学文网导读:若能适当地建立起有关方程(方程组)。我们不妨把这种方法称为构造方程(方程组)法。在数学中利用齐次方程解几何问题是一种非常简单、便捷的方法。思想方法,,关于齐次方程的研究。 关键词:构造方程,齐次方程,方程组,思想方法 对于某些数学问题,构造辅助方程,有助于对原来问题的理
解,使问题在新的关系下实现转化,从而获得解决。数学中的某些问题,若能适当地建立起有关方程(方程组),则可利用方程的知识来解决。我们不妨把这种方法称为“构造方程(方程组)法”。,思想方法。。
1 解几何问题
在解析几何中,方程是刻画曲线性质的代数语言,而曲线又是描绘方程特征的***象语言,数与形的统一,使得两者浑然一体,相得益彰。本文先考察齐次方程及其相应的一元二次方程两根的几何解释,然后借助韦达定理推出几个重要结论。
设 为平面上一定点,若 (不与重合)的坐标满足,
则是方程的两根。
证:将方程改写成
,的坐标满足方程
,即有:
,而
是方程的两根。
据此由韦达定理可得以下结论:
(1) 若直线与直线的倾角互补,则由
(2) 若直线与直线互相垂直,则由
(3) 若直线与直线斜率之和为常数,则由
(4)
齐次方程及上述四个结论,在解(证)有关解析几何问题中有着奇特的功效。中学数学中经常会遇到此类问题,例如:求直线方程、求曲线方程、求参数值、求离心率取值范围、求两相交直线夹角、求点的轨迹、求证明题等等,但有些同学掌握的不好,不会灵活运用,下面我们就以上几个问题分别进行讲解。
1.1 求直线方程
此类问题大多是直线与曲线相交且交于两点,再配合其他条件,然后求直线方程,下面举例说明。
例 经过原点的直线与椭圆交于两点,若以为直径的圆恰过椭圆左焦点,求直线的方程。
解:设直线的方程为,的坐标为,
将椭圆方程改写为(1)
将直线的方程改写为(2)
由(1),(2)得
整理得
,由结论(2)得
的方程为
通过上面几题我们发现这类问题充分利用了直线方程与曲线方程联立、结合的特点,然后再用齐次方程方法解题。例如题1,首先利用椭圆方程知道左焦点的坐标为,然后设直线的方程为,下面是本题的关键,先将椭圆方程改写为,再将直线的方程改写为,联立整理得到一个新方程,根据圆的知识,圆上的点到直径两端点的线段垂直,由结论(2)得,的方程为.这是一道典型的直线方程与曲线方程相结合求解析式的题,题中利用直线方程与曲线方程联立后得到的新方程求出未知数,方法巧妙,灵活,多变,不易掌握,但万变不离其宗,只要我们掌握了其中的精髓,所有问题都会变的简单起来。先将直线方程与曲线方程联立,然后用韦达定理求得表达式,最后求解未知数。其实数学中的很多题都有其固定的模式,所谓的换汤不换药就是这个道理,总之,我们要掌握做题的要点,就立于不败之地了。
1.2 求曲线方程
与求直线方程一样,此类问题大多也是直线与曲线相交,再配合其他条件,最后求曲线方程,下面举例说明。,思想方法。。
例 椭圆中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率为,它与直线交于两点,且,求椭圆方程。
解:设椭圆方程为
将直线方程嵌入椭圆方程,得
整理得
,由结论(2)得
即(1)
又,(2)
由(1),(2)解得
通过此题我们发现无论是求直线方程还是求曲线方程,将二者联立、结合,再用齐次方程解题,将会事半功倍。上面已经具体介绍过直线方程与曲线方程联立求解,这里就不多做介绍了,唯一变化的是上面将方程联立后求的是直线方程,而这里介绍的是联立后求曲线方程,方法大同小异,无非都是联立后得到一个新的方程,然后根据已知条件求解。
综上所述,在数学中利用齐次方程解几何问题是一种非常简单、便捷的方法,经过近些年的发展,现已初步形成一个体系,希望更多的人来研究、完善这一方法。这一方法的中心思想就是直线方程与曲线方程结合,联立,形成一个全新的方程,然后再根据其他条件,最后求解未知数的这么一个过程。这基本就是一个固定的模式,我们需要做的就是灵活掌握这个模式,遇到不同的条件,求不同的答案都应该做到举一反三,应用齐次方程解集合问题用途广泛,包括求直线方程、求曲线方程、求参数值、求离心 率取值范围、求两相交直线夹角、求点的轨迹、求证明题等等,我们应该认真学习,做到熟练掌握,灵活运用。 2 解代数问题 2.1 求值 此类问题是利用齐次方程求代数式的值,下面举例说明。 例 设首项系数不相等的两个二次方程(1)及 (2) (其中为正整数)有一公共根,求 的值。
解:由条件知,设是方程(1)、(2) 的公共根,显然(否则)将两方程分别改写为
由此知是方程的两个相异正整数根,故,
若,则,
若,则
从而
通过此题我们可以看出,分别求出未知数的值,再求代数式的值。先把两个方程整理,然后根据韦达定理,求出,通过这道题我们可以看出,将齐次方程应用到解决代数问题是一种行之有效的办法,往往一道比较难解的问题,在这里会比较轻松的求出答案,我们不得不佩服齐次方程的解题能力,所以我们要更好的学习齐次方程,下面接着介绍应用齐次方程解其他代数问题。,思想方法。。,思想方法。。
2.2 求最值
此类问题是利用齐次方程求代数式的最大值或最小值,下面举例说明。
例 实数满足,记,求和.
解:由得
代入可得关于齐次项
即
(1)当x=0时,;
(2)当x≠0时,有,
这是关于的一元二次方程,由得
解得
通过此题我们可以看出,求出关系式S的取值范围,即S的最大值或最小值。同样是两个方程联立,得到一个全新的的方程,然后分析,本题是分析(1)当x=0时,;(2)当x≠0时,有,通过本题我们可以看出此类问题的普遍模式,为我们今后的解题提供了一种全新的方法。
综上所述,利用齐次方程解代数问题是非常方便,实用的一种方法,它把各类问题都化简成比较简单的模式。利用齐次方程解代数问题包括求值、求最值、求证明题等等,还可以应用到矩阵问题当中,所以说这种方法应用广泛,值得我们去学习。
3 解三角问题
此类问题是把三角函数转化成齐次方程,下面举例说明。
例 已知,,求的值。
分析:方程左端为齐次式,由已知条件可知
所以,原方程可化为
所以
又,所以
所以
将代入上式得
通过上面几题我们可以看出,有些时候用齐次方程解决三角函数问题非常简单,有意想不到的效果。这种类型题通常把三角函数值当作方程里的未知数去求方程,再配合一些定理,所有的题都是,有些隐含条件是需要我们发现的,这就要求我们平时多做题,基本功掌握踏实,这样才能经得住考验。,思想方法。。
4总结
综上所述,利用齐次方程求几何、代数、三角函数问题,各有各的解法,各有各的特点,望读者再认真归纳、总结,举一反三,才能真正的理解齐次方程的魅力。,思想方法。。其实利用齐次方程解题是一个很好的研究课题,这其中有很多值得我们研究、推敲的问题,当然本文介绍的不够全面,尤其是利用齐次方程解题的题型不够全面,还有很多类型题可以利用齐次方程这个方法去求解,这就有待于今后我继续在这一领域进行研究。
参考文献[1]乐茂华.常系数齐次线性差分方程的解的显示表式[J].
数学学报,1985年01期:1-2页