学文网勾股定理证明方法篇1
勾股定理的证明方法如下：
1、以a b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。
2、AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。
3、证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。
（来源：文章屋网 ）
勾股定理证明方法篇2
关键词：勾股定理；定理证明；推广应用
1引言
自我国改革开放以来，国内***治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。
2勾股定理的证明方法研究
勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。
第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下***所示：
在两个绘制的***形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个***形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左***当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：
（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab
在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右***当中，也可以得出另一等式：
（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab
通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2
第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下***形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：
其通常所采用的方法之一具体由上***列示。该***形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接***形进行勾股定理的证明。由上***可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上***当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上***分解为两个***形，并实现勾股定理的证明。
3勾股定理的推广应用研究
勾股定理不但可以在平面***形当中得以应用，更加可以在三维***形，乃至n维***形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用***形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面***形之外的立体多位***形当中可以实现推广与应用。
4结论
通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。
勾股定理证明方法篇3
关键词：勾股定理；多边形；面积关系
中***分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）09-0146
勾股定理是初中数学中的一个重要定理，2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，但在众多的证明中，主要是以面积的变化进行证明。笔者通过勾股定理的证明发现了“以直角三角形的各边为边长做边数相同的正多边形之间的面积关系”。
一、勾股定理的证明
1. 将4个全等的非等腰直角三角形拼成一个大的正方形。
由***可知：（a+b）2-■ab・4=c2
a2+2ab+b2-2ab=c2
即：a2+b2=c2
也就是说：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
2. 如***将4个全等的直角三角形拼成一个大正方形
由***可知：c2-■ab・4=（a-b）2
c2-2ab=a2-2ab+b2
即：a2+b2=c2
这样又得到了勾股定理的另一种证明方法。
3. 如***将两个全等的直角三角形拼成如***的梯形
由***可知：■（a+b）2-■ab・2=■c2
■a2+ab+■b2-ab=■c2
即：a2+b2=c2
以上是勾股定理的3种证明方法，实际上勾股定理的证明到目前已有3000多种。
二、勾股定理的应用
下面我们利用勾股定理说明以三角形的三边长围成的正多边形的面积之间的关系。
1. 如***，在RtABC中，∠C=90°中，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正三角形，求证S2+S3=S1。
如***做三角形S2的高h，因为S2是以b为边的等边三角形，易得
h=■b，S2=■・b・■b=■b2
同理：S3=■a2，S1=■c2；S2+S3=■（a2+b2），根据勾股定理a2+b2=c2得S2+S3=■c2=S1
即：S2+S3=S1
2. 如***，在RtABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正四边形，求证S2+S3=S1。
证明：S2=b2，S3=a2，S1=c2
根据勾股定理：a2+b2=c2
S2+S3=S1
3. 如***以直角三角形的三边为边长做正五边形，
求证： S2+S3=S1。
证明：如***连接正五边形的中心O与一边端点的连线构成一个等腰三角形，并做出等腰三角形底边上的高h，
cotα=■，h=■cotα，
S1=■c・■cotα・5=■c2・cotα，
同理：S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，
S2+S3=■b2・cotα+■a2・cotα=■cotα（b2+a2）
由勾股定理得：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1
即： S2+S3=S1
依次类推：以直角三角形的三边为边长做正n边形时，S2=■b2・cotα，S3=■a2・cotα，S1=■c2・cotα，根据勾股定理：a2+b2=c2，S2+S3=■cotα・c2=S1
即：S2+S3=S1
通过上面的证明我们可以得到“以任意直角三角形的三边为边长做边数相等的正多边形，以斜边边长为边的正多边形的面积等于以直角边边长为边的两正多边形的面积之和。”
同样我们还能得到以“任意直角三角形的三边为直径做半圆（或圆），以斜边边长为直径的半圆（或圆）的面积等于以直角边为直径的两个半圆（或圆）的面积之和”。
下面我们来看证明：
已知：如***，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，分别以a，（上接第146页）b，c为直径做半圆。
求证：S2+S3=S1
证明：S1=■π（■）2=■c2，S2=■π（■）2=■b2，S3=■π（■）2=■a2
S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2），由勾股定理a2+b2=c2得：S2+S3=■b2+■a2=■（b2+a2）=■c2=S1，
即：S2+S3=S1
勾股定理证明方法篇4
【关键词】 勾股定理；思维之门；形数统一史话定理
在古代，许多民族发现了这个事实即直角三角形的三条边长为a，b，c，则a2+b2=c2。其中a，b是直角边长，c为斜边长。我国的算术《周髀算经》中，就有关于勾股定理的记载，为了纪念我国古人的的伟大成就，就把这个定理定名为“勾股定理”或“商高定理”。
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方***”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何***形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体***形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。
实题演练
【例1】已知直角三角形斜边长为2，周长为2+6，求其面积
【分析】欲求直角三角形的面积，只需求两直角边之积，而由已知可得两直角边之和为6，结合勾股定理又及其平方和为4，于是可用方程求解.
【解】略
【说明】此解法采用“设而不求”的技巧，应该体会并掌握之。
【例2】如***，已知：点P是等边ABC内的一点，∠BPC=150°，PB=2，PC=3，求PA的长.
【分析】将BAP绕点B顺时针方向旋转60°至BCD，即可证得BPD为等边三角形，PCD为直角三角形.
【解】略
【说明】本题的解法采用了旋转的方法，这是我们解题时常用的一种方法。本题着重考查了等边三角形的有关知识和勾股定理及逆定理.
【例3】(2006年长春中考)如***，在RtABC中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3。在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的***形是一个等腰三角形，如***所示。要求：在答题卡的两个备用***中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在***中标明拼接的直角三角形的三边长。(请同学们先用铅笔画现草***，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的***形)
【分析】本题的解题重点应放在等腰三角形的腰的选择和相关直角三角形边长的确定上。
【解】
【说明】本小题6分，以上四个***中任意画其中两个，并标出三角形的三边长，每画对一个***得2分，正确标出边长得1分。很多考生在解本题时，并没有认真领会题目的意***，“在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的***形是一个等腰三角形，”而是将思维定格在RtABC的外部，仍用直角边长为 4和3的三角形去拼接，因而除了上解的第一种***外，再也想不出第二个***形来，从而将自己困在从不同位置进行***形拼接的迷宫里。
【例4】如***，一块长方体的长、宽、高分别为4米、2米、1米，现有一只蜘蛛在这块长方体的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇?蜘蛛爬行的最短路程是多少?
【分析】因为A、G两点分别在长方体的两个平面内，不妨把两点所在两个面展开，置于同一平面内，其最短路线可在同一平面内确定.
【解】根据展开面不同，可分三类情况，如下***所示：
(Ⅰ)***(1)中，BG=1+2=3，AG=32+42=5(米)；
(Ⅱ)***(2)中，AF=4+1=5，AG=52+22=29 (米)；
(Ⅲ)*** (3)中，AC=4+2=6，AG=62+12=37 (米).
比较上述三种情况，如***(1)所示的展开方法所走的路程最短.即沿经过棱EF的路线爬行，才能最快抓到苍蝇，最短路程是5米.
【说明】在求不同平面内的最短路线问题时，常用“降维”的方法将立体***形展开，然后，借助直角三角形运用勾股定理进行求解。
总的说来，勾股定理是数学中的伟大定理，它的应用范围是非常广泛的，它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有生产技术和科学研究都离不开它；而且有许多发展目前还探索不够，说不上什么时候会出现创新出奇的崛起，它的前程未可估量。
勾股定理证明方法篇5
一、定理引入
课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.
在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如***1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？
***1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意***是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.
***2二、定理探索
定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.
1.直角三角形的三边数量关系的猜想
结合***2，若***中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？
2.猜想验证
首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照***3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.
***3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.
三、定理应用
在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理. 以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.
因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.
四、定理证明
***4 当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼***法来说，除了像***3那种方法外，也可以用***4来证明.
这一部分的操作意***是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.
五、习题巩固
针对学生对勾股定理的掌握情况，教师安排一些有针对性的习题进行一系列的巩固练习，这在强化学生应用能力的同时，也加深了他们对该定理的认知，从而让知识变得真实易懂，融入自身.
勾股定理证明方法篇6
【关键词】勾股定理；文献资料；教学设计；实验操作
在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上备好一节课本是最好的备课方式，但由于教师理解能力的差异，以及对“三个理解”的认识程度不同，备课效果自然不可同日而语.那么，怎样才能备出一节好课呢？笔者认为，通过比对同一课时的文献资料，分析不同教案的优缺点，博采众长，巧妙融合，自然会备出一节好课.下面以“勾股定理”起始课为例，谈谈如何利用文献资料进行备课.供参考.
1常见教学设计
查阅近几年的文献资料，发现勾股定理起始课教学设计大致分为三类：以证明定理为主的教学设计、以探究发现定理为主的教学设计、以实验操作来发现定理的教学设计.现对这三种教学设计做客观分析.
1.1以证明定理为主的教学设计
章建跃博士在谈到勾股定理教数学时指出：“其一，勾股定理的发现具备偶然性；其二，毕达哥拉斯是大数学家，对数极其敏感，对“形”非常自动化地想到“数”，这是一般人做不到的……我觉得，不应该让学生去发现，重点应该放在让学生去证明这个定理.”[1]在这一观点的支撑下，一线教师中的许多实践者也取得了良好的教学效果.
课例1刘东升[2]先从一段BBC纪录片《数学的故事》展示古埃及人结绳绷成直角三角形导入新课，随即导入勾股定理的特例“如果作一个直角三角形，使得两直角边分别为3和4，你能否求出斜边的长？”在学生尝试无果后，教师指出有人曾经用拼***的方法求出该三角形的斜边长为5，接下来用拼***的方法予以计算.最后从特殊到一般用面积法（割补法）证明勾股定理.
分析教师设计以证明为主的教学思路，大致是基于以下几点思考：一是恰当安排讲授法，节约时间，采用教师讲授证明思路，学生跟进理解，是基于对学情的理解；二是勾股定理的发现具有偶然性，只有毕达哥拉斯这样的大数学家，才能从“形”非常自动地想到“数”，这是一般人做不到的，在课堂上有限的时间里让学生去发现该定理是不现实的，也是无法完成的任务.所以，该设计把时间重点分配在证明勾股定理和欣赏勾股定理文化上.从学习的角度看，这样的安排是有效的，是基于学情来考虑的，有利于学生学习数学知识，培养学生演绎推理的能力.
《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》[3]（以下简称标准）在课程基本理念中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.显然，上述过程少了学生观察、实验、猜想的过程，而这却是数学教学的重要功能所在.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理，从这个角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究发现定理为主的教学设计
特级教师卜以楼认为：研究一个定理，一般要从猜想――验证――证明这三个方面去把握，如果离开了猜想、发现定理这两个环节，那么培养学生的创新意R和实践能力就会在教学中打折.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理.卜老师同时给出了基于上述思考的教学设计.
课例2卜以楼首先通过画两个直角三角形，引导学生发现直角三角形三边间有关系，然后顺势提出问题：既然直角三角形三边数量之间有一个等量关系，这个等量关系是什么呢[4]？接着，引导基础薄弱的学生在单位长度为1 cm的坐标纸上，理性地选择几个直角三角形去画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系；引导基础较好的学生理性分析三边间的关系：a、b、c三边间关系可以是一次等量关系、二次等量关系，甚至是高次等量关系，根据三角形两边之和大于第三边否定三边间存在一次关系，然后探讨三边间的二次等量关系，先从特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，经过验证发现猜想成立，再用“证伪”否定其它的二次关系，最后引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”，然后利用***形面积（割补法）来分析和解决问题.
分析首先，本课例关注学生四能培养，教学过程就是基于发现和提出问题，分析和解决问题的思路来设计的，教学过程就是引导学生思维的过程；其次，符合“猜想――验证――证明”的数学学习规律，过程严谨，丝丝入扣，数学味浓，注重学生思维能力和创新能力的培养.
但仔细分析其教学设计后发现，其课堂教学过于理想化，既要启发基础较差的学生画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系，又要引导基础较好的学生理性分析三边间的关系，直至发现直角三角形三边的平方关系，还要引导学生证明勾股定理，复杂的教学过程可能会导致教学时间不够，文章展示的探究过程很难在现实的课堂中得以实现.另外，在引导基础较好的学生理性分析三边间关系的过程中，作者根据三角形两边之和大于第三边就可以否定三边间存在一次关系，这句话是有问题的，比如，边长分别为a=3、b=4、c=5的关系可以表述为a+b=75c这样的等量关系.对于a、b、c之间二次关系的三种形式的分类是可行的，但直接从特殊情况a2+b2=c2入手，是执果索因的结果，这和直接告知结论是一样的效果.
1.3以实验操作来发现定理的教学设计
苏科版数学教材主编董林伟先生指出：数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程[5].数学实验已成为数学教学中的一个重要方式.关于勾股定理的教学，数学实验大致有两种方法：测量法和计算法.
课例3测量法[6]：任***华引导学生从“直角三角形的角度特殊，会不会它的边在数量上也有特殊的关系呢？”开始思考，然后让学生动手画一个任意直角三角形，测量其三边长度，计算交流，接着学生展示所得数据及本组猜想，师生用几何画板演示，发现a2+b2=c2这一结论成立，再用拼***法证明结论，最后介绍有关勾股定理的数学史.
课例4计算法[7]：万广磊从展示2002年的数学大会的弦***开始，然后直接给出直角三角形和以该三角形三边向形外作三个正方形，通过填空的方式来计算三个正方形的面积，学生通过画一画、想一想、试一试、辨一辨来发现a2+b2=c2，再用实验的方法验证钝角三角形和锐角三角形不具备两短边的平方和等于最长边的平方，然后用拼***法证明勾股定理，最后介绍有关勾股定理的数学史.
分析这两个课例都是通过画一画、想一想、算一算来发现勾股定理的，动手实验的过程有利于培养学生的动手能力，获得研究问题的方法，积累活动经验.但课例3存在两点不足，一是学生画***、测量过程中无法保证***形的准确和数据的精确，不能为发现规律提供保证；二是学生从测量出的三边数据中，怎么会轻易发现三边的平方关系？课例4教师通过填空计算面积的方式已经把解题思路和盘托出，难点化为乌有，就像几何题中老师提前告知辅助线一样，是避开难点，而不是突破难点.罗增儒教授称以上教学为“虚假性情境发现”和“浅层次的情境发现”.
2勾股定理教学中需要突破的难点
通过上述课例的分析，我们不难发现在勾股定理的教学中回避不了几个难点：一是如何创设合适的情境，引导学生发现直角三角形三边间的平方关系？二是怎样引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”？三是选择探究教学，探究的时间较长，有时甚至不可控，需要时间成本；四是数学定理的呈现虽是美丽的，但发现的过程确是漫长和痛苦的，所以，课堂上定理的发现不能过于理想化，所谓还原数学家火热的思考，实在过于理想化，在短短的一节课内要完成一个定理的发现，必然要降低发现坡度，缩短发现时间，中间教师的引导甚至干预就必不可少.3吸收精华，改进教学设计
上述四个课例均有可取之处，在认真学习比对优劣的基础上，多方吸收各种教法中的精华，充分考虑勾股定理教学中需要突破的四大难点，经过认真整合，确定“从特殊到一般，经历猜想――验证――证明”这样的探究教学设计，在实际教学中取得了较好的效果.
3.1情境入
在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三边间有确定的关系吗？
3.2探究发现
（1）从最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三边间关系
直角边长为1的等腰直角三角形的面积是多少？如果斜边用字母c表示，请用c表示三角形的面积.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同样的方法研究直角边长为2的等腰直角三角形，有什么发现？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角边长分别为3、4的等腰直角三角形，会发现下面结论.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（这里是需要教师干预和引导的）
（2）在网格中研究直角边不等的特殊直角三角形***1
如果两直角边不等，上述猜想还成立吗？老师在黑板空白处画***分析，指出上面的方法行不通，能否借助格点正方形来发现呢？分析“式结构”，在上***（***1）中22=4，用四个正方形表示，12=1，用一个正方形表示，那么以斜边为边的正方形的面积是等于5吗？引导利用割补法研究（小学已经学过）.
（3）几何画板验证猜想的结论
（4）不完全归纳法得出勾股定理
3.3定理证明与介绍
证明过程略.（***形割补见***2，证明思路见上面分析）
本设计在研究最简单的三角形时，学生是不可能想到运用面积来发现等腰直角三角形的三边关系的，这时教师直接引导先用两直角边求面积，再启发用斜边求面积，这个过程不自然，但确实没有更好的办法.所以，发现式教学不能不加干预，任由学生自由思考，正如佛赖登塔尔所说：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”显然，这就是教师主导作用的意义所在.
综上所述，通过文献资料的研究，我们可以对相关内容的教学有清楚的认识，并在比较中去粗存精，获得比较合理的教学方法，这不失为一种行之有效的备课方式.
参考文献
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勾股定理证明方法篇7
[关键词]概念学习
差异发展提高能力
[中***分类号]G633，6
[文献标识码]A
[文章编号]1674-6058（2016）32-0001
数学概念是学生感悟数学思想、积累数学活动经验的重要基础，是解决数学问题的大前提，学生在运用数学概念进行观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动中要得到正确的结论，就要正确地理解概念、掌握概念，概念学习是初中数学至关重要的一个环节，是基础知识和基本技能教学的核心，也是发展学生智力、培养学生思维能力、提高学生数学素养不可缺少的一环，然而，目前初中教学中对概念学习存在着严重的“一刀切”现象，在概念学习的目标定位、概念学习活动的具体实施和反馈评价中只注重学生的共性、注重学习任务的完成，而很少考虑到学生的个性、关注学生的差异发展，这与新课程标准“提高学生的数学素养，为每一位学生的终身发展奠基”的理念是有差距的，那么，如何在数学概念学习活动中关注学生差异，实施差异教学？本文以浙教版《数学》八年级（上）《探索勾股定理》一课为例进行具体阐述。
一、制订差异目标。关注学生差异
差异教学要求教师在了解总体目标的同时，能够为不同层次的学生制订分层目标，在有条件的情况下还要尽可能为每一个学生制订个性化目标。
例如在《探索勾股定理》一节中，教材安排了“剪4个全等的直角三角形纸片把它拼成如***1的正方形”的合作学习活动，试***让学生通过比较***中阴影部分的面积与大、小两个正方形的面积的差来证明勾股定理，考虑到八年级学生的生理及心理特点，同时结合教学内容，我们可以确定该数学活动的总体目标为：重点培养学生的实验、猜测、推理、验证、交流能力，体会勾股定理这个核心概念的形成过程，对于运用多种途径解决的数学问题，我们可以为不同层次的学生制订分层目标，对于第一层次的学生，要求能通过***思考、相互交流，直接证明勾股定理并设计出另一种拼法（如***2）来证明勾股定理；对于第二层次的学生，要求能在教师的引导或学生的帮助下得出有关勾股定理的等式。
二、设计差异活动。适应学生差异
差异教学要求教师根据教学实际精心设计学习活动，活动不仅要考虑教学的总体意***，还要尽可能为不同的学生提供选择的机会。
例如上述“证明勾股定理”的活动，首先，我们可以根据教学实际作如下设计（如***3）：
其次，我们可改革活动结构，实施分层分类模式，比如在“提出问题”“归纳总结”等环节中，我们可以采取“合”的方式，但在其他环节，我们则采取“分”或“分合”的方式，从而为不同的学生提供选择的机会。
再次，我们可在相关环节呈现可供选择的内容，比如为了让学生更好地掌握、应用勾股定理，我们在应用练习中设计了一个题组，请学生在下列两题中任选一题填空。
在这一环节中，我们为学生提供了两种比较常见的勾股定理模型（已知斜边和直角边，已知两直角边），引导不同的学生选择任意一题解答，为不同的学生提供差异化的选择内容，让学生更好地应用勾股定理解决数学中的计算问题。
三、指导差异过程。尊重学生差异
1.灵活采取教学策略，照顾学生差异
在差异教学过程中，教师应根据教学内容的具体特点和学生的实际需要，灵活采取适当的教学策略，以推动学习活动的顺利进行，从而加深学生对概念的理解，
例如，在证明勾股定理活动中，“请你再拼出一种***形来证明勾股定理”这一要求对学生而言是非常难的，学生不仅要考虑拼什么***形，还要考虑拼出来的***形能否证明勾股定理，我们在实际的教学过程中可以根据学生的实际情况，采取下列不同的教学策略，第一，对于全体学生，可增加他们的实践体验，鼓励他们运用教师提供的四个全等的直角三角形进行尝试；第二，对于大部分学生，可通过设置阶梯来降低学生的学习难度，比如在内容呈现上与第一种证明方法放在一起，以引导学生用类比的方法来设计方案并证明；第三，对于部分确实有困难的学生，可通过适当提问、点拨的方式来引导他们大胆猜测、多次操作观察、分析比较，使他们认识到利用四个全等的直角三角形也可以拼出另一个正方形，并利用面积的不同表示方法来证明勾股定理。
2.努力倡导合作学习，利用学生差异
在差异教学过程中，教师应努力创设条件，引导学生通过各种形式开展合作学习，促使学生相互协作、优势互补，最终实现差异共享。
例如，上述“请你再拼出一N***形来证明勾股定理”这一活动要求具有一定的难度，但是它同时也具有相当的挑战性，能有效培养学生的实践能力和创新思维，而且在操作的过程中还能实现与其他小组成员的合作交流，教学中，我们首先要求学生分组讨论，设计各种拼法，再引导全班学生相互交流、分析、评价，最终形成一个大家认可的方案，并利用类比思想来证明勾股定理，其中在第一个阶段（即分组讨论阶段），我们让A等生来帮助B等生；在第二个阶段（即全班交流阶段），我们要求B等生来展示他们的学习成果，同时由A等生进行评价、补充，这样，通过“A等生帮教B等生”“B等生展示”“A等生评价”等形式，给不同层次的学生设置了不同的任务，也给每一个学生提供了不同的学习机会，使全体学生得到了共同提高，实现了差异发展。
3，巧妙搭建挑战平台，发展学生差异
差异教学不仅要使“弱者变强”，同时也要使“强者更强”，教学实践中，教师可通过巧妙搭建挑战平台，激发学生的学习潜能和创造能力，从而促进学生在原有的基础上进一步提高。
例如，在巩固练习中设计的这样一个题组：如果一个三角形的两条边为6厘米和8厘米，你能否求出第三条边？为什么？如果这个三角形是直角三角形，那么第三条边为多少？
对于第一个问题，学生往往忽视勾股定理的前提条件而得出10厘米的错误答案，而“为什么”这个设问，它会引发学生思考从而得到正确的结论，“如果这个三角形是直角三角形，那么第三条边为多少？”由于该问题是在第一问的基础上进一步探究，因而能大大激发学生的学习兴趣，促使学生进一步思考、探索，最终得出两个答案：当8厘米长的边为斜边时，利用勾股定理得第三边为2/7厘米；当第三边为斜边时，则第三边为10厘米。
勾股定理证明方法篇8
【关键词】初中数学；勾股定理教学；创新策略
为了让初中数学课堂丰富化和多样化，教师应该多应用现代化技术来营造愉悦轻松的课堂氛围。传统的教学方式，教师充当了权威的身份，学生大部分的课堂时间是被动的接受教师说讲授的学习内容，处于被动学习状况，不仅学习效率不高，一旦遇到难懂的、难理解的知识，往往没有充足的时间进行分析和揣摩，导致学生学习效率越来越低，甚至对学生将来学习数学造成了阻碍。针对此，在新课改的大背景下，教师应该将促进学生自主学习和自主探究，培养学生的创新能力作为教学目标，根据学生的学习需求，立足于学生的实际情况，充分利用现代化技术，为学生营造轻松的、高效的数学课堂，促进学生学习和发展。
1在切入勾股定理过程中，充分发挥多媒体作用
为了提高课堂教学质量，初中数学教师在课堂开始之前就要能够找好教学的切入点，在课堂活动一开始就抓住学生的注意力，让学生对教学内容产生求知欲，并能够清晰的认识到教学内容。由于初中生正处于心理快速发展的时期，对多媒体存在较大的好奇心，教师利用多媒体来引入知识点，可以让学生不自觉进入到角色中进行学习，进而充分参与到教学活动中进行数学问题的探究和学习[1]。例如：教师可以在课堂开始之前播放两段视频，第一个视频是：小红拿着一根2.2m的竹竿上火车，但是按照中国铁路乘坐法规规定，乘客在乘坐火车时，所携带的物品不能超过两米，但是乘警发现夏红拿着超过标准长度的竹竿上火车却视而不见，这是为什么？这种利用视频引导学生的方式，可以激发学生对接下来的学习产生热情，进而认真学习接下来的知识。
2为了将勾股定理具体化，注重突出多媒体功能
当今对学生的优劣程度都是根据考试成绩来进行判断，但是在初中时间教学中可以发现，学生的学习过程往往比学习结果更重要，教师应该让学生充分参与到教学活动中，所谓授之以鱼不如授之以渔，教师应该帮助学生掌握教学方法，引导学生通过自主学习来进行自我完善和自我进步[2]。勾股定理知识具有较强的灵活性，勾股定理知识可以与其他数学知识点进行有机结合，成为一种综合性问题，因此，初中数学教师应该让学生学会勾股定理并熟练运用勾股定理来进行综合数学问题的解决。为了帮助学生突破勾股定理知识点的束缚，教师应该将勾股定理形象化和具象化。例如：初中数学教师可以利用多媒体技术将数学计算公式和***像、声音结合起来，首先设置数学问题：已知AB=4，BC=12，CO=13，DA=3，ABAD，请证明BCBD。传统的教学方式，教师都是通过黑板来进行逐步推演，但是，为了创新教学策略，教师可以将推演过程做成幻灯片的形式，在步骤推演中插入适当的音效，强化学生的记忆。
3鼓励倡导学生进行猜想，点燃学生的创新火花
伟大的数学家宜里士多德认为：疑问和近期是思维的开始，因为疑问是学生思考和产生认知的冲动，只有在学生产生疑问后，才能进行自主学习和探究，因此，在进行教学的过程中，教师应该通过提出问题，引导学生分析问题和解决问题，让学生在整个过程中进行思考，从而发展学生的创新意识和实践能力[3]。例如：在进行勾股定理的逆定理学习过程中，首先让学生进行勾股定理的回顾：加入直角三角形两直角边的长为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2，由此，教师可以提出问题：加入一个三角形的三边长为a、b、c，三条边满足条件a2+b2=c2，请问这个三角形的形状怎么样？大部分学生都猜测是直角三角形。为了让学生强化勾股定理的理解，教师可以让学生以小组的形式进行分析验证。很多学生提出想法：画一个三边长为3、4、5的三角形，显然32+42=52，且画出来后也是直角三角形。基于此，教师可以继续进行提问引导：这种想法是不是具有较大的皮变形，当前对一个三角形是不是直角三角形，只能通过证明其中一个教师直角，那么我们应该如何判断这个角是直角？由此，教师就可以帮助学生形成笛思维：利用已知条件作直角三角形，在证明直角三角形与原三角形全等，那么以上问题就得意解决。做直角，截取两直角边相等，利用勾股定理和已知条件可以计算出斜边长c，最后通过三边对应相等的两个三角形全等（SSS），则可以证明学生自己的猜想。在整个教学过程中，学生积极思考，证明自己的猜想，处于学习的主置，学习效率较高。
4构建现代化的教学情境，激发学生的创新意识
当前我国已经进入了互联网时代，教师应该利用互联网加强师生之间的沟通，并通过互联网拓展学生的知识面，促进学生的进一步发展。例如：学习完勾股定理的相关知识后，教师可以将知识网络构造***放在校园网平台中，让学生在课外也能够对知识网络进行重温和学习。与此同时，教师可以在校园网平台中，典型例题，学生完成后提交给系统进行批改，教师则对学生的做题情况进行查看和统计，针对学生容易出错的题目，设计相应的教学环节，帮助学生强化这一领域的知识。另外，教师可以倡导学生组建课外学习小组，小组通过微信、QQ等现代化社交软件进行学习交流，学习好的带动学习差的，相互促进、相互学习，提高学生整体学习水平。学生在这样融洽、向上的学习环境中，学习氛围良好，学习效率也得以提高。且利用现代化交际手段，强化师生、生生之间的沟通交流，可以帮助学生强化知识，打造良好的交际圈，促进学生的全面发展。
5结束语
总而言之，随着现代化的发展，现代化技术深入到我们的生活和学习中，互联网时代的到来促进多媒体技术的进一步发展，创新初中数学勾股定理教学方法，教师应该充分利用多媒体技术和互联网技术，将抽象的勾股定理知识具象化，为学生创建活跃的课堂氛围，调动学生的学习积极性，帮助学生养成自主学习和自主探究的良好学习习惯。与此同时，教师还可以利用多媒体技术帮助学生拓展知识范围，除了课文以内的知识以外，让学生能够了解到课文以外的知识内容，促进学生自学能力的发展。在初中数学教学中，勾股定理教学是重点，也是难点，教师应该对教学方法进行创新，将多种教学方式应用于教学过程中，帮助学生牢固掌握勾股定理，使学生能够熟练运用勾股定理解答其他数学问题。
参考文献：
[1]曾云艳.如何有效创新初中数学勾股定理教学方法[J].新课程・中学，2016，19（11）：173-173.
勾股定理证明方法篇9
定理
【中***分类号】 G633.6
【文献标识码】 A
【文章编号】 1004―0463（2016）
21―0111―01
一、用“格点”教具，提高学生计算能力，突破勾股定理的导入瓶颈
在小学，格点面积的相关计算是学生能力方面的一个要求，学生通过观察不规则***形在方格中的位置，通过割、补、拼等手段，以及巧算“格点”***形的面积，就可计算出***形的面积。在初中阶段，勾股定理就是在“数”***形面积的过程中发现并引入的，“数”面积也是勾股定理证明、应用的关键。为了达到较好的教学效果，在教具上，重点突出格点***形面积的计算应用。首先用小木质黑板，画好20×20的方格，用皮筋当线段，***钉当顶点，在格点上“钉”出多边形，让学生采取对***形的拼、割以及“格点”计算等不同的方法，计算多边形***形的面积。通过训练，使学生更好地认识***形，突破***形面积的计算障碍，为学习“勾股定理”打下良好的基础。这里，通过运用教具进行数学教学 ，把抽象的数学知识具体形象地呈现给学生，提高了学生的***形感知能力。
二、用“拼盘”教具，加强学生数形结合能力，突破勾股定理的证明障碍
《勾股定理》的证明方法有很多，如何让学生能很好地理解这些方法呢？笔者认为，应用简易的教具去演示其中的奥妙，是教学中最好的方法。
笔者是这样做的：制作底为7cm×7cm，高约0.5cm的正方盒1个以及直角边为3cm×4cm的全等直角三角形4个，在教学中，如果拼摆这四个直角三角形，就可得到我国古代数学家赵爽以及美国总统的关于勾股定理的证明思想。
中国历史上的“青朱出入***”，是古人对勾股定理的无字证明。在教学时，可让学生自己先制作这一学具，通过拼割、移动***形，发现面积的变化，感受并体会勾股定理的奥秘所在。
教学中，运用这个教具，直观形象地使各***形之间的面积凸显出来，帮助学生分析数量关系，抓住其本质要害，从而使抽象的数量关系具体化、形象化，有效地培养了学生的观察、记忆、思维、想象能力。
三、用 “立体”教具，激发学生空间想象能力，解决勾股定理的分析困难
教具有能拼、能折、能拆等特点，利用这一特点，可使教学变得具有操作性和活动变化性。在应用勾股定理解决空间立体***形的问题时，学生总是想象不出***形中各线段之间的关系，无法理解空间问题，但适时利用圆锥、圆柱、长方体等教具，就可以让学生很轻松地解决这一问题。
例如，有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。在圆形柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的值取3.14）
让学生自己做一个圆柱（圆柱侧面绕一层纸），在圆柱上用铅笔标注出A、B的位置，尝试用铅笔从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？用剪刀将圆柱侧面的纸（沿母线剪开），将圆柱的侧面展开。这时，学生不难发现，刚才用铅笔画的路线就是蚂蚁的走法，哪条线段最短显而易见。
四、用 “折叠”教具，强化学生的动手操作能力，增强学习勾股定理的信心
对于“折叠”类的数学问题，学生抓不住折前与折后数形之间的相互联系，无法将抽象的数学语言与直观的***形结合起来，使“折叠”题成了难题。为了促进学生空间观念的进一步发展，教师可以引导学生动手现场折叠废旧纸片，发现其中的等量关系。
勾股定理证明方法篇10
关键词:勾股定理故事自学引导巩固
时钟随着指针的移动嘀嗒在响:“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士,“分”是士官,“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇的***官。所以当你百无聊赖、胡思乱想的时候,请记住你掌上有千***万马;你是他们的统帅。检阅他们时,你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大的作用?
——菲·蔡·约翰逊
数学教学实质上是数学思维活动的教学,在数学教学中要充分调动学生的主体作用,注重教学过程,改变被动接受知识的局面,实现课堂教学素质化,才能真正提高课堂教学质量和效率。下面说说我在教学中的做法,通过这个例子来具体地说明数学课上如何提高课堂效率。
课例:《勾股定理的证明》
教学目标:勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的。它是直角三角形的一条非常重要的性质,是几何中最重要的定理之一;它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系;它可以解决直角三角形中关于边的计算问题,是解直角三角形的主要根据之一,在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力,通过实际分析、拼***等活动,使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较,理解勾股定理,以便正确地进行运用。
例如,勾股定理证明教学过程中,教师可这样实施:
一、故事引入,激发兴趣
为了激发学生学习勾股定理的兴趣,可以由下列故事引入:三千多年前有个叫商高的人对周公说:把一根直尺折成直角,两端连接得到一个直角三角形,如果勾是3,股是4,那么弦等于5。
这样引起学生的学习兴趣,激发学生的求知欲。
教师紧接着问:是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?
教师要善于激疑,使学生进入乐学状态。这样做将学生的注意力吸引到课堂上来,学生全神贯注地听课,课堂效率得到提高。
二、自学教材,主动探究
教师将教材知识整合,制作成幻灯片,以此指导学生自学教材。通过自学感悟、理解新知,体现了学生的自主学习意识,锻炼了学生主动探究知识的能力,养成了学生良好的自学习惯。
1.通过自主学习,教师设疑或学生提疑。如:怎样证明勾股定理?通过自学,中等以上的学生基本都能掌握,这时能激发学生的表现欲。
2.通过合作探究,引导学生摆脱网格的限制,研究任意直角三角形三边的数量关系。渗透由特殊到一般的思想方法。
3.教师引导学生按照要求进行拼***,观察并分析;(学生每人准备四个大小一样的直角三角形)(1)这两个***形有什么特点?(2)你能写出这两个***形桔黄色部分的面积吗?(3)你得到什么结论?
这时教师组织学生分组讨论,调动全体学生的积极性,达到人人参与的效果,接着全班交流。先由某一组代表发言,说明本组对问题的理解程度,其他各组作评价和补充。教师及时进行富有启发性的点拨,最后,师生共同归纳,形成一致意见,最终解决疑难。
三、巩固练习,强化提高
1.出示练习,学生分组解答,并由学生总结解题规律。课堂教学中动静结合,以免引起学生思维疲劳。
例1.某楼房三楼失火,消防员赶来救火,了解到每层楼高3米,消防员取来6.5米长的梯子,梯子的底部离墙基2.5米,请问消防员能否进入三楼灭火?
2.出示例1:学生试解,师生共同评价,以加深对例题的理解与运用。针对例题再次进行巩固练习,进一步提高学生运用知识的能力,对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式,在互评互议中出现的具有代表性的问题,教师可以采取全班讨论的形式予以解决,以此突出教学重点。
四、归纳总结,练习反馈
引导学生对知识要点进行总结,梳理学习思路。分发自我反馈练习,学生***完成。
五、课后作业
1.课本第81页1、2、3题。
2.通过报刊、资料或上网查阅中外名人对勾股定理的证明方法以及勾股定理的发展史。
教学反思:本节课教学目标明确,重点突出,注重对知识形成过程的教学。但是在准备这节课时还是不够充分,比如引例比较简单,可以适当增加。在本节课后,我又搜集了一些关于勾股定理的典故,充实本节课的内容。
勾股定理的典故:
1.5000年前的埃及人,也知道这一定理的特例,也就是勾3、股4、弦5,并用它来测定直角,之后才渐渐推广。
2.金字塔的底部,四正四方,正对准东西南北,可见方向测得很准,四角又是严格的直角。而要量得直角,当然可以采用作垂直线的方法,但是如果将勾股定理反过来用,也就是说:只要三角形的三边是3、4、5,或者符合的公式,那么弦边对面的角一定是直角。
3.到了公元前540年,希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、4、5,或者是5、12、13,他想:是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律?反过来,三边符合这个规律的,是不是都是直角三角形?他搜集了许多例子,结果都对这两个问题作了肯定的回答。他非常高兴,杀了一百头牛来祝贺。以后,西方人就将这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。
另外,合作探究和拼***部分给学生留的时间太少,应该给学生足够的时间进行思考,让学生发现问题并解决问题。
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