学文网反三角函数篇1
1、常见反三角函数值：
arcsin0=0；arcsin(1/2)=π/6；arcsin(√2/2)=π/4；arcsin(√3/2)=π/3；arcsin1=π/2；atccos1=0；arccos(√3/2)=π/6；arccos(√2/2)=π/4；arccos(1/2)=π/3；arccos0=π/2；arctan0=0；arctan(√3/3)=π/6；arctan(1)=π/4；arctan(√3)=π/3；arctan0=π/2。
2、反三角函数：
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。在航海学、测绘学、工程学等其他学科中，还会用到如余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数、半正矢函数、半余矢函数等其他的三角函数。不同的三角函数之间的关系可以通过几何直观或者计算得出，称为三角恒等式。
（来源：文章屋网 ）
反三角函数篇2
2014年11月26—27日，我校成功举办了省“教学新时空·名校课程”现场推进会暨江苏省海门中学第30届教学“百花奖”全国展示活动（江苏教育网进行了网络直播）。笔者有幸执教《三角函数的周期性》一课。三角函数的周期性作为三角函数的***像与性质的起始课，概念性强，本节课是笔者基于“给学生需要的数学概念课堂”的需求进行的一次实践和尝试。
一、课堂实录
1.创设情境
同学们，作为一个海门人，我们身处长江边，你有没有在长江边看过日出，今天老师请大家看一段长江边日出的视频。
下面是两个同学看完视频后的对话
甲：日出美吗？
乙：美。
甲：那我们去长江边看日出去？
乙：明天不行，我要上学。
甲：后天？
乙：不行，我要上学。
甲：没关系，日出天天可以看，等你放假后一起去？
乙：好的。
师：从两同学的对话中，你认为日出这一自然现象具有什么规律？
生：过了一定时间现象重复出现（定期重现），可用成语“周而复始”。
师：自然界和生活有许多“周而复始”的现象，我们的课前音乐《花心》的歌词中也有类似周而复始现象的描述，你发现了吗？
生：“春去春回来”“花谢花会再开”“黑夜又白昼”“潮起又潮落”。
师：很好，那我们最近研究的三角函数中有没有这种“周而复始”的现象？
生：有，三角函数线。
2.概念生成
那我们一起研究一下三角函数线的变化，以正弦线为例，利用几何画板演示正弦线的变化(如***1)。
师：正弦线的变化有什么特征？
***1每转过一圈，函数值就重复出现。
师：很好，如果用代数式表示？
生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。
师：上述等式成立与x的取值有关系吗？
生：没有。
师：如果我们记f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。
那么自变量x的取值范围是什么？
生：任意角。
师：很好，那么你能用语言表述一下吗？
生：自变量每增加2π，函数值不断重复出现。
师：非常棒，这是不是和我们刚才研究的“日出”的周而复始现象很像，那么是不是只有正弦函数具有这一特征？如果还有其他函数，那么它增加的量是多少？
生：余弦函数也有这一特征，也是自变量每增加2π，函数值不断重复出现。
师：还有么？
生：正切函数也有这一特征，不过增量为π。
师：三角函数具有的这种自变量每增加一定的量，函数值重复出现的性质称为三角函数的周期性。
板书课题：三角函数的周期性。
师：如果有一个函数，自变量每增加1，函数值就重复出现，你认为它是否具有周期性？
生：有周期性。
师：也就是说，定量并不一定是“2π,π”，那么对于这些一般函数的周期性我们如何用数学符号语言刻画？
沉默
师：大家可以讨论一下？
学生讨论，约2分钟后。
师：你们有结论么？
生：我们组的结论是“对于函数f(x)，如果存在常数T，使f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做周期函数的周期”。
师：很好，对这一小组的结论，大伙还有没有补充？
生：我们认为，应当是非零常数T。
师：理由？
生：若T为0，则自变量就没有增量。
师：非常好。还有么？
生：自变量x应为定义域内的任意值。
师：太棒了，这样我们就得到了周期函数的定义：“一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期”。
3.概念理解
师：请看问题
问题1填空：对于函数f(x)，如果定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)为函数。
生：我认为可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。
师：很好。还有其他答案么？
沉默，突然某学生提出。
生：我认为，根据以前学的奇偶性的定义，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。
师：很好，函数的奇偶性和函数的周期性有些条件完全一样，我们可以类比学习。研究奇偶性时，我们要求函数的定义域关于原点对称，你知道为什么吗？
生：这是因为要使得x在定义域的同时，-x也要在定义域内。
师：非常好。那么你认为周期函数对定义域有什么要求？
生：x在定义域的同时，x+T也要在定义域内。
师：正确。
请看下一问题：
问题2函数y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函数？
生：不是，当x=10π时，10π+2π不在定义域内。
师：很好。看下一问题：
问题3判断下列说法是否正确，并简述理由。
（1）x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，则2π3一定不是函数y=sinx的周期；
（2）x=7π6时，sin(x+2π3)=sinx，则2π3一定是函数y=sinx的周期。
生：第一个正确，第二个不正确。判定一个常数不是周期函数的周期，举一个反例即可。
判定一个常数是周期函数的周期，要使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)。
师：回答的很好，理由总结的不错。这两个问题主要是考察大家对定义中每一个值的理解。再看下一问题：
问题4判断下列函数是否为周期函数？
（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。
生：第一个是周期函数，2π是它的周期；
师：f(x)=x是不是周期函数？
生：我找不到它的周期，不知道是不是？
师：f(x)=x的***像是递增的一直线，自变量增加一定量，函数值也在增加。所以不是周期函数。由此可见：单调函数不是周期函数。
生：f(x)=1应该是的，但我发现有很多数都可以作为它的周期。
师：能不能说的更具体点？
生：所有非零常数都是它的周期。
师：很不错，常数函数是周期函数，且周期为非零常数。你认为正弦函数y=sinx的周期为多少？
生：2π,4π,。。。都是它的周期，应该是k·2π(k∈Z,k≠0)。
师：余弦函数y=cosx呢？正切函数呢？周期函数的周期是否唯一？
生：余弦函数周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函数为kπ(k∈Z,k≠0)。周期函数的周期不唯一。
师：已知定义在R上周期函数f(x)的周期为T，则2T是f(x)的一个周期吗？你能推广么？
生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。
师：由于周期函数有无数个周期，对我们的进一步研究带来不便，你能否选择一个最具有代表性的来表述？
生：正周期，最小的。
师：那我们统一一下，规定：“最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期”。
师：你知道：正弦函数的最小正周期为多少？余弦函数呢？ 正切函数呢？
生：2π，2π，π。
师：周期函数的最小正周期一定存在么？理由？
沉默
师：那大家讨论一下。
生：我们组认为，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)没有正周期，当然也就没有最小正周期。
师：很好，这是从有没有正周期的角度进行否定。那如果一个周期函数有正周期，是不是有最小正周期？
生：我们认为，还是不一定存在，反例是常数函数f(x)=1，就没有最小正周期。
师：非常棒。周期函数的最小正周期不一定存在，我们的定义“如果……，那么……”
从现在开始，我们研究的周期没有特别说明就是指函数的最小正周期。
4.概念运用
师：请看问题：求函数f(x)=cos2x的周期。
师：你认为我们可以用什么知识求函数周期？
生：周期函数的定义。
板演：解：设f(x)的周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立。
cos(2x+2T)=cos2x对任意实数x都成立。
师：下面怎么办？还能用什么知识？
生：y=cosx最小正周期为2π这一结论。
师：怎么用？
生：把2x看成一个整体，
令u=2x，cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立。
又y=cosu的周期为2π，
所以使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的最小正值为2π,
所以2T=2π,即T=π。
所以函数f(x)=cos2x的周期为π。
师：利用了周期函数的定义，结合y=cosx最小正周期为2π这一结论，采用整体的观点研究，非常棒。
师：你能快速的求出下列函数的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。
生：它们的周期为π。
师：你认为函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有关？
生：只和ω有关，和A,φ都没有关系。
师：不错，那函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是。
生：2πω。
师：那函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是多少？
生：也是2πω。
师：那如果函数f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢？
生：2π－ω。
师：函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω≠0)的周期为2π|ω|。
这可以作为公式用来求正余弦函数的周期。
师：我们再拓展一下：若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期为多少？
生：T|ω|。
师：求三角函数的周期有哪些方法？
生：利用定义求解，也可以用公式求解。
5.概念拓展
师：很好，从数的角度我们有两种策略，那么形的角度呢？你认为周期函数的***像具有什么特征？
生：应该也不断重复。
师：非常好。你能不能根据***2中函数f(x)=cos2x的***像求出它的周期？
***2
生：只需看间隔多久即可，应该是π。
师：太棒了，这说明我们还可以利用***像求出函数的周期。
6.课堂小结
师：请你用几个关键词谈谈本节课的收获？
生1：周期函数、最小正周期。
生2：如何求函数的周期。
师：大家说的都非常好，老师也总结了几个关键词概括“定义、公式、思想、方法”，请大家认真体会。
下课。
二、执教感悟
笔者认为我们教学的对象是学生，因此数学概念课应从学生的需要出发，创设学生需要的概念课堂。
1.给学生需要的概念引入
概念引入的目的是让学生觉得数学概念不是凭空产生的，它来源于现实生活，具有广泛性，我们有研究概念的必要性。因此在教学设计时，要从学生的实际出发，选择符合学生熟悉的实例（或旧知）引入，从实例中提炼概念，让学生自然的接受概念，意识到研究概念的必要性。本节课选择日出引入，其实也可以选择课程表、钟表等其他实例引入，给学生需要的概念引入。
2.给学生需要的概念生成
学生需要什么样的概念生成？这就回归到另一个问题，我们的概念课为什么需要概念生成这一环节？概念生成的目的是通过概念生成过程培养学生能力的发展。因此笔者认为概念生成应由学生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的时间投入，这是我们课堂不允许的，那么我们可以通过教学设计，让学生在我们预设下自主生成、发展。我们在教学设计中要依据认知的需要，从特殊到一般，从具体到抽象，层层深入，设计问题。通过问题串逐步推进学生思维的发展，让学生在自然而然学习中完成概念生成。
3.给学生需要的概念理解过程
数学概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此数学概念课应给学生需要的概念理解过程。那么学生需要什么样的概念理解过程？笔者认为采用什么方式很重要，这一环节我们可以设计一些小题，用小题带概念，强化概念。我们的小题应基于概念，可以是概念辨析，也可以概念运用，通过小题逐字逐句敲打概念，让学生自然而然的理解概念。
4.给学生需要的概念学习方法及数学思想
与知识相比，概念学习的方法更重要。因此数学概念课堂还因给学生需要的概念学习方法。让学生领悟从特殊到一般的归纳推理、特殊到特殊的类比推理、从一般到特殊的演绎推理；掌握***思考、自主探究，不断反思、归纳、概括，大胆表述的学习方式；同伴互助、小组交流的合作研究模式。本课中对函数奇偶性的回顾，目的就是让学生将奇偶性和周期性类比学习，加深对概念的理解。数学概念的学习要注重方法的养成，数学思想的渗透。
5.给学生需要的数学知识
我们的数学课堂时间有限，学生的认知水平，决定了对某些数学知识只能搁置，而给学生需要的数学知识。鉴于高中数学对函数周期性的要求，主要围绕三角函数的周期性展开，因此本节课中对周期函数的定义的拓展，周期函数的某些性质没有过多深入。
总之，我们的概念课堂要从学生的实际需要出发，给学生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的学习过程，这正是李善良老师所强调的“教自然的数学，建自由的课堂”。
三、名师观察
在评课过程中，省数学教研员李善良博士及特级教师石鑫等作了点评，现摘录部分如下：
1.概念的引入自然
一节课的引入做的好不好，往往决定一节课的成败。作为是概念课的引入应当解决几个问题，学什么？为什么学？怎么让学生自然的学？本节课利用日出这一自然现象引入，贴近学生的生活实际，结合两学生的对话，引导学生对日出这一自然现象的规律的探究，结合课前音乐《花心》，进一步让学生感受周期现象的广泛性，激发学生研究周期的欲望，比较完善解决了概念引入的三个问题。
2.概念生成过程自然
概念生成过程是学生能力提升的过程，也是培养学生学习兴趣的过程。这一过程要舍得，要流畅。本节课在这块做足文章，通过问题链，从三角函数线到正弦函数的周期，拓展到三角函数的周期，再延伸到一般函数的周期定义，再从周期函数的定义到最小正周期的概念，层层深入，逐步推进学生思维的发展，学生在不知不觉中完成了概念生成，过程自然流畅。
3.概念理解过程自然
概念理解过程是进一步认识概念的环节，可以采用让学生研读概念和做题两种方式，本节课处理这一问题的方式是小题强化。通过几个小题，辨析、强化周期函数的定义中“非零常数T”“定义域内的每一个自变量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，让学生自然的理解概念，起到很好的效果。
反三角函数篇3
【关键词】基本初等函数；乘积；不定积分；初等函数
【课题论文】湖北省教育科学“十二五”规划2011年立项课题（项目编号2011B266）
一、幂函数与指数函数乘积的不定积分
1。∫xnaxdx=ax∑ni=0(-1)i1(lna)i+1(xn)(i)+C。
二、幂函数与对数函数乘积的不定积分
2。∫xnlogaxdx=xn+1(n+1)lnalnx-1n+1+C。
三、幂函数与三角函数乘积的不定积分
3。∫xncosxdx=∑ni=0(xn)(i)(sinx)(i)+C。
4。∫xnsinxdx=-∑ni=0(xn)(i)(cosx)(i)+C。
四、幂函数与反三角函数乘积的不定积分
5。∫xnarcsinxdx=1n+1xn+1arcsinx-∫xn+11-x2dx。
6。∫xnarccosxdx=1n+1xn+1arccosx+∫xn+11-x2dx。
其中：In+1=∫xn+11-x2dx(令x=sint可得)=-xn1-x2n+1+nn+1In-1,…,
五、指数函数与对数函数乘积的不定积分
7。∫axlogbxdx=1lnbax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(lnx)(i)+C。
六、指数函数与三角函数乘积的不定积分
8。∫eaxcosbxdx=1a2+b2eax(bsinbx+acosbx)+C。
9。∫eaxsinbxdx=1a2+b2eax(bsinbx-acosbx)+C。
七、指数函数与反三角函数乘积的不定积分
10。∫axarcsinbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arcsinbx)(i)+C。
11。∫axarccosbxdx=ax∑∞i=0(-1)i1(lna)i+1(arccosbx)(i)+C。
八、对数函数与三角函数乘积的不定积分
12。∫cosbxlnxdx=∑∞i=01bi+1(sinbx)(i)(lnx)(i)+C。
13。∫sinbxlnxdx=-∑∞i=01bi+1(cosbx)(i)(lnx)(i)+C。
九、对数函数与反三角函数乘积的不定积分
14。∫arcsinxlnxdx=(lnx-1)(xarcsinx+1-x2)-ln1-1-x2x-1-x2+C。
15。∫arccosxlnxdx=(lnx-1)(xarccosx-1-x2)+ln1-1-x2x+1-x2+C。
十、三角函数与反三角函数乘积的不定积分
16。∫sinxarcsinxdx=-cosxarcsinx+∫cosx1-x2+C。
17。∫sinxarccosxdx=-cosxarccosx-∫cosx1-x2+C。
18。∫cosxarcsinxdx=sinxarcsinx-∫sinx1-x2+C。
19。∫cosxarccosxdx=sinxarccosx+∫sinx1-x2+C。
十一、幂函数与幂函数乘积的不定积分
20。∫xmxndx=1m+nxm+n+c(m+n≠-1),∫xmxndx=ln|x|+c(m+n=-1)。
十二、指数函数与指数函数乘积的不定积分
21。∫axbxdx=axbxlna+lnb+C。
十三、对数函数与对数函数乘积的不定积分
22。∫logaxlogbx=1lnalnb∫ln2xdx,
∫ln2xdx=xln2x-2∫lnxdx=xln2x-2xlnx+2x+C。
十四、三角函数与三角函数乘积的不定积分
23。∫sinxsinxdx=12∫（1-cos2x)dx=12x-14sin2x+C。
24。∫sinxcosxdx=12sin22x+c。
25。∫cosxcosxdx=12∫(1+cos2x)dx=12x+14sin2x+C。
十五、反三角函数与反三角函数乘积的不定积分
26。∫(arcsinx)2dx=x(arcsinx)2-2∫xarcsinx1-x2dx=x(arcsinx)2+2∫arcsinxd1-x2=x(arcsinx)2+21-x2?arcsinx-2x+C。
27。∫arcsinxarccosxdx=∫arccosxd(xarcsinx+1-x2)=arccosx(xarcsinx+1-x2)-∫xarcsinx+1-x21-x2dx=arccosx(xarcsinx+1-x2)-x+∫arcsinxd 1-x2=arccosx(xarcsinx+1-x2)+1-x2arcsinx-2x+C。
28。∫(arccosx)2dx=x(arccosx)2+2∫xarccosx1-x2dx=x(arccosx)2-2∫arccosxd1-x2=x(arccosx)2-21-x2arccosx+2x+C。
上面15种情况中：有11种情况（一、二、三、四、六、九、十一、十二、十三、十四、十五）的积分结果可以用初等函数表示出来，有4种情况（五、七、八、十）的积分结果不能用初等函数表示出来。
例 求∫x3(e-x+lnx+cosx)dx。
解 ∫x3(e-x+lnx+cosx)dx=e-x∑3i=0(-1)i(x3)(i)(-1)i+1+x44lnx-14+∑3i=0(x3)(i)(sinx)(i)=-e-x(x3+3x2+6x+6)+x44lnx-14+(x3-6x)sinx+(3x2-6)cosx+c。
【参考文献】
反三角函数篇4
【关键词】三角函数；教学体会；教学反思；实际应用
当今时代，知识更新速度加快，日新月异.特别是进入21世纪以后，思想活跃，关于数学方面的研究日益深入和丰富.三角函数研究的意义和必要性也日益突出，其中三角函数的教学扮演着重要角色.
三角函数教学的内容、教学目标及教学方法不断发生着变化，而且在我们的日常生活中具有越来越重要的作用.下面让我对高中三角函数教学的心得体会、反思以及三角函数在我们日常生活中的作用做一些详尽的介绍.
一、三角函数教学的心得体会
1.要特别关注和留意教材与大纲内容的变化.认识这一变化，我们才能有目标地学习，了解教学的深度、难度和广度，避免复习中做一些无用功.
2.关注教材编写的新颖之处.
3.强化几何思想，加强几何直观.
4.加强了数学建模的思想.把三角函数作为描述真实生活的数学模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型来解决问题.数学生活化，更容易调动学生的学习积极性.
5.高科技设备的引入和应用.把学生从烦琐的计算中解脱出来，并利用信息技术探索数学规律.
二、三角函数的教学反思
关于三角函数的教学，应注意以下问题：
1.数学知识生活化.让学生自主积极地将数学与生活联系起来，使学生体会三角函数模型的意义.
2.弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位，可在后续课程的学习中逐步理解这一概念，在此不作深究.
三、对学生的要求
学生一定要注重三角函数中的基础知识及应用知识.要对三角函数的***像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、化简、求值和最值等重点内容熟练掌握并加以运用.将三角函数与代数、几何、向量的关系加以联系总结，相互融通.在三角函数的学习中比较重要的就是注重知识的总结.
1.熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等，并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.
2.深入探究正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的***像性质及对平移变换、伸缩变换的意义.
四、学习三角函数的策略
1.了解差别：深入探究角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差异分析”.
2.寻找相关性：通过公式间的相关性，找出差异之间的内在联系.
3.恰当转化：选择合适公式，使得差异转化.
五、三角函数知识的意义和影响
三角函数知识对于锻炼学生思维，培养学生数学思想方面发挥着重要作用.
1.培养学生的函数与方程思想
教师在培养学生的函数与方程思想时，讲授求值域、求最值、求参数等相关的知识和方法，引导学生学习函数和方程的使用，通过指导学生进行解题练习，使学生在实际练习中感悟函数与方程思想的意义，从而使学生的函数与方程思想得到锻炼和培养.
反三角函数篇5
一、选择题（每小题3分，共36分）1.若函数 的***象经过点（ ， ，则函数 的***象不经过第（ ）象限.A .一 B.二 C.三 D.四2.（2013•广东中考）已知 ，则函数 和 的***象大致是（ ） 3.当 ＞0， ＜0时，反比例函数 的***象在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.若函数 的***象经过点（3，-7），那么它一定还经过点（ ）X kB1.cOMA.（3，7） B.（-3，-7） C.（-3，7） D.（-7，-3）5.(2013•沈阳中考)如***所示，ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD∶DC＝5∶3，则DE的长等于（ ）A. B. C. D. 6.(2013•山东东营中考)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3，4及 那么 的值（ ）A.只有1个 B.可以有2个C.可以有3个 D.有无数个7.(2013•山东聊城中考)如***所示，D是ABC的边BC上任一点，已知AB=4，AD=2，∠DAC=∠B.若ABD的面积为 则ACD的面积为（ ）A. B. C. D.8.购买 只茶杯需15元，则购买茶杯的单价 与 的关系式为（ ）A. （ 取实数） B. （ 取整数）C. （ 取自然数） D. （ 取正整数） 9.在下列四组三角形中，一定相似的是（） A.两个等腰三角形 B.两个等腰直角三角形C.两个直角三角形 D.两个锐角三角形10.若 = = 且3 =3，则2 的值是（）A．14 B．42 C．7 D． 11. 若 = 则 （）A． B． C． D． 12.若 ∽ 且相似比为 ∽ 且相似比为 则 与 的相似比为（）A． B． C． 或 D． 二、填空题（每小题3分，共24分）13.已知 y 与 2x+1 成反比例，且当 x=1 时，y=2，那么当 x=0 时，y= .14.（2013•陕西中考）如果一个正比例函数的***象与反比例函数 的***象交于 、 两点，那么 的值为________.15.若梯形的下底长为x，上底长为下底长的 ，高为y，面积为60，则y与x的函数解析式为__________.（不考虑x的取值范围）16.反比例函数 （k>0）的***象与经过原点的直线 相交于A、B两点，已知A点的坐标为（2，1），那么B点的坐标为 .17.在比例尺为1∶500 000的某省地***上，量得A地到B地的距离约为46厘米，则A地到B地的实际距离约为 千米.18.如***是一个边长为1的正方形组成的网格， 与 都是格点三角形（顶点在网格交点处）,并且 ∽ 则 的相似比是 . 19.如***所示，EF是ABC的中位线，将 沿AB方向平移到EBD的位置，点D在BC上，已知AEF的面积为5，则***中阴影部分的面积为 .20.如***所示，在平行四边形 中 是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB=2∶3，EF=4，则CD的长为 .三、解答题（共60分） 21.（10分）(2013•湖北宜昌中考)如***①所示,在ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AOBC于点O,F是线段AO上的点(与 不重合),∠EAF=90°,AE=AF,连接FE,FC,BE,BF. ① ②第21题*** (1)求证:BE=BF.(2)如***②所示,若将AEF绕点 旋转,使边AF在∠BAC的内部,延长CF交AB于点 交BE于点 .①求证:AGC∽KGB;②当BEF为等腰直角三角形时,请你直接写出AB∶BF的值.22.（8分）（2013•兰州中考）如***所示，已知反比例函数 的***象与一次函数 的***象交于点A（1，4）和点B（m，－2）.（1）求这两个函数的表达式；（2）观察***象，当x>0时，直接写出 时自变量x的取值范围；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求ABC的面积.23.（8分）如***所示，在直角坐标系中，O为坐标原点. 已知反比例函数 的***象经过点A（2，m），过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为 .（1）求k和m的值；（2）点C（x，y）在反比例函数 的***象上，求当1≤x≤3时函数值y的取值范围；（3）过原点O的直线与反比例函数 的***象交于P、Q两点，试根据***象直接写出线段PQ长度的最小值.
24.(8分)已知反比例函数 （k为常数，k≠0）的***象经过点A（2，3）.（1）求这个函数的解析式；（2）判断点B（-1，6），C（3，2）是否在这个函数的***象上；（3）当-3＜x＜-1时，求y的取值范围.25.(8分)在比例尺为1∶50 0 00的地***上，一块多边形地区的周长是72 cm，多边形的两个顶点 、 之间的距离是25 cm，求这个地区的实际边界长和 、 两地之间的实际距离.26.(8分)已知：如***所示，在 中 ∥ 点 在边 上 与 相交于点 且∠ ．求证：（1） ∽ ；（2） 27.(10分)制作一种产品，需先将材料加热达到60 ℃后，再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开始计算的时间为x（分钟）．据了解，当该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如***）．已知该材料在操作加工前的温度为15 ℃，加热5分钟后温度达到60 ℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15 ℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？ 参考答案1.A 解析：因为函数 的***象经过点（1，-1），所以k=-1，所以y=kx-2=-x-2，根据一次函数的***象可知不经过第一象限.2.A 解析：由 ，知函数 的***象分别位于第一、三象限；由 ，知函数 的***象经过第二、三、四象限，故选A.3.C 解析：当k＞0时，反比例函数的***象在第一、三象限，当x＜0时，反比例 函数的***象在第三象限，所以选C.4.C 解析：因为函数***象经过点（3，-7），所以k=-21.将各选项分别代入检验可知只有C项符合. 5.B 解析： BC＝BD+DC＝8，BD∶DC ＝5∶3， BD＝5，DC＝3. ∠ =∠ ∠ADC=∠BDE,ACD∽BED, 即 DE= .6.B 解析：当一个直角三角形的两直角边长为6，8，且另一个与它相似的直角三角形的两直角边长为3,4时 的值为5；当一个直角 三角形的一直角边长为6,斜边长为8，另一直角边长为2 且另一个与它相似的直角三角形的一直角边长为3,斜边长为4时 的值为 故 的值可以为5或 .7.C 解析： ∠DAC=∠ ∠ACD=∠BCA， ABC∽DAC， = =4，即 .点拨：相似三角形的面积比等于对应边的比的平方.不要错误地认为相似三角形的面积比等于对应边的比.8. D 解析：由题意知 9.B 解析:根据相似***形的定义对各选项分析判断后再利用排除法进行求解. A.两个等腰三角形,两腰对应成比例, 夹角不一定相等,所以两个等腰三角形不一定相似，故本选项错误；B. 两个等腰直角三角形，两腰对应成比例，夹角都是直角.一定相等，所以两个等腰直角三角形一定相似，故本选项正确；C. 两个直角三角形，只有一直角相等，其余两锐角不一定对应相等，所以两个直角三角形不一定相似，故本选项错误；D. 两个锐角三角形，不具备相似的条件，所以不一定相似，故本选项错误．故选B．10. D 解析：设 则 又 =3，则15 =3，得 = 即 = = = 所以 = ．故选D．11. D 解析： = 故选D．12. A 解析： ∽ 相似比为 又 ∽ 相似比为 ABC与 的相似比为 ．故选A．13.6 解析：因为y 与 2x+1 成反比例，所以设 ，将x=1 ，y=2代入得k=6，所以 ，再将x=0代入得y=6.14.24 解析：由反比例函数***象的对称性知点A和点B关于原点对称，所以有 , .又因为点 在反比例函数 的***象上，所以 ,故 .15. 解析：由梯形的面积公式得 ，整理得 ，所以 .16.（-2，-1） 解析：设直线l的解析式为y=ax，因为直线l和反比例函数的***象都经过A（2，1），将A点坐标代入可得a＝ ，k＝2，故直线l的解析式为y＝ x，反比例函数的解析式为 ，联立可解得B点的坐标为（-2，-1）.17.230 解析:根据比例尺=***上距离︰实际距离，列比例式直接求得实际距离．设 地到 地实际距离约为 则 解得 厘米=230千米． 地到 地实际距离约为230千米．18. 解析: 先利用勾股定理求出 那么 即是相似比.由***可知 与 的相似比是 .19.10 解析： 是 的中位线， ∥ ∽ . 的面积为5， . 将 沿 方向平移到 的位置， . ***中阴影部分的面积为： ．20. 10 解析： ∥ ∽ 0.又 四边形 是平行四边形， ．21.分析：（1）根据“SAS”可证EAB≌FAB.（2）①先证出AEB≌AFC,可得∠EBA=∠FCA.又∠KGB=∠AGC,从而证出AGC∽KGB.②应分两种情况进行讨论：当∠EFB=90°时，有AB= AF，BF= AF,可得AB∶BF= ∶ ；当∠FEB=90°时，有AB= AF，BF=2AF,可得AB∶BF= ∶2.(1)证明: AOBC且AB=AC, ∠OAC=∠OAB=45°. ∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°, ∠EAB=∠FAB. AE=AF,且AB=AB, EAB≌FAB. BE=BF.(2)①证明: ∠BAC=90°,∠EAF=90°, ∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°, ∠EAB=∠FAC. AE=AF,且AB=AC, AEB≌AFC , ∠EBA=∠FCA.又 ∠KGB=∠AGC, AGC∽KGB.5ykj②解： AGC∽KGB, ∠GKB=∠GAC=90°. ∠EBF＜90°.Ⅰ当∠EFB=90°时,AB∶BF= ∶ .Ⅱ当∠FEB=90°时,AB∶BF= ∶2.点拨：（1）证两条线段相等一般借助三角形全等；（2）在判定两个三角形相似时，如果没有边的关系，一般需证明有两个角相等，利用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似；（3）***形旋转前后，对应角相等，对应线段相等.22.分析：（1）先把点A（1,4）的坐标代入 ，求出k的值；再把点B（m，-2）的坐标代入 中，求出m的值；最后把A,B两点的坐标分别代入 ，组成关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b即可.（2）由***象可以看出，当0＜x＜1时，y1所对应的***象在y2所对应***象的上方.（3）由题意，得AC=8,点B到AC的距离是点B的横坐标与点A的横坐标之差的绝对值，即等于3，所以 . 解：（1） 点A（1，4）在 的***象上， k＝1×4＝4,故 . 点B在 的***象上， , 故点B（-2，-2）.又 点A、B在一次函数 的***象上， 解得 . 这两个函数的表达式分别为： ， .（2）由***象可知，当 时，自变量x的取值范围为0＜x＜1.（3） 点C与点A关于x轴对称， 点C（1，-4）.如***，过点B作BDAC，垂足为D，则D（1，-2）,于是ABC的高BD＝|1-（-2）|＝3,AC＝|4-（-4）|＝8.23.解：（1）因为A（2，m），所以 ， . 所以 ，所以 .所以点A的坐标为 . 把A 代入 ，得 = ，所以k=1. （2）因为当 时， ；当 时， ， 又反比例函数 在 时， 随 的增大而减小，所以当 时， 的取值范围为 .（3）如***，当直线过点（0,0）和（1,1）时线段PQ的长度最小，为2 . 24. 解：（1） 反比例函数 的 ***象经过点A（2，3），把点A的坐标（2，3）代入解析式，得 ,解得k=6， 这个函数的解析式为 .（2）分别把点B，C的坐标代入 ，可知点B的坐标不满足函数解析式，点C的坐标满足函数解析式， 点B不在这个函数的***象上，点C在这个函数的***象上.（3） 当x=-3时，y=-2,当x=-1时，y=-6，又由k＞0知，当x＜0时，y随x的增大而减小， 当-3＜x＜-1时，-6＜y＜ -2.25.解： 实际距离=***上距离÷比例尺， 、 两地之间的实际距离 这个地区的实际边界长 26. 证明：（1） ∠ ． ∥ ． ． ∽ ． （ 2）由 ∽ 得 ． ． 由 ∽ 得 ．∠ ∠ ∽ ． . . ．27. 解：（1）当 时，为一次函数，设一次函数关系式为 ，由于一次函数***象过点（0，15），（5，60），所以 解得 所以 .当 时，为反比例函数，设函数关系式为 ，由于***象过点（5，60），所以 =300. 综上可知y 与x的函数关系式为 （2）当 时， ，所以从开始加热到停止操作，共经历了20分钟.
反三角函数篇6
一、使用分部积分法的基本条件
当被积函数是多项式（或幂）、指数、对数、三角及反三角这几类初等函数中的某两类函数乘积形式时，应使用分部积分法，如∫x・arctanx・dx、
显然，经过分部积分后所得的新积分式比原积分式复杂了，这种做法不正确。
在分部积分中，我们确定u有以下的优先规律：
对数函数、反三角函数 多项式（或幂）函数 指数函数与三角函数（主要指sinkx和coskx）
具体地说，我们是按照以下步骤确定u的：
（1）先看被积函数中是否含有对数函数、反三角函数中的一种，若有的话就确定做u。（须指出：在我们现行的高等数学课本上，关于计算积分题目中的被积函数，不可能是“对数函数×反三角函数”的形式。）
（2）如果被积函数中不含有上述两种函数中的一种，再看有没有多项式函数（或幂函数），若有的话确定为u。
（3）如果被积函数中未含有上述三种函数，那么，一定是指数函数与三角函数乘积的形式（若不然，没必要使用分部积分法！）。这时，指数函数和三角函数都可以确定为u。
三、计算分部积分时的几种可能情景
那些相对简单点的题目，经过使用一次分部积分即可解决问题。如：
∫xcosx・dx=∫x・d(sinx)=xsinx－∫sinx・dx=xsinx+cosx+C。
可是，更多的题目仅使用一次是不够的，往往需要使用两次或多次的分部积分，甚至还需配合其它手法才能解决问题。一般可有以下几种情景：
1. 多次使用分部积分
2. 解一个关于原积分式的方程。
如果被积函数是指数函数与三角函数（sinkx或coskx）的乘积形式，那么计算该题需要两次分部积分，并且经过两次分部积分后会得到一个关于原积分式的方程。这时只需解这个方程即可。须强调的是，第二次分部积分时选取的u要与第一次选取的u为同一类函数。
四、定积分的分部积分计算
定积分的分部积分计算公式与不定积分相比多了上下限。上面看到：用分部积分法计算不定积分时，有的需要多次使用分部积分，也有时须解一个关于原积分式的方程等。当带上上、下限时，在解题过程的书写上显得很麻烦。笔者建议在计算定积分时先计算与这个题相应的不定积分，当得出一个原函数以后再代入上下限，以减少做题过程的书写量，还可避免因为漏写上下限而造成无谓的错误。
反三角函数篇7
考点一 反比例函数的概念
例1 （2013・贵州安顺）若y=（a+1）xa2-2是反比例函数，则a的取值为（ ）.
A. 1 B. -1
C. ±1 D. 任意实数
【分析】此题考查的是反比例函数的定义. y=，k≠0，x的次数为“-1”，列出方程，求出a的值.
解：y=（a+1）xa2-2是反比例函数，
a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，a≠-1，a=1. 选A.
【点评】紧扣概念，牢记反比例函数的三种形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此类问题常以填空、选择题的形式出现，解题时要特别注意k≠0.
考点二 反比例函数的***像和性质
例2 （2013・南京溧水区一模）在反比例函数y=（k
-，y2，则y1-y2的值是（ ）.
A. 负数 B. 非正数
C. 正数 D. 不能确定
【分析】本题主要考查反比例函数***像上点的坐标特征，可结合函数***像的增减性解决问题. 因为y=（k
解：由于反比例函数的***像位于二、四象限，且在每一个象限内，y随x的增大而增大. 两点（-1，y1），
-，y2均在第二象限，且-1
例3 （2013・江苏南京）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k1x的***像与反比例函数y=的***像没有公共点，则（ ）.
A. k1+k20
C. k1k20
【分析】本题是关于正比例函数与反比例函数***像性质的简单应用，根据它们***像的分布可知：①当k>0时，正比例函数和反比例函数的***像都过一、三象限，有两个交点；②当k
考点三 反比例函数解析式的确定
例4 （2013・内蒙古赤峰）如***1，在平面直角坐标系中，O的半径为1，∠BOA=45°，则过点A的双曲线的解析式是____________.
【分析】要确定反比例函数的解析式，只需知道一个点的坐标. 由于点A在双曲线上，所以求出A点坐标是解决本题的关键. 要想求出A点坐标，只需过点A向x轴作垂线构造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐标.
解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），过A作AC垂直于x轴，垂足为C，O的半径为1，OA=1，在RtOAC中，OA=1，∠BOA=45°，OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，A
，，代入可得k=，y=.
【点评】此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，待定系数法是中学阶段求解析式的常用方法，也是重点考查内容之一. 解答此题需运用“反比例函数***像上点的坐标特征”（点在反比例函数的***像上，则点的坐标就满足反比例函数的解析式）这一知识点.
考点四 反比例函数中k的几何意义
例5 （2013・湖南永州）如***2，两个反比例函数y=、y=在第一象限内的***像分别是C1、C2，设点P在C1上，PAx轴于点A，交C2于点B，则POB的面积为______.
【分析】根据反比例函数中k的几何意义，得POA和BOA的面积分别为2和1，所以阴影部分的面积为1.
【点评】本题主要考查了反比例函数y=（k≠0）中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的矩形面积为S=k；***像上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=k，解此类题一定要正确理解k的几何意义.
考点五 反比例函数的综合应用
例6 （2013・广西钦州）如***3，一次函数y=ax+b的***像与反比例函数y=的***像交于A（-2，m）、B（4，-2）两点，与x轴交于C点，过A作ADx轴于D.
（1） 求这两个函数的解析式；
（2） 求ADC的面积.
【分析】本题是有关一次函数与反比例函数的交点问题，因为反比例函数过A、B两点，所以代入两点可求其解析式和m的值，从而知A点坐标，由A、B两点进而求一次函数解析式，从而求出C点的坐标，接着就能求出三角形的面积.
解：（1） 反比例函数y=的***像过点B（4，-2），k=xy=-8.
反比例函数y=的***像过点A（-2，m），-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.
一次函数y=ax+b的***像过A（-2，4），B（4，-2）两点，
一次函数的解析式为y=-x+2.
（2） 直线AB：y=-x+2交x轴于点C，
C（2，0）. ADx轴于D，A（-2，4），
CD=2-（-2）=4，AD=4，
反三角函数篇8
一、化为最基本的初等三角函数型
例1：求下列函数的最值：
（1）y=sin（x+ ）+sin（x- ）
（2）y=2sin（ +x）+sin（ -x）
略解：（1）将y=sin（x+ ）+sin（x- ）化为：y= sinx，即得：y = ，y =- .
（2）将y=2sin（ +x）sin（ -x）化为：y= cos2x，即得：y = ，y =- .
二、反解型
将三角函数解析式反解得，sin（x）=f（y），cosx=f（y），sin（x+φ）=f（y），cos（x+φ）=f（y）（φ为辅助角），然后利用正余弦函数的有界性，即|f（y）|≤1求解，常见能够反解化为上述类型的函数有：
（1）y= 或y= （c≠0，a：b≠c：d）
（2）y= 或y= （c≠0）
例2：求函数y= （x∈[0，π]）的最大值和最小值.
解：原式化为y= =-1+ ，反解得：sin2x= -2，由|sin2x|≤1得| -2|≤1？圯 ≤y≤3.
y =3，y = .
例3：求函数y= 的最值.
解法一：
原式化为：sinx-ycosx=2y-1
？圯 sin（x+φ）=2y-1
？圯sin（x+φ）=
由|sin（x+φ）|≤1得 ≤1？圳0≤y≤ ，
故有y = ，y =0.
解法二：
化为y= ，于是y表示点（-1，-2）与点（cosx，sinx）直线的斜率，用解析法可求（以下略）.
解法三：
用万能公式代换为：（1-y）tan +2tan +（1-3y）=0
tan ∈r及y≠1，
=4-4（1-y）（1-3y）≥0？圯4y（4-3y）≥0？圯0≤y≤ ，
因此，y = ；y =0.
三、化为y=asinx+bcosx型
将三角函数式化为y=asinx+bcosx，然后引入辅助角φ化简成一个角的三角函数y= sin（x+φ）再利用基本初等函数的最值求解.
例4：当- ≤x≤ 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（ ）
a.最大值是1，最小值是-1？摇？摇？摇？摇b.最大值是1，最小值是-
c.最大值是2，最小值是-2？摇？摇？摇？摇d.最大值是2，最小值是-1
解：由已知f（x）=2sin（x+ ），因为- ≤x+ ≤ ，故-1≤f（x）≤2，故选d.
例5：函数y=sinx+cosx的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.
解：原式化为：y= sin（x+ ），
当x=2kπ+ （k∈z）时，y = .
四、化为y=asin（ωx+φ）+k（或y=acos（ωx+φ）+k）型
例6：函数y=sin2x-2cos x的最大值是？摇？摇 ？摇？摇.
解：原式化为：y=sin2x-（1+cos2x）= sin（2x- ）-1
|sin（2x- ）|≤1
y = -1
例7：函数y=sin（2x- ）cosx的最小值是？摇？摇？摇 ？摇.
解：y=sin（2x- ）cosx= [sin（2x- ）-sin ]= sin（2x- ）-
当sin（2x- ）=-1时，函数有最小值，即：y =- .
五、化为y=pf （x）+qf（x）+r（其中p、q、r为常数）型
将三角函数式做恒等变形，等价转化为形如y=pf （x）+qf（x）+r，再进行变量代换t=f（x）化为二次函数y=pf （x）+qf（x）+r在给定区间上求最值问题，这里t=f（x）sinx（或cosx），|t|≤1，求解时需要注意变量的取值范围即可.
例8：如果|x|≤ ，那么函数f（x）=cos x+sinx的最小值是
（ ）
a. b. c.-1 d.
解：f（x）1-sin x+sinx=-（sinx- ） +
|x|≤
|sinx|≤ ，则当时sinx=- ，有f（x） =1-（- ） - =
故应选d.
例9：求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值.
解：令sinx+cosx=t，|t|≤ ，则有sinxcosx= ，
于是函数式化为：y= t -t- ，解得：y = + .
六、化为能用函数的单调性或均值不等式型
例10：求函数y=sinx+ （x∈（0，π））的最小值.
解法一：
令t=sinx，t∈（0，1），则可证y=t+ 在（0，1）内为单调递减函数，从而引发y=f（t）≥f（1）=3，即y =3.
解法二：
y=sinx+ =（sinx+ ）+
≥2 +sinx=2
+sinx
反三角函数篇9
【关键词】 三角函数；教学原则应用
教育学认为，教学原则是教师根据教育教学的目的、教学规律而制定的具有指导教学工作效用的基本要求。它渗透在整个教学活动始终，体现在教学过程的每一个环节。三角函数章节是高中数学知识体系重要构成要素，在培养学生学习能力以及高考试题命题构成中重要很大比重。教学原则在三角函数中的有效运用，能够对教学效能提升起到“事半功倍”的作用。本人现结合教学实践经验，粗浅论述教学原则在三角函数章节教学中的运用，请同仁予以指正。
一、因材施教原则在三角函数教学中的运用
新实施的高中数学课程标准提出“关注学生个体差异”，“人人获得发展和进步”，倡导“人人掌握必需的数学知识”“整体性”教学策略。因此，高中数学教师在三角函数教学活动中，要树立“以生为本”理念，将每个学生发展进步作为内在要求，将因材施教原则渗透到三角函数教学活动始终，面向每一个学生，培养每一个学生，发展每一个学生，使每一个学生都能获得锻炼和实践的时机，每一个学生都能获得能力和素养发展的机遇。
如在教学“任意角的三角函数”内容，教师根据以往学生学习实际，将因材施教原则融入到教学活动中，在目标设置环节，设计出“①通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义；②理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号；③能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题”教学目标内容，使三种类型学生都能在各自基础上找到所要努力的方向，同时，在巩固练习环节，设置出层次性问题，学生就能够得到全面的实践和锻炼时机，获得整体进步和发展。
二、循序渐进原则在三角函数教学中的运用
教学活动其本质就是解决认知矛盾，实现循序渐进认知过程。在三角函数教学中，教师要根据教学大纲要求，充分了解和掌握大纲对学生的要求，结合以往教学经验，对三角函数知识内容适当调整，内容增删，加工创新，在三角函数内容编排、过程制定上，处理好近与远、浅与深、简与繁等问题。
如在教学“函数y=sin（x+ω）与y=sinx的***像的关系”内容时，教师发现，采用传统直接灌输的方式，学生对两者之间的***像关系不能全面深刻的掌握。因此在教学时，教师采用逐步推进的方法，先让学生画出函数y=sin（x+ω）与y=sinx的***像，然后，引导学生通过平移***形的方法，将函数y=sin（x+ω）***像看作是通过平移函数y=sinx***像上的所有点向左或向右平移|ω|个单位长度而得到的。这样，学生对两者之间的***像关系以及差别就有了深刻清晰的认识和掌握，提高了学生学习效能。
三、反馈调节原则在三角函数教学中的运用
问题：求函数 的单调递增区间。
解题过程：令 。则y=lgt。
y=lgt是增函数
原函数的单调递增区间就是 的单调递增区间。
函数y=sinu的单调递增区间为[ ， ]（k∈z），
令u= ，则 ≤ ≤ （k∈z）。
解得4kπ- ≤x≤4kπ+ （k∈z）。
原函数的单调递增区间为[4kπ-π/2，4kπ+3π/2]（k∈z）。
上述问题是有关三角函数方面的问题案例。在该问题讲解活动时，教师采用评价辨析的教学方式，让学生结合所揭示的解题过程，进行深刻思考辨析，找寻问题解答过程中存在不足，学生结合已有解体经验，在小组讨论、辨析基础上，认识到该问题存在“没有考虑到定义域，另外，函数y=sinu的单调递增区间不是t的单调递增区间，因为sin（π/4-1/2x）中-1/2＜0，解答时，应先将x的系数变为正数”，此时，教师引导其他学生再次进行评价活动，对学生评价内容再次进行辨析，最后，教师引导学生探讨总结解答该类型问题的方法：“在解答函数单调性问题时，一般再求函数的单调区间时，一定要先确定其定义域”。
通过对上述问题教学过程的分析，可以看出，教师与学生从教和学的活动中及时获得反馈信息，利用评价辨析活动所具有的反馈实时性、解答真实性与指导及时性等特性，及时了解教与学的情况，引导学生对解题过程进行评价辨析活动，第一时间了解和掌握学生思考分析、辨析反思以及探究解答情况，及时有效地调节和控制教学活动的顺利开展，达到提高教学效率和教学质量的目的。
四、巩固性原则在三角函数教学中运用
巩固练习，是有效教学活动必不可少的教学环节，更是巩固性教学原则在教学活动的生动体现。在三角函数章节教学中，教师可以在问题练习基础上，引导学生开展调查、制作、实践等各种不同巩固联系方式，帮助学生巩固所学知识，将三角函数知识点内容运用于实际，促进学生多方面的发展。
反三角函数篇10
一、一次函数的***象、性质与应用
例1（2015・潍坊）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分）随时间t（分钟）变化的函数***象大致如***1，***象由三条线段OA，AB和BC组成.设线段OC上有一动点T（t，0），直线l过点T且与横轴垂直，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）.
（1）①当t=2分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米；
②当t=15分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米.
（2）当0≤t≤3和3
（3）求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t.
分析：（1）①由***1可知3分钟内速度由0增加到300米/分钟，每分钟增加100米，故当t=2分钟时，速度v=200米/分钟，此时路程s=12×2×200=200（米）.
②由***象可知当t=15分钟时，速度v=300米/分钟，路程s=1215-3+15×300=4050（米）.
（2）结合0≤t≤3和3
（3）路程已知是750米，分别代入所求的两个函数解析式，分类讨论，得出符合题意的运动时间t的值.
解：（1）①200，200；②300，4050.
（2）①当0≤t≤3时，设直线OA的解析式为v=kt，由***象可知点A（3，300），
300=3k.解得k=100.v=100t.设l与OA的交点为P，如***2所示，则P（t，100t）.
s=SPOT=12・t・100t=50t2.
②当3
（3）当0≤t≤3时，s最大=50×32=450
750=300t-450.解得t=4.王叔叔该天上班从家出发行进了750米时用了4分钟.
评注：此题是分段函数中一次函数的应用问题，由于路程随时间变化的规律不同，因此应当分类讨论.第（3）问中，已知路程，应当结合第（2）问中所得出的两个函数，确定不同情况下的运动时间，并结合题意进行检验，此题中没有给出点的坐标，无法确认王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位的路程，实际上，当运动时间是15分钟时，路程为15-3+152×300=4050>750.因此路程是750米时，运动时间应当小于15分钟.
二、反比例函数***象的性质
例2（2015・湖州）如***4所示，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=1x（x0，k是不等于0的常数）的***象于C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′，若ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的***形的面积等于（）
A.8B.10
C.310D.46
分析：点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴对称点为C′，根据坐标系内的点关于坐标轴成轴对称的性质，进行***形的转化，把由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的***形的面积，转化为由点O，B，C和O，B，C′和O，A，A′所构成的三个三角形面积之和的形式，便于计算.
解：如***5，过点A作AKx轴于K，连接OA′.由对称性，知O，A′，C′在一条直线上.设A（a，1a），直线AC的解析式为y=mx，代入点A的坐标，得1a=am，得m=1a2，直线AC的解析式为y=1a2x.设C（c，k2c），C是直线AC与反比例函数的交点，k2c=1a2・c，得c=±ak.
①当k
ABC的面积等于6，
12BC×BK=6，即12×（ka）×（ak-a）=6.
化简，得k2-k-12=0.解得k=4或-3.k
反比例函数的解析式为y=9x，线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的***形的面积为2SOBC+SOAA′=9+1=10.
②当k>0时，线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的***形的面积为10.故选B.
评注：反比例函数***象上任意一点向两条坐标轴引垂线，这点和垂足以及原点为顶点的矩形面积是函数式中常数k的绝对值，此题四条线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的***形不规则，根据题意进行***形的转化，转化为两个直角三角形、一个等腰三角形的面积之和，注意“***形转化”以及“数形结合”等数学思想方法的灵活运用.
三、一次函数与反比例函数的综合
例3（2015・达州）如***6，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，B，O在x轴负半轴上，AO=5，tan∠AOB=12，一次函数y=k1x+b的***象过A，B两点，反比例函数y=k2x的***象过OA的中点D.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y=k1x+b的***象，当一次函数y=k1x+b的***象与反比例函数y=k2x的***象无交点时，求b的取值范围.
分析：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此连接AC，可以构成直角三角形，运用OA长度及tan∠AOB=12，即可确定点A与点B的坐标，进而确定一次函数的解析式，而点D是线段OA中点，即可得出点D的坐标，从而求出反比例函数的解析式；一次函数***象平移，不改变直线的倾斜方向与程度，即是k1的值不变，平移后的直线的解析式y=k1x+b，解y=k1x+b与y=k2x构成的方程组，消元得到关于x的一元二次方程，令一元二次方程根的判别式小于0，即可得出b的取值范围.
解：（1）如***7，连接AC交x轴与E.
四边形ABCO是菱形，ACOB，BE=OE.∠AEO=90°.tan∠AOB=AEOE=12.
设AE=x，则OE=2x，x>0.在RtAEO中，根据勾股定理，得AE2+EO2=OA2，即x2+（2x）2=（5）2.解得x=1.AE=1，EO=2，OB=2OE=4.
A（-2，1），B（-4，0）.
一次函数y=k1x+b的***象过点A（-2，1），B（-4，0），-4k1+b=0，
-2k1+b=1.解得k1=12，
b=2.
D是OA的中点，A（-2，1），D（-1，12）.反比例函数y=k2x的***象过点D（-1，12），12=k2-1.解得k2=-12.
一次函数的解析式为y=12x+2，反比例函数的解析式为y=-12x.
（2）设平移后的一次函数解析式为y=12x+b.
由题意，得y=12x+b，
y=-12x.12x+b=-12x.化简得x2+2bx+1=0.Δ=（2b）2-4×1×1=4b2-4.一次函数的***象和反比例函数的***象没有交点，Δ=4b2-4
评注：确定一次函数与反比例函数的解析式，关键是确定函数***象上点的坐标，此题需要结合菱形及直角三角形的性质，先确定线段OE与AE的长度，进而得出直线经过点A，B的坐标及OA的中点D的坐标，从而得出两个函数的解析式.判断直线与反比例函数***象无交点问题，关键是构造关于x的一元二次方程，运用根的判别式得到常数项b的取值范围.解题时注意函数式、方程式之间的转化，以及几何***形信息与函数***象信息之间转换.
四、二次函数应用问题
例4（2015・嘉兴）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：
y=54x（0≤x≤5），
30x+120（5≤x≤15）.
（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？
（2）如***8，设第x天每只粽子的成本是P元，P与x之间的关系可用***中的函数***象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少（利润=出厂价-成本）？
分析：已知函数值，需代入不同的函数式来计算自变量的对应值，并结合题意进行讨论；根据利润=出厂价-成本，结合题意可得w与x的函数关系式.分0≤x≤5，5
解：（1）当54x=420时，x>5，5
（2）由***8可知P1=4.1（0≤x≤9），设P2=kx+b（9≤x≤15），P2=kx+b过点（9，4.1），（15，4.7），9k+b=4.1，
15k+b=4.7.解得k=0.1，
b=3.2.P2=0.1x+3.2（9≤x≤15）.
w1=（6-4.1）×54x=102.6x（0≤x≤5），当x=5时，w最大=513，
w2=（6-4.1）（30x+120）=57x+228（5
w3=（6-0.1x-3.2）（30x+120）=-3x2+72x+336=-3（x-12）2+768（9
513
第12天的利润最大，最大利润是768元.
评注：此题是一次函数与二次函数综合的分类讨论应用题，结合***象信息，根据一次函数***形经过点的坐标，确定第x天每只粽子的成本P元与加工天数x之间的关系，是解答第（2）问的关键；另外，由于工人李明第x天生产的粽子数量y只，与加工天数x之间是分段函数关系，因此确定最大利润时，应当对三种情况下的最大利润进行比较，确定三者比较后的最大利润值.注意数形结合以及分类讨论思想的运用.
五、函数与新定义综合问题
例5（2015・长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称为“中国结”.
（1）求函数y=3x+2的***象上所有的“中国结”的坐标；
（2）若函数y=kx（k≠0，k为常数）的***象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k（k为常数）的***象与x轴相交，得到两个不同的“中国结”，试问该函数的***象与x轴所围成的平面***形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？
分析：第（1）问根据题意在一次函数y=3x+2的***象上找“中国结”必须满足x，y同时为整数，由于3是无理数，只有乘以整数0，才可以转化为整数（乘以3的整数倍，这里x不是整数了）.第（2）问中反比例函数***象上有且只有两个“中国结”，则在xy=k中，自变量x与函数y只有两组对应的整数值，因此k的绝对值是1，如果绝对值是大于1的整数，则这个整数的约数就会有1和它本身，则xy的整数值会多于两组，不符合题意.第（3）问中给定的二次函数***象与x轴相交，得到两个不同的“中国结”，则函数***象与x轴有两个交点，先解关于x的一元二次方程，确定方程的整数解，分别用x1，x2表示常数k，构造出关于x1，x2的等式，运用分解整数因数的方法，构造出关于方程两根的方程组，通过解方程组，得出符合题意的常数k的值，进而得出二次函数的解析式，通过计算自变量与函数的对应值，判断x与y同时是整数的点的坐标，得出该函数的***象与x轴所围成的平面***形中（含边界），一共包含多少个“中国结”.
解：（1）函数y=3x+2的***象上中国结的坐标只有一点是（0，2）.
（2）①当k=1时，显然xy=1只有两组数满足题意（1，1），（-1，-1）；
②当k=-1时，显然xy=-1只有两组数满足题意（1，-1），（-1，1）；
③当k≠±1时，如k=2，则***象上的“中国结”个数超过两个，有（2，1），（-2，-1），（1，2），（-2，-1）.类似的，当k≠±1时，中国结个数必将多于两个.
综上所述，只有当k取±1时，反比例函数***象上有且只有两个中国结.当k=1时，其坐标分别是（1，1），（-1，-1）；当k=-1时，其坐标分别是（1，-1），（-1，1）.
（3）令（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k=0，即[（k-1）x+k]・[（k-2）x+（k-1）]=0.解得x1=-kk-1，x2=-k-1k-2.由于交点都是“中国结”，所以这两个根都是整数，x1=-kk-1，则k=x1x1+1；x2=-（k-1）（k-2），则k=2x2-1x2+1.因此x1x1+1=2x2+1x2+1，化简为x1x2+2x2=-1，即是x2（x1+2）=-1.由于-1=1×（-1）=-1×1，因此得出关于x1，x2的方程组x2=1，
x1+2=-1或x2=-1，
x1+2=1.因此以上方程组的解是x1=-3，
x2=1或x1=-1，
x2=-1.由于二次函数的***象与x轴相交，有两个交点，因此x1≠x2，所以舍去x1=-1，
x2=-1.当x1=-3
x2=1时，k=x1x1+1=32；此时二次函数解析式是y=-14x2-12x+34，即是y=-14（x-1）（x+3），在-3≤x≤1中，整数x的值是-3，-2，-1，0，1；当x=-2时，y=34不是整数；当x=-1时，函数值y=1，坐标（-1，1）为“中国结”；当x=0时，y=34不是整数.因此当k=32时，该函数***象与x轴所围成的平面***形中（含边界）一共包含6个“中国结”：（-3，0），（-2，0），（-1，1），（-1，0），（1，0），（0，0）.
评注：第（3）问在确定了二次函数的解析式后，画出这个二次函数的***象如***9，可以直接看出问题答案来，巧妙地运用***形信息，可以避免复杂的计算.
六、二次函数与几何***形的综合应用
例6（2015・湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点.现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D.
（1）如***10，若该抛物线经过原点O，且a=-13.
①求点D的坐标及该抛物线的解析式.
②连接CD.在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（2）如***11，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余.若符合条件的Q点的个数是4，请直接写出a的取值范围.
分析：对于第（1）问中①结合线段旋转的性质，及三角形全等的性质，先确定点D的坐标，再确定抛物线的解析式；对于第（1）问中②，判断两个角互余，通过构造含两个角所在的直角三角形，运用直角三角形的性质及锐角三角函数，构造比例式求解；对于第（2）问参考第（1）问中确定点P的坐标的方法，探究二次项系数a的取值范围.
解：（1）①如***12，过点D作DFx轴于F.
∠DBF+∠ABO=90°，
∠BAO+∠ABO=90°，
∠DBF=∠BAO.
又∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
AOB≌BFD.
DF=BO=1，BF=AO=2.
点D的坐标是（3，1）.
根据题意，得a=-13，c=0，且a×32+b×3+c=1，b=43.
该抛物线解析式为y=-13x2+43x.
②C，D两点纵坐标都为1，CD∥x轴.∠BCD=∠ABO.∠BAO与∠BCD互余.若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO，设点P的坐标为（x，-13x2+43x）.
（。┑钡P在x轴上方时，过点P作PGx轴于G，则tan∠POB=tan∠BAO，即PGOG=BOAO.-13x2+43xx=12.解得x1=0（舍去），x2=52.-13x2+43x=54.点P的坐标是（52，54）.
（）当点P在x轴下方时，过点P作PHx轴于H，则PHOH=BOAO.13x2-43xx=12.解得x1=0（舍去），x2=112.-13x2+43x=-114.点P的坐标是（112，-114）.
综上所述，在抛物线上存在点P1（52，54），P2（112，-114），使得∠POB与∠BCD互余.