学文网摘要:布莱克-斯科尔斯的期权定价模型是一个对经济理论、金融实践产生巨大影响的模型。该模型需要输入的参数中唯一无法在市场中直接观察到的重要变量是基础资产的波动率。基于历史数据来计量的历史波动率有严重缺陷,于是人们根据期权的市场价格,利用Black-Scholes定价模型倒推出隐含波动率。隐含波动率反映投资者对未来市场的共同预期;对于避险者的套期保值业务来说,这是进行风险管理的一项重要指标。然而,隐含波动率在使用过程中也存在着“波动率微笑”、“波动率偏斜”及“波动率期限结构”等现象。究其根源,皆源自于Black-Scholes模型所依据的某些假设条件与实际情况不相符合。
关键词:隐含波动率 科拉多-米勒公式 牛顿-拉弗森法 波动率微笑 波动率期限结构
一、历史波动率的局限性
Black-Scholes模型是一个欧式的不派息的股票看涨期权的定价模型,它所需要输入的5个参数(标的资产的现行市价、标的资产的波动率、期权的协议价格、期权的期限、市场无风险利率)中,除了标的资产的波动率之外,其余变量全都可以在市场上直接观察到或在合约中作出明确规定。波动率衡量的是期权在存续期间或到期日其基础资产价格的不确定性。由于没有现存的指标,波动率需要借助于某种数理统计方法来加以估算。这构成了市场参与者之间就同一份期权合约进行的定价及据此做出的投资决策会出现差异的主要因素。
波动率在一定程度上反映了期权的潜在获利能力。以股票期权为例,不管是看涨期权还是看跌期权,作为其基础资产的股票价格波动越是剧烈,期权购买者或持有人的潜在收益就越是大,期权的价值也就越是高。反之,对于公用事业性质的单位(如电话电报公司等)来说,由于其收益比较稳定,公司股价在未来的变化范围较小,波动率比较低,因此,基于这类基础资产之上的期权一般不会引起投资者太大的兴趣,期权价格相应地也较便宜。尽管也存在股票价格朝不利方向运动的可能性,波动率大意味着股票可能出现的跌幅巨大,但由于期权的潜在收益与所承担的风险具有非对称性质,期权持有者可能承受的最大损失不会超过一开始就已确知并已支付掉的期权费。所以,对于投资者来说,期权在到期日是处于持平价还是估亏价,是处于浅度估亏价还是深度估亏价,都是没有区别的。
实际上,期权定价所需要的是基础资产价格或投资收益率在未来的波动率而不是过去的波动率。然而,没有人能确切地知道未来的波动率,因为作为计算依据的收益率尚未形成。所以,人们以往只是间接地依靠历史数据,运用某种数理统计技巧(如标准差或GARCH等)来做一个合理的估计,这便是历史波动率。
基于历史数据来推算出来的波动率,虽能反映过去的市场变化情况,而且不受概率分布假定的限制,但用历史的轨迹来推测未来就不一定准确,充其量只能作为未来变动率的一个参考值。尤其是在发生非常事件的情况下,完全依赖历史波动率可能会得出错误的结论。例如,1994年11月墨西哥爆发货币危机,比索对美元的比价在一个月内竟贬值38.83%,这是根据历史数据所不可能预测出来的跌幅。又如,1987年西方国家发生股灾,美国的标准普尔500指数的波动率在短短的20天里从12%左右狂升至150%,这在历史上也非常罕见。再如,2001年9月11日美国遭到了恐怖主义袭击,标准普尔500股价指数仅在一个季度内就狂跌15%。很显然,在这种情况下,收益标准差的计算质量会受到严重影响。因为即便对过去数据的把握完全精确,人们也不能保证将来就一定会有同样的事件发生;当然,在问题的另一方面,人们也不能肯定将来就不会发生过去未曾见过的重大突发事件。
Fisher Black曾专门撰文对历史波动率的局限性作过论述。他认为,虽说有关基础资产收益率或市场价格的历史数据有时是非常有用的,但我们需要更多的有关信息,因为随着时间的推移,金融资产的价格波动率是会发生变化的。对于股票来说,导致其价格波动率发生变化有多种原因,主要是市场的波动性发生了变化而反映系统风险的股票贝塔值保持不变;或者是市场的波动性固定不变而股票的 值发生了变化;当然,也可能是这两者都发生了变化。所以,期权投资者和市场分析家首先应关注市场波动性在未来的运动方向,即是否存在着任何理由来预期市场的波动性在短期内将出现增大或减小。其次,在掌握有公司股票价格波动率的历史数据的情况下,还需要判断受行业因素或企业内部的营业风险、财务风险及流动性风险等的影响上市公司股票的 值将发生什么样的变化,因为这将直接关系到公司股价波动率的变化方向。再次,模型使用者还需要关注利率的变化,应尽可能地采用与期权合约期限相一致的利率并根据货币市场变化情况及时进行调整。
二、隐含波动率的计算
鉴于采用历史波动率来预测基础资产价格未来的波动存在着缺陷,人们便改变思路,另辟途径,开始依据期权市场的现有价格来寻求广大投资者对期权基础资产收益未来波动率的一致看法,即通过Black-Scholes的期权定价模型倒推出基础资产的波动率,这便是隐含波动率(implied volatility)。请参见***1:
用“向后推导”的方法得到的隐含变动率的运用范围更为广泛,因为大多数市场参与者使用同样的或相似的期权定价模型,这个波动率反映了投资者对基础资产价格变动的一致看法,能代表市场上的无套利均衡。
但***1只给出了计算隐含波动率的思路,人们很难通过解Black-Scholes模型直接求解隐含波动率。经济学家和理财专家曾作过种种努力试***解决这个难题,如Brenner和Subrahmanyam (1988)、Chance(1993)分别提出过计算隐含波动率的公式④⑤。虽然,这些公式对于持平价期权的波动率的计算还算准确,但实证检验的结果表明,一旦基础资产的价格偏离期权执行价格的现值,其准确性就开始丧失。直至1996年,Corrado和Miller在前人研究的基础上所提出的一个计算公式,才大大提高了隐含变动率的准确性⑥。见下式:
举例来说,
。根据上式,可计算出这项欧式的股票看涨期权的隐含波动率为24.85%,即:
在实践中:期权的市场价格不只是基于Black-Scholes模型,其他诸如Binomial Trees模型和Barone-Adesi-Whaley模型等对美式期权以及对派息的股票期权、外币期权、股指期权以及利率期权的定价也有很大影响。对于这类模型,可采用二等分法和牛顿-拉弗森法来推导期权的隐含波动率。二等分法的好处是:能适用所有形式的奇异期权,但计算过程复杂缓慢;牛顿-拉弗森法则相反,它的计算比较迅速,而且对标准期权的计算结果相当准确,但对于某些在资产价格与收益波动率之间没有连续关系的奇异期权来说则不够理想。
以下的例子旨在说明Newton-Raphson法的运用:设为期权定价模型的理论价格与期权市价之间的差异,若使用Black-Scholes模型,则: 。在试算的过程中,所有其他变量都保持不变,但在输入波动率时不断改变其数值,以最终使函数式 。这时,输入的波动率便是基础资产的隐含波动率。我们仍以不支付股息的欧式股票看涨期权为例,假定 , ,,, ,有:
倘若一开始随意选择的波动率为18%(),我们可求出基于Black-Scholes模型的期权理论价格为$2.9592,它比市场上的期权价格低$0.5408,即。另外,对上式求波动率的一阶偏导数,有:。这项指标反映
期权价格对基础资产收益波动的敏感程度,它也可用希腊字母 ν来表示。本例的。再将 和的数值代入下列叠加公式之中,求得。
2
然后,用取代 ,重复以上的步骤,再次计算期权的模型价格、Vega(ν)以及。如此循环反复,最终找出一个与期权市场价格最为接近的模型价格。在本例中,当试算的隐含波动率 时,期权的模型价格为与期权的市场价格几乎完全一致。这表明,44.49%的隐含波动率反映了投资者对基础资产未来价格变动的一致看法。
由Latene和Rendleman(1976)、Chiras和Manaster(1978)、Beckers(1981)、Gemaill(1986)、Shastri和Tandon(1986)以及Scott和Tucker(1989)等学者分别进行的实证分析都清楚地表明,隐含波动率比各种历史波动率在预测基础资产未来收益波动率方面更为准确。
三、波动率偏斜、波动率微笑与波动率期限结构
按照Black-Scholes模型,波动率是基础资产价格的函数,而与期权本身无关。所以,对于所有不同的执行价格,只要基础资产相同,只要期权的有效期相同,期权的波动率应该是一致的。然而,事实并非一直如此。特别是在1987年华尔街股灾发生之后,股票期权定价过程中的波动率明显地出现了一些变化⑧,参见***2。
上面左***表现的是1987年华尔街股灾之前,各种执行价格的股票期权所隐含的波动率都差不多,基本上维持在同一水平上。右***表现的则是1987年华尔街股灾之后,各种执行价格的期权所隐含的波动率和执行价格出现了负相关关系,即那些执行价格低于当前股票价格的期权(看涨期权的估盈价和看跌期权的估亏价)所隐含的波动率往往高于执行价格等于当前股票价格的期权(持平价)所隐含的波动率;而执行价格高于当前股票价格的期权(看涨期权的估亏价和看跌期权的估盈价)所隐含的波动率水平更低。这种情况被称作“波动率偏斜”。对于外币期权来说“波动率偏斜”则稍有不同,它表现为:持平价期权的波动率最低,但随着期权执行价格向估盈价和估亏价方向移动,变动率逐渐增大。这便是所谓的“波动率微笑”,参见***3。
不仅执行价格会影响到波动率的水平,而且期权距离到期日的时间长短也对波动率的高低产生作用;换言之,波动率的“偏斜”与“微笑”本身也并非是固定的,它会随着时间推移而发生变化。Emanuel Derman曾选取1995年9月27日标准普尔500股指期权的数据绘制成三维的隐含波动率表面***(参见***4)。结果发现:当执行价格相同的情况下,期权的期限越是短,其隐含的波动率就越是高;反之,对于期限较长的期权合约来说,“波动率微笑”几乎不存在。
隐含波动率并非固定不变这一事实对期权的定价理论与实践具有重大影响。为了能揭示市场如何预期波动率变化的信息,人们开始绘制反映隐含波动率与期权距离到期日所剩余时间之间关系的曲线。这样,在“收益率期限结构”之外,又形成了一个“波动率期限结构”。
有关隐含波动率还有一个现象值得关注。我们知道,看跌期权与看涨期权的平价关系是根据无套利均衡的原则推导出来的。以Black-Scholes模型来表示的平价关系为: 。
这里并不涉及任何有关基础资产价格在未来的概率分布的假设,即不管其是否呈对数正态分布,这个平价关系都成立。
同理,设 和 为看跌期权与看涨期权的市场价格,其平价关系的表示式为:。
将上述两个反映平价关系的公式相减,则有: 。
这表明,在执行价格与到期期限相同的情况下,用Black-Scholes模型来为欧式看跌期权定价,其出现的偏差与该模型用来为欧式看涨期权定价所产生的偏差是相同的。因此,在谈及隐含波动率与执行价格的关系时,并不需要特别指明这是跌期权还是看涨期权。换句话说,给定执行价格和到期期限,看跌期权和看涨期权不应该有不同的波动率。
然而,这一结论与实际情况也出现了偏差。如1996年2月21日(星期五),在伦敦国际金融期货交易所(LIFFE)交易的金融时报100股指期权,其执行价格为4300点、到期月份为3月份的看涨期权的隐含波动率是12.5%;而相同执行价格、相同到期月份的看跌期权的隐含波动率却达到了15.9%⑨。在相同的交易条件下,看跌期权的隐含波动率更高!
概言之:某特定基础资产在期权市场上根本没有一个统一的波动率,Black-Scholes模型在实际应用中存在着未解之谜⑨。究其原因,这首先可能与价格运动的假设有关,即Black-Scholes模型假设期权标的物的价格变化符合几何布朗运动,基础资产的交易是一个连续的随机过程。但事实上,金融市场上的资产价格变动有时遵循跳跃进程,而非完全呈连续运动的模式。其次,Black-Scholes模型假设基础资产未来收益率的概率分布呈对数分布状,实际上这个假设也不是在任何时候都是成立的,收益分布还有其他的形状。再次,期权定价模型采用了强式有效市场的假设,认为资产的价格包含了所有的历史数据所传递的信息和当前所有公开的信息(包括企业内部信息、行业信息以及投资专家对这些信息的诠释与分析)。很显然,这个假设也是值得推敲的。
参考文献:
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本文系上海市教育委员会重点科研创新项目“波动率指数的编制、交易及其在中国的应用前景研究”(08ZS50)的阶段性成果。
(作者单位:上海大学国际工商与管理学院金融系)
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