学文网椭圆（或圆）由于是封闭曲线，因此椭圆（或圆）中隐含的最值问题比较多，是数学研究与教学可供开发的重要资源之一，本文给出椭圆中的两个三角形最大面积问题及其解答，以飨读者.
问题1 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>0，m≠a）是x轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，求三角形AOB的面积SAOB的最大值.
***1
解 （1）当m>22a时，如***1，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为x=ty+m（t为参数），代入C的方程整理得
（a2+b2t2）y2+2b2mty+b2（m2-a2）=0. ①
由直线AB与C有两不同交点知Δ>0，等价于
4b4m2t2-4b2（a2+b2t2）（m2-a2）>0
4a2b2（a2+b2t2-m2）>0
a2+b2t2-m2>0.
由于y1、y2为方程①的两实根，则由韦达定理知
y1+y2=-2b2mta2+b2t2， ②
y1y2=b2（m2-a2）a2+b2t2. ③
由②、③式可得
AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2
=（1+t2）（y1-y2）2
=（1+t2）[（y1+y2）2-4y1y2]
=1+t2・4b4m2t2（a2+b2t2）2-4b2（m2-a2）a2+b2t2
=2ab1+t2a2+b2t2・a2+b2t2-m2.
又O到直线AB的距离d=m1+t2，所以
SAOB=12・AB・d
=abma2+b2t2-m2a2+b2t2.
令u=a2+b2t2-m2（u>0），则a2+b2t2=u2+m2，于是由二元均值不等式得
SAOB=abmuu2+m2≤ab2，
故当且仅当u=ma2+b2t2=2m2t=±2m2-a2b时SAOB取得最大值ab2.
***2
（2）当0<m≤22a时，a2≥2m2，a2>m2，由（1）的解答知SAOB=abma2+b2t2-m2a2+b2t2，由此式知当t=0（即直线ABx轴，如***2）时，三角形AOB的面积S=
bma2-m2a.下面证明④式成立：
SAOB≤S ④
abma2+b2t2-m2a2+b2t2≤bma2-m2a
a2a2+b2t2-m2≤a2-m2・（a2+b2t2）
a4（a2+b2t2-m2）
≤（a2-m2）（a2+b2t2）2
t2[b2（a2-m2）t2+a2（a2-2m2）]
≥0. ⑤
由于在a2≥2m2的前提下，⑤式显然成立，从而④式成立，故当0<m≤22a时，当且仅当t=0（即直线ABx轴）时SAOB取得最大值bma2-m2a.
由此，得到如下结论：
结论1 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（m，0）（m>0，m≠a）是x轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，三角形AOB的面积为SAOB，则
（1）当0<m≤22a时，SAOB的最大值为bma2-m2a;
（2）当m>22a时，SAOB的最大值为ab2.
说明 可以证明：当m≥22a时，过点M作椭圆C′：x2a2+y2b2=12（a>b>0）的切线，交椭圆C于两点A、B，则三角形AOB的面积SAOB=ab2.
问题2 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>0，m≠b）是y轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，求三角形AOB的面积SAOB的最大值.
***3
解 （1）当m>22b时，如***3，设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB的方程为y=kx+m（k为斜率），代入C的方程整理得
（a2k2+b2）x2+2a2mkx+a2（m2-b2）=0. ⑥
由直线AB与C有两不同交点知Δ>0，等价于
4a4m2k2-4a2（a2k2+b2）（m2-b2）>0
a2k2+b2-m2>0.
由于x1、x2为方程⑥的两实根，则由韦达定理知
x1+x2=-2a2mka2k2+b2，⑦
x1x2=a2（m2-b2）a2k2+b2.⑧
由⑦、⑧式可得
AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2
=（k2+1）（x1-x2）2
=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1x2]
=k2+1・4a4m2k2（a2k2+b2）2-4a2（m2-b2）a2k2+b2
=2abk2+1a2k2+b2・a2k2+b2-m2.
又O到直线AB的距离d=mk2+1，所以
SAOB=12・AB・d
=abma2k2+b2-m2a2k2+b2.
令u=a2k2+b2-m2（u>0），则a2k2+b2=u2+m2，于是由二元均值不等式得
SAOB=abmuu2+m2≤ab2，
故当且仅当u=ma2k2+b2=2m2k=±2m2-b2a时SAOB取得最大值ab2.
***4
（2）当0<m≤22b时，b2≥2m2，b2>m2，由（1）的解答知SAOB=abma2k2+b2-m2a2k2+b2，由此式知当k=0（即直线ABy轴，如***4）时，三角形AOB的面积S=amb2-m2b.
下面证明⑨式成立：
SAOB≤S⑨
abma2k2+b2-m2a2k2+b2≤amb2-m2b
b2a2k2+b2-m2≤b2-m2・（a2k2+b2）
b4（a2k2+b2-m2）≤（b2-m2）（a2k2+b2）2
k2[a2（b2-m2）k2+b2（b2-2m2）]≥0.⑩
由于在b2≥2m2的前提下，⑩式显然成立，从而⑨式成立，故当0<m≤22b时，当且仅当k=0（即直线ABy轴）时SAOB取得最大值amb2-m2b.
由此，得到如下结论：
结论2 给定椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），M（0，m）（m>0，m≠b）是y轴上的一定点，过M引直线交C于两不同点A、B，O为原点，三角形AOB的面积为SAOB，则
（1）当0<m≤22b时，SAOB的最大值为amb2-m2b;
（2）当m>22b时，SAOB的最大值为ab2.
说明 可以证明：当m≥22b时，过点M作椭圆C′：x2a2+y2b2=12（a>b>0）的切线，交椭圆C于两点A、B，则三角形AOB的面积SAOB=ab2.
最后需指出的是，本文研究的问题的前提条件是定点M位于椭圆的对称轴上，比较特殊，若M是椭圆所在平面上的任意一定点（M不在椭圆上且不为椭圆的中心），则问题中的AOB的最大值又如何？这个一般性的问题留给有兴趣的读者继续探讨.
参考文献
[1] 姜坤崇.椭圆中一个三角形最大面积问题[J].中学数学杂志，2014（5）.
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