学文网摘要：根据缓和曲线特征表达式讨论高速公路缓和曲线弧长在曲线定位中的应用问题，分析缓和曲线特征参数A应用于曲线定位的难题和原因，介绍基于测地线密切理论确立的缓和曲线弧长方程及其应用的优势，列出缓和曲线弧长方程的应用例子及其简明定位方法．总结了缓和曲线弧长方程在推进交通路线设计、定位技术进步等方面具有科技意义的结论。
关键词：缓和曲线；曲线定位；弧长方程；路线设计
中***分类号：S611文献标识码： A
随着技术的进步和适应汽车交通发展要求，道路建设越来越重视线形设计工作，缓和曲线的作用逐渐被人们所认识。道路线形设计开始重视驾乘人的视觉、心理感受和美学要求；尤其是高速公路出现后，世界各国更加重视道路线形设计理论与方法的研究。缓和曲线常用在圆曲线和直线或者半径相差较大的两个转向相同的圆曲线之间的衔接段，起到线形缓和、行车缓和、超高和加宽缓和作用[1]。其线形符合汽车转弯时的行车轨迹，消除了曲率突变点；平面线形更为灵活，线形自由度提高，更能与地形、地物及环境相适应、协调、配合，使平面线形布置更加灵活、经济、合理。
1缓和曲线的特征模式
缓和曲线多采用回旋线，轨迹上的任一点的曲率半径与其行程成反比，
一般方程为，令，则 (1)
式中A为回旋曲线系数，或称为缓和曲线参数.
如***1，缓和曲线沿直线mn方向在点T1的曲率半径为∞，在距点T1距离(弧长)的T2曲率半径为，弧长与曲率半径满足式(1).当弧长延伸到T3的曲率半径为R圆曲线时，弧长为，根据式(1)，则有(2)
*** 1缓和曲线T1―T2―T3
Fig.1The spiral curve T1一T2一T3
2应用缓和曲线弧长的难点
常规的缓圆曲线的缓和曲线弧长应用简单，主要特点是两端缓和曲线长已知。而实际交通线路大多是非常规型缓圆曲线， 其组合形状、曲线的长短等依实际地形等不相同，曲线的组合形状复杂多变，没有固定模式，缓和曲线弧长长度未知。
缓和曲线弧长传统计算方法：运用式（2），假设R，预设A，再求.难度在于A的预设[2]，表现在如下几个方面：
计算过程重复，需要进行多次设定。如求得的不符合要求，则需要重新假定，重新求解。
A难假定。道路学科中，A涉及到车辆运行的多种参数[2]，一般难以准确取得。
“会有多重计算，繁琐”[2,3]。
计算结果在实际运用时存在误差。
由此，寻求更加准确合理的解决方案是趋势所向。
3缓和曲线弧长方程
根据测地线理论，缓和曲线存在缓圆曲线密切特征[4]，结合缓和曲线圆弧距表达式，可推得缓和曲线弧长方程[5,6],即 (3)
式(3)说明，已知，必将满足方程的要求。
由此式(3)简化为缓和曲线弧长方程，即
(4)
式（4）中,，系数分别如下：
(5)
*** 2缓和曲线弧长方程
Fig.2The arc-length equation of the spiral curve
缓和曲线弧长方程的确立以及圆弧距概念的提出，在传统缓和曲线长度与P的关系基础之上得到升华。将非常规型缓圆曲线中的圆弧距P变成已知参数，同时引用子午弧长求解方法实现的精确解[7]。“圆弧距对应缓和曲线弧长”，缓和曲线弧长具有唯一解，使计算结果更明确。
4缓和曲线弧长方程的应用
本文以直线、缓和曲线与圆曲线组合的一种非对称型缓圆曲线形式(***3)为例说明缓和曲线弧长方程的定位应用。***3非对称型缓圆曲线结构特点是：2条缓和曲线弧长长度未知，且不相等。应用缓和曲线弧长方程的定位步骤如下：
4.1 非对称缓圆曲线缓和曲线弧长计算
非对称型缓圆曲线以缓和曲线弧长方程为基础，“先有圆弧距P，后有缓和曲线弧长”的缓圆组合定位方法。基本思路：首先根据，按圆弧距实际参数求解缓和曲线弧长[5,6]。弧长计算步骤如下：
1) 从已知条件中寻找圆弧距。***3一般的已知条件：直线MJD、JDN各有一个点坐标和坐标方位角，圆曲线有及点坐标，故可以：
(1)以点坐标分别与直线MJD、JDN垂直，求得点到直线MJD、JDN的距离；
(2)以点坐标分别和直线MJD、JDN垂直，求垂足E、F点坐标，并为E、F点定位；
(3)获取圆弧距，即，.
2) 按弧长基础方程(4)求解缓和曲线弧长精确值。
*** 3非对称缓圆曲线算例
Fig.3The example of the asymm etrical spiral-circle curve
4.2非对称缓圆曲线的密切点定位
由***3可知，非对称缓圆曲线的结构关系由密切点(主点) A、B、C、D决定，密切点的定位是非对称缓圆曲线的关键[6,7]。
1)按偏移值表达式求，以E、F点为基准，用偏移值为A、B点定位；
2)求C坐标，为C点定位；
3)求CD弧长
[8]式中，是直线JDN、MJD的坐标方位角；
4)求D点坐标，为D点定位；
5)计算整条非对称缓圆曲线的详细点位坐标。
5结论及展望
1) 式(4)是现代交通路线建设所急需的缓和曲线弧长方程[8]。缓和曲线弧长方程的提出使弧长精确可求。
2）缓和曲线弧长方程结合实际以“圆弧距对应缓和曲线弧长”的弧长唯一解求解原则，解决了依赖系数A的反复预设求解缓和曲线弧长的难题。
3) 缓和曲线弧长方程在现代交通路线设计中创立了各种形式的缓圆曲线组合定位的新方法，弧长的计算、密切点定位[9]等步骤简明，易于掌握。
4)缓和曲线弧长方程在曲线设计[10]、定位自动化、通用性、高精度等方面都有独特的优势，具有广阔的应用前景。
参考文献（References）：
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[7]张坤宜．交通土木工程测量[M]．武汉：华中科技大学出版社，2008：304-308．
[8] 覃辉．土木工程测量[M]．重庆：重庆大学出版社，2011：314―319．
[9]高速公路丛书编委会．高速公路规划与设计[M]．北京：人民交通出版社，1998：181-182．
[10]吴国雄, 王福建．公路平面线形曲线型设计方法[M]．北京：人 民交通出版社，2000．
作者简介：谢远勇（1990－），男，重庆人，硕士，主要从事道路工程研究工作
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