学文网数字运算篇1
【摘 要】针对计算机精度位数的限制，按照位运算原理，创意设计加、减、乘、除和乘方的大数五则运算新算法。给出具体的C语言程序实现代码，可以精确计算加数、乘数、被减数、减数、被除数、除数、底数在十进制位数(含小数、负数)1000位以内，指数在十进制位数(正整数)8位以内，和数、积数、差数、商数、乘方等结果(含小数、负数)在十进制位数10000位以内的运算。
【关键词】大数 算法原理 编程
1 研究背景
华罗庚说:“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。”
在生活中，计算是一件很常见的事。在大多数时间，我们可以利用手中的计算器或者用计算机操作系统自带的计算器进行一些十分精确的计算，但这些计算器计算的数字却不能够超过32位。实际上，“宇宙之大，粒子之微”，有许许多多的方面，需要我们使用非常巨大或者极其微小的数据进行计算，像天文学、物理学、地理学、生物学、力学等。此外，在有限元、流体力学计算、天气和气候预报、基因工程、蛋白质和分子分析模拟、石油储量分析等应用领域，高精度计算也是很常用的。当然，在科学和数学方面，则更加会频繁地使用高精度的、大数字的高速加减乘除和乘方运算。在历届的数学竞赛里，也总会出现一些较大数字的运算，如21000-29992998。虽然通过一些很巧妙的方法，可以计算出这道题目的答案应该是2，但这无法用直接计算的方法去验证结果。想用家用电脑验证，却因为数字太大超出计算范围而无法计算，或者只能得到一些近似的结果。
本程序按照位运算原理，创意设计加、减、乘、除和乘方的大数五则运算新算法。可以精确计算加数、乘数、被减数、减数、被除数、除数、底数在十进制位数(含小数、负数)1000位以内，指数在十进制位数(正整数)8位以内，和数、积数、差数、商数、乘方等结果(含小数、负数)在十进制位数10000位以内的运算。使用了C语言中的malloc函数，与普通数组进行对比，可改动答案和操作数的最大位数，且可避免因某个位数较大而出现的“未知错误”。因此，这种方法使得程序更具通用性、稳定性与可扩充性，保证程序正常运行。
2 算法原理
根据四则运算的原理和位运算原理设计了加减乘除和乘方的新算法，这些运算的算法介绍如下。
2.1 乘法算法原理
将两个乘数的每一位转换为单个的数字，存放于数组中。两数从左边第一位开始编号分别是:b(0)，b(1)，b(2)，b(3)……b(S1-1)；c(0)，c(1)，c(2)，c(3)……c(S2-1)，若b(I1)位(从左到右)与c(I2)位(从左到右)相乘的数将增加到答案的a(I3)位(从右到左，与正常思路相反)，则可以得到I3=(S1-I1)+(S2-I2)-2，只要再通过进位就可以很轻松得到结果。(见***1)
乘法示例：16*32
（1）分解到数组1 6 * 3 2(S1=2,S2=2),将答案数组初值赋零；
（2）I1 = 0 TO S1-1 ,I2 = 0 TO S2-1分别计算I3 = (S1-I1)+(S2-I2)-2，可以得到:
I1 = 0,I2 = 0 I3 = 2第二位(从右到左，与正常思路相反)增加1*3=3；第二位为3
I1 = 0,I2 = 1 I3 = 1第一位(从右到左，与正常思路相反)增加1*2=2；第一位为2
I1 = 1,I2 = 0 I3 = 1第一位(从右到左，与正常思路相反)增加6*3=18；第一位为20
I1 = 1,I2 = 1 I3 = 0第零位(从右到左，与正常思路相反)增加6*2=12；第零位为12
（3）进位 K=0 I = 0 TO R(R为答案的最大个数，下同)分别计算第I位(从右到左,与正常思路相反)上一位进的数和应该进下一位的数:
I=0第零位(从右到左，与正常思路相反)为12+K=12应进的位为K=FLOOR(12/10)=1第零位进位后为12MOD10=2
I=1第一位(从右到左，与正常思路相反)为20+K=21应进的位为K=FLOOR(21/10)=2第一位进位后为21MOD10=1
I=2第二位(从右到左，与正常思路相反)为3+K=5应进的位为K=FLOOR(5/10)=0第二位进位后为5MOD10=5
I=3第三位(从右到左，与正常思路相反)为0+K=0应进的位为K=FLOOR(0/10)=0第三位进位后为0MOD10=0
……
I=R第R位(从右到左,与正常思路相反)为0+K=0应进的位为K=FLOOR(0/10)=0第R位进位后为0MOD10=0
最后得到的结果为:2 1 5 0 0 0…… 0
（4）打印，从结果的最后一位开始寻找不为0的数,输出这之后的所有数，本题为512。如有小数，小数位数为两数小数位数的总和。（见***2)
2.2 乘方算法原理
和乘法的思想一样，x^y=x*x*x*……*x(y个x相乘)，运用乘法原理加以实现。
乘方示例：16^3
（1）分解到数组1 6和数字3,将答案数组初值赋零，计数器K = 0
（2）将1 6存入答案数组,K + 1
（3）计算1 6 * 1 6并将结果存入答案数组，答案数组为：2 5 6,K + 1
（4）计算2 5 6 * 1 6并将结果存入答案数组，答案数组为：4 0 9 6,K + 1
（5）K = 3，结束。
（6）打印，从最后一位开始寻找不为0的数，输出这之后的所有数，本题为4096。小数位数为底数小数位数乘指数。
2.3 加法算法原理
首先，需要将b、c两个加数的小数点对齐(先计算两数的位数S1,S2，然后计算两数的小数位数L1,L2)，然后，就可以通过每一位相加，并进位的方法得出答案。不失一般性，设l1≤l2,i=s1-l1-s2+l2,i≥0:
加法示例：156.78+78.156
（1）分解到数组 1 5 6 7 8 + 7 8 1 5 6(S1 = 5,S2 = 5,L1 = 2,L2 = 3)，将答案数组初值赋零；
（2）适当增加其中小数位数少的数的小数位数(增加0)，使两数小数位数相等，并移至数组的末尾；
（3）新的两个数：0 0 0…… 1 5 6 7 8 0 + 0 0 0…… 0 7 8 1 5 6；
（4）将每一位都相加，I = 0 TO D(D为加数的最大位数，下同)第I位相加，得到的答案数组为：0 0 0…… 1 12 14 8 13 6；
（5）进位，K=0,I = D TO 0 分别计算第I位(从左到右)上一位进的数和应该进下一位的数
I = D第D位(从左到右)为 6+K = 6应进的位为 K = FLOOD(6/10) = 0第D位进位后为6MOD10 = 6
I = D-1第D-1位(从左到右)为 13+K = 13应进的位为 K = FLOOD(13/10) = 1第D-1位进位后为13MOD10 = 3
I = D-2第D-2位(从左到右)为 8+K = 9应进的位为 K = FLOOD(9/10) = 0第D-2位进位后为9MOD10 = 9
I = D-3第D-3位(从左到右)为 14+K = 14应进的位为 K = FLOOD(14/10) = 1第D-3位进位后为14MOD10 = 4
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I = D-4第D-4位(从左到右)为 12+K = 13应进的位为 K = FLOOD(13/10) = 1第D-4位进位后为13MOD10 = 3
I = D-5第D-5位(从左到右)为 1+K = 2应进的位为 K = FLOOD(2/10) = 0第D-5位进位后为2MOD10 = 2
I = D-6第D-6位(从左到右)为 0+K = 0应进的位为 K = FLOOD(0/10) = 0第D-6位进位后为0MOD10 = 0
……
I = 0第零位(从左到右)为 0+K = 0应进的位为 K = FLOOR(0/10) = 0第零位进位后为最后得到的结果为：0 0 0…… 2 3 4 9 3 6
（6）打印，从第零位(从左到右)开始寻找不为0的数，输出这之后的所有数，小数位数为两个数的小数位数中大的数，本题为234.936。(见***4)
2.4 减法算法原理
当被减数b每一位都比减数c的这一位大时，可以当作加法的逆运算(将+改为-)，但是很多时候数据都不会这么凑巧，其实可以先测定答案为正数还是负数。若为正数，则将每个数都控制在0～9之内，若为负数，则将每个数都控制在(-9)～0之内，大则进位，小则退位。不失一般性，设l1≤l2,i=s1-l1-s2+l2,i≥0:
b(0) ……b(i) ……b(s1-l1-1) (.) b(s1-l1) ……b(s1-1)
减法示例：19-91.1
（1）分解到数组1 9 - 9 1 1，将答案数组初值赋零；
（2）增加小数位数，参照加法示例；
新的两个数为：0 0 0…… 1 9 0 - 0 0 0…… 9 1 1
（3）将每一位相减，答案数组为:0 0 0…… -8 8-1(共D位)；
（4）从第零位(从左到右)开始寻找不为0的数，若为正数，说明答案为正数，否则答案为负数；
（5）发现这个数是负数，则将所有数补偿在(-9)～0之内；
I = R TO 0将第I位(从左到右)上的数补偿在(-9)～0之内
I = R第R位(从左到右)上的数为-1，进(退)0，第I位上的数为-1-(+)0=-1
I = R-1 第R-1位(从左到右)上的数为8，过大，进１，第I位上的数为8-10=-2
I = R-2第R-2位(从左到右)上的数为-8+1=-7，进(退)0，第I位上的数为-7-(+)0=-7
……
I = 0第零位(从左到右)上的数为0，进(退)0，第零位上的数为0-(+)0=0
最后得到的结果为：0 0 0…… -7 -2-1，小数位数为两个数的小数位数中大的数，本题为-7.21。(见***6)
2.5 除法算法原理
为使算法易于描述，首先，放大被除数或者放大除数，使被除数在除数和除数的10倍之间。然后，使用二分法以5为初值，逐位试算每一个数字，用此数与除数相乘，再与被除数进行比较。太大了，则将此位按二分法缩小为3，再以此类推进行比较,若太小了，则将此位按二分法放大为7后进行比较。
除法示例：0.11/3
（1）分解到数组0 1 1 / 3，检测除数是否为零，并计算答案的整数位数Z3 =[S1(第一个数的总位数) - L1(第一个数的小数位数)]- [S2(第二个数的总位数)- L2(第二个数的小数位数)]，Z3 = (2 - 2) -(1 -0) = -1。将除数和被除数从左到右相比较，寻找被除数与除数不同的第一个位数，发现被除数的这一位(第一位)不比除数大(若大或全部相同，则还得将上式Z3加一)，则说明答案的整数位数不用变(此步中，若Z3
（2）放大被除数或者放大除数使被除数在除数和除数的10倍之间(都是整数，除数最小)，得到1 1/ 3；
（3）I = 0；
（4）P = 5答案的第I位(从左到右)（5）将答案的第I位(从左到右)与除数相乘，并与被除数相比较，若刚好相同，则打印出答案的第0位至第I位，并完成；
（6）若过大，P = P / 2，若P = 0则P = 1，若比答案的第I位(从左到右)小一的数已经被检测过，则将答案的第I位减一，跳到第（8）步，否则答案的第 I位减P，跳到第（5）步；
（7）若过小，P = P / 2,若P = 0则P = 1，若比答案的第I位(从左到右)大一的数已经被检测过，则跳到第（8）步，否则答案的第 I位加P，跳到第（5）步；
（8）将被除数减去除数的答案的第 I位倍，并乘以10，形成新的被除数，I = I+1(下一位)，若I>R(答案所有位数都有数字)，则跳到第（9）步，否则跳到第（4）步；
（9）打印，按第（1）步处理后输出所有数(R个数)，本题结果为0.036666……。(见***8)
3 流程示意
根据上述算法，我们使用VC++6.0编写了程序并绘制了流程***。
3.1主程序流程***
从in.txt中以字符形式读入第一个数b(全局变量)、操作符ch和第二个数c(全局变量)后，如果操作符是+，则转到子程序ases()；如果是-，则转到子程序sses()；如果是/，则转到子程序dses()；如果是*，则转到子程序mses()；如果是^，则转到子程序powses()。从子程序退出后，按照从左到右或从右到左的方式将结果a(全局变量)输出到out.txt中，在输出时需要对正负数和小数位进行判断，并作相应的处理，最后结束。(见***9)
3.2加法子程序流程***
全局变量a为结果，全局变量b、c为加数，将b、c各位移至数组末尾(最右端)，将b、c各位相加并存入a中，再将a从右到左进位，最后退回主程序。(见***10)
3.3减法子程序流程***
全局变量a为结果，全局变量b为被减数，c为减数，将b、c各位移至数组末尾(最右端)，将b、c各位相减并存入a中，再检测a是否大于0，若是，从右到左退位，否则，从右到左进位，最后退回主程序。(见***11)
a为结果，b为被除数，c为除数，s1和s2分别为b和c的长度，l1和l2分别为b和c的小数位数。l3为a的整数位数，先求出l3＝s1-l1+l2-s2，再放***或c使c*10>b≥c，再逐位试算a的每一位，每次求出一位数后使b=10*(b-c*a[i])。当所有位数都算完或b=0时，根据l3调整结果a，当l3
3.5乘法子程序流程***
a为结果，在顺序上和正常表示相反，第0位为最右边的数(无小数时为个位数)，b、c为乘数，s1和s2分别为b和c的长度。b从左到右第i位与c从左到右第j位之积保存在a从左到右第s1-i+s2-j-2位上，按数组从左到右(即按习惯从右到左)进位后退回主程序。(见***13)
3.6乘方子程序流程***
a为结果(初始为1)，b为底数，c为指数，s1为b的长度。将c化为整数sc后循环sc次，每次先将a的数值赋给中间数a1，并将a清空，再将a1和b的各位相乘，a1从左到右的第j位与b从左到右的第k位相乘的结果加在a从左到右的第j+s1-1-k位上，然后将a从左到右进位后，赋给中间数a1，进入下一轮循环。循环完成后退回主程序。因为每一轮循环中a1由a赋得，所以a1的顺序与正常习惯相反。(见***14)
4 案例测试
程序编译以后,得BIGNUMBER.exe文件。在此exe文件的目录下新建in.txt，并在里面输入表达式，运行完毕exe文件后，在out.txt中就会出现结果。我们选取了部分有代表性的数据进行了测试，表一列出了测试的结果及所需时间。
5 结论
测试结果表明，程序完全实现了预期的目标。如果实际应用需要精度更高的计算结果，本程序可扩容，以期实现。例如，本程序扩容后曾计算22048^9999,计算结果为22316859286056808218806428488145……共有43429位结果，耗时92秒。
我们在网上找到的使用VB优化高精度计算程序，两个1000位数相乘需要0.24秒，两个10000位数相乘需要56.2秒，我们的程序计算两个1000位数相乘的最快速度为0.01秒，两个10000位数相乘的最快速度为0.71秒。如果要计算π值，我们的程序会在速度和精确度上占很大的优势。
此程序下一步的研究方向将通过逆波兰表示法实现混合运算，通过VirtualAlloc申请硬盘虚空间实现程序扩容，100G的硬盘从理论上说至少可以得到3.4*1012位数字。还可以对数组的每一个数做充分的利用，使每个空间保存9位数。另外，我们还希望计算π值和e值，同时，将用MFC对程序作移植以改善窗口显示风格。
参考文献：
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[6]杜丽娟,鞠宏***.用C语言实现超长整数的加减乘除四则运算[J].电脑开发与应用,2003,16(5):36-38.
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数字运算篇2
摘要 数字水印过程就是向被保护的数字***像（如***像、声音、视频信号等）嵌入某些能证明版权归属的或跟踪侵权行为的信息，可以是作者的序列号、公司标志、有意义的文本等等。 本文就基于模运算的数字水印算法进行了介绍，实验分析该算法是切实有效的。 关键词 数字水印；数字***像；模运算 1 基本思想
目前，国际上已出现了许多数字水印方案，但由于数字水印的研究是基于信号处理、数字通信、密码学等多学科领域的思想，一种数字水印方法总是不可避免地存在着这些领域的一些固有缺点。文提出了一种基于单向哈希函数的数字水印方法，但遭到了文[2]的攻击。本算法借鉴了文[1]的采用不可逆运算可提高算法安全性的思想，提出了一种基于模运算的，采用私人密钥的数字水印算法，该算法不仅隐藏效果好，而且安全性也较好，既可抵抗lsb进攻，又可抵抗剪切进攻以及噪声干扰。 2 嵌入提取算法
其中，dir表示下一嵌入位置的方向，即由现在的嵌入位置往何方向移动才可到达下一位置，dis表示移动的步长(见***1和***2及相关说明)，pix_num则表示已隐藏的水印比特数。式(l)中的8代表着8个邻域，式(2)中加1是为了防止出现距离等于0的情况。
(5)重复(3)、(4)直至水印***像中的每个比特都被嵌入到原始***像中。
可以看出，在此算法中，除水印信息的第一个比特的嵌入位置由私钥及任选的大素数决定以外，其余位置皆由上一位置处像素的灰度值及已嵌入的比特数决定(即第(4)步)。具体是这样确定的： 选取八邻域，方向如***1所示。若此时隐藏位置为***2中的?处，且通过(1) 、(2)分别计算得到dir=3，dis=4，则下一隐藏位置处于方向在?的左上方，距离?有dis－1个像素远的那个像素，如果已到达***像的左边缘或上边缘，则循环到右边或下边，如***2所示，?的下一位置在?处。 3 2 1 4 ? 0 5 6 7 ***1 八邻域 1 ······ ? ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ······ ? ······ 3 2 ······ ***2 隐藏位置分布 2.2 提取算法
水印的提取与水印的隐藏基本上是两个对称的过程:
(1)输入密钥k计算种子x, y, z;
(2)计算第一个隐藏位置(x，y，z);
(3)从(x，y，z)处提取一个比特;
(4)计算下一隐藏位置;
(5)重复(3) 、(4)，直至水印***像的每个比特都被提取出来.
2．3 关键技术
在以上的水印隐藏与提取过程[3]中，有两个问题需要解决:第一，计算出的隐藏位置(x，y，z)可能出现冲突；第二，计算出的z可能位于像素的最高比特，若修改此位，则嵌入水印后的***像就会出现较严重的失真。
实验中，分别采用了以下解决办法：
(1)建立一个临时表来记录已嵌入了水印信息的位置(x，y，z)，每计算出一组(x，y，z)后就到表中查找，如果在表中能找到一组相同的(x，y)，则表明产生冲突，这时就放弃该组(x，y，z)再计算下一组；否则将该组(x，y，z)放入临时表中，并在该(x，y，z)处嵌入一个比特的水印信息。
(2)为了解决第二个问题及有效抵抗lsb进攻，每当计算出一组(x，y，z)后，我们检查z的值，若z=1或z=8，则放弃该组(x，y，z)；否则，则修改(x，y)处的第z位。由于仅修改该位可能造成此像素的灰度值与原***像中该像素的灰度值相差很大，从而嵌入水印后的***像与原始***像相比变化太大，因此不仅要改变该像素的第z位，而且其余各位也要相应变化，以使改动过的像素，其灰度值与原***像中该像素的灰度值相差最小[4]。 3 结果分析
实验中采用的原始***像为标准***像lena(256×256)，水印***像为写有“中国地质”四个字的二值***像(64×64)。
***3为原始标准***像lena及水印***像。 ***3
***4为嵌入水印后的***像wm-lena及从中提取出的水印。 ***4
***5为遭受lsb攻击后的***像wm-lena及从中提取出的水印 ***5
***6为遭受剪切攻击（1/4）后的wm-lena及从中提取出的水印 ***6
实验结果表明，本算法对于lsb[5]进攻、剪切进攻、噪声干扰是鲁棒的。 4 结论
数字水印技术是一种横跨信号处理、数字通信、密码学、计算机网络等多学科的新兴技术,具有很大的潜在应用市场,对它的研究具有重要的学术和经济价值。本文提出了一种基于模运算的变换域水印算法。实验结果表明,该算法具有很好的性能，可以有效的防止***像压缩、受损等因素带来的信息丢失。 参考文献 [1] m s hwang , c c chang , k f hwang . a watermarking technique based on one-way hash function [j]. ieee trans on consumer electronics , 1999 , 45(2):56-59 [2] chi-kwong chan , l m cheng . an attack on the h wang-chang-h wang watermarking scheme [j]. ieee trans on consumer electronics , 2000 , 46(1):124-126 [3]li xia , tan yun-meng , yao lu . a method of steganography in jpeg compress . 计算机工程与应用[j],2003 , 29(1):156-159 [4] hu min , ping xi-jian , ding yi-hong . a blind information hiding algorithm based on dct domain of image[j],计算机工程与应用, 2003 ,5(2):24-26 [5] podilchuk c i, zeng w. image2adap tive watermark ing usingvisual models[j]. ieee journal on special a reas incommunications, 1998, 16 (4) : 525- 539
数字运算篇3
1线性卷积的计算方法
1．1***解法***解法主要是在坐标系上，严格按照计算（1）式的四个步骤：翻转、移位、相乘和求和，得到线性卷积结果。采用***解法比较直观讲解线性卷积的计算过程，在数字信号处理教材中常采用***解法为例讲解线性卷积的计算［1，2］。
1．2多项式法多项式法是根据序列x（n）和h（n）构造多项式，序列x（n）和h（n）的元素作为多项式的系数，例如：根据序列x（n）＝｛1，3，2｝构造多项式x2＋3x＋2，根据序列h（n）＝｛10，20｝构造多项式10x＋20，把两个多项式相乘（x2＋3x＋2）＊（10x＋20）＝10x3＋50x2＋80x＋40，相乘所得的多项式的系数构成的序列｛10，50，80，40｝即为线性卷积的结果。
1．3竖式法竖式法是把序列x（n）和h（n）按照最后一位对齐，进行竖式乘法运算［4］，但各个元素相乘后不进位，例如序列x（n）＝｛1，3，2｝和h（n）＝｛10，20｝按照竖式法计算线性卷积如***1所示，则线性卷积结果为｛10，50，80，40｝。
1．4FFT快速算法当循环卷积的长度L大于或等于线性卷积的长度N＋M－1时，循环卷积的结果和线性卷积的结果相等，所以只要FFT快速算法的计算点数大于线性卷积的长度，就可以采用FFT快速算法计算出线性卷积，在MATLAB软件中提供了FFT快速算法的函数，通过调用fft函数和ifft函数完成线性卷积计算［5］。上述计算线性卷积的方法中，***解法适于讲解线性卷积的运算规律，多项式法和竖式法适合于快速计算出线性卷积的结果，FFT快速算法适合采用MATLAB软件编程实现。
2循环卷积的计算方法
2．1***解法***解法主要是在坐标系上，严格按照计算（4）式的六个步骤：补零、周期延拓、翻转、移位、相乘和求和，得到循环卷积结果［6］，采用***解法比较直观理解循环卷积的计算过程。
2．2矩阵相乘法由于循环卷积在对序列x（m）经过补零、周期延拓、翻转得到的序列x［（（－m））L］＝x（L－m）为循环倒相序列，循环右移序列x［（（n－m））L］为对循环倒相序列进行循环右移n位后得到的循环移位序列，然后把得到的循环移位序列与h（m）相乘并求和得到yc（n），由于相乘求和运算可由矩阵相乘代替，即由循环移位序列构成L点循环卷积矩阵，与由h（m）构成的L维列向量相乘，得到yc（n）。采用矩阵相乘法计算循环卷积简单明了，在数字信号处理教材中大多采用此方法为例讲解循环卷积的计算［1］。
2．3线性卷积法由于循环卷积和线性卷积满足的关系如（5）式所示［1］。当循环卷积的长度L大于或等于线性卷积的长度N＋M－1时，线性卷积yl（n）做周期延拓无重叠，此时循环卷积和线性卷积相等，此时线性卷积的结果为循环卷积的前N＋M－1项，循环卷积的后L－N－M＋1项为零。当循环卷积的长度L小于线性卷积的长度N＋M－1时，线性卷积yl（n）做周期延拓有重叠，循环卷积的结果有两部分组成，一部分是线性卷积不重叠的部分，n的取值区间为N＋M－1－L≤n≤L－1，此时循环卷积和线性卷积相等；另一部分为重叠部分，n的取值区间为0≤n≤N＋M－L－2，重叠部分的循环卷积计算如（6）式所示。上述计算循环卷积的方法中，***形法适于讲解循环卷积的运算规律，矩阵相乘法和线性卷积法适合于快速计算出循环卷积的结果。
3结论
本文旨在帮助学生正确理解和掌握卷积运算的规律。根据线性卷积的计算公式推导出了循环卷积的计算公式；讨论了线性卷积的计算方法：***解法、多项式相乘法、竖式法和FFT快速算法，循环卷积的计算方法：***解法、矩阵相乘法和线性卷积法。在教学中采用本文方法讲解卷积运算，既能很快掌握线性卷积和循环卷积的关系，又能很快计算出卷积的结果，解决了卷积运算教学过程中难于计算的问题，提高了卷积运算的教学效果。
作者：姜恩华陈得宝窦德召单位：淮北师范大学