【摘要】工程经济课程中时间的等值计算经常用到实际利率。每年计息次数越多,实际收益越大。有些学生对此刨根问底,随着计息期的缩短计息次数的增加,年有效利率会一直增大吗?本文利用高等数学方法对此问题进行了推导证明给出定性结论,并用数字举例说明了收益的界限。以本文飨于好学的学生与各位同仁。
【关键词】名义利率实际利率
中***分类号:G613文献标识码: A
在复利法计算中,一般采用年利率。但年利率的实际计息周期可能等于一年,也可能小于一年。若实际计息周期是一年,这种年利率即为实际利率;若实际计息周期小于一年(如一月或三月、半年),则这种年利率称为名义利率或虚利率,经过计算后得到的才是年有效利率。
设名义利率为r,在一年中计息m次,则每期之利率为r/m。假若年初借款P元,一年计息m次,一年后的本利和为:
其中利息部分应为本利和与本金之差额F―P,即
又根据利率之定义,单位时间内利息与本金之比为利率。故当名义利率为r时,实际利率由下式求得:
假定名义利率r=12%,计算出几个时间的年实际利率列表如下:
从表中计算数据可以看出:当m=1时,实际利率i等于名义利率r;当m>1时,实际利率i>r;而且m越大,二者差距也越大。
这几个点的数据特点能否代表实际特征?通过列举法计算只能显示特殊性难以表达普遍性,下面通过高等数学的推导来回答这个问题。
1. 当m>1时,是否实际利率i>r?
构造数学函数 i ―r = ―r,如果该式结果恒大于零,则结论成立。
先判别该式的增减性。
最基本的方法是对该式求m的导数,导数大于零(小于零)为增函数(减函数)。
分析该式,r作为年利率已经确定可以作为常数处理(尽管r可以变化),函数的增减性完全取决于,只要分析这部分即可。
令y = ,直接对y求m的导数显然不易。先对两边自然对数后再求导就容易些。
对复合函数求m的导数:
上式中确定大于零。
是否大于零不易判定,但能看出当m趋向于正无穷大时,其极限值为零。下面判断的增减性。
令A=,对A求m的导数,
显然A为m的减函数,随着m的增大,A值趋向更小,在+∞处趋向极值0。也就是说,A的值应该一直为正值。
再回到前面看式子,因为与都大于零,其乘积为正,判定。所以y是m的增函数,那么i ―r = ―r也是m的增函数。当m=1时,i ―r=0,随着m的增大,实际利率在增大,故i>r成立,名义利率与实际利率的差额也越来越大。后面通过几个点的计算也能说明这个问题。
2. 实际利率可以无限止增大吗?
从上面推导分析知道,实际利率i=是增函数,它会随m的增加而无休止增大吗?
这可以演变为求极限问题。
套用极限公式可知,原式
所以,实际利率不会无限制增加,它的值逼近极限。具体值是多大?我们举例计算比较。给定年利率,计算年有效利率的极限值,并算出差值验证上边的结论。
从计算结果可以发现,年有效利率肯定大于名义利率,二者的差值随名义利率r的增加而增大,但差值的绝对值很小。这也验证了上面的结论。再者银行年利率(名义利率)难以超过10% ,即使无限次计息实际利率相差也不到1%,年内多次计息没有什么实际的经济意义。
本文给出了高等数学应用分析方法,对于经济问题的定性分析具有一定的借鉴意义,希望能起到抛砖引玉的作用。
【参考文献】
1. 张豫 廖方勤 主编. 建设工程经济.广州:中山大学出版社. 2012.8
2. 唐树伶 张启富 主编. 经济学.大连:东北财经大学出版社.2006
3. 龚德恩. 经济数学基础. 成都:四川人民出版社,1999
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