学文网1 位似与位似变换
1.1 位似***形
定义1 位似***形：两个***形相似，且一个***形上的任意点A，B，…，P和另一个***形上的点A′，B′，…，P′分别对应，并且满足：
①直线AA′，BB′，…，PP′ 都经过同一点O；
②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′=k.
点O叫做位似中心.
若位似形是多边形，叫做位似多边形.即有如下定义：
定义2 对于两个多边形，若一个多边形的顶点A，B，…，P和另一个多边形的对应顶点A′，B′，…，P′ 满足：
①直线AA′，BB′，…，PP′都经过同一点O；
②OAOA′=OBOB′=…=OPOP′.
则这两个多边形叫做位似多边形.
两个位似***形的各对对应点，都在位似中心的同旁，这两个位似***形叫做相互外位似，其位似中心叫做外位似中心.
两个位似***形的各对对应点全部都在位似中心的两旁，这两个位似***形叫做相互内位似，其位似中心叫做内位似中心.
位似多边形有如下性质：
①每个多边形都可以位似于它本身(反身性)；
②若多边形F位似于多边形F′，则多边形F′位似于多边形F；
③两个位似多边形一定相似，它们的相似比等于对应顶点与位似中心的距离的比；
④两个位似多边形的对应边分别平行.
1.2 位似变换
定义3 位似变换：一种几何变换.设O为平面上一定点，若某变换把平面上任意一点A变为直线OA上一点A′，并且|OA′|=k|OA|，k≠0，则称这种变换为平面到它自身的位似变换，O为位似中心，k为位似比或位似系数.当k>0时，点A和A′位于直线OA上点O的同侧，称这种变换为正向位似变换，或顺位似变换，O为外位似中心(***1)；当k
***1 ***2当k=1时，位似变换为恒等变换，当k=-1时，位似变换为以O为中心，旋转角为180°的旋转变换或中心对称变换.
若***形M上各点经过位似变换后得***形M′时，则称***形M位似于***形M′，或***形M与M′位似.当|k|>1时，***形被放大，当|k|
位似变换是一种特殊位置的相似变换.
位似变换有如下性质：
①位似变换把任意直线AB变为直线A′B′(过位似中心的直线变为它本身)，并且AB∥A′B′，线段AB与A′B′满足|A′B′|=k|AB|；
②位似变换把两条相交直线变为相交直线，交角不变，并且交角的方向也不变；
③任意多边形变为与它相似的多边形；
④任意两个圆都是位似形.
***3对于两个同心圆来说，显然圆心就是它们的位似中心，而半径之比就是它们的位似系数.对于任意两圆，如***3，设A的半径为r，B的半径为R，如果直线AB上的点O和O1满足OAOB=rR，O1AO1B=rR，则O点是A和B的内位似中心，点O1是两圆的外位似中心.
2 课标教材中的位似
2.1 定义
我们知道，在中小学教材中，为了使学生易于接受，本着科学性和量力性相结合的原则，常常要对一些本来严密的数学概念进行改写，在某一个教学阶段，有时会牺牲一些概念的严密性，仅给出一种描述性定义.位似的概念也是如此.不同版本的课标教材对位似概念的处理虽不尽相同，但大多是结合多边形的缩放给出了位似***形的定义.大致有如下几种说法：
(1)如果两个相似***形的每组对应点所在的直线都交于一点，那么这样的两个***形叫做位似***形，这个交点叫做位似中心，这时两个***形的相似比又叫做它们的位似比(山东教育出版社2007年7月第3版《数学》八年级上册p.58).
青岛出版社、泰山出版社《数学》2006年8月第1版九年级上册p.64：每对对应点所在直线交于一点的相似***形叫做位似***形，这个点叫做位似中心.
显然，这两个版本的教材中关于位似的定义是一致的，浙教版九年级上册的数学课本也采用了这样的方法来定义.
(2)***27.3-2每幅***中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个***形叫做位似***形，这个点叫做位似中心(人民教育出版社2006年6月第1版《数学》九年级下册p.60).
显然，和(1)中定义位似的方法不同，这里用“位似多边形”作为位似***形的重要示例，把“每组对应点”改为了“对应顶点”，且注明了条件“对应边互相平行”.
(3)***24.5.1中的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心(华东师范大学出版社2007年6月第三版《数学》九年级上册p.71).
这是一个很不严密的定义.
2.2 性质
教材中关于位似的性质大都只涉及这么一条：位似***形的对应点和位似中心在同一条直线上，任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
有的教材(如鲁教版)还试***让学生通过探究发现如下性质：位似***形的对应线段平行(或共线).
3 教学中的位似
3.1 位似的教学定位：放缩变换
义务教育数学课程标准中对位似的要求是“了解***形的位似，能够利用位似将一个***形放大或缩小｡”可见，课标让学生了解位似，定位于让学生知道位似是一种变换，一种可以将***形放大或缩小的变换.
***4和大纲教材不同，课标教材强化了***形变换的意识，在学习位似之前，已经学习了平移、旋转(含中心对称)、轴对称三种变换，它们都是合同变换，也就是能够保持***形上任意两点间的距离不变，变换后的两个***形是全等形.在学习了相似形的知识后，还有必要让学生了解：初等几何变换还有相似变换，其中最简单的是位似变换，它是可以把***形放大缩小的一种变换.这种变换在生活中的例子除了在放映机、照相机等成像过程中常见外，课本还安排了诸如“对数视力表”等素材让学生去主动探究(北师大版、鲁教版等)，有时，还可以用位似变换来设计艺术字(人教版)，如***4.
3.2 关于位似的判定
(1)学习了位似的概念，似乎就绕不过对位似***形的识别判定问题.由于课标并未涉及位似的判定，教材中也未出现位似的判定定理，因而，定义就成了判定位似***形的唯一依据.
比如，鲁教版教材中设计了一个例题和一组练习，其中的例题是判断常见的基本***形――“A型***”中的两个三角形是否是位似***形.例题的解答中首先推导出ADE∽ABC，然后进行了如下说明：
如***5，又因为点A是ADE和ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C是对应点，直线BD和CE相交于点A，所以ADE和ABC是位似***形.
***5这个结论无疑是正确的，然而，上述解答却把教材上定义中的条件“每组对应点所在直线交于一点”中的关键词“每组对应点”简化成了“对应顶点”，这种不严密的推理，很容易使人产生这样的错误认识：“如果两个相似多边形的对应顶点的连线经过同一个点，则这两个多边形就是位似的.”
本刊2008年第8期李孟堂老师的《一道位似***形题引发的思考》一文中，李老师命制了如下题目：
如***6，在梯形ABCD中，ABBC，∠ADC的平分线和∠BCD的平分线交于点E，且点E恰好落在AB上，则***中和AED是位似***形的是，位似中心是.
***6 ***7李老师认为“BCE与AED是位似***形及中心点是E是确信无疑的”，但一些教师却根据“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”得出了矛盾.其实，李老师“确信无疑”的是一个错误结论，“任意一对对应点到位似中心的距离比都等于位似比”本该是定义中的条件. 即使按鲁教版的定义来分析，AED的三个顶点及其对应点并不能代表AED和BCE的“每对”对应点.事实上，相似三角形的每对对应点远不只是它们的对应顶点，还包括了对应边上的无数对对应点.如***7，我们只要取AE的中点M和BC的中点N这样一对对应点，就会发现，它们的连线并不经过E.
要避免此类错误，关键是要对概念真正理解.作为一个教师或教研员，对概念的理解如果只局限于课本上的文本，则显得有些高度不够.这似乎又验证了那句老话：用教材教而不是教教材.
(2)由于位似***形具有对应线段平行、对应线段之比等于位似比和对应点的连线过位似中心等性质，因此，恰当使用位似来解题往往会使解法显得简捷明了.但是，要使用位似的性质都需要先进行位似的判定，而初中教材上给出的定义大都难以直接用来证明位似，所以，笔者认为用位似解复杂的证明和计算题，应属于竞赛性质的较高要求，不宜作为对一般学生的普遍要求，也不宜作为中考或模拟考试题使用.
参考文献
[1] ***.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京：北京师范大学出版社，2001.
[2] 张春条.中国中学教学百科全书数学卷[M].沈阳：沈阳出版社，1991.
[3] 李孟堂.一道位似***形题引发的思考[J].中学数学杂志.2008，(8).
[4] http：//jpkc.yzu.省略/course/cdsx/kcrr/kcrr6-3.htm
作者简介 刘同***，山东省莱芜市人，1965年3月出生，中学高级教师. 山东省教学能手、山东省特级教师. 近年来致力于初中数学基本活动经验的内涵与获取途径研究. 曾在《中国教育报》等报刊发表文章30余篇，51万字的专著《几何画板在数学教学中的应用》(中国石油大学出版社2005.10)获山东省中小学教育科研成果一等奖.
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