学文网【摘 要】数列的极限是高等数学的一个基本概念，是由初等数学向高等数学过渡的关键内容,它是数学由具体到抽象、由有限到无限的桥梁，是微分学的基础。高等数学中极限概念是一个难于理解而不易掌握的一个概念，其对后续课程的学习有重要的影响。数列极限的求法很多，本文从定义、定理及相关的知识领域，加以总结整理，具体问题灵活使用。
【关键词】数列极限 高等数学 极限求法
（一）利用定义
设{}是一个数列，是一个确定的数，若对任何的正数ε，总存在一个自然数，使得时，都有
则称数列{}收敛于，称为它的极限并记作，或记作（）
例1 证明，这里为正常数.
证 由于
所以对于任给的正数，只要取，则当时，便有＜，因此
例2 证明，其中＞1.
证 令，则，仍由伯努利不等式可推得
或
现任给正数，当时，就有
即
（二）利用迫敛性定理求极限
定理 设若存在某自然数
则
例1 求数列}的极限
解 当时时，记，则有
或
于是有
因收敛于0
于是左右两端的极限都是1
故}的极限是1
（三）利用有界的单调数列求极限
定理 有界的单调数列都有极限
例1 证明数列
单调有界，并求其极限
证令，显然数列单调递增，用数学归纳法证明有界
因，假设，则有
即数列是有界的，故数列有极限，记为，由于
利用四则运算得
解得(-1舍去)
所以
（四）利用函数及归结原则求极限
对于一个数列，如果存在一个相关联的的函数（n与实数x相关联），可以利用函数的极限及数学中的归结原则来判断及求数列的极限。
（五）利用级数收敛的必要条件求数列极限
（级数收敛的必要条件是通项极限等于0）
利用比式判别法
==0
故
（六）用定积分求数列极限
极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限可以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效方法。
例
（1）式是函数f(x)=在区间［0,1］上的一个积分和，它是把［0，1］分成n等份,
取[]的左端点即（）构成的积分和，由定积分定义可得
（七）用数列 的四则运算及重要极限求极限
利用已知或简单易求的数列极限，通过四则运算求一些复杂数列的极限，是一种常用的方法。
=3·1=3
（八）利用stolz定理及推论求数列极限
Stolz定理 设有两个数列，满足
参考文献
[1] 华东师范大学数学系编《数学分析》人民教育出版社 1980.9
[2] 李俊杰Stolz定理的推广[J]．数学通讯．1981(3)；22.
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