学文网一、牢固掌握基本概念
例1（2008全国Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行等. 类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件①_________________；
充要条件②_________________．（写出你认为正确的两个充要条件）
简析平行六面体的定义为：底面是平行四边形的四棱柱. 所以由定义至少可以找到一个充要条件――底面是平行四边形. 结合平行的判定和性质，不难推导出“两组相对侧面分别平行、一组相对侧面平行且全等、对角线交于一点”等都可作为本题答案.
点评对概念的考查既是对基础知识的考查又是对知识的灵活运用的考查，复习过程中应该对易混概念进行对比辨析.
二、识别***形，建立坐标系
例2（2006江西）如***1，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD，ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝，BD＝CD＝1，另一个侧面是正三角形.
[A][B][D][C]
***1
（Ⅰ）求证：ADBC；
（Ⅱ）求二面角B－AC－D的大小；
（Ⅲ）在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由.
简析由已知得AB=AC=BC=. 考虑到三棱锥A－BCD中各条棱的特殊性，把A－BCD补成正方体，建立空间直角坐标系B－xyz（如***2），则A（1，0，1），B（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0）.
[A][z][D][y][B][x][C]
***2
（Ⅰ）=（－1，1，－1），=（1，1，0），因・=0，故，即ADBC.
（Ⅱ）=（0，1，－1），设n1=（x1，y1，z1）为面ABC的法向量，即n1・=0，n1・=0，则y1－z1=0，
x1+y1=0，取y1=1，则n1=（－1，1，1）. 设n2=（x2，y2，z2）为面ADC的法向量，则n2・=0，n2・=0，同理可得n2=（0，1，1）. cos〈n1，n2〉==，即所求二面角的大小为arccos.
（Ⅲ）假设存在一点E，使ED与面BCD成30°角. 设E（1，y，1－y），则=（－1，1－y，y－1）. 又n=（0，0，1）为面BCD的法向量，所以
cos〈，n〉
=sin30°=，解得y=1－，此时CE=1.
点评考虑到三棱锥和正方体之间的这种特殊关系，可把三棱锥A－BCD补成一个正方体（4个定点仍是补成的正方体的定点），借助正方体来建立空间直角坐标系，并用向量法来解题，可使求解的难度大大降低.
例3（2008四川）如***3，一***行四边形的硬纸片ABC0D中，AD=BD=1，AB=. 沿它的对角线BD把BDC0折起，使点C0到达平面ABC0D外点C的位置.
[C][A][B][C0][D]
***3
（Ⅰ）证明：平面ABC0D平面CBC0；
（Ⅱ）如果ABC为等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小.
简析由AD=BD=1，AB=得ADB是正方形的一半，考虑到平行四边形ABC0D的特殊性，将其放在正方体中，如***4所示.
[D][z][B][C][A][y][x][C0]
***4
（Ⅰ）证明略.
（Ⅱ）以D为坐标原点，建立如***4的空间直角坐标系D－xyz，则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）. 设点C的坐标为（x，1，z），其中z>0，则有x2+z2=1①（因 CB=1）. 因ABC为等腰三角形，由分析知AC=（AC=1舍去），则（x－1）2+1+z2=2②. 联立①②得x=，z=，故点C的坐标为
，1，
. 因DABD，BCBD，故与夹角的大小等于二面角A－BD－C的大小.
于是cos〈，〉==. 故二面角A－BD－C的大小为60°.
点评本题本是一个翻折问题，整个过程的空间位置关系复杂，需要较高的空间想象力. 如果我们从题干条件“AD=BD=1，AB=”联想到正方体底面，将整个***形放在以正方体为背景***形的***中，问题则迎刃而解.
三、重视基底向量
例4如***5，在正四面体ABCD中，棱长为a，AE∶EB=CF∶FD=1∶2，求EF的长度.
[A][E][B][D][C][F]
***5
简析选取=a，=b，=c为空间中一组基底向量. =c，=+=a+（b－a），则=－=・a+b－c，2=
a+b－
c=a2，故||=a，即EF长a.
点评本题可以通过传统方法“添加辅助线”来解决，但是技巧性高；当然也可以通过建立直角坐标系来完成，但运算量较大；若用基底向量求解，则简单明了，尤其是当AE∶EB≠CF∶FD时，此种方法的优势更为明显.
四、强化组合体相关计算
例5一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A． 3π B． 4π
C． 3π D． 6π
[D1][C1][A1][B1][D][C][B][A]
***6
简析如***6，以四面体A－CB1D1构造正方体ABCD－A1B1C1D1. 因正四面体棱长为，故正方体棱长为1，从而外接球的直径就是正方体的对角线，其长为. 因而球的表面积为4π・
=3π，故选A.
点评组合体在近年高考中一直是热点，常常将多面体和球进行组合，也有将“类八面体”和正方体进行组合的.
五、积累常见***形相关结论
例6已知三棱锥S－ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积最大值是（）
A． a3 B. a3
C. D.
简析如***7，由三垂线定理知BCSA，ABSC，ACSB（三组对棱垂直）. 作SO面ABC，由ABSC，据三垂线逆定理可证明OCAB. 同理可证OBAC，所以点S的投影在ABC的垂心处. 故该三棱锥是正三棱锥，在侧棱长一定时，当SA，SB，SC两两垂直时，体积最大，Vmax=×a2・a=. 故选D.
[S][A][E][B][C][H][O]
***7
点评如果同学们能有“若四面体顶点在底面上的投影是垂心，则每个顶点在对应底面上的投影都是垂心”的知识储备，思路便水到渠成. 积累常见***形的相关结论，可以起到事半功倍的效果.
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