13+14=2512>1+22，即n=2时命题成立.
（2）假设当n=k时，命题成立，即sk=1+12+13+…+1k>1+k2成立.
题型三 证明整除性问题
题型四 证明几何问题
例4 平面上有n个圆，其中每两个圆都相交两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f（n）=n2-n+2部分.
思路分析 此类题目关键在于分析清楚n=k与n=k+1时，二者的差异，这时可以借助***形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f（k）与f（k+1）之间的递推关系.
证明 （1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，又f（1）=12-1+2=2，所以，当n=1时命题成立.
（2）假设当n=k时，命题成立.即k个圆把平面分成f（k）=k2-k+2部分.
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