学文网【摘要】分段函数是高考的一个热点，对于分段函数的考查其实就是考查函数的相关知识和性质，以及分类讨论、数形结合、方程等数学思想。所以分段函数的解决，关键要在函数的性质、基本概念和分类讨论等数学思想上下功夫。
【关键词】分段函数 高考
分段函数一直是高考命题的热点，纵观近年来的高考数学试题，我们发现其综合性越来越强，本文结合2012年与2013年高考题归纳常用的解法，分析试题的变化。
一、分段函数与求值
所谓分段函数，即在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。显然，求分段函数的函数值重在考查分段函数的概念。
例1.（江西12年），设函数， 则
A. B.3 C. D.
解： = ，选D
这类题型是求分段函数函数值的经典题型，一般来说求函数值的题型难度不大，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。近年来的高考在这类求值题型中，变化较大，首先出现的是求函数f[f（a）]值，再次出现已知f（x）=a求自变量x的值，如（北京文2009年）已知函数 若f（x）=2，则x =________.这两年又出现求系数或者综合其他知识求值。
例2.（江苏12年），设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上， 其中a，bR.若，
则a+3b的值为.
解：f（x）周期为2，故f（-1）=f（1），
即 ，解得a=2，b=-4，所以a=3b=-10
此题综合函数的周期，得出f（-1）=f（1）， 是关键，考查了分段函数、函数周期以及方程思想。
例3.（陕西13年），设函数 ， 则当x>0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为
（A）-20 （B） 20 （C）-15 （D） 15
解：当x>0时， ，其展开式常数项为
，选A
本题考查了分段函数与二项式定理。
二、分段函数与奇偶性
例4.（山东13年），已知函数f（x）为奇函数，且当x>0时，
f（x）=x2+ ，则f（-1）=（ ）
（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2
解法1：函数f（x）为奇函数， ，选A
解法2：当x0，故
又函数f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x）
所以当x
例5.（四川13年），已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么，不等式f（x+2）
解：当x≥0时，由f（x）=x2-4x
又因为f（x）是定义域为R的偶函数，所以f（x）
而f（x+2）是把f（x）的***像向左平移得到，
f（x+2）
三、分段函数与***像
分段函数作***题的一般解法：分段函数有几段它的***像就由几条曲线组成，作***的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其***像，作***时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同的地方不能有两个以上的点。
例6.（天津12年），已知函数
的***象与函数y=kx-2的***象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.
解 ，
***像如右***。
函数y=kx-2的***像直线
恒过定点B（0，-2），
且A（1，-2），
C（-1，0），D（1，2），
，
，
，
由***像可知
k （0，1） （1，4） .
含绝对值的函数一般都可化为分段函数，结合***形可求函数的值域或有关参数的值。
四、分段函数与不等式
分段函数本身蕴含着分类讨论与数形结合的重要数学思想方法，而解不等式有时又伴随着参数的问题，这也会用到分类讨论与数形结合思想。如果把分段函数与不等式相结合将能更好地体现这一思想方法。
例7.（天津13年），已知函数f（x）=x（1+a〡x〡）. 设关于x的不等式f（x+a）
（A） （B）
（C）
（D）
解：f（x）=x（1+a|x|）
=
若不等式f（x+a）
则在区间 上，函数y=f（x+a）的***象应在函数y=f（x）的***象的下边.
（1）当a=0时，
显然不符合条件.
（2）当a>0时，
画出函数y=f（x）
和y=f（x+a）
的***象大致
如右***.
由***可知，当a>0时，y=f（x+a）的***象在y=f（x）***象的上边，故a>0不符合条件.
（3）当a
由***可知，若f（x+a）
只需 即可，
则有
整理，得a2-a-1
a
五、分段函数与极限、导数
例8（四川12年）函数 在x=3处的极限是（ ）
A、不存在 B、等于6
C、等于3 D、等于0
解：分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限。选A
本题考查极限的定义。对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
例9（四川13年）已知函数 ，其中a是实数.设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数***象上的两点，且x1
1.指出函数f（x）的单调区间；
2.若函数f（x）的***象在点A，B处的切线互相垂直，且x2
3.若函数f（x）的***象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围.
解：（1）函数f（x）的单调递减区间为（-∞，-1），单调递增区间为[-1，0），（0，+∞）.
（2）由导数的几何意义可知，点A处的切线斜率为f′（x1），点B处的切线斜率为f′（x2），故当点A处的切线与点B处的切线垂直时，有f′（x1）f′（x2）=-1.
当x
因为x1
所以2x1+20.
因此x2-x1= [-（2x1+2）+2x2+2]
≥ =1.
（当且仅当-（2x1+2）=2x2+2=1，即x1=- 且x2=- 时等号成立）
所以，函数f（x）的***象在点A，B处的切线互相垂直时，有x2-x1≥1.
（3）当x10时，f′（x1）≠f′（x2），故x1
当x1
当x2>0时，函数f（x）的***象在点（x2，f（x2））处的切线方程为
y-ln x2= （x-x2），即y= ·x+ln x2-1.
两切线重合的充要条件是
①
②
由①及x1
由①②得，
a=ln x2+ -l=
令t= ，则0
设h（t）= t2-t-ln t（0
则h′（t）= t-1- =
所以h（t）（0
则h（t）>h（2）=-ln2-1，
所以a>-ln 2-1.
而当t∈（0，2）且t趋近于0时，h（t）无限增大.
所以a的取值范围是（-ln 2-1，+∞）.
故当函数f（x）的***象在点A，B处的切线重合时，a的取值范围是（-ln 2-1，+∞）.
本题考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程、分类讨论、转化与化归等数学思想，综合性较强，属于难题。
根据近两年全国各地的高考试卷可以发现，对于分段函数的考查大部分是在小题中出现，主要考查函数的相关知识及性质。在求解定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题时若能画出其大致***像，往往会达到事倍功半的效果；对方程、不等式等问题可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，可使问题得到大大简化，效果明显。
【参考文献】
1.人民教育出版社编著：普通高中课程标准实验教科书A版·数学必修，2007.5.
2.韦金香：盘点高考中的分段函数问题，中学教学参考，2010.28.
3.彭俊昌：分段函数的研究性学习，中学数学，2011.11.
4.梁明龙：提高高考数学复习效率的策略，科学咨询（教育科研），2009.1.
（作者单位：533300广西田林县高级中学）