微积分论文

微积分论文第1篇

关键词：微积分；边际分析；弹性；成本；收入；利润；最大值；最小值

1导数在经济分析中的应用

1.1边际分析在经济分析中的的应用

1.1.1边际需求与边际供给

设需求函数Q=f（p）在点p处可导（其中Q为需求量，P为商品价格），则其边际函数Q’=f’(p)称为边际需求函数，简称边际需求。类似地，若供给函数Q=Q(P)可导（其中Q为供给量，P为商品价格），则其边际函数Q=Q(p)称为边际供给函数，简称边际供给。

1.1.2边际成本函数

总成本函数C=C(Q)=C0+C1(Q)；平均成本函数=(Q)=C(Q)Q；边际成本函数C’=C’(Q)．C’(Q0)称为当产量为Q0时的边际成本，其经济意义为：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则成本将相应增减C’’(Q0)个单位。

1.1.3边际收益函数

总收益函数R=R(Q)；平均收益函数=(Q)；边际收益函数R’=R’(Q)．

R’(Q0)称为当商品销售量为Q0时的边际收益。其经济意义为：当销售量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则收益将相应地增减R’(Q0)个单位。

1.1.4边际利润函数

利润函数L=L(Q)=R(Q)-C(Q);平均利润函数;=(Q)边际利润函数L’=L’(Q)=R’(Q)-C’(Q).L’(Q0)称为当产量为Q0时的边际利润，其经济意义是：当产量达到Q0时，如果增减一个单位产品，则利润将相应增减L’(Q0)个单位。

例1某企业每月生产Q（吨）产品的总成本C（千元）是产量Q的函数，C(Q)=Q2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元，求每月生产10吨、15吨、20吨时的边际利润。

解：每月生产Q吨产品的总收入函数为：

R（Q）=20Q

L（Q）=R（Q）-C（Q）=20Q-（Q2-1Q+20）

=-Q2+30Q-20

L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30

则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为

L’(10)=-2×10+30=10（千元/吨）；

L’(15)=-2×15+30=0（千元/吨）；

L’(20)=-2×20+30=-10（千元/吨）；

以上结果表明：当月产量为10吨时，再增产1吨，利润将增加1万元；当月产量为15吨时，再增产1吨，利润则不会增加；当月产量为20吨时，再增产1吨，利润反而减少1万元。

显然，企业不能完全靠增加产量来提高利润，那么保持怎样的产量才能使企业获得最大利润呢？

1.2弹性在经济分析中的应用

1.2.1弹性函数

设函数y=f(x)在点x处可导，函数的相对改变量Δyy=f(x+Δx)-f(x)y与自变量的相对改变量Δxx之比，当Δx0时的极限称为函数y=f(x)在点x处的相对变化率，或称为弹性函数。记为EyEx•EyEx=limδx0

ΔyyΔxx=limδx0ΔyΔx．xy=f’(x)xf(x)

在点x=x0处，弹性函数值Ef(x0)Ex=f’(x0)xf(x0)称为f（x）在点x=x0处的弹性值，简称弹性。EExf(x0)%表示在点x=x0处，当x产生1%的改变时，f（x）近似地改变EExf(x0)%。

1.2.2需求弹性

经济学中，把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性。

对于需求函数Q=f（P）(或P=P（Q）)，由于价格上涨时，商品的需求函数Q=f(p)（或P=P(Q)）为单调减少函数，ΔP与ΔQ异号，所以特殊地定义，需求对价格的弹性函数为η(p)=-f’(p)pf(p)

例2设某商品的需求函数为Q=e-p5，求(1)需求弹性函数；(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。

解：(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5.pe-p5=p5；

(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2

η(3)=0.6<1，说明当P=3时，价格上涨1%，需求只减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度。

η(5)=1，说明当P=5时，价格上涨1%，需求也减少1%，价格与需求变动的幅度相同。

η(6)=1.2>1，说明当P=6时，价格上涨1%，需求减少1.2%，需求变动的幅度大于价格变动的幅度。

1.2.3收益弹性

收益R是商品价格P与销售量Q的乘积，即

R=PQ=Pf(p)

R’=f(p)+pf’(p)=f(p)(1+f’(p)pf(p))=f(p)(1-η)

所以，收益弹性为EREP=R’(P).PR(P)=f(p)(1-η)ppf(p)=1-η



这样，就推导出收益弹性与需求弹性的关系是：在任何价格水平上，收益弹性与需求弹性之和等于1。

（1）若η<1，则EREP>0价格上涨（或下跌）1%，收益增加（或减少）(1-η)%；

（2）若η>1，则EREP<0价格上涨（或下跌）1%，收益减少（或增加）|1-η|%；

（3）若η=1，则EREP=0价格变动1%，收益不变。

1.3最大值与最小值在经济问题中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.3.1最低成本问题

例3设某厂每批生产某种产品x个单位的总成本函数为c(x)=mx3-nx2+px，（常数m>0,n>0,p>0），（1）问每批生产多少单位时，使平均成本最小？（2）求最小平均成本和相应的边际成本。

解：（1）平均成本(X)=C(x)x=mx2-nx+p，C’=2mx-n

令C’，得x=n2m，而C’’(x)=2m>0。所以，每批生产n2m个单位时，平均成本最小。

（2）(n2m)=m(n2m)2-n(n2m)+p=(4mp-n24m)，又C’(x)=3mx2-2nx+p，C’(n2m)=3m(n2m)2-2m(n2m)+p=4mp-n24m所以，最小平均成本等于其相应的边际成本。

1.3.2最大利润问题

例4设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，价格函数p=60-Q1000（Q为销售量），假设供销平衡，问产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

解：产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q

收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000

则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000

L’(Q)=-1500Q+40,令L’(Q)=0得Q=20000

L’’(Q)=-1500<0Q=2000时L最大，L（2000）=340000元

所以生产20000个产品时利润最大，最大利润为340000元。



2积分在经济中的应用

在经济管理中，由边际函数求总函数（即原函数），一般采用不定积分来解决，或求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决。

例5设生产x个产品的边际成本C=100+2x，其固定成本为C0=1000元，产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润。

解:总成本函数为

C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x2+1000

总收益函数为R(x)=500x

总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000，L’=400-2x，令L’=0，得x=200，因为L’’(200)<0。所以，生产量为200单位时，利润最大。最大利润为L(200)=400×200-2002-1000=39000（元）。

在这里我们应用了定积分,分析出利润最大,并不是意味着多增加产量就必定增加利润,只有合理安排生产量,才能取得总大的利润。

综上所述，对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为科学的经营决策提供可靠依据。



参考文献

［1］聂洪珍,朱玉芳.高等数学（一）微积分［M］.北京：中国对外经济贸易出版社，2003,（6）.

［2］顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用［J］.职业圈，2007,（4）.

微积分论文第2篇

【论文摘要】微积分是与应用联系发展起来的，它是数学的一个重要的分支，其应用与发展已广泛的渗透到了物理学，化学，经济学等各个自然科学之中，是我们学习各门学科的重要工具。

微积分学是微分学和积分学的统称，它的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。在数学史上，它的发展为现代数学做出了不朽的功绩。恩格斯曾经指出：微积分是变量数学最重要的部分，是数学的一个重要的分支，它实现带科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具。凡是复杂***形的研究，化学反映过程的分析，物理方面的应用，以及弹道﹑气象的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等等，都要用得到微积分。正是由于微积分的广泛的应用，才使得我们人类在数学﹑科学技术﹑经济等方面得到了长足的发展，解决了许多的困难。以下将讲述一下定积分在计算***行面积和体积，初等数学中的一些应用。

一、在计算***形面积和立体***形体积上的应用

在学习和生活中，我们常常会遇到一些计算***形面积和体积的问题，而且这些***形大多是无规则的，对这些***形的计算，如果用我们中学的计算面积和体积的数学公式是无法解决，因为中学所学的这些公式都是对比较规则***形实用。但是我们应用了定积分，这样的问题就可迎韧而解。

1.计算平面***形的面积

例1.求抛物线y=x2与直线x+y=2所围的平面***形的面积。

分析：根据题目，我以在坐标系们可中画出y=x2和x+y=2所围的***形，即（***一）其中阴影部分就是所要求的平面***形的面积。

解：由于抛物线y=x2与直线x+y=2在A（-2，4）及B（1，1）相交，

所以S=f（x）dx，其中f（x）=（2﹣x）﹣x2（-2≤x≤1），于是有

S=[（2-x）-x2]dx=（2x--）]1-2=9/2

2.求立体***形的体积

用类似求***形面积的思想，我们也可以求一个立体***形的体积，例如求一个木块的体积，我们可以利用微元法，把木块划分成n份小块，其每一小块的体积厚度为xi，假设每一小块的横截面积为A（x）i则此小块的体积大约为A（xi）xi，从而将其所有的小块相加，我们可以得到其体积为V≈A（xi）xi，并且当其厚度xi趋于零时，由定积分定义有V=A（x）dx（其中a与b分别为计算体积时的起始值和终了值）。对于旋转体的体积，由于其平面截得旋转体的截面是一个圆，则设曲线y=f（x），其截面面积为A（x）=?仔[f（x）]2。于是，所求体积为V=A（x）dx=?仔[f（x）]2dx。

例2.一块由直线y=a和直线x=3a及弧y2=ax，（a>0a≤x≤3a）所共围成的区域，以x轴为轴旋转一周所形成的体积是多少？

分析：（***二）斜线区域即为题意所指的区域，其旋转积求法，可将区域ABQD的旋转体积减去区域ABCD的旋转体积，即为所求。

解：首先来求区域ABQD的旋转体积：

V1=?仔?琢xdx=?仔?琢|=4?仔?琢3

而区域ABCD的旋转体积为一个其半径为a，高为2a的圆柱体，则V2=?仔?琢2•；2?琢=2?仔?琢3

区域CDQ的旋转体积为：V=V1-V2=4?仔?琢3-2?仔?琢3=2?仔?琢3

二、在初等数学中的应用

近些年来，定积分还越来越多的被应用到初等数学中的一些问题上面来，下面就来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限方面的应用。

1.证明不等式和等式

在运用积分来证明不等式时，一般要利用到积分的如下性质：设f（x）与g（x）为定义在[a，b]上的两个可积函数，若f（x）≤g（x），x∈[a，b]，则有：f（x）dx≤g（x）dx.

例3.设n∈N，求证：1n（n+1）<1++……+<1+1nn

证明：设是i任意一自然数，则有：

dx=1n|=1n-1n=1n-1n

在区间（，）上显然有i<=idx从而得：1n-1n<………（1）

<1n-1n…………（2）

由（1）式得：[1n-1n]<，所以有1n<

由（2）式得：=1+<1+[1n-1n]=1+1n

于是，综上所述：1n<1++……+<1+1n

以上是应用定积分的性质证明不等式，下面再看关于等式的证明。（注意：在运用定积分证明等式时，要根据等式的特点，作辅助函数，然后再直接积分从而证明等式。）

例4.证明：c+++……+=

证明：设f（x）=c+cx+……+cx=（1+x）n

f（x）dx=cx+x2+……+x

同时又有：（1+x）ndx=

cx+x2+……+x=

当x=1时，可得：c+++……+=

此外，定积分还可用来求和式，根据微分与积分互为逆运算的关系，先对和式积分，利用已知数列的和式得到积分和，再求导数即可，这里就不在介绍了。

2.求数列和的极限

在实际的学习中，我们会发现在计算一些数列和的极限时，可以利用定积分的计算法来求某些可以看成是积分和式的数列极限，这样，我们可得出一种求极限的新方法：若f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]等分为几个小区间，x=记分点为：?琢=x0于是：f（x0+ix）x=f（x）dx，并且有些数列的一般项?琢n总可以设法写成?琢n=f（x0+ix）x，因此，有些数列的极限问题，则可以转化为定积分的计算问题。

例5.求：（++……+）

解：原式=（++……+）•；＝•；

取f（x）=且在[0，1]上连续，将[0，1]分成n个小区间，则有x=，分点为：0<<<……<<=1，于是有：f（x0+ix）x=•；，由定积分的存在定理有：原式=•；=dx=1n（1+x）|=1n2。

总而言之，微积分是与应用联系发展起来的。微积分的应用推动了数学的发展，同时也极大的推动了天

文学，物理学，化学，工程学，经济学等自然科学，社会科学及应用科学各个分支中的发展，而且随着人类认识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。

参考文献：

微积分论文第3篇

关键词多媒体微积分课堂教学课题板书教师

多媒体技术是电子时代得到广泛应用的现代科学技术手段之一，它以现代电子科学技术为依托，将各种绚丽多彩的形象、令人陶醉声音展示给人们，为我们的工作和学习带来了新的平台。

多媒体技术在教育领域，特别是中、小学教育中已经得到了较为广泛的应用，并取得了大量丰富的经验和许多喜人的成果。而在大学以高度抽象为其特点的高等数学的教学中怎样应用这一现代技术，我们通过“微积分”精品课程的建设，对它进行了较为系统与详实的实践与研究。我们对微积分第二学期的全部教学内容运用多媒体技术进行了试点，对这一方法有了更深的感悟与体会。在这里奉献给各位同仁，与大家共同进行探讨、研究。

数学是一门高度抽象的学科，离开了抽象思维、逻辑推理，就学不好数学。实际上，从开始学“1”，就已经在学习抽象思维，什么是“1”？它是从许许多多具体的“一本书、一块糖、一张床、一件物品、……”中抽象出其中共同的数量特征，赋予共同的记号“1”。在数学的学习过程中经常是只见抽象的“1”，而不见其具体是一本书、一块糖，一张床、还是一件物品、……。当然，在我们掌握了数量之间的客观规律以后，就可以回到实际问题中去，从而更好地解决具体事物的数量关系。不断地培养与提高学生的抽象思维能力正是数学学科教育的重要内容之一。

基于数学学科的这一特点，我们在设计、制作“微积分”多媒体课件的过程及实践中有以下几方面的考虑、研究、感悟及体会。

一、选择好课题

数学教学中要特别注意直观与抽象的关系，利用直观性是为了帮助学生更好地进行抽象，随着学生抽象思维能力的逐步提高，就应随之逐步减少直观性描述的方式。因此，高等数学的教学中完全没有必要每堂课都去追求用直观性、艺术性很强，但是留给学生进行抽象思维活动较少的多媒体课件组织教学工作。所以，必须认真选择多媒体课件的课题。如，在新概念引入、学生难以进行其抽象思维的教学内容，应该选用多媒体课件进行教学，以帮助学生尽快理解并掌握新知识，如数列极限的概念、导数的概念、定积分的概念等内容的教学可以采用多媒体教学。而在旧知识应用、纯数值计算等内容教学中，可以少用或不用多媒体组织教学，如求极限、求导数、求不定积分等内容的教学不适合采用多媒体教学，用传统的粉笔加黑板更便于教师和学生在课堂上进行交流。

二、多媒体课件的制作

多媒体教学的内容要以教材为基础，按照教学大纲的要求，以实现教学目标、完成教学任务的需要为目的，但又不能完全被课本所束缚。

可用于制作多媒体课件的软件很多，如PowerPoint,Authorware,Director,Flash,3D***AX,Maya,Mathematics,Matlab,Mathcad,几何画板，课件大师，方正奥思，洪***多媒体编著系统，……，等等。可根据自己对各种软件掌握的熟练程度及教学内容表现形式的需要而选用相应的软件。由于各种软件各有其长短，为表现某些特殊演示技巧，也可以两种或多种软件搭配使用。

数学多媒体课件制作的样式可以多种多样，丰富多彩，以激发学生的学习兴趣，帮助学生理解所学知识、加深印象，促进其抽象思维能力的提高。

多媒体课件制作的一个基本出发点是以文字为基础，配合***画、声音、动画等手段，从多方面刺激学生的感官，调动学生的学习积极性，一个呆板的多媒体课件与一个形象生动的多媒体课件的教学效果显然是有着很大差别的。

课件制作过程中应注意：文字内容要简洁、突出重点；对于一屏资料，应该随着讲课内容的过程而逐步显示；文字的字体、大小、颜色的搭配要合理；文字和背景颜色搭配要醒目、易读，即使长时间注视也不易产生视觉疲劳。背景色宜用淡雅色（或直接就用白色），不宜用深色，深色背景下教室后排不易看清其文字内容。

数学多媒体课件中，***像、画面的布局要恰当，***像、画面设计应尽可能大一些，***的主要内容最好处在屏幕的视觉中心，以便于学生观察。较复杂的***形要逐步显示，这样既便于教师逐步讲解，又不至于使学生分散注意力抓不住重点。

动画手段的运用要有美感。动画最好设计重放按钮，教师可根据教学实际，重复播放。

在数学多媒体课件中音乐和音响效果不能用得过多，音乐节奏要与教学内容相符。重点内容处可选择舒缓、节奏较慢的音乐，以增加感染力，过渡性内容可选择较轻快的音乐，不要选择节奏强烈、过分激昂的音乐。

课件的设计不能为了表演多媒体制作技巧而过于花俏，以至于喧宾夺主，使学生只去欣赏其艺术性而忽略了其学习的主要内容。

三、“板书搬家”的合理运用

“板书搬家”是指把本来在黑扳上面书写的内容写到幻灯片上，然后在多媒体演示屏幕上放出来的一种最简单的多媒体应用手段。目前，大家对这一简单方法的应用贬多褒少。我们觉得在微积分的课堂教学中，还是有它的用武之地，如在学生人数比较多的大教室上课时；在进行旧知识复习、习题课教学时；在课时内容量比较丰富，且没有太多的较难接受的抽象概念，为减少教师的板书时间，以增加单位课时教学信息量时，这种方法还是可取的。如果条件具备，每堂课都可以使用多媒体设备进行教学，“板书搬家”在大学数学教学中将会经常出现。这样一来，教师和学生都可以少吸入许多粉笔灰，对大家的身体健康也大有益处。当然，由于屏幕显示速度比教师板书速度快得多，以至于抢占了学生当堂进行思维活动的时间，必要时，可以采用模拟板书逐字显示等方式来增加显示时间，以降低屏幕显示速度，给学生留点思考问题的时间。

四、多媒体教学方法对教师的要求

多媒体课件是在一定的学习理论指导下，根据教学目标设计的、反映某种教学策略和教学内容的计算机软件。一般来说，课件都是由授课教师自行设计的。而一堂比较成功的数学多媒体课件的制作是相当费时、费力的，对教师的要求很高。除了要有丰富的数学教学经验外，还要有一定的计算机能力，至少要熟练掌握两、三种多媒体制作软件；要具备一定的美术能力；要有一定的音乐素质。

五、一些思考

如何提高多媒体课件的质量和制作效率是一个比较迫切的现实问题。目前，教师队伍中计算机能力强，教学经验又丰富的专业教师不是很多，教学、科研工作都很忙，认真制作某些重点内容的多媒体课件已属不易。要在短期内，以个人的时间和力量制作出成套教材的高质量的多媒体课件几乎是无法完成的事情。在目前的条件下，可以组织专业集体群策群力、分工协作，每位教师承担部分多媒体课件的制作任务。在具体制作过程中要尽量减少重复性的劳动，要充分利用已有的软件素材和工具，充分利用互联网上的信息资源，一方面搜集了有关的信息素材，另一方面通过浏览也可以使我们开阔眼界，提高相应的业务水平与能力。当然，最好能有较高层次的权威部门专门组织开发的模块式、开放型、多功能的多媒体教学课件，供教师自由组合、增添、删减，以适应各种教学风格的需要。

教师的思维模式及教学方法如何去适应与利用多媒体工具。当前，以计算机多媒体为代表的现代教育手段正得到越来越广泛的应用，社会的发展要求教师必须跟上时代的步伐，要深入理解“现代教育手段”的应用给教育、教学带来的变革，在教学思维模式及教学方法上也必须有所创新。

微积分论文第4篇

关键词：极限思想；辨证哲学；对立统一

0引言。

微积分是研究客观世界运动现象的一门学科，我们引入极限概念对客观世界运动过程加以描述，用极限方法建立其数量关系并研究其运动结果[1]。极限理论是微积分学的基础理论，贯穿整个微积分学。要学好微积分，必须认识和理解极限理论，而把握极限理论的前提，首先要认识极限思想。极限思想蕴涵着丰富的辩证思想，是变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变以及否定与肯定的对立统一。

1极限思想与辩证哲学的联系。

1.1极限思想是变与不变的对立统一。

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化。例如，平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为kp。除P点外曲线上点的斜率k是变量，kp是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率K，斜率k不可能等于kp，k与kp是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系。当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近kp，变化的量向不变的量逐渐接近。当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系。

1.2极限思想是过程与结果的对立统一。

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一。在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，kp是变化结果。一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于kp，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近kp，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k转化为kp，这体现了过程与结果的统一性。所以，通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率kp就是过程与结果的对立统一。

1.3极限思想是有限与无限的对立统一。

在辨证法中，有限与极限是对立统一的。无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限[2]。例如，在极限式limn∞xn=a中xn对应数列中的每一项，这些不同的数值xn既有相对静止性，又有绝对的运动性。数列中的每一项xn和a都是确定不变的量，是有限数；随着n无限增大，有限数xn向a无限接进，正是这些有限数xn的无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值。因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，他们既是对立又是统一的。

1.4极限思想是近似与精确的对立统一。

近似与精确是对立统一的关系，在一定条件下可相互转化，这种转化是理解数学运算的重要方法[2]。

在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时，内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确。又如在极限式limn∞xn=a中，当n无限增大时，数列的项x1，x2，…，xn反映变量xn无限的变化过程，而a反映了变量xn无限变化的结果，每个xn都是a的近似值，并且当n越大，精确度越高；当n趋于无穷时，近似值xn转化为精确值a。虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化。因此近似与精确既是对立又是统一的。

1.5极限思想是量变与质变的对立统一。

在唯物辨证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体。质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性[3]。量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系。量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用[4]。对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性。但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一。

1.6极限思想是否定与肯定的对立统一。

任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一。单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面，内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的。随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积，促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积，而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的，从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一。超级秘书网

2极限思想与辨证哲学的研究意义。

在唯物辩证法中，客观事物之间相互影响、相互制约和相互作用的关系无处不在，即使是性质完全不同、矛盾对立的两个事物，也都有其相互联系的一面。所以，在微积分的学习过程中，不容忽视唯物辩证法普遍联系思想的渗透。辩证思维在数学思维中的渗透和理解，其实质就是按照唯物辩证法的原则，在联系和发展中把握认识对象，在对立统一中认识事物。通过上述分析，极限思想贯穿唯物辨证哲学的范畴，它揭示了变与不变、过程与结果、有限与无限、近似与精确、量变与质变的对立统一[4]。我们在理解极限思想时必须把单一、封闭、静态的形式逻辑思维提高到多维、开放、动静态相结合的辩证逻辑思维。数学思维与哲学思想的融合是学好数学的高层次要求，领悟数学思维中的哲学思想和在哲学思想的指导下进行数学思维，是提高学生数学素养、理解数学知识，培养学生数学能力的重要方法和手段[5]。

参考文献：

[1]沈长华：《微积分概念的发展及其哲学解析》[D]；《兰州大学硕士学位论文》2007:10－15。

[2]吴振英、陈湛本：《论极限的思想方法》[J]；《广州大学学报》2003（10）：410－412。

[3]王娟：《微积分教学中哲学思想的渗透》[J]；《高等函授学报》2007（12）：8－10。

微积分论文第5篇

1.基于数学史背景的微积分教学 

2.微积分方法在初等数学中的应用研究 

3.谈微积分中的数学思想及其教学

4.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究 

5.微积分教学中渗入数学文化的实践与思考 

6.数学建模思想融入微积分课程教学初探  

7.微积分教学中渗透数学文化的重要性及做法  

8.微积分在数学建模中的应用 

9.数学文化价值取向下微积分学中的哲学思想 

10.“微积分”教学中融入数学文化的教学设计 

11.数学文化融于微积分教学的实践与思考 

12.微积分数学模型在建筑异形体变力做功中的应用

13.数学文化视角下的微积分教学举例

14.微积分中的数学文化与高职数学教育 

15.数学软件在微积分教学中的几点应用  

16.微积分中数学文化教学的案例与分析

17.了解数学史 走进微积分——讲好“导数及其应用”的开场课 

18.将数学背景融入微积分教学的实例 

19.学点数学史 教好微积分  

20.建构主义视角下高职数学微积分教学方式的改革措施

21.高等数学微积分教学的重点和难点分析

22.微积分在大学数学学习和生活中的应用 

23.微积分教学中的数学思想方法的探究 

24.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(续完)——融入从大学第一堂数学课开始

25.美国微积分课程改革对高职工科高等数学课程建设的启示

26.浅谈高等数学微积分在实践中的应用 

27.微积分、数学模型及其它 

28.分析大学数学微积分教学的改革策略  

29.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究 

30.浅谈微积分在初等数学中的应用 

31.微积分教学中融入数学建模的思想和方法(待续)——融入从大学第一堂数学课开始

32.微积分中数学语言的时序性 

33.微积分中蕴含的数学美 

34.微积分在初等数学教学中的作用 

35.微积分教学中如何融入数学文化

36.《数学手稿》微积分思想在《资本论》中的体现及启示

37.高职院校《高等数学》微积分内容的教学方法探讨 

38.数学建模思想融入微积分课程教学初探

39.《微积分与数学模型》教材编写基本思想 

40.大学微积分与高中数学的衔接  

41.微积分、数学模型及其它 

42.高中数学“微积分”模块教学的探讨 

43.探究微积分与中学数学的关联 

44.高等数学微积分理念的多领域应用分析  

45.数学史知识融入微积分教学的探索 

46.将数学实验思想融入经管类专业微积分教学的实践研究

47.用数学软件辅助微积分教学的实践与认识

48.关于非数学专业的微积分教学改革 

49.微积分学形成过程中的数学哲学思想与科学方法 

50.微积分中的数学美赏析  

51.中医阴阳理论的数学模型之建立及其微积分定量的研究 

52.浅谈微积分教学中数学思想方法及应用 

53.例说微积分知识在数学解题中的应用 

54.高职数学微积分教学改进的思考  

55.微积分教学中融合数学文化的初步探讨  

56.微积分课程教学中培养学生数学审美能力的探讨 

57.数学建模融于微积分教学的探索与实践 

58.《经济数学基础(微积分)》精品课程建设的实践与探索

59.微积分在高中数学教育中的意义

60.在微积分教学中融入数学建模思想 

61.微积分的地位与《数学分析》教学改革 

62.高等数学中微积分证明不等式的探讨 

63.高等数学中微积分思想在其它学科的应用  

64.大学高等数学微积分教学对策

65.美国微积分教育的改革及其对我国非数学专业微积分教育的启示

66.网络环境下高职数学课程中微积分基本定理的教学反思 

67.微积分在高中数学解题中的应用  

68.高等数学教学与大学生素质培养探析——微积分理论的延伸 

69.微积分——数学发展的里程碑 

70.将数学建模思想融入微积分课程教学

71.微积分教学与导学中数学思维培养  

72.大学微积分与高中数学基础知识衔接问题的研究

73.中外高中数学教材比较(微积分部分) 

74.在微积分课程教学中增加数学实验的实践与探索

75.中、新、韩、日四国高中数学课程标准的比较研究——以微积分内容标准为例

76.揭示《微积分》中的数学美

77.美国微积分教材对理工科高等数学教材改革的启发

78.数学美学和HPM视角下的微积分教学对策研究——以线面积分为例

79.美国教材《微积分》给我们的启示——谈大众化高等教育中的数学教育 

80.数学文化在实践中的渗透应用——以微积分及教学为例 

81.浅谈微积分学习对提高小学数学教师素质的作用 

82.微积分课堂教学与数学建模思想

83.例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 

84.浅谈高等数学中微积分的经济应用 

85.微积分的数学美  

86.微积分在数学建模中的应用 

87.微积分理论在农业科学研究中建立数学模型的应用 

88.以微积分课程为例谈成人高等教育高等数学实验课案例教学

89.在高中数学中如何进行微积分教学 

90.浅析数学软件融入到微积分教学中的模式实践应用分析

91.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究

92.模块教学法在高等数学微积分教学中的应用 

93.浅谈大众数学思想下的微积分教学改革  

94.数学软件Mathematica在微积分教学中的应用 

95.用辩证观看初等数学与微积分  

96.例谈微积分方法在初等数学教学中的应用 

97.在微积分教学中传授数学思想方法

98.微积分在大学数学学习和生活中的应用 

99.微积分在中学数学中的指导作用 

100.几个值得商榷的问题——评同济大学应用数学系编《微积分》  

101.浅谈微积分教学中学生数学素质的培养  

102.微积分在初等数学中的一些应用  

103.微积分学中若干问题的数学化归方法 

104.美国微积分教学变革对我国高职高等数学教学改革的启示

105.高等数学中微积分教学方法的探究 

106.微积分方法在初等数学教学中的应用 

107.浅谈Matlab在高等数学微积分计算中的应用 

108.微积分在初等数学中的应用 

109.数学变换思想在微积分中的应用  

110.MathCAD在高职数学教学中的微积分应用 

111.高等数学微积分教学的策略探讨  

112.考研数学中微积分几类典型问题的一般方法

113.微积分MATLAB数学实验 

114.中职数学中微积分教学的几点思考  

115.一本美国微积分教材简介及高等数学教材改革初探 

116.新课程标准下大学数学(微积分部分)与中学数学衔接问题的研究

微积分论文第6篇

经济数学是公共数学的分支，是经管类的必修基础课，微积分更是安排在大学一年级，而经济类或管理类的专业课大部分安排在大学二三年级，因此学生无法认识到数学在其他科目上的作用．经济数学的任课教师具备了非常丰富的数学知识，但对数学在经济上的应用方面的认识相当有限．另一方面，学生从教材上能够了解到的经济应用也并不多，很多内容或多或少有点脱离现实生活，所以学生对经济数学这门课还是保留着为学分而学习或者应付考试的学习态度与心态，并使得他们学习懈怠．此外，由于课时不足和教师对数学在经济上应用的了解不足，在讲授微积分时，教师基本上采取与高等数学类似的教学方式，即偏重于纯数学理论以及数学计算．学生对经济数学的重要性认识不足是造成学生对微积分知识消极学习的重要原因．若要提高经济数学微积分的教学效果，首先得改变教师的知识结构．对担任经济数学微积分的老师进行继续教育，要求教师在具备过硬的数学专业知识的同时，应该适当补充必需的经济知识，了解经济数学的发展历史，清楚微积分在经济中的应用．比方说，在讲解极限和求导时，可适当地介绍经济学史上随着微积分思想向经济学渗透而爆发的著名的“边际***”，由此引出边际的应用，让学生了解到经济数学的历史的同时，亦明白到数学对经济有着深刻的影响．这样可使得学生真切地感受到现代经济学已经与数学密不可分．只有补充了经济方面的知识，教师才能对微积分的教学进行改革，在传授数学知识的同时融入数学文化，让学生感受到数学的魅力，懂得数学是一种人文的精髓，一种跨越学科的自然科学之父．在传授微积分概念、计算方法的同时，结合相关知识在经济中的应用，改变学生认为经济数学与日后的学习工作无关的错误观念，引导学生重视微积分这个能够解决实际问题的有利工具，提高学生对数学学习的兴趣与积极性．

二、基于学生现状的教学内容改革

目前经济数学的教学大多依然采取传统教学模式———以课堂、教师、书本为中心，学生处于被动接受知识的地位．在这样的教学环境下，经济数学微积分的教学难免偏向于强调推理的严密性，计算的精确性．但是，经管类学生大都是文科生，他们更偏向于直观思维及形象思维，而逻辑思维及辩证思维总体较弱．这就要求教师应当顾及全体学生的认知特点，有针对性地因材施教，也就是说，教师除了要备课本，更需要备学生，针对学生的情况，采取适当的教学方法．除了传统的讲授法以外，还应当适当地运用讨论互动法等教学方法引导、启发学生思考，而且在教学的过程中可适当地减少定理的推导证明，转而强调其在经济领域中的实际应用．例如，对于数学定理的证明，可以让学生以情景推导的方式通过合理猜测尝试归纳、猜想及论证．定理的论证可以结合文科学生的思维特点，采取直观形象的描述，而无须马上采用由抽象符号表达、有着严谨逻辑的推理，毕竟大部分经管类学生难以一下子接受严谨的证明推导．简而言之，应当选取能使学生既感兴趣又有助于知识理解和掌握的教学方式．对于经管类学生，他们的经济数学学习不应该贪多求全，而应当适当降低要求，对书本的内容做适当的调整，减少一些较为生涩难懂的烦琐推理，降低对计算技巧的要求，并以主要概念、主要原理为主体，配以知识点的相关应用为主要授课内容．通过简化、形象化经济数学微积分中的有关概念、定理，使之化繁为简、化难为易、化抽象为形象，必将大大降低学生的理解困难，缓解学生对数学的畏惧和抵触情绪，有效地提高经济数学的教学效果．

三、基于学生现状的教学模式改革

微积分论文第7篇

微积分是一门科学性较强的学科，学生学起来往往会觉得枯燥、难懂，因此教师授课过程中难免会出现课堂气氛不活跃、学生的思维没有打开等问题。对此，我认为教师应注重课堂气氛的调节。

（一）通过课堂知识的延伸调节课堂气氛

高职微积分教学中，教师可适当将知识延伸，以提高学生的学习热情、探索积极性，进一步加深他们对课本知识的记忆，使他们化被动学习为主动学习。具体来说，教学中教师在为学生讲解微积分知识的同时，可联系知识背后的故事，解说数学家、科学家的探索精神与奋斗精神，为学生树立榜样，引导学生形成良好的学习态度，激发学生不断向科学巅峰进发的勇敢精神。实践证明，在这种教学模式下，课堂气氛活跃，学生积极性高，教学效果自然好。

（二）通过电化教学手段调节课堂气氛

电化教学手段作为一种新型教学方式，对调动学生的学习积极性起到了很好的作用。高职微积分教学中，教师在教学过程中除了依靠书本讲解外，还可以借助多媒体演示和实验器材帮助学生理解课本知识。如通过幻灯片放映的形式向学生展示微积分计算题的计算过程，这可以让学生清晰明了地看到计算方法的不断改进和运算方法的变化，有效地激发了学生的学习热情，调动了学生学习积极性，比单纯的讲解更有利于学生掌握知识。

二、强调教学方式的创新

中国文化中有一种说法叫“破而后立”，在此我们可以理解为敢于推陈出新，这也是辩证思维的一方面，这种思维在数学上也同样适用。高职微积分教学中，教师要注重创新，打破传统的教学方法，寻求突破，敢于创新。这就要求教师在教学活动之余时刻把握前沿科技的动向，不断丰富自身知识储备量，在先进的数学知识探索学习突破点，增强教育创新能力。具体来说，教学中教师可适当加入情境教学，在课本中寻找情境设置切入点，用设置情境的方式为教育教学注入新鲜活力。如在讲解“微积分的定义”时以求解球体的表面积为原型，设置“科学家本着对科学的严谨态度及探索欲望，准备测量地球的表面积。他们把地球分成很多个区域，首先来测量分出区域的面积再求和，便可以算出地球的表面积”这一情境，使学生对“微积分”的概念产生一个初步浅显的概念性理解，并产生积极探索的热情，激发学生的主动学习兴趣，进而提出“小区域相对地球来说面积非常小，因此在求普通球体表面积时如果将球面分为极其小、趋向于零的小区域，求这些区域部分面积然后求和，得到的便是球体的面积”，进一步引出“微积分”的概念，使学生对其有深刻的印象。除了情境教学方式外，教师还可在课堂中引入“头脑风暴”这一时下流行的学习方式，将班级学生分组，建立学习小组，并引导小组成员以相互探讨、讨论的方式进行思维碰撞，集思广益，使学生在交流讨论中加深对所学知识的理解，增强学生的团队协作能力。当然，创新教育方式的途径有很多种，这就需要教师在日常的教学工作中不断探索，积极思考，从细节出发，打破传统思维方式，不断突破创新，为自身教育方式的创新而不懈努力。

三、注重以人为本

新课程改革中明确指出，教师应注重学生的利益、关心学生的发展，真正做到“以人为本，以学生利益为本。”而“以生为本”的教育理念要求教师在授课过程中体现其人文关怀，尊重学生、信任学生。对于基础较为薄弱的学生，教师不应该过度责骂、处罚，而应善于引导学生，帮助基础较为落后的学生树立学习信心，形成良好的学习态度；对于基础中等的学生，教师应培养他们善于钻研的学习精神，教育他们勇于挑战，主动去接触较难、较深的微积分相关习题，培养此类中等水平学生迎难而上的学习态度；对于学习成绩较优异的学生，教师可鼓励、引导他们树立远大的目标，教导他们戒骄戒躁，从而为他们日后的职业生涯打下更为坚实的基础。总之，教师不仅要传授知识给学生，更应该向他们传递积极向上的精神力量，心系学生，以生为本，不放弃每一个学生，为学生的发展尽心尽力、无私奉献。

四、小结

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