学文网勾股定理证明范文第1篇
在初中数学中，勾股定理是几何学习过程中非常重要的一个定理，它不仅具有深刻的历史底蕴，而且与直角三角形有关问题有着密切的联系.所以，在讲授该定理时，教师有必要严谨地设计方案，让理论依据和教学思路都能清晰地呈现在课堂当中.只有这样，学生才可以更好地学好知识，领悟勾股定理，实现学习目的.本文以勾股定理的实际教学作为案例，将方案设计规划为如下五步.
一、定理引入
课堂教学开展之初，应利用一些生动有趣的故事引入，让学生对所学知识产生兴趣.
在教学勾股定理时，我用《九章算术》中的一题引入：如***1，有个一丈见方的水池，在这个池中生长着一株植物，植物形似芦苇，恰好伸出水面一尺长，假如把这株植物弯向岸边，直到其与地面相连时，可否得出这一池水的深度，以及这株植物的长度？
***1在方案设计时融入故事和趣味问题，主要的意***是通过这些妙趣横生的情境来激发学生的想象力，让他们对学习勾股定理产生兴趣，从而调动起他们的探究热情.
***2二、定理探索
定理的探索是一个发现的过程，主要分为以下两步.
1.直角三角形的三边数量关系的猜想
结合***2，若***中小方格的单位面积为1.问题（1）：如何求出三个正方形的面积？问题（2）：三个正方形的面积之间有什么等量关系？问题（3）：你能否得出直角三角形三边的数量关系？
2.猜想验证
首先作出八个全等的直角三角形，它们的两个直角边和斜边分别设定为a、b、c，再作三个正方形，它们的边长分别为a、b、c.然后按照***3所示，将它们拼成两个大的正方形.我们从两个大正方形中可以发现，它们的边长均为a+b，因此可以断定它们的面积等同.即.
***3通过上述验证探索我们可以得知，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（即勾股定理）.
三、定理应用
在验证完上述定理之后，还需要针对学生掌握的情况进行解题尝试，让学生可以进一步应用定理. 以上述《九章算术》的习题为例，让学生尝试求出池水的深度以及这株植物的长度.
因为学生此时已经大致了解了勾股定理，因此在理解题意的基础上，可以整理出AB2=AC2+BC2，再将有关代数式代入等式中，通过解方程可以得出水深12尺，这株植物的长度为13尺.
四、定理证明
***4 当学生完成了对勾股定理的猜测、验证和应用后，最后还要对勾股定理进行证明.对此，我们将学生分为几个小组，让学生组内合作进行定理的证明.当然，勾股定理的证明方法有很多，所以针对不同的小组，让他们采用不同的方法加以证明.就拿拼***法来说，除了像***3那种方法外，也可以用***4来证明.
这一部分的操作意***是为了让学生之间的互动交流得以加强，使他们对勾股定理的原理和认知能够得到全面的巩固.
五、习题巩固
针对学生对勾股定理的掌握情况，教师安排一些有针对性的习题进行一系列的巩固练习，这在强化学生应用能力的同时，也加深了他们对该定理的认知，从而让知识变得真实易懂，融入自身.
总之，将这种模式融入勾股定理的教学当中，让勾股定理的教学过程逻辑分明、条理清晰，使学生深刻理解这一定理的内涵，这不仅是教学的最终目标，也是加深学生对这一定理认知的重要途径.
（责任编辑黄春香）ZHONGXUEJIAOXUECANKAO
勾股定理证明范文第2篇
勾股定理在西方国家又称毕达哥拉斯定理,是平面几何中十分重要的定理,它反映了直角三角形中三条边的关系,在理论上和实践中都有着广泛的应用,在中考题中也多有涉及,下面列举中考题几例供同学们复习时参考.
一 、勾股定理的证明
例1 一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如***1,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到A B'C'D'的位置,连接CC',设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC'D'的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.
证明: 四边形BCC'D'为直角梯形,
S梯形BCC'D'=(BC+C'D')•BD'=.
RtABC≌RtAB'C',∠BAC=∠B'AC'.
∠CAC'=∠CAB'+∠B'AC'=∠CAB'+∠BAC=90?
S梯形BCC'D'=SABC+SCAC'+SD'AC'
=ab+c2+ab=.
=.a2+b2=c2.
说明:在近几年的中考试题中,考查勾股定理证明的试题有增强的趋势,主要是利用***形面积之间的关系证明勾股定理,一方面增进了同学们对证明勾股定理的数学史的了解,另一方面这类试题对培养同学们的探索精神也大有裨益.
二、勾股定理在计算中的应用
例2 如***2,在ABC中,∠CAB=120B=4,AC=2,ADBC,D是垂足.求AD的长.
解:过C作CEBE交BA的延长线于E,
AC=2,AE=1.
在RtACE中,由勾股定理得:
CE2=AC2-AE2=3,CE=,
在RtBCE中,由勾股定理得:BC2=CE2+BE2=28,
BC=2.SABCA=AB说明:当所给的***形有直角三角形时,我们可想到勾股定理的应用.
三、勾股定理的实际应用
例3如***3, 一架长5米的梯子 ,斜立在一竖直的墙上,这时梯子底端距墙底3米.如果梯子的顶端沿墙下滑1米,梯子的底端在水平方向沿一条直线也将滑动1米吗?用所学知识,论证你的结论.
解:是.证明如下:
在RtACB中,BC=3,AB=5,
根据勾股定理得AC==4米.
DC=4-1=3米.
在RtDCE中,DC=3,DE=5,
根据勾股定理得CE==4米.
BE=CE-CB=1.即梯子底端也滑动了1米.
说明:在用勾股定理解决实际问题时,关键是根据题意画出***形,把实际问题抽象成数学模型,然后运用勾股定理等解决,必要时还要用到方程(组)的方法求解.
四、与勾股定理有关的探索题
例4 ***4中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③、④、⑤、…,则第n个等腰直角三角形的斜边长为_____________.
解:观察***形可知①对应斜边长为,②对应斜边长为,③对应的斜边长为,……,第n个对应斜边长为.
五、勾股定理逆定理的应用
例5 已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ABC的形状.
解: a2c2-b2c2=a4-b4 ,
c2( a2-b2)=( a2+b2) (a2-b2).
(1)当a2-b2≠0时,化简后得c2=a2+b2 ,
ABC是直角三角形.
(2)当a2-b2=0时,a=b, ABC是等腰三角形.
说明:本题结合因式分解的知识,综合考查了提公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的逆定理,同时还考查了等式的性质2:在等式两边不能同时除以一个可能为0的数,这往往是我们最容易忽视的地方,应引起大家的注意.
六、与勾股定理有关的创新题
例6 在直线l上依次摆放着七个正方形(如***5所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放置的四个正方形的面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1+S2+S3+S4=________.
分析:根据已知条件可知AC=EC,∠ABC=∠CDE=90CB+∠ECD=90伞CD+∠CED=90浴CB=∠CED,这样可得ABC≌CDE,所以BC=ED,
在RtABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,
由S1=AB2,S2=DE2,AC2=1,所以S1+S2=1.
同理可得S3+S4=3,所以S1+S2+S3+S4=1+3=4.
说明:本题不是直接求出S1,S2,S3,S4,而是借助勾股定理求出S1+S2,S3+S4.体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.
勾股定理证明范文第3篇
数学是人类文化的重要组成部分，数学教育是数学文化的教育。数学史是数学的一个分支，数学史教育则是数学教育的一个部分；而数学史是数学文化的一种载体，数学史融入数学课程有助于学生认识数学、理解数学，感受数学文化。
在我国所颁布的《数学课程标准》，无论是义务教育阶段还是普通高中阶段，都有与数学史相关的要求。《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》第四部分“课程实施建议”，每一个学段的“教材编写建议”都有“介绍有关的数学背景知识”这一条目。而《普通高中数学课程标准(实验)》认为“数学课程应适当反映数学发展的历史、应用和趋势”“应帮助学生了解数学在人类文明发展的作用，逐步形成正确的数学观。”同时在选修课程中开设“数学史选讲”，并提供了若干可供选择的专题。
勾股定理是平面几何中具有奠基性地位的定理，是解三角形的重要基础，也是整个平面几何的重要基础，其在现实生活中具有普遍的应用性。因此勾股定理几乎是全世界中学数学课程中都介绍的内容。这是因为勾股定理不仅对数学的发展影响巨大，而且在人类科学发展史上意义非凡。从某种意义上说，勾股定理的教学是数学课程与教学改革的晴雨表。20世纪五六十年代数学课程的严格论证，后来提倡的“量一量、算一算”“告诉结论”“做中学”，直到现在的探究式等，在勾股定理的教学中都有各自的追求。数学教学要培养学生数学计算、数学论证乃至数学推断等能力，勾股定理的教学正是一个恰当的例子。
“勾股定理”是初中数学中的一个重要内容，具有悠久的历史和丰富的文化内涵，《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》中指出勾股定理的教学目标是让学生体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题。勾股定理的内容出现在八年级，而八年级又是学生学习数学的一个重要发展阶段，由具体思维向形式化思维转变的重要时期，但勾股定理的教学却始终是一个难点，虽然勾股定理的证明方法据说超过400种，但是真正能够让学生在思路上比较“自然地”想到的证明方法是困难的，而从让学生体验知识的发现过程的角度来讲，要让学生“再发现”勾股定理更是难上加难。
那么，教师如何教学才能使学生体验勾股定理的探索过程呢?笔者认为教师应该以勾股定理的历史文化发展为线索来设计课堂教学更为合适。
1. 教学目标
（1）使学生在探索中“发现”勾股定理；
（2）使学生从勾股定理的历史背景中体验勾股定理；
（3）使学生从不同文化对勾股定理不同的证明方法中感受数学证明的灵活和数学美，感受勾股定理的丰富文化内涵；
（4）使学生运用勾股定理解决实际问题；
2. 课时安排 本节安排三课时，第一课时讲到勾股定理的证明，第二课时讲授证明方法，第三课时讲授勾股定理的应用。
3. 教学过程
3.1 从文化传统入手使学生“发现”勾股定理：
教师在课前需要做好形式多样的三角形的模型，既有直角三角形又有非直角三角形（为方便起见，使得每一个直角三角形的两个直角边的长度均为整数）。将全班学生分若干个小组，发给每个小组两个直角三角形和一个非直角三角形，让每个小组同学利用直尺测量三角形的三边长，并记录数据（教师可利用几何画板进行集体演示）。然后，教师提出问题：
(1) 你手中的直角三角形的三边的平方之间有什么关系？
(2) 这种关系对于非直角三角形是否任然成立？
通过计算，和小组内讨论，每个小组选出一位“发言人”代表本小组陈述本组的结果。教师在一旁进行指导，并根据学生的回答，给出正确的结论：
问题(1)：任意直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是我们要学习的勾股定理的内容。这里的“勾、股”指的是直角三角形的两个直角边，斜边叫做“弦”。
问题(2)：任意非直角三角形都不存在这种关系。
中国传统数学非常重视测量与计算，这是古人发现问题和解决问题的主要方法之一，同时也是学生很熟悉的学习方法。这样引入课题符合从特殊到一般的思维规律，能够带动学生的学习积极性。
3.2 向学生介绍勾股定理的历史背景：
据史书记载，大禹治水与勾股定理有关。
大禹在治水的实践中总结出了运用勾股术(也就是勾股的计算方法)来确定两处水位的高低差。可以说，大禹是世界上有确切文字记载的第一位与勾股定理有关的人了。
《周髀算经》是中国历史上最早的一本算术类经书。周就是圆，髀就是股。上面记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的文字记录，即＂勾三股四弦五＂，亦被称作商高定理。卷上另外一处记述了周公后人荣方与陈子(约公元前6、7世纪)的对话中，则包含了勾股定理的一般形式：
“……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并几开方除之，得邪至日。”
可见，在我国西周时期已经开始利用勾股定理来测天量地，于是勾股定理又叫“商高定理”。
而在西方，人们认为勾股定理的第一个证明是毕得格拉斯给出的，因此将勾股定理又叫做“毕得格拉斯”定理。相传毕得格拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，一次就宰杀了一百头牛祭神庆贺，于是也把“毕得格拉斯”定理称为“百牛定理”，不过迄今为止还没有毕得格拉斯发现和证明勾股定理的直接证据，而且宰牛庆贺一说也与毕得格拉斯学派的素食主义相违背。不过尽管如此，人们任然对毕得格拉斯证明勾股定理的方法给予了种种的猜测，其中最著名的是普鲁塔克(Plutarch,约46-120)所给出的面积分割法。从毕得格拉斯时代到现在，人们对勾股定理给出了各式各样不同的证明方法。在卢米斯(E·S·Loomis)的《毕氏命题》一书第二版中，作者收集了勾股定理的约370种不同的证明方法，并对它们进行了分类。
3.3 向学生展示历史上勾股定理的不同的证明方法：
(1)赵爽(公元3世纪前期)的证明：
在我国第一个给出勾股定理证明的是赵爽，他在深入研究了《周髀算经》后，为该书些了序言，并做了详细注释，其中有一段约530余字的“勾股圆方***”注文，在数学史上极有极高的价值，并绘有勾股***，证明了勾股定理，并用朱黄两色涂于***上。（如***2）
勾股定理证明范文第4篇
丽水市2009年数学中考选择题第10题。如***:
已知ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l,l,l上,且l,l之间的距离为2,l,l之间的距离为3,则AC的长是()。
A.2 B.2
C.4D.7
这道选择题是有点难度的,需要学生作相应的辅助线,才能理清思路。如下***:过A,C两点作垂直于直线l的两条辅助线段AE,CF。有这两条辅助线后,相信只要知道直角三角形全等判定定理的学生都可以得到RtAEB≌RtBFC,所以有EB=CF,由勾股定理可以求得:
AB===,
AC===2。
所以这道选择题正确答案为A。
这道题目最终得以解决,用到了直角三角形的全等的判定,同时运用了两次勾股定理。有趣的是这道题本身还蕴含着勾股定理证明的一种方法,如果将上***中的直角梯形拿出来得到如下***形:两个全等直角三角形RtABC,RtBEF,两条直角边在同一条直线上,连接顶点A,E,构成一个直角梯形。
设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,
显然S=(a+b)(a+b)=(a+2ab+b),
又S=S+S+S=ab+ab+c=(2ab+c)。
比较以上二式,便得a+b=c。
这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,证明相当简洁。据说这个证明方法是美国第二十任总统伽菲尔德证明的。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法。这在数学史上被传为佳话。
关于勾股定理的证明古代中国和古希腊的两个证明同样十分简洁,十分精彩。
1.中国方法
由边长分别为a,b,c的四个直角三角形构成一正方形,如***,其中a、b为直角边,c为斜边。
由***:正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)。于是便可得如下的式子:
4×ab+(b-a)=c。
化简后便可得:a+b=c。
这就是初中几何教科书中所介绍的方法。这个对勾股定理进行证明的方法,据说是三国时期吴国的数学家赵爽所给出的方法。
2.古希腊方法
直角三角形三边AB=c,AC=b,BC=a直接在直角三角形三边上画正方形,如***:
容易看出,ABA′≌AA″C。
过C向A″B″引垂线,交AB于C′,交A″B″于C″。
ABA′与正方形ACDA′同底等高,前者面积为后者面积的一半,AA″C与矩形AA″C″C′同底等高,前者的面积也是后者的一半。由ABA′≌AA″C,知正方形ACDA′的面积等于矩形AA″C″C′的面积。同理可得正方形BB′EC的面积等于矩形B″BC″C′的面积。
于是,S=S+S,
即a+b=c。
这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。
在欧几里得的证明方法中,以直角三角形三边为边作正方形,证明直角边上两个正方形的面积和等于斜边上的即可。其实勾股定理公式也可以变形为λa=λb+λc,也就是说,对任何相似形这个结论都等价。只要证明了勾股定理,就表明对任何相似形都成立。逆转过来看,只要对任一相似形证明等式的成立,就证明了勾股定理。
现在看上面这个***,***中隐藏了三个相似三角形,它们分别可以看作从直角三角形三边往里作出的相似形。又由于两个小三角形加起来等于那一个大三角形,因而勾股定理得证。
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勾股定理证明范文第5篇
在教育教学中，通过课堂教学传授知识、学到某种知识并不是最重要的，重要的是形成学习知识的能力和不断更新知识的能力，即学会学习。而更重要的是培养学生的人本意识、质疑精神和批判精神。在具备知识和能力的基础上，具有人本意识、质疑精神和批判精神的人无疑更具有创新精神和创造能力。
在现今的课堂教学中，如何培养学生的人本意识、质疑精神和批判精神无疑是教育的最高目标，但囿于现实的教育体制、急功近利的教育观念、桎梏人的教育思想，要实现上述目标无异于缘木求鱼、南辕北辙。“钱学森之问”就是对这种教育现实、教育结果的最直接的反映。教育者只能戴着思想的镣铐在刀刃上跳舞，退而求其次。在课堂教学中培养学生发现问题、提出问题的意识和能力，即对问题意识的培养，是不得已而为之的做法。爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上的或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”可见培养受教育者问题意识的重要性。
在具体的数学课堂教学上，可以从下列途径培养学生发现问题、提出问题的意识和能力;当然还可以从其他更多的途径进行训练。
1.从建立概念（或命题）的过程中发现问题、提出问题
在苏科版《数学》（八年级上册）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理证明》的教学中，通过画***，用三个正方形面积来验证了直角三角形斜边、直角边之间的关系，得到了一个正确的命题：勾股定理，而后介绍公元前1000多年前《周髀算经》记载的“勾三股四弦五”的结论。此时可引导学生对勾股定理来思考：对勾股定理可以提出哪些问题？举数例如下：
（1）中国人老早就发现了勾股定理，那么外国人有没有发现勾股定理？如发现了，最早是什么时候、是谁发现的？（这个问题如何解答呢？咨询、查***书资料、网上搜索……）
（2）勾股定理有哪些应用呢？（求边长、计算、证明其他命题、***案设计、列方程……）
（3）如何证明勾股定理？（咨询、查***书资料、网上搜索……几何的、代数的、三角的、面积的、向量的……多种方法）
（4）到目前为止，勾股定理有多少种证明方法？（咨询、查***书资料、网上搜索……）
（5）勾股定理有逆定理吗？如有，如何证明它？
再如，学过勾股定理的逆定理之后，接着就建立勾股数的概念，可以要求学生对勾股数可提出哪些问题呢？举数例如下：
（1）填空：
32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，
72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。
从32+42=52及上面的练习可知：至少有一组勾股数3、4、5，即勾股数是存在的。那么，勾股数是有限的还是无限的？
（2）能不能建立公式求勾股数？
（3）勾股数与直角三角形是什么关系？
（4）古人是怎样发现勾股数的？
2.从问题中发现问题、提出问题
仍然以勾股数概念的建立为例，给出下列问题：
n是大于1的正整数，下列三个数n2-1、2n、n2+1是不是勾股数？
自然，可以让学生自己去判断这三个自然数是不是勾股数，很快就可以得出结论：这三个自然数是勾股数。于是，就可以引导学生思考、去探究、去提出问题：
（1）设自然数k，这三个数的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股数？如何判断呢？（这个问题是引导学生思考：由勾股数的定义去判断出，由一组勾股数就可以得到许多组勾股数）
（2）n取不同的值，就得到不同的勾股数，是不是就求出了所有的勾股数？（这个问题是引导学生思考勾股数是有限的还是无限的，怎样用有限去表达无限）
（3）这三个数是怎样得到的？（这个问题是引导学生思考、探求发现这三个数的途径）
3.从命题的证明过程中发现问题、提出问题
问题：如***：AD为ABC的高，∠B=2∠C，
用轴对称***形说明：CD=AB+BD。
给出如下解答：
（1）如***，在CD上取一点E使DE=BD，连结AE;ADBE，
AB=AE，∠B=∠AEB，
而∠AEB=∠C+∠CAE，
所以∠B=∠C+∠CAE;
又∠B=2∠C，
2∠C=∠C+∠CAE，
∠C=∠CAE，AE=EC，
AE +BD=DE+EC，
即AB+BD=DC。
（2）上面的证明有没有错误？有没有不完善的地方？有没有漏洞？如果有的话，在哪里？
在进行全方位教育改革、实施素质教育、实现中国梦的21世纪，培养不出有人本意识、质疑精神和批判精神的人就不能造就出具有创新意识、创新精神与创新能力的建设者，是与时代的要求、民族的希望格格不入的。因此，要倡导个性，***思想，自由精神，多元生活，为培养未来的建设者提供自由的空气、精神的土壤。
（作者单位：江苏省兴化市安丰初级中学）
勾股定理证明范文第6篇
人教版《义务教育教科书・数学》八年级下册第17章是“勾股定理”.勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用.本章主要介绍了勾股定理及其逆定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定理的有关知识.
1本章内容概述
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，有极其广泛的应用.平角的一半就是直角，空间中一条水平方向的直线和另一条铅垂方向的相交直线也相交成一个直角，直角是生产和生活中最常见的特殊角.勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何***形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用.勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响.没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦.所以，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一.
本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用.
在第一节中，教科书安排了对勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程.教科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面***案的面积关系发现勾股定理的传说故事，并让学生也去观察同样的***案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系.在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积.然后对更一般的结论提出了猜想.
历史上对勾股定理证明的研究很多，得到了很多证明方法.教科书正文中介绍了公元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法.这是一种面积证法，依据是***形在经过适当切割后再另拼接成一个新***形，切割拼接前后***形的各部分的面积之和不变，即利用面积不变的关系和对***形面积的不同算法推出***形的性质.在教科书中，***17.1-6（1）中的***形经过切割拼接后得到***17.1-6（3）中的***形，证明了勾股定理.
根据勾股定理，已知两条直角边的长a，b，就可以求出斜边c的长.根据勾股定理还可以得到a2=c2-b2，b2=c2-a2，由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长.也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长.教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.教科书借助勾股定理和判定全等三角形的定理（SSS）证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理.勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种重要依据.教科书安排了两个例题，让学生学会运用这个定理.本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.为巩固这些内容，相应配备了一些练习和习题.
2编写时考虑的几个问题
2.1让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程
勾股定理及其逆定理都是初等数学中的重要定理，同时，这两个定理也都是多数初中学生在教师的精心引导下通过探索能够发现并证明的定理，教学中要重视这两个定理的教学，在教学过程中要注意引导学生通过探索去发现***形的性质，提出一般的猜想，并获得两个定理的证明.
教科书对勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程.先是很特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵爽证法的引入.这是一个典型的探索和证明的过程.类似地，对勾股定理的逆定理，教科书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程.
这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对结论的探索兴趣和热情，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力和严密审慎的思考习惯.
2.2通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感
我国古代对数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感.
我国古代对勾股定理的研究就是一个突出的例子.根据成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期的《周髀算经》进行推算，有可能在公元前21世纪大禹治水时人们就会应用“勾三股四弦五”的特殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多实际测量问题.约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方***注》，用“弦***”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对勾股定理一般结论的最早的证明.我国古代不仅较早***地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比较早使用了巧妙的方法***证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入的研究并达到熟练的程度.从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的在公元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角形的事实，可以推测在比《周髀算经》成书早得多的时候，我国对勾股定理不仅知其然而且知其所以然，只是缺少文献明确记载对定理的论证.这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡献，是值得我们自豪的.
本章教科书结合教学内容介绍了我国古代对勾股定理的有关研究成果.在引言中介绍了现存的我国古代的数学著作中最早的著作《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”.勾股定理的证法很多，教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了赵爽的证法.首先介绍赵爽“弦***”，然后介绍赵爽利用弦***证明命题1的基本思路.这些内容表现了我国古代劳动人民对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.正因为此，赵爽“弦***”被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽.教科书还在习题中安排了我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古代在勾股定理应用研究方面的成果.
课本习题是一种重要的教学资源。在总复习教学中，通过探索课本典型习题的知识生长点、能力发展点、思想方法蕴涵点，挖掘课本典型习题的潜在教学价值，有利于激发学习兴趣，提高复习教学效率；通过反思、拓展、应用，完成习题教学的第二次飞跃。培养学生探究质疑精神，提高创新意识和实践能力。下面就一课本习题教学进行的再认识和再设计问题予以探究.
题目现行华师大版9年级《数学》上第24章《***形的相似》复习题C组第20题：
（1）已知，如***1，MN是ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足，求证：AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）若直线MN向上移动，使点C在直线一侧，A、B、D三点在直线另一侧（如***2），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
***1***21质疑证法
华师大版配套教师用书提示：记O为ABCD两条对角线的交点，过O作OO′MN，垂足为O′。
（1）由梯形中位线定理，易证所需结论.
（2）由梯形中位线定理，可得BB′+DD′=2OO′；易可证AA′-CC′=2OO′，因而AA′=BB′+CC′+DD′.
根据提示，运用梯形中位线定理是关键，证明如下：
***3（1）证一：连结AC、BD交于O，过O作OO′MN，垂足为O′.
因为BO=OD，BB′∥OO′∥DD′，所以B′O′=O′D′。所以BB′+DD′=2OO′。同理AA′+CC′=2OO′。所以AA′+CC′=BB′+DD′.
证二：如***3，分别连结AC、BD交于P，过P作PHMN于H，连结C′P，并延长交A′A的延长线于W。因为BP=PD，BB′∥PH∥DD′，则B′H=D′H，所以PH是梯形BB′D′D的中位线。所以BB′+DD′=2PH.
又PCC′≌PAW，所以PC′=PW，CC′=AW，PH是WA′C′的中位线，所以WA′=2PH，所以AA′+CC′=2PH，所以AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）猜想：AA′-CC′=BB′+DD′。证明（转化法）：如***2，在ABCD外，另作M1N1∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M1N1于A1、B1、C1、D1。由（1）证得：AA1+CC1=BB1+DD1。所以AA′+A′A1+C′C1-CC′=BB′+B′B1+DD′+D′D1，由于A′A1=C′C1=B′B1=D′D1，所以AA′-CC′=BB′+DD′.
问题分析对（1）的两种证明，关键性依据是“过梯形一腰的中点且平行于两底的直线必平分另一腰”，然后利用中位线性质获证，证明看似顺畅简洁，但现行华师大版数学教材中始终没有这样的学习内容，造成推理无依据，难消学生心中的疑虑。证法二中用到的结论“过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边”可以在教材P67开头部分找到依据.
这些结论如果补证，会增加学生负担；如果直接告诉这个结论，会增加学生理解难度。其实，还有适合学生的其他证法.
***4改进证法（1）如***4，分别过C、D作CHBB′于H，DPAA′于P。因为BB′∥AA′，AD∥BC，所以∠HBC+∠ABC+∠BAP=∠ABC+∠BAP+∠PAD=180°，所以∠HBC=∠PAD。又AD=BC，∠BHC=∠APD=90°，所以BHC≌APD。所以BH=AP。即BB′-HB′=AA′-PA′，由HB′=CC′，PA′=DD′，可得AA′+CC′=BB′+DD′.
（2）可仿（1）证明.
2质疑猜想
问题（2），在不给学生任何提示的前提下，学生的思考几乎呈散放、无序的状态，又测量因误差，容易导致误猜，实践证明学生很难获得有效的猜想。中科院院士张景中认为，一个题目，光想不动手，往往不得其门而入，动手做，常会有启发，代数问题，把字母代成数试一试，几何问题，多画几个***看一看，这比你冥思苦想效果好得多，学生通过数学实验，动手算一算、画一画、量一量，手脑并用，获得直接的感性认识，能最大程度地发挥其主观能动性，有利于右脑的开发，并能由此引发奇思妙想，产生大胆的猜想和创新。正所谓“直觉的产生要以逻辑分析为‘前奏曲’”。由此可见，猜想不是凭空乱想。教学中要教给学生猜想的方法和猜想的途径。猜想的方法主要有：归纳、类比、合情推理。猜想的途径主要是：观察、实验、探索。教学改进设计如下：
（1）实践操作，感知确认。试一试，测量这些线段，通过计算，它们有什么的关系呢？有人测得BB′=0。2cm，AA′=1。1cm，CC′=0。5cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′+DD′=2（BB′+CC′）。还有BB′=0。25cm，AA′=1。1cm，CC′=0。55cm，DD′=0。3cm，于是猜想：AA′=BB′+CC′+DD′。谁的猜想更合理呢？再画一个***形试一试，发现：AA′=BB′+CC′+DD′更合理.
（2）通过引入辅助元素，转化为熟悉的问题或已经解决了的问题，通过推理获得猜想.
3变式探究
变式1：如果再作如下移动又如何呢？若直线MN向上移动，使点C、D在直线一侧，A、B点在直线另一侧（如***5），则垂线段AA′、BB′、CC′、DD′之间存在什么关系？先对结论进行猜想，然后加以证明.
有上述经验，学生容易做出如下猜想：AA′-CC′=BB′-DD′.
***5证明：如***5，在ABCD外，另作M2N2∥MN，分别延长AA′、BB′、CC′、DD′交M2N2于A2、B2、C2、D2。仿（2）可证得：AA′-CC′=BB′-DD′。证明也可以仿改进（1）中的方法进行.